第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 邻域 设是平面上的一个点，是某一正数。与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即 =， 也就是 = {│}。 在几何上，就是平面上以点为中心、为半径的圆内部的点的全体。 区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点的某一邻域，则称为的内点。显然，的内点属于。 如果的点都是内点，则称为开集。例如，集合中每个点都是1的内点，因此1为开集。 如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的边界点。的边界点的全体称为的边界。例如上例中，1的边界是圆周和 =4。 设D是点集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D，则称点集D是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，及都是区域。 开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如 {│≥0}及{│1≤≤4} 都是闭区域。 对于平面点集,如果存在某一正数，使得 ， 其中是原点坐标，则称为有界点集，否则称为无界点集。例如，{│1≤≤4}是有界闭区域，{│>0}是无界开区域。 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下： 例1 圆柱体的体积V和它的底半径、高之间具有关系 。 这里，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定。 例2 一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间具有关系 =， 其中为常数。这里，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定。 定义1 设是平面上的一个点集。称映射为定义在上的二元函数，通常记为 ，（或，）。 其中点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量。数集  称为该函数的值域。 是的函数也可记为 ， 等等。 类似地可以定义三元函数以及三元以上的函数。一般的，把定义1中的平面点集换成维空间内的点集，则可类似地可以定义元函数。元函数也可简记为，这里点。当时，元函数就是一元函数。当时，元函数就统称为多元函数。 关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以使这个算式有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。例如，函数的定义域为  （图8-1），就是一个无界开区域。又如，函数的定义域为  （图8-2），这是一个有界闭区域。  图8-1-1 图8-1-2 设函数的定义域为。对于任意取定的点，对应的函数值为。这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点 。当遍取上的一切点时，得到一个空间点集 ， 这个点集称为二元函数的图形。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。 三、多元函数的极限 定义2 设二元函数的定义域为，是的聚点。如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点时，都有 成立，则称常数为函数当时的极限，记作 ， 或 （）。 为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于。因此，如果以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。 考察函数  显然，当点沿轴趋于点时，；又当点沿轴趋于点时，。 虽然点以上述两种特殊方式(沿轴或沿轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是并不存在.这是因为当点沿着直线趋于点 时,有 ， 显然它是随着的值的不同而改变的. 例3 求 . 解 这里的定义域为，为的聚点。由极限运算法则得 。 四、多元函数的连续性 定义3 设函数在开区域（闭区域）内有定义，是聚点，且。如果 , 则称函数在点连续。 如果函数在开区域（或闭区域）内的每一点连续，那么就称函数在内连续，或者称是内的连续函数。 若函数在点不连续，则称为函数的间断点。这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数没有定义，但在内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数的不连续点，即间断点。 前面已经讨论过的函数  当时的极限不存在，所以点是该函数的一个间断点。二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数  在圆周上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。 与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。 性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 上的多元连续函数，在上一定有最大值和最小值。这就是说，在上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，即对于一切P∈D, 有 . 性质2（介值定理） 在有界闭区域上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即 . 例4 求. 解 函数 是初等函数，它的定义域为。 因不是连通的，故不是区域。但是区域，且 ，所以是函数的一个定义区域。因, 故 . 如果这里不引进区域，也可用下述方法判定函数在点 处是连续的：因是的定义域的内点，故存在的某一邻域，而任何邻域都是区域，所以是的一个定义区域，又由于是初等函数，因此在点处连续。 一般地，求，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则 在点处连续，于是。 例5 求。 解 === 小结： 本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推。 作业： 作业卡 p7-8 第 二 节 偏导数 教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数的偏导数。 教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。 