第十一章 超静定问题
————材料力学教案
学
时
6学时
基
本
内
容
静不定系统。
力法。
对称条件的利用
教
学
目
的
静不定结构系统的基本概念。
掌握桁架、刚架静不定次数的判定。
掌握静不定结构的基本解法。
掌握力法的基本原理及计算公式的导出。
了解正则方程式与正则方程组的建立。
了解对称结构的对称变形与反对称变形基本概念。
了解对称结构的对称变形与反对称变形性质的利用，对于某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化成对称和反对称两种情况的叠加，以使问题简化 。
重
点
和
难
点
重点：1.重点掌握静不定问题的基本解法。
2.重点掌握正则方程式与正则方程组的建立、主系数、副系数、自由项的计算方法。
难点：1.难点是正确确定多次静不定系统的静不定次数及正确地解正则方程组。
2.难点是建立正确的简化方案。
教
学
方法
首先，讲授解超静定问题的基本方法和基本方程
其次，介绍求解复杂超静定系统的力法（正则方法）
1.用什么方法计算主系数、副系数、自由项最方便？
2.如何正确应用图乘法？
作业
第十一章 超静定问题
静不定结构也称为超静定结构，和相应的静定结构相比，具有强度高、刚度大的优点，因此工程实际中的结构大多是静不定结构。本章主要介绍静不定结构的定义、静不定次数的判断以及静不定结构的求解方法，重点介绍用力法求解静不定结构。
§11-1概 述
1.静不定结构的概念
在各种受力情况下的支座约束力和内力，仅利用静力学平衡方程就可全部求得，这类结构称为静定结构。例如图11-1a所示的被车削工件，图11-2a所示的桁架都是静定结构。它们上面作用的载荷和支座约束力构成平面一般力系，有3个独立的平衡方程，正好可解出3个未知的支座约束力，其内力也可由截面法或节点法所列的平衡方程求得。
为了满足构件对强度、刚度的要求，常常会增加一些约束。例如为了提高图11-1a所示工件的车削精度，在自由端B处增加了一个尾架，见图11-1b。这样未知的支座约束力由原来的3个增加到4个，仅仅利用平衡方程已不能求出全部的支座约束力，这类结构称为外静不定结构。又如图11-2a所示桁架中增加了一个杆BD，见图11-2b，虽然支座约束力仍为3个，仍能由静力学平衡方程确定，但是杆件的内力却不能全部由平衡方程求出，这类结构称为内静不定结构。此外，还有的结构既是外静不定的，又是内静不定的，见图11-2c。凡是用静力学平衡方程无法求出全部支座约束力和内力的结构，统称为静不定结构或静不定系统。
在图11-1a及11-2a所示结构中，原有的约束对于维持结构的平衡是必要的，充分的。而由于其他原因在静定结构上增加的约束，如图11-1b中的尾架，图11-2b中的杆肋以及图11-2c中的杆BD和D处的水平支座链杆，对于结构的平衡来说，则是多余的。因此称它们为“多余约束”，相应的支座约束力或内力，则称为“多余约束力”。当然“多余约束”对工程实际来说并非多余，它们都是为了提高强度或刚度而加上去的。
2.静不定次数
1）外静不定结构
首先由约束的性质确定支座约束力所含未知量的数目，再根据结构所受到的力系的性质确定独立平衡方程的数目，二者之差即为结构的静不定次数。例如图11-1b中，A端固定有3个支座约束力，B端可动铰支座有1个支座约束力，共4个支座约束力；结构受平面一般力系作用，有3个独立的平衡方程。支座约束力数与平衡方程数之差为1，所以此结构为1次外静不定。
2）内静不定结构
用截面法将结构切开一个或几个截面(即去掉内部多余约束)，使它变成静定的，那么切开截面上的内力分量的总数(即原结构内部多余约束数目)就是静不定次数。
在平面结构(结构轴线与载荷均在同一平面内)中：
(1)切开一个链杆(二力杆)，截面上只有1个内力分量(轴力)，相当于去掉1个多余约束。
(2)切开一个单铰，截面上有2个内力分量(轴力、剪力)，相当于去掉2个多余约束。
(3)切开一处刚性联结，截面上有3个内力分量(轴力、剪力、弯矩M)，相当于去掉3个多余约束。
