第三讲 Ⅰ. 物质粒子的波动性 A. 德布罗意假设（de Broglie 1923年） 他提出：具有一定动量的粒子与一定波长的波相 联系， 称为德布罗意关系。 当然，能量与频率关系仍为 P h =λ kP != λ π2 k = （称为Einstein关系） 这两个关系，把粒子的动力学变量与波的 特征量联系起来。也就是说，对一个具有确定能 量和动量的自由粒子，对应一个有确定的频率和 波长（波数）及一定的传播方向 的平面波， PP )trk(i Ae ω?? ? !)EtrP(i Ae ?? Pk ?! E?ω! ων !== hE 把具有一定动量的自由粒子所联系的平面 波 称为德布罗意波（物质波）。 物质微粒的波长 ? 电子波长 ?（相当于声速） 通常物质微粒不显示出波动性，而电子在 通常情况下也不显示，仅在原子尺度下 显示。 波长 ， 10 10 ? < 1≈ 212 0kk )]cm2E(E[ hc P h + ==λ B. 物质粒子波动性的 1. （Davisson andGermer, P.R. 30(27) 707） 当 变电子 （ ） 的 ， 在 度 方向有 的 （ 有 电子?￠￡），而 ?￥ 212 0kk )]cm2E(E[ fmMeV3.1972 + ?? = π eV60030? ? ? ? §currency1，电子' “?面， ??fifl ， 具有波动性，而相应波长为 这 –??粒子的· 来 ?。 n asin nh Pφ = P h =λ 2. G.P.Thomson的电子? （1927 年） 电子通? ? ，出 ? · ，这一? · ”currency1电子的波动性。? … ? ‰ 的? ，?￥ 一`， 电子' ?￥ 而′???? ˉ。 x λθ nsind2 = Phnsind2 =θ 这一特?，不仅电子有，˙来¨ 子? 也 有， 物质粒子?有波动性。当然， ?物?学 是–? ?的。 子在Na “ 的? ˇ. 波—粒两 性： 然 和粒子 具有波动性和微粒性， ， ? 这两 性 A.波—粒两 性 具有确定动量的自由粒子?一平面波 所 ων !== hE kP != !)EtrP(i)trk(i AAe ???? ==Ψ ω 粒子所具有的微粒性和波动性 一起来，这 在 ?物?学 来是不 能的 B. 物?量 ?不一定是 a的 “ 的能量 ? 原子的能量 νnhE = ",2,1,0n = 0 2 0 2 n 4na2 e E πε? = cm10529.0 em 4 a 8 2 e 2 0 0 ? ?== !πε 一个 ： a???￠￡ 的是一个电子， 电子确 是o一个 “出 b. 电子数的 度 ， 21 P,P 1221 PPP ≠+ c?电子 ? ， ? 一个电子， ￥?长的 ˙，也有?`??。 ， 得 下面的?论： a′. 不能认为，波是电子 自己oo一定密 度分布于? ? 的（ ￠￡ 的是一个个电 子），也不是大量电子分布? 的（ ? ，也 有?`的 ） b′. 不能 ，电子通? ，能 ?电 子（有轨道） `来 ， 2,1 1221 PPP ≠+ c′. 不能认为? 能是通?缝˙，电子相互 作?所导致（ ? ，也有?` ）。 总之，电子（量子粒子）不能 作 ?粒子， 也不能? ?波来 （ ?波是物?量在? 分布）。 这种?fi 在 ? 有类似 ， 水 波通?二个缝˙，在￠￡器 的 度分布 为，，， 。 1221 III ≠+ 1 I 2 I 12 I 电子的?fi 与这完全相似， 两者的 含意是本质不?的，前者是 度，˙者是￠￡ 的电子 少。 这启 ，电子的双缝?fi 的 也 ? 函数来 （? 一般应是复函数）。 ， （） 21 ,φφ 2 11 P φ= 2 22 P φ= )(P 2 * 1 * 21 2 2 2 1 2 2112 φφφφφφφφ +++=+= 12 12 PP2PPcosδ=++ 21 δδδ ?= 称为波函数（ 粒子波动性的函数 称为波函数），也就是说，￠￡器 位置电子 数的 少， 由波函数的模的平方 来?征。 ? 若有两个波，粒子数 少则应由波函数 的模的平方来 。 是，这种 是什 意思 ?没有回答， 电子是一个个出 的问题 也没有回答，? 电子 ? ， ￥?长˙，?fi花纹 ` 出 。 21 ,φφ 2 φ 21 φφ + Ⅲ. 波函数的玻恩（Max Born,1926年） 几率诠??几率波 Max Born真? 