第九章 重积分 二重积分的概念与性质 教学目的：深刻理解二重积分的概念、性质、方法和 基本技巧 教学重点：利用二重积分的性质计算 教学难点：二重积分的几何意义 教学内容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。 当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积可以这样来计算: (1) 用任意一组曲线网将区域分成个小区域，，，，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体，，，。 （假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值, 既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)  图9-1-1 从而  (将化整为零) (2) 由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是  (以不变之高代替变高, 求的近似值) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为  (4) 为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设个小区域直径中的最大者为, 则  2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有面上的区域, 它在处的面密度为,这里,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。  图9-1-2 将分成个小区域 ，，，，用记的直径, 既代表第个小区域又代表它的面积。 当很小时, 由于连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第小块区域的近似质量可取为  于是   两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 3. 二重积分的定义 设是闭区域上的有界函数, 将区域分成个小区域 , 其中,既表示第个小区域, 也表示它的面积, 表示它的直径。   作乘积  作和式  若极限  存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作 。 即  其中: 称之为被积函数,称之为被积表达式,称之为面积元素, 称之为积分变量,称之为积分区域,称之为积分和式。 4. 几个事实 (1) 二重积分的存在定理 若在闭区域上连续, 则在上的二重积分存在。 声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 (2)中的面积元素象征着积分和式中的。  图9-1-3 由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 。 (3) 若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。 二、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 1. 线性性  其中: 是常数。 2. 对区域的可加性 若区域分为两个部分区域,则  3. 若在上,, 为区域的面积,则  几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 4. 若在上,,则有不等式  特别地,由于，有  5. 估值不等式 设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则  6. 二重积分的中值定理 设函数在闭区域上连续, 是的面积,则在上至少存在一点,使得  例1 估计二重积分的值,是圆域。 解 求被积函数在区域上可能的最值  是驻点,且 ； 在边界上,  ,, 于是有  小结： 二重积分的定义（和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质 作业： 作业卡p22 二重积分的计算法 教学目的：深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧 教学重点：熟练掌握二重积分计算 教学难点：二重积分在极坐标下的计算 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。 讨论中,我们假定； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中在上连续。  图9-2-1 图9-2-2 据二重积分的几何意义可知, 的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。  图9-2-3 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为  一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为  利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为  从而有  (1) 上述积分叫做先对,后对的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分。 这个先对, 后对的二次积分也常记作  在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 (在上连续),公式(1)总是成立的。 例1 计算  解   类似地,如果积分区域可以用下述不等式  表示,且函数,在上连续, 在上连续,则  (2)  图9-2-4 图9-2-5 显然,(2)式是先对,后对的二次积分。 二重积分化二次积分时应注意的问题 1. 积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。 2. 积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。 画出积分区域的图形(假设的图形如下 )  图9-2-6 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为。 例2 计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域。 解 积分区域可用下列不等式表示    例3 求由曲面及所围成的立体的体积。 解 1. 作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域  图9-2-7 消去变量得一垂直于面的柱面,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域  2. 