(4)将刚性联结换为单铰，或将单铰换为链杆，均相当于去掉1个多余约束。
例如图11-2b中，切开链杆BD(切开其他任何一根也可)，结构就变成静定的，所以此结构为1次内静不定。又如图11-3a中所示结构，从中间铰C处切开，就变成静定的(图11-3b)，切开截面上有2个内力分量(图11-3c)，所以此结构为2次内静不定。再如图11-4a中所示结构，将任何一处刚性联结切断就变成静定的(图11-4b)，切开截面上有3个内力分量(图11-4c)，所以此结构为3次内静不定。
3．既是外静不定又是内静不定结构
首先判断其外静不定次数，再判断其内静不定次数，二者之和即为此结构的静不定次数。例如图11-2c中所示结构，外静不定次数为1，内静不定次数也为1，所以此结构为2次静不定。
根据上述讨论，静不定次数可表达如下：
§11-2简单的超静定问题
1. 求解超静定问题的基本方法
由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多余约束又为求解超静定问题提供了条件。
根据以上分析，求解超静定问题，除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程，并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程。将这二者联立才能找到求解超静定问题所需的补充方程。
可见，求解超静定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解超静定问题的基本方法。这与第3章中分析正应力的方法是相似的。
2. 几种简单的超静定问题
1） 拉压超静定问题
这类超静定结构中构件只承受轴力。
例11-1 图11-5中所示衍架，A、B、C、D四处均为饺链，求1、2、3的内力。
解 图11-5中所示衍架，A、B、C、D四处均为饺链，故1、2、3三均为二力杆，设其轴力分别为FN1、FN2、FN3。由图11-5b受力图可知,，其中有三个力是未知的，而平衡方程只有两个，故为一次超静定结构。
(a) (b)
平衡方程:
变形协调方程：
物性关系:
由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出
2） 扭转超静定问题
考察图11-6a中两端固定、承受扭转的圆截面直杆，设两端的约束力偶分别为、，其方向如图11-6b所示，而独立的平衡方程只有1个，即。因此，为一次超静定结构。
根据前述分析过程，不难确定：
于是，可以化出杆的扭矩图（图11-6c）
3） 简单的超静定梁
考察图11-7a、b、c、d中四种支承不完全相同、而其他条件均相同的梁。根据约束的性质，它们的未知约束力的个数分别为3、4、5、6，而平面力系独立平衡方程都只有3个，故除图11-7a中所示为静定梁外，图11-7b、c、d所示分别为1次、2次和3次超静定梁。
例11-2 图11-8b所示的梁自由端B处水平位移移，已知：梁的弯曲刚度为EI、长度为l。求梁的约束力。
解 图示梁未知约束力的个数分别为4，平面力系独立平衡方程都只有3个，只有1个多余约束力。求解定问题只需1个补充方程。
平衡方程:
FAx=0
FAy+FBy - ql=0
MA+FByl-ql/2=0
变形协调方程：
物性关系：
由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出
FAx=0
§11-3力法求解静不定结构
1 . 基本静定系和相当系统
去掉静不定结构上原有载荷，只考虑结构本身，那么解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不定结构的基本静定系。在基本静定系上，用相应的多余未知力代替被解除的多余约束，并加上原有载荷，则称为原静不定结构的相当系统。
