第十章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计算法和应用 教学重点：弧长曲线积分的计算 教学难点：弧长曲线积分的计算 教学内容： 一、对弧长曲线积分的概念与性质 曲线形构件质量 设一构件占面内一段曲线弧，端点为，线密度连续 求构件质量。 解（1）将分割 （2）， （3） 图10-1-1 （4）  2．定义 为面内的一条光滑曲线弧，在上有界，用将分成小段，任取一点， 作和，令，当时，存在，称此极限值为在上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为  注意：（1）若曲线封闭，积分号 （2）若连续，则存在，其结果为一常数. （3）几何意义=1，则=L（L为弧长） （4）物理意义 M= （5）此定义可推广到空间曲线= （6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上 重心：，，。 转动惯量：， ，  （7）若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但与的方向无关 3．对弧长曲线积分的性质 a：设，则=+ b：= c：=。 二、对弧长曲线积分的计算 定理 设在弧上有定义且连续，方程 （）， 在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且=。 说明：从定理可以看出 计算时将参数式代入，，在上计算定积分。 注意：下限一定要小于上限，< （∵恒大于零，∴ >0） （3） ：, 时，= 同理：，时，= (4) 空间曲线：，，， = 例1 计算曲线积分，其中是第一象限内从点到点的单位圆弧 解 (Ⅰ) ：   ∴= 图10-1-2 (Ⅱ) 若是ⅠⅣ象限从到的单位圆弧 （1）=+ =+ =+ = 图10-1-3 (2) 若： ()  ==+ (3) ：，  ，  == 例2 计算 ：  所围成的边界 解  在上  ，  = 在上   = 图10-1-4 在上    = ∴ =+ 例3 计算 ： 解  ：  ， ∴ === 图10-1-5 或   = ∴=== 例4  ：  围成区域的整个边界 解 = 交点   =+=+ 图10-1-6 =+=+ 小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质， 2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业 作业卡p30-31 第二节 对坐标的曲线积分 教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用 教学重点：对坐标曲线积分的计算 教学难点：对坐标曲线积分的计算 教学内容： 一、对坐标的曲线积分定义和性质 1．引例 变力沿曲线所作的功。 设一质点在面内从点沿光滑曲线弧移到点，受力，其中，在上连续。求上述过程所作的功 解 （1）分割 先将分成个小弧段  (2) 代替 用近似代替 ，  近似代替内各点的力，则沿所 做的功 （3） 求和  （4）取极限 令的长度  定义 设L为面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数在L 上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列 把L分成个有向小弧段  设，点为 上任意取定的点.如果当个小弧段长度的最大值时，的极限总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，记作.类似地，如果的极限值总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标曲线积分，记作.即 ，  说明 （1）当在上连续时，则，存在 （2）可推广到空间有向曲线上 （3）为有向曲线弧，为与方向相反的曲线，则 =， = （4）设=，则=+ 此性质可推广到=组成的曲线上。 二、计算 定理 设，在上有定义，且连续, 当单调地从变到时，点从的起点沿变到终点，且在以，为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则存在，且 = 注意 （1）：起点对应参数，：终点对应参数 不一定小于 （2）若由 给出   （3）此公式可推广到空间曲线：，，  ：起点对应参数，：终点对应参数 计算： ：摆线，从点到点。 解 原式= = = =  例2  ：（1）曲线（2）折线 起点为，终点为. 