北京大学：量子力学：Lecture20

6.3ei±? ? () () () ()0000 ? ,, n Hni Eni=

 1, 2, ,ia= " ,)? μ a×ei
?YV SchmidtZE? V[￡oM-W??BB
 () ()00 ,, ij nin j δ= b ù5
ê| ()0 ,ni ?￥'B?T1 ? H￥ ,)of ?
$ |B?? T
 () ()00 1 , a i i ncni = = ∑
 ?ˉ ^ ()0 ? H ￥ ?? ￥'? ?b ()0 n E ù5
 8"|
$ i c ei0 bW?
| ()0 n }?B)í ?Z?
 () () () () () ()1000 11 ?? nn H En HEn?=??
 μ () () () () () () ()00 11 1 , a nin i H En cHEni = ?=?? ∑
 Pe ()0 ,nj
 () ()11 1 0 a iji nji i cH Eδ = ? ∑
 () () () ()0011 ? ,, ji HnjHni=
 ? QZ?F
a?Z?
?? ?" ? b a i c i c ??1 ,￥Hq ^" ??  T?? ,
 () () () () () () () () () () () () 11 1 1 11 12 1 111 21 22 2 11 11 12 0 na na aa an HE H H HHE H HH HE ? ? = ? " " ##%# "
 òùZ? ? B)?? ￥ ??
 b → ()1 n E a () () ()11 12 , , , nn n EE E" 1 a a () ()00(1) , 1,... nnnn EEEE αα α→=+ = 1 | ?B? }í QZ?F
 V[¤?BF" ? ()1 n E α { } 12 ,,, a cc c αα α "
 5¤?B?M?￥ ? H ￥ ,)of ? () ()00 1 ,, a i i ncn α α = = ∑
 ? ? a
 Wià ?sh?b ?TòùZ?￥ a??o?M?
 Wi??h ?
?Tμ×?
Wi?sh?b ()0 (1) nn n EE E α =+ ú)?? V? I? S ?b è 1
=×ei8"
 ()0 n E ()0 ,1n
 ()0 ,2n b  2?ei0 bW?￥òùZ?1 (1) (1) (1) (0) (0) (1) (1)11 12 (1) (1) (1) 21 22 ? 0, , , n ij n HE H HniHnj HHE ? == ?
 ' () () () () () () () () 2 2 1111111 11 22 11 22 12 0 nn EHHEHHH?+ + ? =
 () () () () () () 2 2 11111 11 22 11 22 12 1 4 2 n EHHHHH ?? =+±?+ ?? ?? 1 1 ?
 ()1 12 0H = 5
 b () ()1 11n EH + = () ()11 22n EH ? = è 2
?è??￥_e0b 22 2 ? 2 e He r ε μ =? ? ? + ? K = K K r ?Dè?
ê?è? ￥Z_1 à
 ε ε K z () 22 0 2 ? 2 e H rμ =? ? ? K =
 ()1 ? cosHerε= θ ,)í ?
 () () 4 00 122 2 1 2 n e EE nn μ =? = = 2
 n ×ei ? () nlm rψ G ?
 2n = () (0) 0 1 2 4 E E =
 ? 4×ei ? (), 1,2,3,4 i ri? = G
 ! ()0 120 ?ψ= ()0 221
 0 ?ψ= ()0 3 211
 ?ψ= 1
 b ()0 42 ?ψ ? = 2 1p3òùZ?
59 ?±? ?í () () () () 113* ? ij i j H dr r H r??= ∫ KKK
 μ
 e ?í?1 ,b () ()11 12 21 0 3HH eε==?a  4?ei0 bW?￥òùZ?1 () () () () 1 20 1 02 1 2 1 2 300 30 0 00 0 000 Eea ea E E E ε ε ?? ?? = ? ? a ε=? () ()11 2,3 2,4 0EE== μ

 b ()1 2,1 0 3Eeε= ()1 2,2 0 3Eea () () () ()00 0 222022 (4 +3 , 3 , (2 i EEEeaEeaEεε→=×Wi

