差分方程模型的理论和方法
青岛建筑工程学院 胡京爽
引言
1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。
差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。
差分方程的基本知识
基本概念
差分算子
设数列，定义差分算子为在处的向前差分。
而为在处的向后差分。
以后我们都是指向前差分。
可见是的函数。从而可以进一步定义的差分：
称之为在处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。
类似可定义在处的阶差分为：
差分算子 、不变算子、平移算子
记，称为平移算子，为不变算子 。
则有：
由上述关系可得：
（1）
这表明在处的阶差分由在，处的取值所线性决定。
反之，
由 得 ：
，得：,
这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。
……..
得：
（2）
可以看出：
可以由的线性组合表示出来
差分方程
由以及它的差分所构成的方程
（3）
称之为k阶差分方程。
由（1）式可知（3）式可化为
（4）
故（4）也称为k阶差分方程（反映的是未知数列任意一项与其前，前面k项之间的关系）。
由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。
我们经常用的差分方程的形式是（4）式。
差分方程的解与有关概念
如果使阶差分方程（4）对所有的成立，则称 为方程（4）的解。
如果（为常数）是（4）的解，即
则称为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能 不只一个。平衡解的基本意义是：设是（4）的解，考虑的变化性态，其中之一是极限状况，如果，则方程（4）两边取极限（就存在在这里面），应当有
如果（4）的解使得既不是最终正的，也不是最终负的，则称为关于平衡点是振动解。
如果令：，则方程（4）会变成
（5）
则 成为（5）的平衡点。
如果（5）的所有解是关于振动的，则称阶差分方程 （5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于非振动的，则称阶差分方程（5）是非振动方程。
如果（5）有解，使得对任意大的有
则称为正则解。（即不会从某项后全为零）
如果方程（4）的解使得，则称为稳定解。
差分算子的若干性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
Z变换
定义：对于数列，定义复数级数
（6）
这是关于洛朗级数。它的收敛域是：，其中可以为，可以为0。 称为的-变换。
由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：
（7）
变换是研究数列的有效工具 。
变换的若干重要性质：
（1）线性性
（2）平移性质
变换举例：
（1）, 则
（2），则
（3）设则
（4）设则
差分方程常用解法与性质分析
常系数线性差分方程的解
方程 （ 8）
其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程。
又称方程 （9）
为方程（8）对应的齐次方程。
如果（9）有形如的解，带入方程中可得：
（10）
称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。
显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。
基本结果如下：
若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：
，
若（10）有m重根，则通解中有构成项：
（3）若（10）有一对单复根 ，令：，，则（9）的通解中有构成项：
若有m 重复根：，，则（9）的通项中有构成项：
综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为：
如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解：
+ （11）
的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果为n 的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可。
差分方程的z变换解法
对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z 变换F（z）来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的
设差分方程，求
解：解法1：特征方程为，有根：
故：为方程的解。
由条件得：
解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：
由条件得
由F（z） 在中解析，有
所以，
二阶线性差分方程组
设，，形成向量方程组
（12）
则 （13）
（13）即为（12）的解。
为了具体求出解（13），需要求出，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：
（1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。
（2）将A 分解成为列向量，则有
从而，
或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态，找出的内在构造规律，进而分析解 的变化规律，获得它的基本性质。
关于差分方程稳定性的几个结果
（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根满足
（2）一阶非线性差分方程
（14）
（14）的平衡点由方程决定，
将在点处展开为泰勒形式：
（15）
故有：时，（14）的解是稳定的，
时，方程（14）的平衡点是不稳定的。
第三节 差分方程建模举例
差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历 背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能 通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。
模型1 种群生态学中的虫口模型：
在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为，每年一个成虫平均产卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：，这是一种简单模型；
如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为，故减少数应当与它成正比，从而有：
这个模型可化成：，这是一阶非线性差分方程。这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法，即（14）式来获得。
如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、增量关系等等。
模型2 具周期性的运动过程的差分方程模型
建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程，即把运动过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来。
假设：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为
振动台台面的上下位移是，乒乓球初始时刻在离台面垂直距离为H处为自由落体运动。 又假设为第j 次碰撞时刻，第 j次碰撞前的速度为，碰撞后的速度为。假设。振动台台面的运动速度为；又记，则有：，，
（3.1）
另外，由碰撞规律分析可知：
该式经简化处理后可得：
（3.2）
由（1）和（2）式联立可得二阶差分非线性方程组
模型3 蛛网模型
经济背景与问题：在自 由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。
模型假设与模型建立
将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示；
设第n个时段商品的数量为，价格为，n=1,2….;
由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有 （3. 3）
这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系;
又假设下一期的产量是决策者根据这期的价格决定的，即：设，h是单调增加的对应关系，
从而，有关系： （3.4）
g 也是单调增加的对应关系.