基本静定系可以有不同的选择，并不是惟一的，与之相应的相当系统也随基本静定系的选择而不同。例如图11-9a所示结构，可以选取B端的可动铰支座为多余约束，基本静定系是一个悬臂梁(图11-9b)，相应的相当系统表示在11-9c中；也可以选取A端阻止该截面转动的约束为多余约束，基本静定系是一个简支梁(图11-9d)，相应的相当系统表示在图11-9e中。又如图11-10a所示的3次静不定结构，其相当系统可以选取多种形式，分别表示在图11-10b、c、d、e及f中。选取不同的相当系统所得的最终结果是一样的，但计算过程却有繁简之分，所以选择相当系统也是很重要的。
2．力法求解简单静不定结构
下面以图11-11a所示静不定梁为例，说明力法的思路和步骤。
1．判断静不定次数：本例为1次静不定。
2．选定基本静定系及相当系统分别如图11-11b及c所示。
3．建立位移协调条件，以保证相当系统的变形和位移与原静不定结构完全相同。本例中原结构在多余约束B处是可动铰，上下不能移动，应有，所以相当系统中点B的挠度也应为零，即
式中为原载荷F在B处引起的挠度，为多余约束力。在B处引起的挠度，分别如图11．11d及e所示。
4．由物理条件将变形或位移表达为力的函数，本例中梁的挠度以向上为正
这两个挠度值可由第6章中的方法求得。
5．将物理条件代入位移协调方程，求解多余未知力，本例中有
X1就是原静不定结构B端的支座约束力，A端的3个支座约束力可由3个独立的静力平衡方程求出。
X1求出后，原来的静不定结构就相当于在F和X1，共同作用下的静定梁(相当系统)。进一步可按静定梁的方法作，M图，求应力和变形，进行强度和刚度计算。经计算可知，本例中的仅为相应静定悬臂梁的，而挠度的最大值仅为相应静定悬臂梁的 。由此可以看出静不定结构具有强度高、刚度大的优点，因此在工程实际中得到广泛应用。
3.力法正则方程
研究上例中的位移协调方程
因为B处是多余未知力X1作用处，所以将B改写为1，则有
所以位移协调方程改写为
（11.1）
上式称为力法正则方程，式中凡是有两个下标的地方，第一个下标表示位移发生的地点和方向，第二个下标表示位移发生的原因，位移是由哪个力引起的。下面进一步阐明各项的确切含义。
——多余未知力，这里的X1指广义力，它可以是力，也可以是力偶矩，可以是外约束力，也可以是内约束力。
-——原静不定结构上，X1作用处沿X1方向的位移，这里的位移也指广义位移，它可以是线位移，也可以是角位移，可以是绝对位移，也可以是相对位移。
——在相当系统中，只保留X1，并使X1=1，由它引起的X1，作用处沿X1方向的位移(广义位移)。
△1F——在相当系统上，只保留原已知载荷F(广义力)，由所有原已知载荷引起的在，作用处沿方向的位移(广义位移)。
在式(11-1)中，第一项表示在相当系统上，只考虑的作用， 在自身作用点和方向上引起的位移；第二项表示在相当系统上，不考虑，只考虑原有载荷，所有原已知载荷在作用点沿方向引起的位移；由叠加原理，二者之和应等于原结构在作用点沿方向的位移。
对于高次静不定结构，一般都采用规范化了的正则方程求解。n次静不定结构的力法正则方程为
(11-2)
上式即为力法正则方程的标准形式，也可表达为矩阵形式
在很多情况下原静不定结构在n个多余约束处的位移均为零，那么力法正则方程
可写为
(11-3)
从力法正则方程(11．3)可以看出，只要求出全部的系数及自由项就可以解出全部多余未知力。这样就把求解静不定的问题转化为在静定结构上求一系列位移，的问题，而这些位移可以用第10章的知识去求。
另外有一个问题要特别加以说明。
用正则方程解得多余未知力XI后，若想求出原静不定结构的内
力，例如弯矩，可用叠加法。
式中为相当系统上只保留原已知载荷F时的弯矩，为相当系统上只保留，并使时的弯矩，“+”号表示按代数值叠加。
静不定结构的内力求出后，可进一步求危险截面上危险点的应力，解决强度计算问题。
例11-3 桁架结构受力及尺寸如图11-12(a)所示，已知1、3两杆的拉压刚度为E1A1，杆2的拉压刚度为E2A2，试求各杆轴力。
