即首先给出一个初始流，这样的流是存在的，例如零流。如果存在关于它的可增广轨，那么调整该轨上每条弧上的流量，就可以得到新的流。对于新的流，如果仍存在可增广轨，则用同样的方法使流的值增大，继续这个过程，直到网络中不存在关于新得到流的可增广轨为止，则该流就是所求的最大流。
这种方法分为以下两个过程：
A.标号过程：通过标号过程寻找一条可增广轨。
B.增流过程：沿着可增广轨增加网络的流量。
这两个过程的步骤分述如下。
（A）标号过程：
（i）给发点标号为。
（ii）若顶点已经标号，则对的所有未标号的邻接顶点按以下规则标号：
① 若，且时，令，
则给顶点标号为，若，则不给顶点标号。
② ，且，令，则给标号为，若，则不给标号。
（iii）不断地重复步骤（ii）直到收点被标号，或不再有顶点可以标号为止。当被标号时，表明存在一条从到的可增广轨，则转向增流过程（B）。如若点不能被标号，且不存在其它可以标号的顶点时，表明不存在从到的可增广轨，算法结束，此时所获得的流就是最大流。
（B）增流过程
（i）令。
（ii）若的标号为），则；若的标号为，则。
（iii）若，把全部标号去掉，并回到标号过程（A）。否则，令，并回到增流过程（ii）。
求网络中的最大流的算法的程序设计具体步骤如下：
对每个节点，其标号包括两部分信息
该节点在可能的增广路中的前一个节点，以及沿该可能的增广路到该节点为止可以增广的最大流量。
STEP0 置初始可行流（如零流）；对节点标号，即令=任意正值（如1）。
STEP1 若，继续下一步；否则停止，已经得到最大流，结束。
STEP2 取消所有节点的标号，即令，
；令LIST={}，对节点标号，即令充分大的正值。
STEP3 如果LIST且，继续下一步；否则：（3a）如果已经有标号（即），则找到了一条增广路，沿该增广路对流进行增广（增广的流量为，增广路可以根据pred回溯方便地得到），转STEP1。
（3b）如果没有标号（即LIST=且），转STEP1。
STEP4 从LIST中移走一个节点；寻找从节点出发的所有可能的增广弧：（4a）对非饱和前向弧，若节点没有标号（即），对进行标号，即令
，，
并将加入LIST中。
（4b）对非空后向弧，若节点没有标号（即），对进行标号，即令
，，
并将加入LIST中。
例14 用Ford-Fulkerson算法计算如下网络中的最大流，每条弧上的两个数字分别表示容量和当前流量。
解 编写程序如下：
clc,clear,M=1000;
u(1,2)=1;u(1,3)=1;u(1,4)=2;
u(2,3)=1;u(2,5)=2;
u(3,5)=1;
u(4,3)=3;u(4,5)=3;
f(1,2)=1;f(1,3)=0;f(1,4)=1;
f(2,3)=0;f(2,5)=1;
f(3,5)=1;
f(4,3)=1;f(4,5)=0;
n=length(u);
list=[];
maxf=zeros(1:n);maxf(n)=1;
while maxf(n)>0
maxf=zeros(1,n);pred=zeros(1,n);
list=1;record=list;maxf(1)=M;
while (~isempty(list))&(maxf(n)==0)
flag=list(1);list(1)=[];
index1=(find(u(flag,:)~=0));
label1=index1(find(u(flag,index1)...
-f(flag,index1)~=0));
label1=setdiff(label1,record);
list=union(list,label1);
pred(label1(find(pred(label1)==0)))=flag;
maxf(label1)=min(maxf(flag),u(flag,label1)...
-f(flag,label1));
record=union(record,label1);
label2=find(f(:,flag)~=0);
label2=label2';
label2=setdiff(label2,record);
list=union(list,label2);
pred(label2(find(pred(label2)==0)))=-flag;
maxf(label2)=min(maxf(flag),f(label2,flag));
record=union(record,label2);
end
if maxf(n)>0
v2=n;
v1=pred(v2);
while v2~=1
if v1>0
f(v1,v2)=f(v1,v2)+maxf(n);
else
v1=abs(v1);
f(v2,v1)=f(v2,v1)-maxf(n);
end
v2=v1;
v1=pred(v2);
end
end
end
f
§8 最小费用流及其求法
8.1 最小费用流
上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法，但是还没有考虑到网络上流的费用问题，在许多实际问题中，费用的因素很重要。例如，在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要介绍的最小费用流问题。
在运输网络中，设是定义在上的非负函数，它表示通过弧单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已知量为的总流量。
最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述：
s.t. ，
.
显然，如果最大流，则本问题就是最小费用最大流问题。如果，则本问题无解。
8.2 求最小费用流的一种方法—迭代法
这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由Busacker和Gowan在1961年提出的。其主要步骤如下：
(i)求出从发点到收点的最小费用通路。
(ii)对该通路分配最大可能的流量：
并让通路上的所有边的容量相应减少。这时，对于通路上的饱和边，其单位流费用相应改为。
(iii)作该通路上所有边的反向边。令
，
(iv)在这样构成的新网络中，重复上述步骤(i)，(ii)，(iii)，直到从发点到收点的全部流量等于为止（或者再也找不到从到的最小费用道路）。
习 题 五
1. 一只狼、一头山羊和一箩卷心菜在河的同侧。一个摆渡人要将它们运过河去，但由于船小，他一次只能运三者之一过河。显然，不管是狼和山羊，还是山羊和卷心菜，都不能在无人监视的情况下留在一起。问摆渡人应怎样把它们运过河去？
2. 北京（Pe）、东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)各城市之间的航线距离如下表：
L
M
N
Pa
Pe
T
L
56
35
21
51
60
M
56
21
57
78
70
N
35
21
36
68
68
Pa
21
57
36
51
61
Pe
51
78
68
51
13
T
60
70
68
61
13
由上述交通网络的数据确定最小生成树。
3. 某台机器可连续工作4年，也可于每年末卖掉，换一台新的。已知于各年初购置一台新机器的价格及不同役龄机器年末的的处理价如下表所示。又新机器第一年运行及维修费为0.3万元，使用1-3年后机器每年的运行及维修费用分别为0.8，1.5，2.0万元。试确定该机器的最优更新策略，使4年内用于更换、购买及运行维修的总费用为最省。
第一年
第二年
第三年
第四年
年初购置价
使用了年的机器处理价
2.5
2.0
2.6
1.6
2.8
1.3
3.1
1.1
4. 某产品从仓库运往市场销售。已知各仓库的可供量、各市场需求量及从仓库至市场的路径的运输能力如下表所示（表中数字0代表无路可通），试求从仓库可运往市场的最大流量，各市场需求能否满足？
仓库 市场
1
2
3
4
可供量
30
0
20
10
0
10
0
10
40
40
50
5
20
20
100
需求量
20
20
60
20
5. 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人，有5人应聘。已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文，问这5个人是否都能得到聘书？最多几个得到聘书，招聘后每人从事哪一方面翻译工作？
6. 下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网络图并求数值解。
产量 销地
1
2
3
产量
20
30
24
22
5
20
8
7
销量
4
5
6
7. 求下图所示网络的最小费用最大流，弧旁数字为。