量子粒子的微粒性和波动 性 一起来。 电子?一波函数 来 ，则 ①从 面分析 o ，在 范围 内，￠￡ 电子 少是与 的大小 有关 ② 当 电子 ? 一定程度 ，￠￡器 ￠￡ 的电子几乎是?杂乱–章?的， 当 ￥ )x(φ dxxx +? dx)x(dx)x(P 2 φ= ?长 ，￠￡ 的电子数分布为 。 这?§，电子出 在￠￡器 的各个位置是 具有一定的几率的。当￥? 的电子?￠￡˙。 在￠￡器 的电子分布?显示currency1这一几率分布 （电子 ￠￡器 是一个个的， 分布又类似波， 几率波）。 是电子出 在x附近的几率密度 （ ）。 电子通?双缝的 ，尽管类似水波 `? 一波函数来 。 本质是不?的。 2 )x()x(P φ= ∫ =1dx)x(P 2 )x()x(P φ= 是 或 划一个电子的几率振幅。 玻恩几率 ?： ?在 ，对o波函数 的粒子进行位置测量，测得的?? o是不?的 而在一小区域 该 粒子的几率为 （ ）。 注意两?： ① 不是对物?量的波动 。?有意义 的是，在“积元 粒子的几率为 ，所o?不代?物? “，仅是一几 率波 )t,r(ψ t )t,r(ψ rdrr +? rd)t,r(rd)t,r(P 2 ψ= 1rd)t,r(P = ∫ )t,r(ψ rd)t,r( 2 ψ rdrr +? ②粒子是由波函数 来 ， 波函 数并不能告诉你， 测量 ，粒子在什 位 置。粒子位置 能在 ， 能在 ，而 在 粒子的几率为 。 也就是说， 在 处越大，则在 测量 粒子在该处的 越 。（这?§， 讲的是能 什 ， 不能说出测量的 ??）。 )t,x(ψ 0 t 1 x ",x 2 dxxx 11 +? dx)t,x( 2 01 ψ 2 0 )t,x(ψ x 0 t 来? 这一? ?对一个“ 系 测量 粒子 能就处于， 测得一个 ?。 有 ?`的“系，对“系 进行? ，完全相?的测量，测得的?? dxxxn 111 +?? dxxxn 222 +?? dxxxn mmm +?? # # 1 x 当对￥? 的?`的“系进行测量˙， 在大量的完全相?的“系 ，? 测量， 粒子在 处的几率 “系的波函数 出currency1“系所有 （ 能范围内的），? 出“系一个完全的 （ ，测量粒子的能量 ， 出 能测 dx)t,x( n n 2 i m m i ψ= ∑ )t,r(ψ dxxx ii +? 得 能量?和测得该能量?的几率 ）。? 为 ， o说波函数 currency1“系所处的 量子 ，或称 。o “系，就称 “系处于 ，或称 为“系的 函数。 )t,r(ψ )t,r(ψ )t,r(ψ 2.3 . 波函数的性质， 原? 然“系 的波函数 出currency1“系有 能得 的 ， ?有什 ?性质 （1）波函数的性质 A. 一 ： 为 ， 粒子在 的几率。 测量 ，总是 粒子的。所o， 在 个? ， 粒子的几率之和应为 。 )t,r(ψ rd 2 ψ t rdrr +? 1 ，一个真?的 在的波函数，应该有 若波函数?￥ ，则称该波函数 一 。 应该注意， 有当波函数 一 ˙， 能 说是几率。 则在区域 ， 粒子的几率为 1rd)t,r( 2 = ∫ ψ rd)t,r( 2 ψ rdrr +? 若 则 一 的波函数为 （ 一相 子 ， 为 数） 这 代?在 区域 粒子的几率。 2 2 Ard)t,r( = ∫ ψ )t,r( A 1 )t,r( ψφ = δi e δ rd)t,r( 2 φ rdrr +? 'rd)t,'r( rd)t,r( 2 2 ∫ ψ ψ ： ti a2 r e)t,r( ω ψ ?? = ∫∫ ??= +??? drdreerd)t,r( 2 ti a2 r ti a2 r 2 ωω ψ π? ∫ = ∞ ? 4drre 2 0 a r 3 a8π= 所o， 一 的波函数为 而在 的几率为 ti a2 r 213 e )a8( 1 )t,r( ω π φ ?? = drrr 00 +? ?θθ ∫ π =?θθ ∫ ?θφ ? ddsine a8 drr ddsin)t,,,r(drr a r 3 2 0 2 0 2 0 0 在 的几率为 0 r 2 0 a 3 r edr 2a ? = ? θ+θ?θ d 00 ? π θθ?θθ?