第五章 应力状态分析 ————材料力学教案 教学学时 8  基本内容 一点处应力状态的概念及其分类 平面应力状态的应力坐标变换； 正负号规则；微元局部平衡；应力坐标变换 平面应力状态的应力圆； 应力圆方程及其画法；对应关系；应力圆的应用 主应力、主方向与面内最大切应力 三向应力状态简介 三组特殊方向面，三向应力状态应力圆，一点处的最大正应力与最大切应力 广义虎克定律 一般微元与主微元的广义虎克定律表达式及其应用 弹性常数之间的关系。 一般应力状态下的应变能密度 总应变能密度，体积改变能密度与畸变能密度。  教学目的 掌握一点处应力状态的概念及其研究目的。 掌握平面应力状态的应力坐标变换式及微元互垂面上正应力、切应力的关系。 应力圆的画法、对应关系。 掌握主应力、主方向与面内最大切应力的计算。 了解三组特殊方向面与三向应力状态应力圆，掌握一点处的最大正应力、最大切应力的计算。 掌握广义虎克定律及其应用。 了解应变能密度、体积改变能密度与畸变能密度的概念和计算。  重点、难点 重点：一点处应力状态的概念、描述与研究目的；平面应力状态的应力坐标变换式与应力圆，主应力、主方向与面内最大切应力；广义虎克定律及其应用。 难点：对构件内危险点处的最大切应力（）、第一主方向与最大切应力及其作用方位客观存在的理解。 广义虎克定律的应用（解决应力分析与应变分析的工程实际问题）  教学方法 安排三次课堂讨论： 材料破坏与应力状态的关系： 塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的破坏形式为什么不同？ 塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的机械性能（屈服滑移线、颈缩、断口等） 应力圆是否描述了一点的应力状态，包含了一点应力状态的各种信息？ 如何应用广义虎克定律解决应力分析和应变分析问题？  课外作业    第五章 应力状态分析 前面两章的分析结果表明，一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。因此，当提及应力时，必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面"上的应力。此即"应力的点和面的概念"。 所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态，是指过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态分析是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。 与前几章中所采用的平衡方法不同的是，平衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微段杆或其一部分，而是三个方向尺度均为小量的微元局部。 此外，本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法，作为分析和思考问题的一种手段，快速而有效地处理一些较为复杂的问题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。 §5-1一点处应力状态描述及其分类 对于受力的弹性物体中的任意点，为了描述其应力状态，一般是围绕这一点作一个微六面体，当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时，六面体便趋于所考察的点。这时的六面体称为微单元体，简称为微元。一旦确定了微元各个面上的应力，过这一点任意方向面上的应力均可由平衡方法确定。进而，还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们的作用面。因此，一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其各面上的应力描述。图5-1中所示为一般受力物体中任意点处的应力状态，它是应力状态中最一般的情形，称为空间应力状态或三向应力状态。 