解（1）原式== （2） 原式===1 故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关 图10-2-1 练习 1 计算，其中为（1）的抛物线上从到 一段弧。（2）抛物线上从到的一段弧。（3）有向折线，这里依次是点，， 结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等。 2 计算 从点到点的直线段 3 两类曲线积分的关系 设有向曲线弧的起点 终点 取弧长为曲线弧的参数。 则  若在 上具有一阶连续导数，在上连续，则  = 图10-2-2 = 其中，是的切线向量的方向余弦，且切线向量与 的方向一致，又= ∴= 同理对空间曲线：= 为在点处切向量的方向角，用向量表示： ，为上处的单位切向量， 为有向曲线元 小结： 1.对坐标的曲线积分概念和性质 2. 对坐标的曲线积分的计算 3.两类曲线积分的关系 作业： 作业卡p32-33 第三节 Green公式 教学目的：理解和掌握Green公式及应用 教学重点：Green公式 教学难点：格林公式的应用 教学内容： 一、Green公式 1．单连通区域。设为单连通区域，若内 任一闭曲线所围的部分都属于。称为单连 通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。 规定平面的边界曲线的方向，当观测者沿 行走时，内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图 图10-3-1 定理1（格林公式） 设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数和在上具有一阶连续偏导数，则有=。为的取正向的边界曲线。 证 对既为型又为型区域 ：∵连续， = = 图10-3-2 ： 又 =+ = ∴ 对于型区域，同理可证 = ∴原式成立 对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。 几何应用： 在格林公式中，取，= ∴ 说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 图10-3-3 （2）记法= （3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分。 （4）几何应用。 例1 计算 ： 解 原式=， ， 例2 计算星形线围成图形面积 解 = 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关：是为一开区域，在内具有一阶连续偏导数，若内 任意指定两点及内从到的任意两条曲线  恒成立，则称在内与路径无关。否则与路径有关。 例1  ：从到的折线 ；：从到的直线 解 = 3 ：,即  = 图10-3-4 定理2 设，在单连通区域内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价 （1）内任一闭曲线，=。 （2）对内任一曲线，与路径无关 （3）在内存在某一函数使在内成立。 （4），在内处处成立。 证明 （1）（2） 在内任取两点，及连接的任意两条曲线， ∴为内一闭曲线 由（1）知， 即+= ∴= 图10-3-5 （2）（3）若在内与路径无关。当起点固定在（）点，终点为后，则是的函数，记为。 下证 =的全微分为=。 ∵，连续，只需证，， 由定义 =+  图10-3-6 =+ ∴==，  即， 同理。 （3）（4）若=，可证=，， ，， 由具有连续的一阶偏导数 故= （4）（1）设为内任一闭曲线，为所围成的区域。= =。 例2 曲线积分， 为过，和点的圆弧。 解 令，，则，  ∴与路径无关。 取积分路径为。 + 图10-3-7 == 例3 计算， （1）为以为心的任何圆周。 （2）为以任何不含原点的闭曲线。 解 （1）令，， ，， 图10-3-8 ∴在除去处的所有点处有=，作以0为圆心，为半径作足够小的圆使小圆含在内，∴=，即 = （2）∵= ∴0 二元函数的全微分求积 ∵ 与路径无关，则为某一函数的全微分为 ==+ 注：有无穷多个。 图10-3-9 例4 验证：是某一函数的全微分，并求出一个原函数。 解 令， ， ∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分，取 ， 图10-3-10 == 例5 计算， 为从到再到，是半圆弧 解 令，  ，， 图10-3-11 添加直线，则，原式+= == ∴ 原式== 例6 设在上连续可导，求， 其中为从点到的直线段。 解 令，  图10-3-12 =  ，故原积分与路径无关，添构成闭路，∴ 原式+ ∴ 原式==   练习 1.证明：若为连续函数，而为无重点的按段光滑的闭曲线，则。 