第十章 能量法
————材料力学教案
学
时
6学时
基
本
内
容
弹性杆件的变形能计算
单位载荷法、计算莫尔积分的图乘法
教
学
目
的
掌握外力功、变形能的计算方法。
2. 了解应变余功，应变余能的基本概念。
3. 掌握由能量原理导出的能量法、莫尔积分公式的导出。
4. 掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。
5. 掌握图乘法的基本原理与推导过程以及图乘法的应用条件。
6. 能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移。
7．了解并掌握图乘法的计算与应用技巧 。
重
点
和
难
点
重点：1.掌握外力功、变形能的计算方法。
2.掌握能量法的基本原理。
3.要求熟练掌握五种基本变形状态下的变形能的计算。
4.掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。
5. 重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。
6. 要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。
难点： 是如何正确理解虚功原理。
难点之一是莫尔积分公式的正确应用。
难点之二是莫尔积分公式应用的推广。
在解决问题时，有时图乘法非常简单，有时却很麻烦。
教
学
方法
1．在虚功原理的基础上，建立莫尔积分公式，在直杆分析时，重点讲授图乘法的应用。
授过程中在适当地方安排课堂讨论。
（a）单位载荷法与莫尔积分之间的关系。
（b）虚位移与虚功的基本概念。
（c）莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别？
作业
第十章 能量法
本章介绍弹性变形势能，并将虚位移原理、势能驻值原理及最小势能原理用于变形固体。本章重点介绍单位载荷法，这是一种用能量原理求位移的方法，是一种很简单实用的方法。
§10.1 弹性变形势能的计算
当构件发生弹性变形时，其内部会贮存能量，从而使构件具有作功的能力。例如，被跳水运动员压弯的跳板，因变形而贮存了能量，再利用释放出来的能量对运动员作功，加强了运动员的弹跳力。这种因弹性变形而贮存的能量称为弹性变形势能，简称变形能或应变能，用表示，单位为J，l J=1 N·m。单位体积的应变能称为应变能密度，用表示，单位为。
外力由零开始缓慢地增加到最终值，构件始终处于平衡状态，动能的变化及其他能量的损耗均可略去不计。根据能量守恒定律，构件内部贮存的应变能在数值上等于外力所作的功W，即
（10.1）
此关系称为功能原理。
1、 外力功的计算
外力由零缓慢增加到最终值F，外力作用点的位置发生移动，移动量为△(见图10．1a)，则此力的功为
若材料服从胡克定律，力和位移的关系是线性的，如图10．1b所示，显然此时外力功等于斜直线下三角形面积，即
（10.2）
应该指出，此处所讲的力和位移都是广义的，外力可以是力，也可以是力偶，相应的广义位移则分别为线位移或角位移。
2、 应变能的计算
根据功能原理，应变能可以通过外力功的计算求得。在线弹性范围内有
1．轴向拉压时的应变能
若杆件在轴向外力F的作用下，轴向变形为△l，且△l与F成正比，则
由于轴力，，所以
若轴力沿轴线为一变量，则有应变能的一般表达式
（10.3）
若结构为，n根直杆组成的桁架时，整个结构内的应变能为
式中、、和分别为桁架中第i根杆的轴力、长度、弹性模量和横截面面积。
2.圆轴扭转时的应变能
若圆轴在扭转力偶矩的作用下，端面扭转角为(图10.2a)，且与成正比(图10.2b)，则
由于扭矩，
所以
若扭矩T沿轴线为一变量T(x)，则有应变能的一般表达式
(10.4)
3.梁弯曲时的应变能
纯弯曲梁AB如图10.3a所示，用第6章求弯曲变形的方法，可以求出A和B两个端截面的相对转角为
可见与也是成正比的(图10.3b)，则
由于弯矩，
所以
若弯矩M沿轴线为一变量M(x)，则有应变能的一般表达式