教学内容： 导数的定义及其计算法 以二元函数为例，如果只有自变量变化，而自变量 固定（即看作常量），这时它就是 的一元函数，这函数对的导数，就称为二元函数对于的偏导数，即有如下定义： 定义 设函数 =在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量 , 如果  (1) 存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作  ,  ,  或  例如，极限（1）可以表示为 . (2) 类似地，函数在点处对的偏导数定义为  (3) 记作  ,  ,  或  如果函数在区域D内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，记作 ,  ,  或  类似地，可以定义函数对自变量的偏导数，记作 , ,  或  偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数 =() 在点 () 处对的偏导数定义为  其中 ()是函数 的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。 例1 求 在点(1, 2)处的偏导数。 解 把看作常量，得  把看作常量，得  将 (1, 2)代入上面的结果，就得 ，  求的偏导数。 解 ,  例3 设,求证： + 证 因为 , , 所以 +=+ 例4 求 的偏导数。 解 把 和都看作常量，得 == 由于所给函数关于自变量的对称性，所以 = , =. 二元函数在点的偏导数有下述几何意义。 设为曲面上的一点，过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数, 即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率。同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。 我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时，函数值趋于,但不能保证点按任何方式趋于时，函数值都趋于 。例如，函数  在点（0，0）对的偏导数为  同样有  但是我们在第一节中已经知道这函数在点（0，0）并不连续。 高阶偏导数 设函数在区域内具有偏导数 ,  , 那么在D内 、都是的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数： = , =, = , = 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶、以及阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 例5 设，求、、、 及 。 解  = ,  = ；  =  ,  = ；  =  ,  = ；  = 6 我们看到例5中两个二阶混合偏导数相等，即 = 这不是偶然的。事实上，我们有下述定理。 定理 如果函数的两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 验证函数 满足方程 +=0 。 证 因为, 所以 =, =, ==, == 因此 +=+=0. 例7 证明函数，满足方程 ++=0 , 其中. 证 =－=－·=－, =－+·=－+. 由于函数关于自变量的对称性，所以 =－+, =－+. 因此 ++ =－+=－+=0. 例6和例7中两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要的方程。 小结： 本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础。 作业： 作业卡p9-10 第 三 节 全微分及其应用 教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义，掌握二元函数可微与偏导数存在之间的关系，会求多元函数的全微分。 教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分。 教学难点：计算多元函数的全微分。 教学内容： 一、全微分的定义 我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得 ， ． 上面两式的左端分别叫做二元函数对和对的偏增量，而右端分别叫做二元函数对和对的偏微分. 设函数在点的某一邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量增量、的全增量，记作，即  （1） 一般说来，计算全增量比较复杂.与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量、的线性函数来近似的代替函数的全增量,从而引入如下定义 定义 如果函数在点的全增量  可表示为 ， （2） 其中、不依赖于、而仅与有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即 。 在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续。但是，由上述定义可知，如果函数在点可微分，那末函数在该点必定连续。事实上，这时由（2）式可得  ， 从而 。 因此函数在点处连续。 下面讨论函数在点可微分的条件。 定理1（必要条件） 如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且函数在点的全微分为 =+。 （3） 证 设函数在点可微分。于是，对于点的某个邻域的任意一点，（2）式总成立。特别当 时（2）式也应成立，这时，所以（2）式成为  。 上式两边各除以，再令而取极限，就得 lim=， 从而偏导数存在，且等于。 同样可证=。所以（3）式成立。证毕。 我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件。但对于多元函数来说，情形就不同了。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 +，但它与之差并不一定是较高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分。换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。例如，函数 = 在点处有  及 ，所以 =, 如果考虑点沿着直线 趋于，则 ===, 它不能随而趋于0，这表示时，  并不是较高阶的无穷小，因此函数在点处的全微分并不存在，即函数在点处是不可微分的。 由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理。 定理2（充分条件） 如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分。 证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）。设点为这邻域内任意一点，考察函数的全增量  。 在第一个方括号内的表达式，由于不变，因而可以看作是 的一元函数 的增量。于是，应用拉格郎日中值定理，得到  =  又假设，在点  连续，所以上式可写为  =， （4） 其中为、的函数，且当， 时，。 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 ， （5） 其中为 的函数，且当时， 。 由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量可以表示为 。 （6） 容易看出 ||， 它是随着，即而趋于零。 这就证明了 在点是可微分的。 以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数。 习惯上，我们将自变量的增量、分别记作、，并分别称为自变量的微分。这样，函数的全微分就可以写为 =+. (7) 如果三元函数可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即 =+＋． 