2.确定的值，使在不经过直线的区域上，  与路径无关，并求当为从点到点的路径时的值。 3．设，为上的连续函数，证明 小结： 1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积。 2. 格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可。 作业： 作业卡p36-37 第四节 对面积的曲线积分 教学目的：理解和掌握对面积的曲线积分的概念性质及计算 教学重点：对面积的曲线积分的计算 教学难点：对面积的曲线积分的计算 教学内容： 一、概念和性质 1．空间曲面质量 在对平面曲线弧长的曲线积分中，将曲线换为曲面，线密度换为面密度，二元函数换为三元函数即可得对面积的曲面积分。设有一曲面。其上不均匀分布着面密度为上的连续函数，求曲面的质量。经分割，代替，求和，取极限四步，  2．定义 设曲面是光滑的，在上有界，把分成小块，任取，作乘积，再作和，当各小块曲面直径的最大值时，这和的极限存在，则称此极限为在上对面积的曲面积分或第一类曲面，记，即 = 说明：（1）为封闭曲面上的第一类曲面积分 （2）当连续时， 存在 （3）当为光滑曲面的密度函数时，质量 （4）=1时，为曲面面积 （5）性质同第一类曲线积分 （6）若为有向曲面，则与的方向无关。 二、计算 定理 设曲面的方程，在面的投影，若在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则= 说明 （1）设为单值函数 （2）若：或可得到相应的计算公式。 （3）若为平面里与坐标面平行或重合时= 例1 计算，为立体的边界 解 设，为锥面， 为上部分， 在面投影为 =，  图10-4-1 ∴+= = 例2 计算，由，，，的边界 解  ：，：，：，： 由对称性== =。 == == ∴原式==）+（）+（）= 例3 计算，为被平面所割得部分 解 设第一象限内的部分为：，， == ==） = 或 == == 小结： 1对面积的曲线积分的概念和性质 2对面积的曲线积分的计算 作业： 作业卡p38-39 第五节 对坐标的曲面积分 教学目的：理解和掌握对坐标的曲面积分的概念和性质 教学重点：对坐标曲面积分的计算 教学难点：对坐标曲面积分的计算 教学内容： 一、定义、性质 1．有向曲面 侧：设曲面，若取法向量朝上（与轴正向的夹角为锐角），则曲面取定上侧，否则为下侧；对曲面，若的方向与正向夹角为锐角，取定曲面的前侧，否则为后侧，对曲面，的方向与正向夹角为锐角取定曲面为右侧，否则为左侧；若曲面为闭曲面，则取法向量的指向朝外，则此时取定曲面的外侧，否则为内侧，取定了法向量即选定了曲面的侧，这种曲面称为有向曲面 2．投影 设是有向曲面，在上取一小块曲面，把投影到面上，得一投影域 （表示区域，又表示面积），假定上任一点的法向量与轴夹角的余弦同号，则规定投影为 实质将投影面积附以一定的符号，同理可以定义在面，面上的投影， 3．流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩的流体（设密度为1）的速度场为 =++，为其中 一片有向曲面，在上连续，求单位时间内流向指定 侧的流体在此闭域上各点处流速为常向量，又设为该平面的 图10-5-1 单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一底面积为，斜高为的斜柱体，斜柱体体积为 时，此即为通过区域流向所指一侧的流量。当时，流量为0，当时，流量为负值称为流体通过闭区域流向所指一侧的流量均称为。 解 但所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速也不是常向量，故采用元素法。把分成小块，设光滑，且连续，当很小时，流过的体积近似值为以为底，以为斜高的柱体，任，为 处的单位法向量，故流量， = 又 ， ∴ ∴，其中为最大曲面直径 4．定义 设为光滑的有向曲面，在上有界，把分成块，在面上投影，是上任一点，若， 存在，称此极限值为在上对坐标的曲面积分，或在有曲面上的第二类曲面积分，记为。类似对及曲面积分分别为 = = 说明：（1）有向，且光滑 （2）在上连续，即存在相应的曲面积分 （3）++= （4）稳定流动的不可压缩流体，流向指定侧的流量= （5）若，则+ （6）设为有向曲面，表示与相反的侧 则 = = = 二、计算 定理 设由给出的曲面的上侧，在面上的投影为，在内具有一阶连续偏导数，在上连续，则=。 ∵取上侧，则，即，又为上的点，则 ，∴=，令 ，取极限则= 说明：（1）将用代替，将投影到面上，再定向，则 = （2）若：取下侧，则， ∴= （3），与此类似 ：时，右侧为正，左侧为负  ：时，前侧为正，后侧为负 例1 计算，为，的上侧 解 将向面投影为半圆，， = == 由对称性 =，= ∴ 原式== 注意： 必须为单值函数，否则分成片曲面 例2  为与围成 ，取外侧。 