(10.5)
横力弯曲时，梁的横截面上除了弯矩还有剪力，应分别计算与弯曲和剪切相对应的应变能。剪切应变能的表达式为
式中K是量纲为1的量，它与横截面形状和尺寸有关，矩形截面K为导，实心圆截面K为，薄壁圆管时K为2。但在细长梁的情况下，对应于剪切的应变能与弯曲应变能相比，一般很小，所以常常略去不计。
4.组合变形构件的应变能
由于小变形情况下各内力分量引起的应变能互不耦合，所以组合变形构件的总应变能(不计剪力的影响)为
++ （10.6）
若杆件不是圆截面，应将上式中换为，若杆件为变截面杆，那么上式中A，，I均为x的函数。
§10.2虚功原理用于变形固体
1 、虚位移原理用于变形固体
虚位移原理是分析静力学的一个基本原理，是适用于任意质点系的。现在研究的是变形体，所以除了外力在虚位移上要作功外，内力在相应的变形虚位移上也要作功。前者称为外力虚功，用表示；后者称为内力虚功，用表示。此处的内力虚功，相应于刚体系统中的弹簧力所作的虚功。那么用于变形固体的虚位移原理(又称虚功原理)可以表述为：
变形固体平衡的充分必要条件是作用于其上的外力系和内力系在任意一组虚位移上所作的虚功之和为零，即
(10.7)
此处的虚位移是除作用在杆件上的原力系本身以外，由其他因素所引起的满足约束条件的假想的无限小位移。它是在原力系作用下的平衡位置上再增加的位移。它可以是真实位移的增量，也可以是与真实位移无关的其他位移，例如另外的广义力或温度变化，支座移动等引起的位移，甚至是完全虚拟的。但是这种虚位移必须满足边界位移条件和变形连续性条件，并符合小变形要求。
虚位移既然与作用的力无关，就不受外力与位移关系的限制，也不受材料应力应变关系的限制，所以虚位移原理可以用于非线性情况。
2、 内力虚功的表达式
在结构中取出一微段dx，如图10.4a所示。微段上的变形虚位移可分解为 ，，，如图10.4b、c、d所示。
对于该微段而言，，，及，，都应看作是外力。这个微段的虚位移可分为刚性虚位移和变形虚位移。该微段因其他各微段的变形而引起的虚位移称为刚性虚位移，而由于该微段本身变形而引起的虚位移则称为变形虚位移。由于该微段在上述外力作用下处于平衡状态，所有外力对于该微段的刚性虚位移所作的总虚功必等于零。因此只需考虑外力在该微段的变形虚位移上所作的虚功，即
略去式中高阶无穷小项，得
该微段的内力虚功则可由虚位移原理式(10.7)求得，即
则有
于是整个结构的内力虚功为
式中求和符号表示考虑结构中的所有杆件。若横截面上还存在扭矩，则内力虚功中应增加-这一项。
这样，虚位移原理式(10.7)可具体表达为
（10.8）
式中是作用在结构上的原力系中的广义力，是i点沿作用方向的广义虚位移。此外，在式(10.8)中规定的符号与指向或转向一致者为正，相反者为负。
§10.3 单位载荷法
1、单位载荷法
由虚位移原理可以得到计算结构中一点位移的单位载荷法。以图10.5a所示梁为例，梁上任意一点K沿任意方向aa的位移为△。要想求得△，可以再取一根同样的梁，只在K点沿aa方向作用一单位力，如图10.5b所示。由单位力引起的内力分别记为，，。将梁上所有外力作用下的位移(图10.5a中虚线)作为虚位移，而将单位力看作实际载荷。由虚位移原理式(10.8)可得
一般情况下，求结构中一点位移的单位载荷法的计算公式为
（10.9）
这里需要说明以下几点：
1.所求的位移及施加的单位力都是广义的。若要求某点的线位移，则应在该点沿所求位移的方向施加单位力；若要求的是角位移，则应相应地施加单位力偶矩；若要求两点间的相对线位移，则应在两点处同时相应地施加一对方向相反的单位力；若要求两横截面间的相对角位移，则应在两横截面处同时相应地施加一对方向相反的单位力偶矩。广义单位力引起的内力，，，的量纲与外载作用下引起的，，，量纲相同。
2.上式左端是单位力作功1·△的缩写，若求出的△为正，则说明单位力所作的功为正，也就是所求的位移△与单位力同向；若求出△为负，则说明△与单位力反向。
3. 对于细长杆件，剪力影响很小，第三项可以略去不计。
4. 从推导过程可知，单位载荷法不限定用于线弹性问题。