例1 计算函数在点处的全微分． 解 因为 =yexy, =xexy | =, | =, 所以 =． 例2 计算函数的全微分. 解 因为 =, =+, =, 所以 =(+ ) +． 小结： 本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）全微分的定义及存在条件和求法，也可以简单介绍全微分在近似计算中的应用。 作业： 作业卡p11 第 四 节 多元复合函数的求导法则 教学目的：掌握多元函数的求导法则，会求多元函数的导数，掌握全微分形式不变性。 教学重点：针对多元函数的表达状态（参数方程、复合函数），能够求其导函数。 教学难点：抽象复合函数的求导。 教学内容： 定理 如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算： ＝＋． 　 证 设获得增量，这时的对应增量为、，由此，函数对应地获得增量．根据假定，函数在点具有连续偏导数，于是由第三节公式有  这里，当，时，，． 将上式两边各除以，得 ＝＋＋＋． 因为当时，，，，，所以 =+ 这就证明了复合函数在点可导，且其导数可用公式计算．证毕． 用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形．例如，设、，复合而得复合函数  则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算 ＝＋＋． 　 在公式及中的导数称为全导数． 上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形．例如，设，，复合而得复合函数  　 如果及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算： =+, 　 =+． 　 　类似地，设、及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数  在点的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算： =+＋， 　 =+＋． 　 如果具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数  　 可看作上述情形中当，的特殊情形，因此 ＝１， 　＝０， ＝０，　 ＝１， 从而复合函数具有对自变量及的偏导数，且由公式及得 ＝＋， ＝＋． 注意 这里与是不同的，是把复合函数中的看作不变而对的偏导数，是把中的及看作不变而对的偏导数．与也有类似的区别 例１　设 而，．求和． 解 =+ =··1 =， 　=+ 　 　＝··1 　　 ＝． 例２　设，而．求和． 解　　＝＋＝＋· 　　＝． 　＝＋＝＋· 　　＝． 例３　设， 而，．求全导数． 解　＝＋＋＝ = =． 例４　设，具有二阶连续偏导数，求 及． 解 令,，则． 为表达简便起见，引入以下记号： ＝， ＝， 这里下标1表示对第一个变量　ｕ求偏导数，下标2表示对第二个变量ｖ求偏导数，同理有、、 等等。 因所给函数由及，复合而成，根据复合函数求导法则，有 ＝＋＝＋， ＝（＋）＝＋＋． 求及时，应注意及仍旧是复合函数，根据复合函数求导法则，有 ＝＋＝＋， ＝＋＝＋ 于是 ＝＋＋+＋ ＝＋＋＋． 例５　设的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换成极坐标系中的形式： ＋ 解 由直角坐标与极坐标间的关系式 ， 可把函数换成极坐标及的函数： ＝＝． 现在要将式子　＋及＋用ｒ、θ及函数对、的偏导数来表示．为此，要求出的偏导数、、、。这里 ＝，＝ 复合而成，应用复合函数求导法则，得： ＝＋ ＝－＝－， ＝＋ 　　＝＋＝＋． 两式平方后相加，得： 　＋＝＋． 全微分形式不变性 设函数具有连续偏导数，则有全微分 ＝＋． 如果 、又是、的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数  的全微分为  ＝＋， 其中及分别由公式和给出，把公式及中的及代入上式，得 ＝＋ ＝＋ ＝＋． 由此可见，无论是自变量、的函数或者中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的。这个性质叫做全微分形式不变性。 小结： 本节要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中起着重要作用。本节主要针对几类普遍存在的复合函数的求导方法进行了介绍。 作业： 作业卡p12-13 第 五 节 隐函数的求导公式 教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学内容： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，, ，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有  (2) 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式 , 其左端可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得  由于连续，且，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内，于是得  如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得   例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。 解 设，则,.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数。 下面求这函数的一阶和二阶导数 =， ; = 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程 ()=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。 与定理1一样，我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0所确定的二元函数=的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。 隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程()=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 =,=. (4) 这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 (, )≡0, 将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得 +=0, +=0。 因为连续，且,所以存在点的一个邻域，在这个邻域内≠0，于是得 =,=。 设，求 解 设 () =，则=2, =.应用公式(4)，得 =。 再一次对求偏导数，得   二、方程组的情形 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组  (5) 这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数、的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。 