解  圆锥面上底，，上侧  圆锥面侧面，为前侧， 为后侧 =，  ，， ∴ +=  = += ∴ 原式= 三、两类曲面积分间的关系 若：，在面的投影域，在上有一阶连续偏导数，在上连续，取上侧 = ，， = = 若取下侧，= = = 类似=， = ∴= 为在点处的法向量的方向余弦。 例3 计算 是介于和之间部分的下侧 解  ，  ∴= ==  ∴原式== = 练习： 设是球面的外侧，投影域： ，下面等式是否成立？将错的更正 （1）= （2） （3） 两类曲面积分间的关系用向量形式表示如下：  其中 =，为有向曲面上点，处的单位法向量，={}称为有向曲面元，为向量在向量上的投影 小结： 1．对坐标的曲面积分的感念和性质 2．对坐标的曲面积分的计算 3．两类曲面积分的联系 作业： 作业卡p40-41 第六节 高斯公式，通量与散度 教学目的：理解和掌握高斯公式及应用，了解通量与散度的概念 教学重点：高斯公式 教学难点：高斯公式的应用 教学内容： 一、Gauss公式 定理 设空间闭区域是有分片光滑的闭曲面所围成的，函数，，在上具有一阶连续偏导数，则 = = 其中是的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向余弦，称之为高斯公式。 证明 设在面上证明：设在面上的投影域， 且过内部且平行于轴的直线与的边界曲面的交点 恰好两个，则由组成，取下侧， 取上侧，，是以 的边界曲线为准线，母线平行于轴的柱面的一部分，取外侧， 图10-6-1     类似，若过内部且平行于x轴，y 轴的直线与的边界曲面的交点也且由两个时有  (1)+(2)+(3)即可证得高斯公式。 若不满足上述条件，可添加辅助面将其分成符号条件的若干块，且在辅助面两侧积分之和为零。 例1 围成表面的外侧 解 令  例2 计算的上侧 解 添上与构成封闭曲面。 令， 。 而， 原式=。 二、通量与散度 高斯公式： 右端物理意义：为单位时间内（流体经过流向指定侧的流体的质量）离开闭域的流体的总质量。 流体不可压缩且流动是稳定的，有流体离开的同时，其部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体来进行补充，故左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量 高斯公式可用向量形式表示： 同除闭区域的体积: 左端为内的源头在单位时间、单位体积内所产生流体质量的平均值，应用中值定理得：，令缩为一点取极限得，称为在点M的散度，记，即， 散度可看成稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度——单位时间内、单位体积所产生的流质的质量.如果为负时，表示点M处流体在消失 一般若向量场，有一阶连续偏导数，为场内一片有向曲面，为上点处的单位法向量，则称为向量场通过曲面向着指定侧的通量（流量），而叫做向量场的散度，即 高斯公式又一形式，为的边界曲面，  是向量在曲面的外侧法向量上的投影。 例3 试计算，为曲线绕轴旋转所成的旋转曲面，其法矢量与轴正向夹角为钝角。 解 方程：添上平面的前侧， 构成封闭曲面外侧，令， 图10-6-2     练习: 1.计算曲线绕轴旋转一周所成曲面的外侧 2.设有连续的一阶导数，计算 所围立体的外侧。 小结： 1．高斯公式 2．通量和散度 作业： 作业卡p42-43 第七节 斯托克斯公式、环流量、旋度 教学目的：理解和掌握斯托克斯公式，及环流量和旋度的概念 教学重点：斯托克斯公式 教学难点：斯托克斯公式的应用 教学内容： stokes公式 定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有  说明： 1.为便于记忆 2.由两类曲面间关系，stokes公式另一形式 ，为的单位法向量 3．若是面上的一块闭区域，则stokes公式变为Green公式,即Green公式为stokes公式的特例 例1 计算为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的方向与这个三角形上侧的法向量间符合右手规则 解 令 ， 图10-7-1 由stokes公式：原式=  的法向量方向余弦均为正，且由对称性  环流量、旋度 设， 则向量称为向量场的旋度，记  stokes公式向量形式 为的法向量，为的切向量，或 称为向量场沿有向闭曲线的环流量 小结： 1．斯托克斯公式 2．环流量和旋度 作业： 课本P224 ，1 （1）（2）， 3