θφ drdre a8 1 dsindrdrdsin)t,,,r( 2 a r 3 0 2 0 2 0 ∫∫ ? = π?? π θθ= 2a2 a8 1 dsin 3 3 0 θθ= dsin 2 1 0 在 的几率为 当然，也 的几率 ?+??? d 00 θθ π ? θθ?θφ? dsindrre a8 d dsindrr)t,,,r(d 2 a r 3 2 2 0 ∫∫ ? = 2a2 a8 d 3 3 ?= π ? ? π d 2 1 = dxxx 00 +? 0 xx a r 3 2 0 dzdyedx a8 1 dxdydz)t,z,y,x( = ? ∫∫ = π φ 的是相对几率， 和 的相 对几率分布是完全相?的，是 ?一量子 。 所o 一常数 子的波函数是完全相?的。 一 currency1，仍 有一相 子的 （ 为 数）。 ax 0 2 0 e)xa( a4 dx ? += )t,r(ψ )t,r( A 1 ψ αi e α ∫ π = ++? dydze a8 dx a 3 2 z 2 y 2 0 x ∫ ?ρρ π = ρ+? dde a8 dx a 3 22 0 x ∫ ?ρρ π = ρ+? dde a8 dx a 3 22 0 x ∫ = ∞ ? 1 aRx 3 2 0 RdRe a4 dxx 0 )]dReRe( x a [ a4 dxx 1 aRx 1 aRx 0 3 2 0 00 ∫ +?= ∞ ? ∞ ? dx)e x a e x a ( a4 dxx ax 2 0 2 ax 0 3 2 0 00 ?? += ax 0 2 0 e)xa( a4 dx ? += 为currency1处?问题方 ， 平面波 不能 一 的波函数也 常? ?。 ，这也是一大类波函数（本征? a所相 应的波函数）， 在o˙ 论。 B?波函数的自然 ： 一般而 ，波函数?￠ a，有￡， ?。 ① a：由于 为粒子处于 的几率 ?。所o在 和 处几率 rd)t,r( 2 ? rdrr +? 0r 0 +0r 0 ? )trk(i e ω?? )ar( ?δ 当然应该相 。 ，在 下应 a ② 有￡： 讲有￡是? 有￡， 是在 ￥?§?（对于 ）也 能不 currency1'波函数这一性质。 在“含?的小区域 的几率有￡， ? 就是波函数平方 积。 ： ， ∫ rd)t,r( 2 ? )t,r(? ∞?? →? →0r ? )t,r(? 在小区域（ 附近） 有￡ 。 所o ? 不?于， ， 若 的fi近?fl为，则 ? 。 对于一 , 。当 ， 有￡ 对于二 , 。当 ， 有 ￡ ; 0r = 2 r03 4 r(r,t) 3 πφ → ???→ ∞??→? →0r )t,r(? 23 r 1 0r → )t,r(? s r 1 2 3 s≤ s x 1 2 1 s≤ 0x → s2 x 1 x? s 1 ρ 1s≤ 0→ρ s2 2 1 ρ πρ 而对 ， 应?于。 ?： ? 仅– ?， ?。 在˙面 论。 ? 在位?有有·大小的 处，波函数在 该处的导数仍 a 这 在第三章 §。 ∞→r 0→? 23 r 1 )t,0x(')t,0x(' 00 +=? ?? 2 )t,r(? )t,r(? C? 粒子“系波函数的?fl 个粒子“系的波函数为 ， 有 个自由数。 是 粒子 处于粒子处于 的几率。应该注意，说粒子 处于 并不确?。 ? 个粒子是不 ?粒子。 N )t,r,r,r( N21 "? N3 N1 2 N21 rdrd)t,r,r,r( ""? 1 " 111 rdrr +? N NNN rdrr +? 1 111 rdrr +? N 而粒子 处于的几率为 ?`，在 个? ? 这 粒子的几率应 为。 所o，物质粒子的波动性本质 是与 ?波 不一`的。 ?波是? 种 在的物?量 在三 ? 的波动 ，而物质粒子波函数 一般是在 ? （位?? ） 的几率波。 1 11010 rdrr +? ∫ N2 2 N2101 rdrd)r,r,r(rd ""? 1 （2）位置和位能的平?? 然波函数能 出“系的一? 能的 ， ?能 得 能?的几率， ?应该能 出物?量的 平??。这显然是应当?得 的。 出，则– ”?。 A?位置平?? 设： 是 一 波函数。由于测得 ?在 的几率为 )t,z,y,x(? x iii xxx ?+? 从平??的定义，则 的平??应?为 x )zy)t,z,y,x((xxlimx kj 2 k,j kjii i i ????