列出体积计算的表达式   3. 配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算  图9-2-8  而  由的对称性有     所求立体的体积为  二、利用极坐标计算二重积分 1. 变换公式 按照二重积分的定义有   图9-2-9 现研究这一和式极限在极坐标中的形式。 用以极点0为中心的一族同心圆常数 以及从极点出发的一族射线常数,将剖分成个小闭区域。 除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算   其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。 在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有  于是  即  由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式  (1) (1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。 (1)式的记忆方法:  2. 极坐标下的二重积分计算法 极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。 (1) 积分区域可表示成下述形式  其中函数,在上连续。  图9-2-10 则  (2) 积分区域为下述形式  图9-2-11 显然,这只是(1)的特殊形式 ( 即极点在积分区域的边界上 )。 故  (3) 积分区域为下述形式  图9-2-12 显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而  故  则  由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式  3. 使用极坐标变换计算二重积分的原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 )。 例4 计算 解 此积分区域为  区域的简图为  图9-2-13 该区域在极坐标下的表示形式为    小结： 二重积分计算公式 直角坐标系下  X—型  Y—型 极坐标系下  作业： 作业卡p23-24 二重积分的应用 教学目的：掌握二重积分的几何和物理方面的应用 教学重点：利用二重积分的解决实际问题 教学难点：二重积分的思想如何用于实际问题 教学内容： 定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件： 1. 所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时, 所求量相应地分成许多部分量,且。 2. 在内任取一个直径充分小的小闭区域时, 相应的部分量可近似地表示为 , 其中, 称为所求量的元素, 并记作。 3. 所求量可表示成积分形式  一、曲面的面积 设曲面由方程给出, 为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。  图9-3-1 在闭区域上任取一直径很小的闭区域 (它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。 以小区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面, 该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。 曲面在点处的法线向量( 指向朝上的那个 )为  它与轴正向所成夹角的方向余弦为  而  所以  这就是曲面的面积元素, 故  即  例1 求球面含在柱面() 内部的面积。 解 所求曲面在面的投影区域   图9-3-2 曲面方程应取为 , 则  ,   曲面在面上的投影区域为  图9-3-3 据曲面的对称性,有    若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有  或  二、平面薄片的质心 1. 平面上的质点系的质心 设在平面上有个质点,它们分别位于点处,质量分别为.由力学知道,该质点系的质点的坐标为  ,  2. 平面薄片的质心 设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何确定该薄片的质心坐标。 在闭区域上任取一直径很小的闭区域,是这小闭区域内的一点,由于的直径很小,且在上连续,所以薄片中相应于的部分的质量近似等于,于是静矩元素为  又平面薄片的总质量为 从而,薄片的质心坐标为  特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则  这时薄片的质心称为该平面薄片所占平面图形的形心。 例2 设薄片所占的闭区域为介于两个圆, ()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的质心(形心)。  图9-3-4 解 由的对称性可知:      所以  三、平面薄片的转动惯量 1. 平面质点系对坐标轴的转动惯量 设平面上有个质点, 它们分别位于点处, 质量分别为。 设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为  2. 平面薄片对于坐标轴的转动惯量 设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为, 假定在上连续。 现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。 与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为  以这些元素为被积表达式,在闭区域上积分,便得  例3 求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量。  图9-3-5 解 转动惯量元素为     四、平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点  处的面密度为,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。 在闭区域上任取一个小的闭区域,是内的任一点,他的质量近似等于,于是薄片对质点的引力近似值为,引力的方向于向量一致,其中,为引力常数.于是,薄片对质点的引力元素在三个坐标轴上的分量为  ,,  故  小结： 几何应用：曲面的面积 物理应用：重心、转动惯量、平面薄片对质点的引力 作业： 作业卡25 第四节 三重积分的概念及其计算法 教学目的：深刻理解三重积分的概念、计算方法 教学重点：熟练掌握三重积分的计算 教学难点：计算三重积分时坐标系的选择 教学内容： 一、三重积分的定义 设是空间闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域 ，其中表示第个小区域,也表示它的体积。