当微元只有两对面上承受应力并且所有应力作用线均处于同一平面内时，这种应力状态统称为二向应力状态或平面应力状态。图5-2中所示为平面应力状态的一般情形。 当图5-2所示的平面应力状态微元中的切应力，且只有一个方向的正应力作用时，这种应力状态称为单向应力状态；当上述平面应力状态中正应力时，这种应力状态称为纯剪应力状态或纯切应力状态。不难分析，横向荷载作用下的梁，在最大和最小正应力作用点处，均为单向应力状态；而在最大切应力作用点处，大多数情形下为纯剪应力状态。同样，对于承受扭矩的圆轴，其上各点均为纯剪应力状态。 需要指出的是，平面应力状态实际上是三向应力状态的特例，而单向应力状态和纯剪应力状态则为平面应力状态的特殊情形。一般工程中常见的是平面应力状态。 §5-2平面应力状态的应力坐标变换 1. 正负号规定 图5一3a、b、c中所示分别为平面应力状态微元以及任意方向上的受力图。图中θ为、坐标轴与x、y坐标轴之间的夹角，即Oxy坐标系旋转的角度。关于θ角以及各应力分量有下列正负号规则： θ角一一从x正方向反时针转至x‘正方向的为正；反之为负。 正应力一一拉为正；压为负。 切应力一一使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正；反之为负。 图5一3中所示的角及正应力和切应力均为正；为负。 2. 微元的局部平衡 为确定平面应力状态中任意方向面上的应力，将微元从任意方向面截为两部分，考察其中任意部分，其受力如图5-3b所示，假定任意方向的正应力，和切应力,均为正方向。于是，根据力的平衡方程，可以写出：       解上两式整理得平面应力状态下单元体任一斜截面上的应力计算公式  （5-1）  （5-2） 应用上式 计算、时，各已知应力、、和均用其代数值。 §5-3类比法的应用——应力圆 1.应力圆方程 将上式（5-1）、（5-2）两边平方，然后相加，并应用，便可得到一圆方程  （5-3） 对于所研究的单元体，、、是常量，、是变量（随的变化而变化），故令=x、=y、、，则上式变为如下形式：  由解析几何可知，上式代表的是圆心坐标（a，0），半径为R的圆。因此，式（5-3）代表一个圆方程；若取为横坐标，为纵坐标，则该圆的圆心是（，0），半径等于，这个圆称为“应力圆”。因应力圆是德国学者莫尔（O.Mohr）于1882年最先提出的，所以又叫莫尔圆。应力圆上任一点坐标代表所研究单元体上任一截面的应力，因此应力圆上的点与单元体上的截面有着一一对应关系。 2.几种对应关系 考察平面应力状态坐标变换相对应的应力圆，如图5-4所示。 假设应力圆上点a的坐标对应着微元A面上的应力(σx，τxy)。将点a与圆心C相连,并延长aC交应力圆于点d。根据图中的几何关系，不难证明，应力圆上d点坐标对应微元D面上的应力（σy，-τxy）。 根据上述类比,不难得到以下几种对应关系： ·点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力值。 ·转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变,对应地，微元坐标轴亦沿相同方向旋转，才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。 ·倍角对应 应力圆上半径转过的角度等于坐标轴旋转角度的2倍。 3. 应力圆的应用 基于上述对应关系，不仅可以根据微元两相互垂直面上的应力确定应力圆上一直径上的两端点，并由此确定圆心C，进而画出应力圆，从而使应力圆绘制过程大为简化。而且，还可以确定任意方向面上的正应力和切应力，以及正应力和切应力的极大值和极小值。 以图5-5a中所示的平面应力状态为例。首先在图5-5b所示的O坐标系中找到与微元A、D面上应力(σx，τxy)、(σy，τyx)对应的两点a、d，连接ad交轴于点C，以点C为圆心，以Ca或Cd为半径作圆，即为与所给应力状态对应的应力圆。 其次，为求x轴逆时针旋转θ角至x'轴位置时微元方向面G上的应力，可将应力圆上的半径Ca按相同方向旋转2θ，得到点g，则点g的坐标值即为G面上的应力值(图5-5c)。这一结论留给读者自己证明。 §5-4主应力、主方向与面内最大切应力 1. 主平面、主应力和主方向 表示一点应力状态的微元中存在一种特殊的方向面，其上的切应力等于零，这种方向面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平面的法线方向称为主方向，主方向一般用坐标轴(x，y)的正向与主平面法线正方向夹角θp表示。 从图5-5b中所示应力圆可以看出，应力圆与轴的交点b和e，对应着平面应力状态的主平面，其横坐标值即为主应力。此外，对于平面应力状态，根据主平面的定义，其上没有应力作用的平面亦为主平面，只不过这一主平面上的主应力为零。 根据5-5b中的几何关系，平面应力状态的三个主应力分别为  （5-4a）  （5-4b）  （5-4c） 需要指出的是，在图5一5b中、均为正值，这只有在一定的条件下才是正确的，当σy<0或其他条件下，、也有可能为负值。 实际应用中,需按、、的代数值顺序排列，用、、表示主应力，且，亦即=max(、、)；=min(、、)。 从图5-5b的几何关系中，还可以得到主方向角的表达式：  （5-5） 式中，负号表示由x正向顺时针转到主应力(例如σ')的正向。 根据主平面和主应力的定义，由式(5-1)~(5-2)也可以得到主应力和主方向的表达式(5-4)和(5-5)。这个结果，有兴趣的读者可自行推证。 2. 面内最大切应力 图5-5b中应力圆的最高点和最低点(h和i)，切应力绝对值最大，它们分别对应于平面应力状态中垂直于零主应力面的一组平面内切应力最大者，故这种切应力称为面内最大切应力，其值为  （5-6） 3. 应力状态的主应力表示 当一点处应力状态中的主应力和主方向确定之后，也可以用主应力作用的微元表示这一点的应力状态。图5-5d中所示为用主应力表示的应力状态。当然，这时的微元都是相对初始坐标轴(x，y)转过主方向角的形式。 用主应力表示一点处的应力状态可以说明某些应力状态表面上是不同的，但实质是相同的，即其主应力和主方向都相同。 需要指出的是，应力圆的功能主要不是作为图解法的工具用以计算某些量。它一方面通过明晰的几何关系帮助读者导出一些公式，而不是死记硬背这些公式；另一方面，也是更重要的方面是作为一种思考问题的工具。用以分析和解决一些难度较大的问题。请读者分析本章中的某些习题时注意充分利用这种工具。 §5-5 三向应力状态的特例分析 应用主应力的概念，三个主应力均不为零的应力状态，即为三向应力状态。前面已经提到，平面应力状态也有三个主应力，只是其中有一个或两个主应力等于零。所以，平面应力状态也是三向应力状态的特例。除此之外，所谓三向应力状态的特例是指有一个主平面及其上之主应力为已知的三向应力状态的特殊情形。 1. 三组特殊方向面 不失一般性，考察三个主平面均为已知及三个主应力()均不为零的情形，如图5-6a所示。与这种应力状态对应的应力圆是怎样的？从应力圆上又可以得到什么结论？ 因为三个主平面和主应力均为已知，可以将这种应力状态分解为三种平面应力状态，分析平行于三个主应力方向的三组特殊方向面上的应力。 1）平行于主应力方向的方向面 若用平行于的任意方向面从微元中截出一局部，不难看出，与相关的力自相平衡，因而对该方向面上的应力无影响。这时可将其视为只有和作用的平面应力状态，如图5一6b所示。 2）平行于主应力方向的方向面 这些方向面上的应力与无关，这时可将其视为只有、作用的平面应力状态，如图5-6c所示。 3）平行于主应力方向的方向面 研究这组方向面上的应力，可将其视为只有和作用的平面应力状态，如图5-6d所示。 2. 三向应力状态的应力圆 根据图5-6b、c、d中所示的平面应力状态，可作出三个与此对应的应力圆I、II、III，如图5-6e所示。三个应力圈上的点分别对应三向应力状态中三组特殊方向面上的应力。这三个圆统称为三向应力状态应力圆。 还可以证明，三向应力状态中任意方向面上的应力对应着上述三个应力圆之间所围区域(图5-6e中阴影线部分)内某一点的坐标值。这已超出本课程所涉及范围，故不赘述。 3. 一点处的最大切应力 对于一般情形下的三向应力状态，都可以找到它的三个主应力，因而也都可以作出类似的三向应力状态应力圆。