§3 生产设备的最大经济效益
某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。
3.1 问题分析与假设
（i）设备的转卖价是时间的函数，记为，的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。记初始转卖价。
（ii）设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。时刻设备的磨损程度可以用时刻转卖价的损失值来刻划，常称其为磨损函数或废弃函数，记为。
（iii）保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。如果是单位时间的保养费，是时刻的保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价），那么单位时间的保养效益为。另外，保养费不能过大（如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义），只能在有界函数集中选取，记有界函数集为，则。
（iv）设单位时间的产值与转卖价的比值记为，则表示在时刻单位时间的产值，即时刻的生产率。
（v）转卖价及单位时间的保养费都是时间的连续可微函数。为了统一标准，采用它们的贴现值。对于贴现值的计算，例如转卖价的贴现值计算，如果它的贴现因子为（经过单位时间的单位费用贴现），那么由
解得
令，便得时刻单位费用的贴现（称贴现系数）为，所以设备在时刻转卖价的贴现为。仿此计算，的贴现为，单位时间产值的贴现为。
（vi）欲确定的转卖时间和转卖价都是自由的。
3.2 模型构造
根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选单位时间的保养费作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程
（21）(1)
之下，在满足的函数集中寻求最优控制策略，使系统的经济效益这一性能指标
（22）(2)
为最大，其中都是自由的。
3.3 模型求解
首先写出问题的哈密顿函数
（23）（3）
再由协态方程及边界条件求出，即由
解得
下面利用最大值原理求。先将（3）式改变为
显然，是对的线性函数，因此得到
（24）（4）
或
（25）
在上式中，还需解决两个问题：一是与的转换点在什么位置，即等于多少？二是是由到，还是由到。
转换点应满足
即
（26）（6）
从而可解出。
因为是时间的减函数，所以（6）式的左端也是时间的减函数，也就是说随时间应由到0。于是最优控制策略的具体表达式为
至于，的求法，请见下面的例子。
在生产设备的最大经济效益的问题中，设，，，，，，试求，和。
由（6）式可得求的公式
（27）（7）
当时，，状态方程为
当时，，状态方程为
于是时，有
解得
（28）（8）
由自由边界条件及，得
于是
当时，由（8）式有
即
（29）（9）
将（7）和（9）联立求解，编写如下Matlab程序
[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')
求得
，
于是，最优控制策略（保养费）为
习 题
求自原点（0,0）到直线的最速降线。
求概率密度函数，使得信息量
取最大值，且满足等周条件
，（常数）。
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参考文献：
1．姜启源：数学模型。高等教育出版社 1993
2．谭永基,俞文鱼此：数学模型。复旦大学出版社 1997