解 此题为1次静不定结构。
1.取杆2为多余约束，相当系统见图11-12(b)。
2.力法正则方程为
(1)
此处=0是因为杆2在没切开之前，切口两侧截面沿方向的相对位移为零。
3.计算及
相当系统上只作用F时
,
相当系统上只作用，且=1时
,
则有
（2）
（3）
4.求各杆轴力
将式(2)、(3)代入式(1)，求得
即杆2的轴力为
另二杆的轴力可由点D的平衡方程求得，也可由下式求得
实际各杆轴力=
即杆1和杆3的轴力为
由本例可以看出，静不定结构中各部分的内力分配与各部分问的相对刚度有关，这是静不定结构的一个特点。
例11-4 两端固定的圆轴AB，尺寸如图11-13(a)所示，在横截面C上受扭转力偶矩的作用，若圆轴的扭转刚度为已知，试求两固定端的约束力偶矩和。
解 此题为1次静不定结构。
1.取B端的固定端约束为多余约束，相当系统见图11-13(b)。
2.力法正则方程为
(1)
3.计算及
(2)
(3)
4.将式(2)、(3)代及式(1)，求得
5.求约束力偶矩和
例11-5 结构受力及尺寸如图11-14(a)所示，AB梁的弯曲刚度EI及BD杆的拉压刚度EA均为已知，试求BD杆的轴力。
解 此题为1次静不定结构，可选取不同的基本静定系，下面用两种方法求解。
解法一
1.相当系统如图11-14(b)所示。
2.正则方程为
(1)
式中右端负号是因为原静不定结构在B处位移向下，与 方向相反。
3. 计算及
相当系统上只保留 ，并使 =1，作出图见图11-14(c)，相当系统上只保留力F，作出图见图11-14(d)。由图乘法
(2)
(3)
4.将式(2)、(3)代人式(1)，求得
5.杆BD的轴力为
解法二
1.相当系统如图11-14(e)所示
2.正则方程为
（4）
3. 图及图见图11-14(f)，图见图11-14(g)，由图乘法可得
（5）
（6）
4.将式(5)及(6)代入式(4)，可得
5.杆BD轴力为
由本例可以看出，选取不同的基本静定系，正则方程是不同的，方程中各项的值也不会完全相同，但最终结果却是相同的。
例11-6 刚架受力及尺寸如图11-15(a)所示，已知刚架的弯曲刚度为E1，试作刚架的弯矩图。
解 此题为2次静不定结构。
1、相当系统见图11-15(b)
2、力法正则方程为
（1）
3、图见图11-15(c )，图见图11-15(d)，图见图11-15(e)，由图乘法图自身相乘得
（2）
图与图相乘得
（3）
图自身相乘得
(4)
图与图相乘得
(5)
图与图相乘得
(6)
4、将式(2)～(6)代入式(1)得
解得
5、原结构弯矩图可由叠加法求作
最终原静不定刚桑的弯矩图表示在图11-15(f)中。
例11-7 刚架ACD受力及尺寸如图11-16(a)所示，EI为常量，试求点B的挠度。
解 1、先求解静不定问题
(1)静不定次数为1次
(2)相当系统见图11-16(b)
(3)正则方程
(4)图见图11-16(c )，图见图11-16(d)
(5)系数 、代入正则方程解得
2、求
(1)由叠加法求得原静不定结构的M图如图e所示。
(2)在基本静定系上在点B处施加单位力，并作出弯矩图如图f所示。
(3)将图f与图e相乘，得
§11．4利用对称性简化静不定结构的计算
有很多工程实际中的结构具有对称性，有些载荷也具有对称性。利用这一特点，可以使计算得到很大简化。
平面结构的对称是指结构的几何形状，杆件的截面尺寸、材料的弹性模量等均对称于某一轴线，此轴线称为对称轴。若将结构沿对称轴对折，两侧部分的结构将完全重合。
如果平面结构沿对称轴对折后，其上作用载荷的分布、大小和方向或转向均完全重合，则称此种载荷为对称载荷。图11-17a中所示的即为对称结构承受对称载荷的情况。如果结构对折后，载荷的分布及大小相同，但方向或转向相反，则称为反对称载荷。图11-18a中所示的即为对称结构承受反对称载荷的情况。