隐函数存在定理3 设函数、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式): = 在点不等于零，则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有   (6)   这个定理我们不证. 设，求,,和. 解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。 将所给方程的两边对求导并移项，得  在的条件下，  将所给方程的两边对求导，用同样方法在的条件下可得   小结： 本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。 作业： 作业卡p14-15 第 六 节 微分法在几何上的应用 教学目的：根据导函数的几何性质，学习并掌握空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线方程的形成过程和确定方法。 教学重点：空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的方程。 教学难点：曲线切线、曲面切平面的切向量。 教学内容： 一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线Г的参数方程为  (1) 这里假定式(1)的三个函数都可导。 在曲线上取对应于的一点及对应于的邻近一点。根据解析几何，曲线的割线的方程是  当＇沿着Г趋于M时，割线的极限位置就是曲线Г在点处的切线(图8―7).用除上式的各分母，得  令＇→这时 通过对上式取极限，即得曲线在点处的切线方程为 = (2) 这里当然要假定不能都为零.如果个别为零，则应按空间解析几何有关直线的对称式方程的说明来理解。 切线的方向向量称为曲线的切向量。向量  就是曲线Г在点处的一个切向量。 通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面，它是通过点而以为法向量的平面，因此这法平面的方程为  (3) 例1 求曲线在点 (1,1,1)处的切线及法平面方程。 解 因为而点 (1,1,1),所对应的参数，所以  于是，切线方程为 , 法平面方程为  即  如果空间曲线Г的方程以  的形式给出，取x为参数，它就可以表为参数方程的形式  若都在x=x0处可导，那末根据上面的讨论可知，,因此曲线在点处的切线方程为  (4) 在点处的法平面方程为  (5) 设空间曲线Г的方程以  (6) 的形式给出，是曲线Г上的一个点，又设有对各个变量的连续偏导数，且  这时方程组(6)在点的某一邻域内确定了一组函数要求曲线Г在点M处的切线方程和法平面方程，只要求出然后代入(4)、(5)两式就行了.为此，我们在恒等式   两边分别对x求全导数，得  由假设可知，在点M的某个邻域内  故可解得   于是是曲线在点处的一个切向量，这里   分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点的值.把上面的切向量乘以得  这也是曲线在点处的一个切向量，由此可写出曲线Г在点处的切线方程为  (7) 曲线Г在点处的法平面方程为  (8) 如果而中至少有一个不等于零，我们可得同样的结果. 求曲线,在点 (1,-2,1)处的切线及法平面方程。 解 将所给方程的两边对x求导并移项，得  由此得     从而  故所求切线方程为  法平面方程为 , 即  二、 曲线的切平面与法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程 () = 0 (9) 的情形，然后把由显式给出的曲面方程作为它的特殊情形. 设曲面∑由方程(9)给出，是曲面∑上的一点，并设函数()的偏导数在该点连续且不同时为零.在曲面∑上，通过点任意引一条曲线（图8―8），假定曲线的参数方程为  (10) 对应于点且不全为零，则由(2)式可得这曲线的切线方程为 = 我们现在要证明，在曲面∑上通过点且在点处具有切线的任何曲线，它们在点处的切线都在同一个平面上.事实上，因为曲线Г完全在曲面∑上，所以有恒等式 , 又因()在点处有连续偏导数，且和)存在，所以这恒等式左边的复合函数在时有全导数，且这全导数等于零:  即有  (11) 引入向量  则(11)式表示曲线（10）在点M处的切向量  与向量垂直.因为曲线(10)是曲面上通过点的任意一条曲线，它们在点的切线都与同一个向量垂直,所以曲面上通过点的一切曲线在点的切线都在同一个平面上（图8―8）.这个平面称为曲面∑在点的切平面.这切平面的方程是  (12) 通过点而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是  (13) 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量 就是曲面∑在点处的一个法向量。 现在来考虑曲面方程  (14) 令 () =— z, 可见 x()=x, y()=y, z()=-1. 于是，当函数的偏导数x、y在点连续时，曲面（14）在点处的法向量为  切平面方程为  或  (15) 而法线方程为  这里顺便指出，方程(15)右端恰好是函数在点的全微分，而左端是切平面上点的竖坐标的增量.因此，函数在点的全微分，在几何上表示曲面在点处的切平面上点的竖坐标的增量. 如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为    这里，把分别简记为,。 例3 求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程。 解 () =, =（x, y, z）=  |(1 ,2 ,3) =（2,4,6）. 所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为  即  法线方程为  即  由此可见，法线经过原点(即球心). 小结： 本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了微分 法的应用。利用导函数的几何性质，针对空间曲线的一般表现方式，给出了空间曲线的切向量，从而确定了空间曲线的切线与法平面方程；同时针对由隐式给出的曲面方程，推导出曲面的切平面与法线方程，并给出了曲面法向量的方向角。 作业： 作业卡p16-17 第 七 节 方向导数与梯度 教学目的：掌握方向导数的定义和求法；掌握梯度的定义、求法及其与等高线的关系。 教学重点：方向导数与梯度的求法。 教学难点：方向角的确定。 教学内容： 一、方向导数 现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题。 设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线。设轴正向到射线的转角为（逆时针方向：0；顺时针方向：0），并设＇(+△,+△)为上的另一点且＇∈。我们考虑函数的增量(+△,+△)－与、＇两点间的距离的比值.当＇沿着趋于时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数在点沿方向的方向导数，记作，即  (1) 关于方向导数的存在及计算，我们有下面的定理。 定理 如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有  (2) 其中为轴到方向的转角。 证 根据函数在点可微分的假定，函数的增量可以表达为  两边各除以，得到  所以  这就证明了方向导数存在且其值为  求函数=在点处沿从点到点 方向的方向导数。 