结果表明，微元内的最大切应力发生在平行于的那组方向面内，与这一方向面对应的是最大应力圆(由和作出)的最高和最低点。于是，一点处应力状态中的最大切应力  （5-7） 在与以及与组成的应力圆上，其最高点与最低点纵坐标所对应的切应力只是平行于和的那两组方向面中最大值，此即前面所提到的平面应力状态中的“面内最大切应力”。 一般平面应力状态作为三向应力状态的特例，即两个非零的主应力和一个为零的主应力，也应该可以作出三个应力圆。同样由、作出的应力圆的最高与最低点之纵坐标值，即为平面应力状态的最大切应力，其表达式与式(5-7)相同。 其余两个面内最大切应力分别用、表示，其值为  （5-8）  （5-9） 读者不难发现，对于平面应力状态，式(5-8)、(5-9)与式(5-6)是等价的。 §5-6各向同性材料在一般应力状态下的 应力一应变关系 1. 广义虎克定律 根据各向同性材料在弹性范围内应力-应变关系，可以得到单向应力状态下微元沿正应力方向的正应变  实验结果表明，在作用下，除x方向的正应变外，在与其垂直的y、z方向亦有反号的正应变、存在，它们与之间存在下列关系：   其中，ν为材料的弹性常数，称为泊松比，对于各向同性材料，上述二式中的泊松比是相同的。 对于纯切应力状态，前已提到切应力和切应变在弹性范围也存在比例关系，即  在小变形条件下，考虑到正应力与切应力的相互独立作用，应用叠加原理，可以得到图5-7a所示一般应力（三向应力）状态下的应力一应变关系。    （5-10）    上式称为一般应力状态下的广义胡克定律。 若微元的三个主应力已知时，其应力状态如图5-7b所示，这时广义胡克定律变为下列形式：   （5-11）  式中，、、分别为沿主应力、、方向的应变，称为主应变。 对于平面应力状态，广义胡克定律(5-10)简化为    （5-12）  2. 各向同性材料各弹性常数之间的关系 对于同一种各向同性材料，广义胡克定律中的三个弹性常数并不完全独立，它们之间存在下列关系：  （5-13） 上述关系可以通过理论分析加以证明。 需要指出的是，对于绝大多数各向同性材料，泊松比一般在0~0.5之间取值，因此E/2GE/3。 §5-7一般应力状态下的应变能密度 1. 总应变密度 考察图5-7b中以主应力表示的三向应力状态，其主应力和主应变分别为、、和、、。假设应力和应变都同时自零开始逐渐增加至终值。 根据能量守恒原理，材料在弹性范围内工作时，微元三对面上的力(其值为应力与面积之乘积)在由各自对应应变所产生的位移上所作之功，全部转变为一种能量贮存于微元内。这种能量称为弹性应变能，简称为应变能，用dVε表示。若以dV表示微元的体积，则定义dVε/dV应变能密度，用表示。 当材料的应力-应变满足广义胡克定律时，在小变形的条件下，相应的力和位移亦存在线性关系，如图5-8所示。这时力作功为  （5-14） 对于弹性体，此功将转变为弹性应变能Vε。 设微元的三对边长分别为dx、dy、dz，则与力dydz、dxdz、dxdy相对应的位移分别为dx、dy、dz。这些力所作之功 dW = 于是贮藏于微元体内的应变能为 dVε=dW  由应变能密度定义，应用式(5一11)，得到三向应力状态下，应变能密度表达式：    （5-15） 2. 体积改变能密度与畸变能密度 一般情形下，物体变形时，同时包含了体积改变与形状改变。因此，总应变能密度包含着相互独立的两种应变能密度。即  （5-16） 式中，和分别称为畸变能密度和体积改变能密度。 将用主应力表示的三向应力状态(图5-9a)分解为图5-9b、c中所示的两种应力状态的叠加。其中，称为平均应力，  （5-17） 图5-9b中所示为三向等拉应力状态，在这种应力状态作用下，微元只产生体积改变，而无形状改变。而图5-9c中所示的应力状态，读者可以证明，它将使微元只产生形状改变，而无体积改变。 对于图5-9b中的微元，由式(5-15)，算得其体积改变能密度   （5-18） 将式(5-18)代人式(5-16)，得到微元的畸变能密度   §5-8应用举例 例题5-1 已知应力状态如图5-10a中所示。试： 1.写出主应力、、的表达式； 2.若已知σx=63.7Mpa，τxy=76.4Mpa，当坐标轴x、y逆时针方向旋转θ=1200后至x‘、y'，求、、。 