因此可以建立差分方程： （3.5）
（3.6）
这就是两个差分方程。属一阶非线性差分方程。
模型的几何表现与分析。
为了表现出两个变量和的变化过程，我们可以借助已有的函数f和g ,通过对应关系的几何表现把点列，和在坐标系中描绘出来，进而分析它们的变化规律、趋势、找稳定点等等。其中
将点列连接起来，就会形成象蛛网一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。可以设想，这种形式可作为差分方程分析与求解的重要手段，它的主要数学技术是：图形的描绘，曲线上点列的描绘（设法由前一个点的一个坐标分量来算出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了一个分量，就可以作出另一个分量。可见几何形式表示有关系的变量是既方便又有意义的。
易见：如果点列最后收敛于点，则，并且就是两条曲线的交点，从而稳定的。这也表明，市场在长期运行之后会保持一种稳定的状态，说明市场处于饱和状态。要想进一步发展就必须打破这种平衡，在决策机制和方法上有所改进。
几何上的进一步分析表明，如果曲线和在交点处切线的斜率的绝对值记为：，则
当时，是稳定的；
当 时，是不稳定的。
模型的差分方程分析
设点满足：，
在点附近取函数的一阶近似：
合并两式可得：
这是关于 的一阶线性差分方程。当然它是原来方程的近似模型。作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的。
其中，为f 在点处的切线斜率；为g(x)在点处切线的斜率。
方程（3.9）递推可得：
所以，点稳定的充要条件是：即：
这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的。
模型推广
如果决策时考虑到与都有关系，则可假设
这时数学模型为：
对此模型仍用线性近似关系可得：首先求出平衡点，即解方程
则有：
再结合（3.7）可得：
即：
特征方程为：
特征根为：
所以：时，，此时解不稳定。
时，，则时，
从而解是稳定的。
这个条件比原来的模型解的稳定性条件放宽了。说明决策水 平提高了。
进一步来看，对这个模型还可以进行进一步的分析：考虑下一年的产量时，还可以近三年的价格来决定，例如：设，；另外还可以考虑引入投资额，并建立有关的离散方程关系。
模型4 人口的控制与预测模型
背景分析：人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟。但在实际应用中不是很方便，需要建立离散化的模型，以便于分析、应用。人口数量的变化取决于诸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等。试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律。
模型假设：以年为时间单位记录人口数量，年龄取周岁。
设这个地区最大年龄为m岁
第t年为i岁的人数为，
这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载体，我们的目的就是找出这些变量的变化规律、内在的普遍联系。
设第t年为i岁的人口平均死亡率为，即这一年中i岁人口中死亡数与基数之比：
即：
设第t 年i岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿 数为 ，为生育区间。 为第t年i岁人口的女性比（占全部i岁人口数）
由此可知：第t 年出生的人数为：
记第t 年婴儿的死亡率为，则
设，它表示i岁女性总生育率，
则，如果假设年后女性出生率保持不变，则
可见，表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，称之为总和生育率。它反映了人口变化的基本因素。
模型建立：根据上面的假设
………………………………..
为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况，
令
则此向量满足方程：
即：
这是一阶差分方程
其中是可控变量，是状态变量，并且关于和都是线性的，故称其为双线性方程。
模型分析：
在稳定的社会环境下，死亡率 、生育模式、女性比例、婴儿存活率是可以假设为不变的，故为常数矩阵。从而，
只要总生育率确定下来，则人口的变化规律就可以确定下来。为了更全面地反映人口的有关信息，下面再引入一些重要的指标：
人口总数：
人口平均年龄：
平均寿命：，这里假定从第t年分析，如果以后每年的死亡率是不变的，即：
则表示 t 年出生的人活到第j+1年期间的死亡率，这也表明其寿命为j岁，j=1,2…m.而表示寿命。
通过求出的变化规律，就可以对上面引入的3个指标进行更具体的分析，从而对人口的分布状况、变化趋势、总体特征等有科学的认识和把握。具体求解分析这里不再进行。
模型5 线性时间离散弥漫网络模型
引言：一个国家在一定时间段内的财富依赖于许多因素，不同国家的相互交流是重要的方面。建立数学模型，表现国家财富的变化与国家间财富的流动之间的关系。
模型假设：设有n个国家，用表示在时期的财富。假设只考虑这些国家之间仅仅两两国家之间有交流关系。并且假设财富流动的系数是。
模型的建立：国家间的财富关系应当满足
…………..