解 这里方向即向量=的方向，因此轴到方向的转角， 因为   在点 ，,.故所求方向导数  对于三元函数=来说，它在空间一点沿着方向 (设方向的方向角为的方向导数，同样可以定义为  (3) 其中，△=,△=,△=。 同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向的方向导数为  (4) 二、 梯度 与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.在二元函数的情形，设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量  这向量称为函数=在点的梯度，记作，即 =  如果设是与方向同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知  这里，()表示向量与的夹角。由此可以看出，就是梯度在射线上的投影，当方向与梯度的方向一致时，有 () 1， 从而有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说,梯度的方向是函数在这点增长最快的方向.因此，我们可以得到如下结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值. 由梯度的定义可知，梯度的模为  当不为零时，那末轴到梯度的转角的正切为  我们知道，一般说来二元函数在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线的方程为  这条曲线在面上的投影是一条平面曲线，它在平面直角坐标系中的方程为  对于曲线上的一切点，已给函数的函数值都是，所以我们称平面曲线为函数的等值线. 由于等值线上任一点处的法线的斜率为 , 所以梯度  为等值线上点处的法向量，因此我们可得到梯度与等值线的下述关系：函数在点的梯度的方向与过点的等值线在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等值线指向数值较高的等值线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。 例2 求 解 这里  因为   所以  例3 设，求。 解 , 于是 。 小结： 本节主要研究函数在一点沿某一方向的变化率问题，给出方向导数的定义及其相关的梯度的定义，推导出方向导数和梯度的求法，并通过梯度的意义介绍了等值线、等量面、数量场与向量场等概念。 作业： 作业卡p18-19 第 八 节 多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式 ， 则称函数在点有极大值。如果都适合不等式 ， 则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。 例２ 函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。 例３　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：  证 不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式  特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式  这表明一元函数在处取得极大值，因此必有  类似地可证  从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面  成为平行于坐标面的平面。 仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。 怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ？下面的定理回答了这个问题。 定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令  则在处是否取得极值的条件如下： (1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值； (2)时没有极值； (3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。 这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下： 第一步 解方程组  求得一切实数解，即可以得到一切驻点。 第二步 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值，和。 第三步 定出的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值。 例1 求函数的极值。 解 先解方程组  求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。 再求出二阶偏导数  在点(1,0) 处，又，所以函数在处有极小值； 在点(1,2) 处，，所以(1,2)不是极值； 在点(-3,0) 处，，所以(-3,0)不是极值； 在点(-3,2) 处，又所以函数在(-3,2)处有极大值(-3,2)=31。 例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。 解 设水箱的长为，宽为，则其高应为，此水箱所用材料的面积 ， 即  （，） 可见材料面积是和的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点。 令 ，  解这方程组，得： ， 从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。 二、条件极值 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先构成辅助函数  其中为某一常数求其对与的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立  （1） 由这方程组解出，及，则其中，就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标。 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数  在附加条件 ， (2) 下的极值，可以先构成辅助函数  其中，均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的就是函数在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。 至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。 例3 求表面积为而体积为最大的长方体的体积。 解 设长方体的三棱长为， 则问题就是在条件  （3） 下，求函数   的最大值。构成辅助函数  求其对、z的偏导数，并使之为零，得到  （4） 再与(10)联立求解。 因、都不等于零，所以由(11)可得 ＝， ＝． 由以上两式解得  将此代入式(10)，便得 = 这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积为最大，最大体积。 小结： 本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。 作业： 作业卡p20-21