在每个小区域上任取一点, 作乘积，作和式， 以记这个小区域直径的最大者,若极限 存在,则称此极限值为函数在区域上的三重积分,记作, 即 =. 其中叫体积元素。 自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成。 二、三重积分的存在定理 若函数在区域上连续, 则三重积分存在。 三、三重积分的物理意义 如果表示某物体在处的质量密度, 是该物体所占有的空间区域,且在上连续,则和式 就是物体质量的近似值, 该和式当时的极限值就是该物体的质量。 故 =  特别地, 当=1时,的体积. 四、三重积分的计算法 假设积分区域的形状如下图所示.  在面上的投影区域为, 过上任意一点, 作平行于轴的直线穿过 内部, 与边界曲面相交不多于两点。 亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。  ,  其中, 在上连续, 并且 。  图9-4-1 如何计算三重积分呢? 不妨先考虑特殊情况=1,则  即  一般情况下,类似地有  显然积分只是把看作的函数在区间上对求定积分, 因此,其结果应是的函数, 记  那么  如上图所示, 区域可表示为  从而  综上讨论, 若积分区域可表示成  则  这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量, 次对,最后对的三次积分。 如果平行于  轴且穿过内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法, 将剖分成若干个部分,(如),使在上的三重积分化为各部分区域( )上的三重积分,当然各部分区域 () 应适合对区域的要求。 例1 计算, 其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。 解 (1) 画出立体的简图  图9-4-2 (2) 找出立体在某坐标面上的投影区域并画出简图  在面上的投影区域为  (3) 确定另一积分变量的变化范围 在内任取一点, 作一过此点且平行于轴的直线穿过区域, 则此直线与边界曲面的两交点之竖坐标即为的变化范围。即 (4) 选择一种次序,化三重积分为三次积分    小结： 三重积分的定义和计算（化三重积分为三次积分） 直角坐标系下的体积元素 作业： 作业卡p26-27 第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 教学目的：掌握三重积分的计算 教学重点：熟练掌握三重积分在柱面坐标和球面坐标下的计算 教学难点：计算时选择坐标系 教学内容： 对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。 一、利用柱面坐标计算三重积分 1. 柱面坐标 设为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。  图9-5-1 规定的取值范围是 ，， 柱面坐标系的三组坐标面分别为 =常数,即以轴为轴的圆柱面； =常数,即过轴的半平面； =常数,即与面平行的平面。 点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式  (1) 2.三重积分在柱面坐标系中的计算公式  图9-5-2 用三组坐标面=常数,=常数,=常数,将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。 考察由各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有  (2) (2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。 (2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由在中的变化情况来确定。 3. 用柱面坐标表示积分区域的方法 (1) 找出在面上的投影区域, 并用极坐标变量表示之； (2) 在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )即为的变化范围。 例1 用柱坐标计算三重积分,其中是球体位于第一卦限内的部分。 解    二、利用球坐标计算三重积分 1. 球面坐标 如图所示,空间任意一点也可用三个数唯一表示。  图9-5-3 其中： 为原点到点的距离； 为有向线段与轴正向所成夹角； 为从正轴来看自轴依逆时针方向转到有向线段的角度,而点是点在面上的投影点。 规定的取值范围为  , ,  不难看出,点的直角坐标与球面坐标间的关系为  (3) 2. 球面坐标系的特点 =常数,是以原点为心的球面； =常数,是以原点为顶, 轴为轴的圆锥面； =常数,是过轴的半平面。 粗略地讲, 变量刻划点到原点的距离,即“远近”； 变量刻划点在空间的上下位置,即“上下”； 变量刻划点在水平面上的方位,即“水平面上方位”。 3. 三重积分在球面坐标系下的计算公式 用三组坐标面=常数, =常数, =常数,将分划成许多小区域,考虑当各取微小增量  所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近似值为  这就是球面坐标系下的体积元素。  图9-5-4 由直角坐标与球面坐标的关系式(3)有  (4) (4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。 (4)式右端的三重积分可化为关于积分变量的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域用球面坐标加以表示。 4. 积分区域的球面坐标表示法 积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。 实际中经常遇到的积分区域是这样的, 是一包围原点的立体, 其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程,据球面坐标变量的特点有  例如, 若是球体 , 则的球坐标表示形式为 曲面的球坐标方程为   于是  例2 求曲面与曲面所围成的立体的体积。 解 的图形为  图9-5-5 下面根据图形及球坐标变量的特点决定的球坐标表示式。 (1) 在面的投影区域包围原点,故变化范围应为； (2) 在中为轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为,故的变化范围应为； (3) 在内任取一值, 作射线穿过,它与有两个交点,一个在原点处,另一个在曲面上,用球坐标可分别表示为及 。因此,  故      小结 三重积分换元法 柱面坐标的体积元素  球面坐标的体积元素  作业 作业卡p28-29