用矩阵形式表示：
令表示时期t 各个国家的财富状态；
令
则有：
记 ，则
模型计算与分析：
计算可知 的特征值为；
的特征值为
对应的特征向量为
其中
为讨论方便起见，引入如下记号：
则有：n 为偶数时：
n 为奇数时：
记：为由张成的子空间，
则：
由此式进一步分析可以获得：当时，的渐进变化状态规律(略)。
模型 6 金融问题的差分方程模型
设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是 ，今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？
模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。
模型假设：设贷款后第 k个月后的欠款数是元，月还款为元，月贷款利息为。
模型建立：关于离散变量，考虑差分关系有：
，
即： （3.15）
这里已知有：
模型求解：令，则
这就是差分方程（3.15）的解。把已知数据代入中，可以求出月还款额。例如： 时，可以求出：元。
模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等。如果令，则，并且
当时，总有，即表明：每月只还上了利息。只有当时，欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。
养老保险模型
问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？
模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。
模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第月止所交保费及收益的累计总额为，每月收益率为，用分别表示60岁之前和之后每月交费数和领取数，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份。
模型建立：在整个过程中，离散变量的变化规律满足：，
在这里实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人帐户上的资金数值，我们关心的是，在第M个月时， 能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析来看，引入变量，很好地刻画了整个过程中资金的变化关系，特别是引入收益率 ，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。
模型计算：以25岁起保为例。假设男性平均寿命为75岁，则有 ，初始值为，我们可以得到：
在上面两式中，分别取和并利用可以求出：
利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的跟为：
同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为
练习题：
1、金融公司支付基金的流动模型：某金融机构设立一笔总额为540 万的基金，分开放置位于A城和B城的两个公司，基金在平时可以使用，但每周末结算时必须确保总额仍为540 万。经过一段时间运行，每过一周，A城公司有10%的基金流动到B城公司，而B城公司则有12%的基金流动到 A城公司。开始时，A城公司基金额为260万，B城公司为280万。试建立差分方程模型分析：两公司的基金数额变化趋势如何？进一步要求，如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于220万，那么是否需要在什么时间将基金做专门调动来避免这种情况？
2、某保险公司推出与养老结合的人寿保险计划，其中介绍的例子为：如果40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20岁至60岁，则在他生存期间，45岁时（投保满5年）可获返还补贴4000元，50岁时（投保满10年）可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴。另外，在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元 。试建立差分方程模型分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？而寿命若为74岁时，实际年利率又是多少？
3、Leslie种群年龄结构的差分方程模型
已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。
假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；
讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？
假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？
4、按年龄分组的种群增长一般模型及灵敏性分析
对在问题3中的模型做进一步的拓广。对于某种群建立数学模型分析其数量变化规律，。这里分析的对象是特定的种群，变化过程可以按相等间隔的时段末来记录。为了精确表现种群的变化，自然需要将种群进行分类，不妨按与时间段长度相同的年龄进行分组。为了简化模型，对每一时段的种群取相同的最大年龄，这里相当于认为很大年龄的那部分视作为相同年龄，在下一个时段全部消失。考虑每一时段中不同年龄组种群数量构成的向量、不同年龄组的繁殖率和存活率，（1）建立差分方程分析种群的变化规律；（2）进行种群数量的稳定性分析，即时间充分长以后种群年龄结构及数量变化；（3）对和关于种群的增减进行灵敏性分析（提示：考虑由和所构作的新参数，解释这个参数的实际意义，并利用它进行灵敏性分析 ）
补充知识：矩阵P= ，其中
称矩阵P为Leslie矩阵。
基本概念：设矩阵的特征值为，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：，则称为矩阵的主特征值，如果，则称为严格主特征值。
Leslie矩阵P的几个基本性质：
特征多项式为：
它有唯一一个正的单特征值（重数为1），且为主特征值。
如果为L矩阵P的一个非零特征值，则
为与对应的一个特征向量。
若L矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根为严格主特征值。
若是L矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且互素，则为严格主特征值。
参考书：
[1] 姜启源 数学模型 （第二版） 北京 ：高等教育出版社，1993
[2] 乐经良主编 数学实验 北京：高等教育出版社1999
[3] 张广 差分方程解的稳定性
[4] 杨启帆 方道元 数学建模 杭州：浙江大学出版社，1999
[5] 司守奎主编 数学建模 烟台 海军航空工程学院2001（未出版）