2、单位载荷法用于线弹性结构
若材料是线弹性的，服从胡克定律，则有
所以式(10.9)可写为
（10.10）
此式常称为莫尔定理或莫尔积分。
式(10.10)对于截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆也是适用的。另外，对于平面刚架和曲杆，横截面上通常有轴力，剪力和弯矩。前面已经讲过，剪力的影响可以略去不计。实际上，轴力的影响比弯矩M也小得多，因此当，，同时存在时，和对应的项都可以略去不计。
对于桁架，莫尔定理的表达式可化为
例10.1外伸梁受力如图a所示，E1为常量，AD，DB及BC段长度均为a，试求C端的挠度。
解 求C端挠度，需在C处加单位力，如图b所示。
1.支座约束力。 由平衡方程可求得
，
，
2。分段列弯矩方程，每一段的坐标系可以不同，但同一段上与方程的坐标系必须一致。
AD段 (0≤x1≤a)
DB段 (a≤x2≤2a)
BC段 (0≤x3≤a)
3。计算。由莫尔积分式(10.10)得
计算结果为正，说明C点挠度与单位力方向一致，即向下。
例10.2图a为一开有细小缺口的圆环，EJ为常量，试计算在均匀压力q作用下缺口处的张开位移。
解 1.外力q作用下任一横截面的弯矩为
2.在缺口处加一对单位力，单位力作用下任一横截面的弯矩(图b)
3.用莫尔积分法求缺口张开位移
例10.3 桁架受力如图a所示，各杆的EA为常量。杆1、3、5长为l，杆2、4长为，试求点c的水平位移。
解 先求原外力作用下(图a)各杆轴力，再求单位力作用下(图b)各杆轴力，将所求及列于下表中
从此例可以看出，用能量法求位移要比先计算各杆伸长缩短，再通过几何关系求位移方便得多。
§10.4计算莫尔积分的图乘法
在等截面直杆情况下，莫尔积分中的EA，EI，GIP。均为常量，都可以移到积分号外面，这就只需要计算积分
而这些积分都可以采用图形相乘的方法进行计算。现以为例说明图乘法的原理和应用。
设梁在载荷作用下的图为任一形状(图10.6a)，而单位力作用下的图(图10.6b)只能是直线或折线。不失一般性，现设其中长为l的一段为斜直线，它的斜度角为α，与x轴交点O取为原点，则图中任意点的纵坐标为
(a)
则有
(b)
式中M(x)dx是M图中阴影线的微分面积，而此微分面积对M轴的静矩则为xM(x)dx，因此积分就是M图的面积对M轴的静矩。设M图的面积为ω，M图的形心到M轴的距离为，则有
因此式(b)可表示为
(c)
式中是图中与M图形心C对应的纵坐标值。于是莫尔积分可以写为
（10.11）
当然，对于轴力项或扭矩项也可得到类似的公式。
用图乘法计算位移时，要注意以下几个问题。
1.公式(10.11)中，ω和均有正负之分。因此当M图与图在同一侧时，二者互乘结果为正，当M图与图分别位于轴线的两侧时，互乘结果为负。
2.公式(10.11)要求图为一段直线，即α值需保持不变。因此当图为折线时，需在折点处将M图及图分段，分别图乘，然后再按代数值叠加，即
3.E1有变化时，需在变化处分段，再图乘。
4.根据弯矩可以叠加的道理，将弯矩图分成几个简单部分，例如可将一梯形弯矩图分为两个三角形或一个三角形加一个矩形，对每一部分使用图乘法，然后再叠加。
5.当梁上栽荷较复杂时，为使M图面积便于计算，形心便于确定，可将其分解为若干简单载荷单独作用在梁上，分别画M图，与图互乘，然后再叠加。
6.只有同种类型的内力图才能互乘，对于双向弯曲的梁来说，只有同一平面内的M图和图才能互乘。
应用图乘法时，经常要计算某些图形的面积和形心位置，现给出几种常用图形的面积和形心位置的计算公式(图10.7)，其中抛物线顶点的切线平行于基线或与基线重合。
例10.4用图乘法重新计算例10.1中C处挠度。
解 1.用叠加法作载荷作用下的弯矩图，见图b。
2.求点C的挠度，在C处施加单位力，见图c，其弯矩图见图d。
3.由图乘法
由例10.1和例10.4可以看出，一般对于直梁和刚架来说，图乘法和积分法相比，是较为简单和方便的
例10.5悬臂梁受力及尺寸如图a所示，EI为常量，求自由端B处的挠度和转角。