解：1.应用式(5-4a)和(5-4b)求得两个非零主应力分别为 >0 <0 因为是平面应力状态,故有。于是，根据的排列顺序，得    2.将已知数据σx=63.7Mpa，τxy=76.4Mpa，θ=1200代入（5-1）和（5-2）式得 =82.1MPa =-65.8MPa 同样，将已知数据σx=63.7Mpa，τxy=76.4Mpa，θ=1200+900代入（5-1）和（5-2）式得 =-18.4MPa =65.8MPa 旋转后的应力状态如图5-10所示。 由例题可以看出，根据切应力互等定律，  而不必由应力坐标变换式来计算。还可看出，一点处任意两对互垂面上的正应力之和相等：   也不必由应力坐标变换式来计算。 例题5-2 三向应力状态如图5-11所示，图中应力单位为Mpa。试求主应力以及微元内的最大切应力。 解： 所给应力状态中有一个主应力是已知的，即，故微元上平行于的方向面上的应力值与无关。因此，当确定一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力和时，可以将所给应力状态视为图5-11b所示平面应力状态。这与例题5-1中的平面应力状态相类似。于是，例题5-1中所得到的主应力和公式可直接应用。但是，本例中σx=-20Mpa，σy=0，τxy=-40Mpa。据此，求得 =31.23MPa =-51.23MPa 根据的排列顺序，可以写出=60Mpa，=31.23Mpa，=-51.23Mpa，微元内的最大切应力 =55.6MPa 例题5-3 图5-12a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变εt=350×10-6。若已知容器平均直径D=500mm，壁厚δ=10mm，容器材料的E=210Gpa，ν=0.25。试： 1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式； 2.计算容器所受的内压力。 解 1.容器的环向和纵向应力表达式 薄壁容器承受内压后，在横截面和纵截面上都将产生应力。作用在横截面上的正应力沿着容器轴线方向，故称为轴向应力或纵向应力，用σm表示；作用在纵截面上正应力沿着圆周的切线方向，故称为环向应力，用σt表示。 因为容器壁较薄(D/δ>>1),若不考虑端部效应,可认为上述二种应力均沿容器厚度均匀分布。因此，可以采用平衡方法和由流体静力学得到的结论，导出纵向和环向应力与D、δ、p的关系式。因为壁很薄，可用平均直径近似代替内径。 用横截面和纵截面分别将容器截开，其受力分别如图5-12b、c所示。根据平衡方程和，可以写出： =0 =0 由此解出：   2.根据应变确定容器的内压力 容器表面各点均承受二向拉伸应力状态，如图5-12a中所示。所测得的环向应变不仅与环向应力而且与纵向应力有关。根据广义胡克定律，  将，代入后得 =3.36MPa 3.讨论 上述所讨论的只涉及了容器表面的应力状态。在容器内壁，由于内压作用，还存在垂直于内壁的径向应力，σr=-p。但是，对于薄壁容器，由于D/δ>>1，故σr与σt和σm相比甚小。而且，σr自内壁沿壁厚方向逐渐减小，至外壁时为零。因此，忽略σr所引起的误差极小。 小结 一点的应力状态分析是对构件进行强度计算的基础。研究一点的应力状态的力学模 型是微元，截取微元时，常取其中两个截面为横截面。 分析一点的平面应力状态有应力坐标变换公式与应力圆，应用时都必须已知过该点 的任意两个截面（通常为一对互垂截面）上的应力值。 应力圆和微元相互对应：点→方向面，点的坐标（σ，τ）→方向面上的应力（），夹角2倍，转向相同，应力圆与σ轴的交点即为主应力，，应力圆半径即为最大切应力值。 互垂面上的切应力为切应力互等定律确定：；任意两个互垂面上的正应力之和等于常数。 工程实际中，常有实验测得构件某点处的应力来求构件所受的载荷，这时要围绕该点截取微元，建立微元各面上的应力与载荷的关系，然后由广义虎克定律建立应力与所测应变的关系，联解这些关系式，即可求得构件所受的载荷。可见，广义虎克定律是实验力学的理论基础。 应变的密度包含体积改变应变能密度与畸变能密度，在弹塑性理论中有广泛应用。