= ∑∑ ? dxdydz)t,z,y,x(x 2 ∫∫∫ = ? ∫ = rd)t,r(x)t,r( * ?? )zy)t,z,y,x((x kj 2 z y kjii k j ??? ∑ ? ? ? B?位能平??（假设位能?示 不…‰动量） 动量平??能 仍 ?示 出 dxdydz)t,z,y,x()z,y,x(V 2 ∫ = ? ∫ = rd)t,r()r(V)t,r( * ?? ∫ = dxdydz)t,z,y,x()z,y,x(P)t,z,y,x(P * ?? kji 2 kji ijk kji zyx)t,z,y,x()z,y,x(VlimV ???= ∑ ? 原则 讲，这是完全?的。一般而 ，一个 波函数是由 不?波长的平面波 而 的。在 一?（ ）处， 波长不是一个， 而是有 不?大小的波长， 在（ ）处 并不是有确定的 ?，从而 ` 平??来?示。 ?′ ?示动量平? ? )t,r(? z,y,x z,y,x )z,y,x(P )z,y,x( h = λ （3）动量平?? 然不能 位置 `?动量平??， ? de Broglie关系，具?一定动量和能量 的自由粒子， 波长,频率 o一平面波来 P h =λ E ω = ! （系数是为currency1 ? 一 ） 所o， “系是 ˉ平面波 ，则粒子具有 的动量是完全确定的， 而平??就是确定的 ?。 一般而 ， 粒子是由一波“来 (? ·于? 一区域，所o是由˙ 平面波 ! !! )tErP(i 23 )trk(i 23 P P e )2( 1 e )2( 1 )t,r( ???? ==Ψ ππ ω )'PP( ?δ λ π2 k = πνω 2= P 而 ）， 动量有一分布， 由 来定。 一 具有动量 的电子 ¨ ' 的 ? “ （ 和? ），在 方向 有 的电子 出 （若 ）。 假设，动量 分??，有二个动量? 和 的电子 ? ' 。由于 和 对应不? ， 所o “?面fl 的 度是不?的，而? ￥ P θ P h nsina =θ 1 P 2 P 1 P 2 P 1 λ 2 λ 1 1 P h sina =θ 2 2 P h sina =θ 当? ，两 电子分?，所o分 ￡ ? 动量为 ， 的电子 （在 ， 方向） 这 “ˇ似一—分 器，你 认为 ，在 处￠￡ 动量为 的电子数 1 P 2 P 1 θ 2 θ 1 θ !rPi P 1 1 e)t(C ? 2 θ !rPi P 2 2 e)t(C ? 1 P 2 P 2 rPi P11 )t(Ce)t(C)(N 1 1 1 =∝ ? ! θ ￡? 动量为 的电子数 （而这? ”currency1' “?面前电子动量为 和的数 少） 所o，fl ˙， 个? 的波函数的 应为 ? ， “就是一 ? 器， ?一个 “系的 是o这一波函数来 。这 是 2 P 2 P 2 rPi P22 )t(Ce)t(C)(N 2 2 2 =∝ ? ! θ 1 P 2 P !! rPi P rPi P 2 2 1 1 e)t(Ce)t(C ?? + fl ˙，一个电子的波函数。 而动量为 的电子几率为 动量为 的电子几率为 1 P )t(W )t(C)t(C )t(C )(N)(N )(N 1 21 1 P 2 P 2 P 2 P 2211 11 = + = + θθ θ 2 P )t(W )t(C)t(C )t(C )(N)(N )(N 2 21 2 P 2 P 2 P 2 P 2211 22 = + = + θθ θ ，对于处于 的电子， 动量平??应?为 这一思 （对分??的情况所?的说 §） 一般情况：电子 能具有各种大 小和方向的动量。 !! rPi P rPi P 2 2 1 1 e)t(Ce)t(C)t,r( ?? +=ψ 2 P 2 P 2 P2 2 P1 P2P1 )t(C)t(C )t(CP)t(CP )t(WP)t(WPP 21 21 21 + + =+= 若 该电子的波函数为 ，则有 o §，若 ，则 。 这?§， 是 ，动量为 的几率 密度振幅）。 相应的 这类似于 )t,r(ψ pde )2( 1 )t,p(c)t,r( rpi 23 ∫ ? = ! !