解 1.载荷作用下的弯矩图见图b。
2.求B处挠度，在B处施加单位力，见图c，其弯矩图见图d。
3.由图乘法
4.求B处转角,在B处加单位力偶矩,见图c,其弯矩图见图f。
5.图b与图f互乘，得
例10.6 平面刚架受力如图a所示，若，且AB，BC两段长度均为l。杆BC弯曲度为EI，拉压刚度为EA；杆AB弯曲刚度为2EI，拉压刚度为2EA，且EI，EA，q，l均为已知，求：
(1)C处的铅垂位移。(只考虑弯曲变形)
(2)讨论轴力对的影响。
解 (1)只考虑弯矩的影响计算位移
首先绘制刚架在载荷作用下的弯矩图。将集中载荷F及均布载荷q作用下的弯矩图分别绘出，如图b和c所示。然后在C处沿铅垂方向施加单位力，并绘出图，见图d。分别将图b和c与图d互乘，再叠加，则有
(2) 考虑轴力影响
分别画出刚架在载荷及单位力作用下的轴力图及，如图e及f所示，为与M图区分，轴力图上没有画线。于是轴力引起的C处铅垂位移为
轴力和弯矩引起的之比为
以矩形截面为例，，，则
当时，上述比值仅为0.045％。可见在细长杆的情况下，当弯矩和轴力同时存在时，可以忽略轴力对变形的影响。
例10.7梁受力及尺寸如图a所示，弯曲刚度为EI，试求中间铰B两侧面的相对转角。
解 1.载荷作用下的M图见图b。
2.在B铰两侧各施加一单位力偶矩，且转向相反(图c)，其弯矩图见图d。
3.由图乘法
例10.8 圆截面折杆ABC(ABC=900)位于水平面内，受力如图a所示。已知AB与BC段直径均为d，长度均为l，且E，G为常数，求C处的铅垂位移。
解 1.载荷作用下的内力图见图b，其中螺旋线表示扭矩图。
2.单位力作用下的内力图见图c。
3.由图乘法得
例10.9 图示刚架ABCDEF，EI为常数，开口A，F处横截面分别与刚性平板及相连接。在自由状态下及密合(图a)，现于及之间塞入一厚度为δ的刚性块，并使及相平行，即A，F处横截面转角为零(图b)。试绘制这时刚架的弯矩图。
解 1. 设塞入厚度为δ的刚块后，A，F截面处有F及M，见图c。由于对称性，只考虑一半刚架即可。分别作出F及M作用下的弯矩图，见图d及e。
2.在A，F处施加单位力，并作弯矩图，取一半，见图f。
3.在A，F处施加单位力偶矩，并作弯矩图，取一半，见图g。
4.图d，e与图f互乘，得：
(1)
5.图d、e与图g互乘，由A，F处转角为零得
(2)
6.联立解式(1)、(2)，得
(说明M的真实转向与图e中假设相反)
7.作出刚架弯矩图，见图h。
§10.5互等定理
在线性及小变形情况下，可以导出两个很有用的互等定理。
1、功的互等定理
规定表示作用在点j的载荷引起的点i沿方向的位移。下面以简支粱为例来说明功的互等定理。若梁上仅在点l作用，则在点1及点2引起的位移分别记为及，见图10.8a。若仅在点2作用，则在点l及点2引起的位移分别记为及，见图10.8b。
考虑两种加载方式：一是先加，然后再加，如图10.8c所示，则外力作的功为
(a)
另一种加载方式是先加，然后再加，如图10.8d所示，则外力作的功为
(b)
而载荷所作的功与加载顺序无关，所以，由此可得
(10.12)
公式(10.12)表明，在由引起的位移上所作的功等于在由引起的位移上所作的功。这就是功的互等定理。当然和可以推广为一组力系，那么功的互等定理可以表述为：第一组广义力系在第二组广义力系引起的位移上所作的功等于第二组广义力系在第一组广义力系引起的位移上所作的功。
2、位移互等定理
如果和在数值上相等，则由式(10.12)可得
(10.13)
公式(10.13)表明，若两个广义力和数值上相等，则在作用处沿方向引起的广义位移等于在作用处沿方向引起的广义位移，这就是位移互等定理。
例10.10 图a所示桁架，杆CD的长度l为1 m，已知节点B受铅垂向下的力F=1 kN作用时，杆CD产生逆时针方向的转角=0．01 rad。试确定为使节点B产生铅垂向下的线位移=0.000 8 m，在节点C及D两处应加多大的力．并说明加力方向。
解 在点C及点D应加一对大小相等，方向相反，且均垂直于杆CD的力，如图b所示。
根据功的互等定理，这里有
所以