 × W i
 ,)?  4×ei?sh"
 ()0 2 E | }? QZ?F
 ()1 2i E () () () () 1 20 1 1 02 2 1 3 2 1 4 2 300 30 0 00 0 000 i i ii i i i i Eea c ea E c c E c E ε ε ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? = ?? ? ?? ?? ? ?? ¤?" ? { } 1234 ,,, iiii cccc
 5 () 4 0 2 1 iij j cψ? = = ∑ D ?b ()0 (1) 222 + i EEE= i è 3
_e0￥M ???b dM ??? 2 2 p T m =
 M ??? 24 22 24 2 32 28 pp Tpcmcmc mmc =+?=?+"
 o = 4 p [
μ 22 4 32 ?? ? 28 p ep H mr mc =?? b 3 | () 22 0 ? ? 2 p e H mr =?
 () 4 1 32 ? ? 8 p H mc =? b ,)í ?
 ? 
 ×ei ? ()0 n E 2 n () ( ), nlm nl lm NrYψ θ ?=
 b 0,... 1, ,...lnml=? =?l  ?ei0 bW?￥±? ?í 2 n () () () () () ()00011 4 , 32 1 ? ? 8 nlm nl m H nlm H nl m nlm p nl m mc ′′ ′′ ′′==? 0
 ?? ? Shrodinger Z? () () () () 2 00 0 ? 2 n p V r nlm E nlm m ?? += ?? ??
 () () () ()000 2 ? 2 n pnlm mE Vr nlm=? # () () () () 2 0(1) ,'' 2 1 2 nlm nl m n Hnl mc ′′=? ? nlm () () () () () () () () () 2 000 00 2 2 1 2 2 nllm n E E nlm V r nl m nlm V r nl m mc δδ ′′ ′′ ′′=? ? + 0 ?? D
()Vr θ ? í1
 () () () 2 00 2 ' 2 1 () () nl nl ll mm ll mm e nlm V r nl m drr N r N r rn δδ δδ ′′ ′ ′′ == ∫ a ′ ?
 () () () () 4 00 2 32 1/2 ll mm e nlm V r nl m lna δδ ′′ ′′ = + #
 () ()11 ,nlm nl m nl ll mm HHδδ ′′ ′ ′ = () () () () () 24 2 100 22 12 21 nl n n ee HEE mc n a l n a ?? =? + + ?? + ?? 32 / 21
 a ü
±? ?í ? ?￥ei bW? ^?￥
òùZ?￥? ^ ()1 ,nlm nl m H ′′ 2? ? , z LL G ()1(1) nl nl EH=
 ()1(0) 2 (0) ( ( nnlnl En EE H l→= + +×Wi
 × W i
 b è 4
;?￥ú%2b I n_e0￥1è -E?ò? () ()01 ?? ? H HH=+
 () () 2 0 2 ? 2 HVr μ =? ? + K = () () () 1 2 11 ?? ? 2 dV r HLSrLS rdr ξ μ =? ? = ? KK
 ()1 ? H ￥? T ^?M ? 0 ?Dó￥b 4 ,)í ?
 '?′
 ×ei ? V¨? o? ?D F ()0 n E 2 2n { } 2? ??? ,,, zz H LLS K ?￥íò?V`?￥ ls nlm m í ?
9 V¨? o? ?D F { } 22?? ? ? ,, , z H LJ J K KK ?￥μò?V`?￥ nljm í ?b ,) ?μei
3p3òùZ?b ?íò?V` I nòùZ?
 ??

 ,) ?
 ' ()1 ?? ,0 z HL ?? ≠ ?? ()1 ?? , z HS ?? ≠ ?? 0 2? L K
 ? ￥]'? ?? ^ ? z L ? z S ()1 ? H ￥'? ?
* 1 ? ()1 ? H ? 2? L K
 ? ?￥ei bWμd ?í ? z L ? z S ()1 ? ls ls nlm m H nl m m′′′
òùZ?2??ˉb ?μò?V` I nòùZ?
?? () () ()11122??? ??? ,,, z HJ HL HJ ?????? == ?????? ?????? 0= K KK
 ,) ?
' 22?? ,L J GK
? ￥]'? ? ^ ? z J ()1 ? H ￥'? ?
 # ()1 H ?? 2? L K
 2? J K
 ?￥ei bW ^ ? ?
? ￥B)??ü ^?í ? z J K () () () () ( ) ()() () () 11 22 2 2 22 0 ?? ? ??? 2 1 1 ( 1) 2 nlj nl E nljm H nljm nljm r L S nljm r nljm J L S nljm jj ll ss R r rrdr ξ ξ ξ ∞ ==? =?? =+?+?+ ∫ KK KKK =
 ()1(0) 2 (0) (2 0 2 1 n nlj n nlj En EEE j→= += +×Wi

×Wi b è?|
 2n = () () ()111(0) (0) (0) (0) 2232121 21 21 20 222 (8 nlj E EEE EE EE→=+++×Wi
 ×Wi ×Wi ×Wi b ?i
 H

 b 0l = js= ()1 0 nlj E = 5