结构对称，载荷也对称。其内力和变形必然也对称于对称轴；结构对称，载荷反对称，其内力和变形必然反对称于对称轴。注意，此处指内力，并非内力图。由于剪力的符号规定，对称的剪力画出剪力图是反对称的。
下面分为5种情况来讨论。
1．结构对称，载荷也对称的奇数跨结构
以图11-17a所示的3次静不定刚架为例。由于内力是对称的，所以在对称轴处的横截面c处，只可能有轴力和弯矩，不可能存在剪力；由于结构的变形和位移是对称的，如图中虚线所示，所以C处不可能产生水平方向位移和转角，只可能有铅垂方向位移。从以上两方面分析可知，在截面C处将结构切开，取其一半进行计算即可，在切口处用一个滑动支座来代替原有的刚性联结(见图11-17b)。这样图11-17a所示的3次静不定刚架的半边结构就等效为图11-17b所示的2次静不定结构。
2．结构对称，载荷反对称的奇数跨结构
以图11-18a所示的3次静不定刚架为例，由于内力是反对称的，所以在横截面C处，只可能存在剪力，不可能有轴力和弯矩；由于结构的变形和位移是反对称的，如图中虚线所示，所以C处不可能产生铅垂方向位移，只可能有水平方向位移和转角。从以上分析可知，在截面c处将刚架切开，取其一半进行计算即可：在切口处用一个可动铰支座来代替原有的刚性联结(见图11-18b)。这样图11-18a所示的3次静不窟刚架的半边结构就等效为图11-18b所示的1次静不定贫构。
3．结构对称，载荷也对称的偶数跨结构
以图11-19a所示的6次静不定刚架为例，此结构和图11-17a所示结构相比较，再考虑到中间竖杆CD的长度变化可以忽略不计(由对称性知CD上只有轴力，刚架中轴力引起的变形可忽略)，所以在C处只需用固定支座代替图11-17b中含有约束力偶矩的滑动支座即可，见图11-19b。这样图11-19a所示的6次静不定刚架的半边结构就等效为图11-19b所示的3次静不定结构。
4．结构对称，载荷反对称的偶数跨结构
以图11-20a所示结构为例，设想中间竖杆CD由两根惯性矩各为I／2的竖杆组成，见图11-20b，这种情况显然与原结构等效。再设想从此两竖杆中间横梁的中点C处切开，由于结构对称载荷是反对称的，所以切口处只存在剪力FSC，见图11-20c。这一对剪力只能使两竖杆分别产生等值反号的轴力，而不影响其他杆的内力。而原有中间竖杆的内力等于此两竖杆的内力之和，故剪力FSC对原结构的内力和变形均无影响，可将FSC略去不计。只取刚架的半边结构进行计算，见图11-20d。这样图11-20a所示的6次静不定刚架的半边结构就等效为图11-20d所示的3次静不定结构。
5．双对称结构
结构和载荷对两个互相垂直的轴都对称，就称为双对称结构；例如图11-21。所示即为一双对称结构。可将结构在横截面C和D处切开，取四分之一结构进行计算，并在c，D两个截面处均采用含有约束力偶矩的滑动支座，见图11-21b。这样图11-21a所示的3次静不定刚架的四分之一结构就等效为图11-21b所示的1次静不定结构。
当对称结构承受一般载荷(既不对称，也不反对称)时，如图11-22a所示的情况，可以将其分解为对称和反对称两组载荷，见图11-22b及c。对这两组载荷的情况再分别利用对称和反对称性进行简化计算，然后再将二者结果叠加起来即可。
例11-8刚架受力及尺寸如图11-23（a）所示，刚架的弯曲刚度EI为常量，试求支座约束力。
解 此结构为1次静不定，由于是结构对称，载荷反对称的单跨刚架，所以其一半结构可以等效为图11-23（b）所示的静定结构，支座约束力可由平衡方程直接求出。
由反对称性可知
例11-9结构受力及尺寸如图11-24（a）所示，弯曲刚度EI为常量，试求CD段C截面的弯矩。
解 原结构为2次静不定。
1．由于是结构对称载荷对称的偶数跨结构，所以其一半可以等效为图11-24（b）所示的1次静不定结构，下面求解此结构。
2．相当系统如图11-24（c ）所示。
3．正则方程为
4．图见图11-24（d），图见图11-24（e）
由图乘法
5.求解多余约束力
