§1 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 　　这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 解此方程并适当选取参数，得  （1） 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！ 现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。 变分法的基本概念 泛函的概念 设为一函数集合，若对于每一个函数有一个实数与之对应，则称是定义在上的泛函，记作。称为的容许函数集。 例如，在上光滑曲线y(x)的长度可定义为  （2） 考虑几个具体曲线，取， 若，则  若y(x)为悬链线，则  对应中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合上的一个泛函，此时我们可以写成  我们称如下形式的泛函为最简泛函  （3） 被积函数包含自变量，未知函数(t)及导数(t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。 泛函极值问题 考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题： 在所有连接定点的平面曲线中，试求长度最小的曲线。 即，求，使  取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为， 称泛函在取得极小值，如果对于任意一个与接近的，都有。所谓接近，可以用距离来度量，而距离可以定义为  泛函的极大值可以类似地定义。其中称为泛函的极值函数或极值曲线。 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数在的增量记为  也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作  如果可以表为  其中为的线性项，而是的高阶项，则称为泛函在的变分，记作 。用变动的代替，就有。 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数：  （4） 这是因为当变分存在时，增量  根据和的性质有   所以   泛函极值的相关结论 泛函极值的变分表示 利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。 泛函极值的变分表示：若在达到极值（极大或极小），则  （5） 证明：对任意给定的，是变量的函数，该函数在处达到极值。根据函数极值的必要条件知  再由（4）式，便可得到（5）式。 变分法的基本引理：，，，有 ， 则。 证明略。 泛函极值的必要条件 考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。 ， （6） 泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程  （7） 欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：    对上式右端第二项做分布积分，并利用，有 ， 所以  利用泛函极值的变分表示，得  因为的任意性，及，由基本引理，即得（7）。 （7）式也可写成  （8） 通常这是关于x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。 几种特殊形式最简泛函的欧拉方程 (i) 不依赖于，即 这时，欧拉方程为，这个方程以隐函数形式给出，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。 (ii) 不依赖，即 欧拉方程为  将上式积分一次，便得首次积分，由此可求出，积分后得到可能的极值曲线族  (iii) 只依赖于，即 这时，欧拉方程为  由此可设或，如果，则得到含有两个参数的直线族。另外若有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数的直线族，它包含于上面含有两个参数的直线族  中，于是，在情况下，极值曲线必然是直线族。 （iv）只依赖于和，即 这时有，故欧拉方程为  此方程具有首次积分为  事实上，注意到不依赖于，于是有 。 3 几个经典的例子 1.3.1 最速降线问题 最速降线问题 设和是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结和的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从滑行至的时间最短。 解 将A点取为坐标原点，B点取为B(x1,y1)，如图1。根据能量守恒定律，质点在曲 线上任一点处的速度满足（为弧长） A(0, 0) x  将代入上式得 B(x1,y1)  y 图1最速降线问题 于是质点滑行时间应表为的泛函  端点条件为  最速降线满足欧拉方程，因为  不含自变量，所以方程（8）可写作  等价于  作一次积分得  令 则方程化为  又因  积分之，得  由边界条件，可知，故得  这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数可利用另一边界条件来确定。 1.3.2 最小旋转面问题 最小旋转面问题 对于平面上过定点和的每一条光滑曲线，绕轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线的泛函，易得  容许函数集可表示为  解 因不包含，故有首次积分  化简得  令，代入上式，  由于  积分之，得  消去，就得到 。 这是悬链线方程，适当选择条件（令该悬链线过（0，1/a）点，且该点处的切线是水平的）就可得到（1）。本例说明，对于平面上过两个定点的所有光滑曲线，其中绕轴旋转所得旋转体的侧面积最小的是悬链线！ 1.3.3 悬链线势能最小 1691年，雅可比·伯努利证明：悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能。下面我们用变分法证明之。 考虑通过A、B两点的各种等长曲线。令曲线y＝f(x)的长度为L，重心坐标为，则  由重心公式有  ，  由于只需探讨曲线重心的高低，所以只对纵坐标的公式进行分析，注意到问题的表述，说明L是常数，不难看出重心的纵坐标是y(x)的最简泛函，记作  此时对应的欧拉方程（8）可化为  令解得 ，进而得 。 此即为悬链线，它使重心最低，势能最小！大自然中的许多结构是符合最小势能的，人们称之为最小势能原理。 1.4 泛函极值问题的补充 1.4.1 泛函极值的几个简单推广 （ⅰ）含多个函数的泛函 使泛函  取极值且满足固定边界条件  的极值曲线必满足欧拉方程组  （ii）含高阶导数的泛函 使泛函  取极值且满足固定边界条件 ,  的极值曲线必满足微分方程  （iii） 含多元函数的泛函 设，使泛函  取极值且在区域的边界线上取已知值的极值函数必满足方程  上式称为奥式方程。 1.4.2端点变动的情况（横截条件） 设容许曲线在固定，在另一端点时不固定，是沿着给定的曲线上变动。于是端点条件表示为  这里是变动的，不妨用参数形式表示为  寻找端点变动情况的泛函极值必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有   （9） 再对（9）式做如下分析： （i）对每一个固定的，都满足欧拉方程，即（9）式右端的第一项积分为零； （ii）为考察（9）式的第二、第三项，建立与之间的关系，因为  对求导并令得  即  （10） 把（10）代入（9）并利用的任意性，得  （11） （11）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。 横截条件有两种常见的特殊情况： （i）当是垂直横轴的直线时，固定，自由，并称为自由端点。此时（9）式中及的任意性，便得自由端点的横截条件  （12） （ii）当是平行横轴的直线时，自由，固定，并称为平动端点。此时，（11）式的横截条件变为  * （13） 注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。 1.4.3 有约束条件的泛函极值 在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统  * （14） 寻求最优性能指标（目标函数）  * （15） 其中是控制策略，是轨线，固定，及自由，，（不受限，充满空间），连续可微。 下面推导取得目标函数极值的最优控制策略和最优轨线的必要条件。 采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑  （16） 的无条件极值，首先定义（14）式和（15）式的哈密顿（Hamilton）函数为  （19）（17） 将其代入（16）式，得到泛函  （20）(18) 下面先对其求变分       注意到，，因而   再令，由的任意性，便得 （i）必满足正则方程： ① 状态方程  ② 协态方程 。 （ii）哈密顿函数作为的函数，也必满足  并由此方程求得。 （iii）求时，必利用边界条件 ① ， （用于确定） ② ， （用于确定） ③ ， （确定） 1.4.4 最大（小）值原理 如果受控系统 ， 其控制策略的全体构成有界集，求，使性能指标  达到最大（小）值。 最大（小）值原理：如果，和都是连续可微的，那么最优控制策略和相应的最优轨线由下列的必要条件决定： （i）最优轨线，协态向量由下列的必要条件决定： ，，  （ii）哈密顿函数  作为的函数，最优策略必须使  或使 (最小值原理) （iii）满足相应的边界条件 ① 若两端点固定，则正则方程的边界条件为 ，。 ② 若始端固定，终端也固定，而自由，则正则方程的边界条件为 ，。 ③ 若始端固定，终端都自由，则正则方程的边界条件为 ，， 。