π ψ 1rd)t,r( 2 = ∫ ψ 1pd)t,p(c 2 = ∫ )t,p(c t P ∴ pd)t,p(cp)t,p(cpd)t,p(cpp * 2 ∫∫ == rd)t,r(r)t,r(r * ψψ ∫ = ? fl的 变 则 rd)t,r(e )2( 1 )t,P(C rPi 23 ∫ ?? = ψ π ! ! Pd]rd)t,r(e )2( 1 [P)t,P(CP *rPi 23 ∫∫ ? = ψ π ! ! Pde)t,P(C )2( 1 )i)(t,r(rd rPi 23 * ∫∫ ? ??= ! ! ! π ψ 这?§， ?不? ￠方??动量平??， 而? ? ，则– 进 来代 （变量）进行 。 称 为 粒子的动量 。 所o，在量子力学 的 和 ?力学 的 是有本质 的。量子力学 物?量（力学 量）的 是? 来 。在对微 粒子行为 rd)t,r()i)(t,r( * ψψ ∫ ??= ! ∴ rd)t,r()i)(t,r(P * ψψ ∫ ??= ! )t,r(ψ P ??= !iP ? P ??= !iP ? 的量子力学 ， '的 ，对应 于 ?的位置和动量变量。然而这 不 于 ?变量。 由 ?： ① ?动能平??（ ）， ?为 r ? "P ? m2 P T 2 = rd)t,r(T ? )t,r(T * ψψ ∫ = rd)t,r( m2 P ? )t,r( 2 * ψψ ∫ = rd)t,r( m2 )t,r( 2 2 * ψψ ∫ ? ? = ! 所o动量 ??=→ !iP ? P ) zyx ( m2m2m2 P ? T 2 2 2 2 2 22 2 2 2 ? ? + ? ? + ? ?? =? ? =→ !! ) zyx ( m2m2 T ? 2 2 2 2 2 22 2 2 ? ? + ? ? + ? ?? =??= !! ]} sin 1 )(sin sin 1 [ r 1 ) r r( r r 1 { m2 2 2 22 2 2 2 ?θ θ θ θθ ? ? + ? ? ? ? + ? ? ? ? ?= ! ]} sin 1 )(sin sin 1 [ r 1 )r( r r 1 { m2 2 2 222 22 ?θ θ θ θθ ? ? + ? ? ? ? + ? ? ?= ! ? ② 动量 （原则 为 ） ] z 1 )( 1 [ m2 T ? 2 2 2 2 2 2 ? ? + ? ? + ? ? ? ? ?= ?ρ ρ ρ ρρ ! ?×?→×= r ? iPrL ! Pr)rPPr( 2 1 ×=×?× ∴ )cotcos(sini) y z z y(iL ? x ? θ? θ ? ? ? + ? ? = ? ? ? ? ? ?= !! )cotsincos(i) z x x z(iL ? y ? θ? θ ? ? ? + ? ? ?= ? ? ? ? ? ?= !! ?? ? ?= ? ? ? ? ? ?= !! i) x y y x(iL ? z 于是 动量平方 ] sin 1 )(sin sin 1 [LLLL ? 2 2 2 22 z 2 y 2 x 2 ?θ θ θ θθ ? ? + ? ? ? ? ?=++= ! ∴ ] r L ? ) r r( r r 1 [ m2 T ? 22 2 2 2 2 ! ! ? ? ? ? ? ?= ) r L ? r r r 1 ( m2 22 2 2 22 ! ! ? ? ? ?= 2 22 r mr2 L ? m2 P ? += 这 与 ?动能在?fl 相?， 有 质的不?。 这是 ?fl。 a，就 而 ， ?为 向动量 ， 在就不?currency1。 （这在˙面 论） a有 r P ? P r r ? )iP ? r ? ( r 1 r rr i P ? r ! ! ??= ? ? ?= ) r r ? P ? P ? r ? r 1 ( 2 1 ?+?= )coti(eL ? iL ? L ? i yx ? θ θ ? ? ? + ? ? =+= + ! )coti(eL ? iL ? L ? i yx ? θ θ ? ? ? + ? ? ?=?= ? ? ! （4） 原? 从 面 论 ， o得出：若“系由 来 ，则 （ 一） currency1“系的几率分布或称几率密度。 若粒子处于 ，则测量动量的 ?仅为 ， ，而不在 之 ?。对于大量粒子，ˇ 一 分电子处于 ， 一 分电子处于 。 )t,z,y,x(ψ 2 )t,z,y,x(ψ !! rpi 2 rpi 1 21 e)t,p(Ce)t,p(C ?? + 1 p 2 p 21 pp ? 1 p 2 p