第十一章 无穷级数 无穷级数是数学分析的一个重要工具，本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题，我们只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式。 第一节 常数项级数的概念和性质 教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件 教学重点：级数收敛与发散概念 教学难点：用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题 教学内容： 级数的概念 设已给数列：，表达式 或记为，称为无穷级数，简称级数，其中叫做级数的通项或一般项。 各项都是常数的级数叫做数项级数，如，等。 各项是函数的级数，称为函数项级数，如，等。 作常数项级数的前项的和，称为级数的部分和。从而的一个新的序列：，，， 定义 如果级数 的部分和数列有极限，即，则称级数收敛，这时极限叫做这级数的和，记为 如果没有极限，则称级数发散。 此时称为级数第项以后的余项。 例1 证明等比级数（几何级数）当时收敛，当时发散。 证明 当时其前项和 若，则，于是，即当时等比级数收敛，且其和为。当，则。时，是无穷大量，级数发散。 若，则级数成为，于是，级数发散。 若，则级数成为，当为奇数时，，而当为偶数时，。当时，无极限，所以级数也发散。 例2 证明级数 证明 ，当时，。所以级数。 二、收敛级数的基本性质 由级数收敛性定义，可得下面性质： 性质1若级数收敛，其和为，又为常数，则也收敛，且 （级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不回改变。） 性质2 若已知二收敛，则 （两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减） 性质3 改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性 性质4 收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级数仍然收敛，而且其和不变。 推论 一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散。 注：例如 是收敛的，但级数发散。 三、级数收敛的必要条件 定理 若级数收敛，则 证明 设，即，则，所以  推论 若级数的通项，当时不趋于零，则此级数必发散。 注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，比如调和级数  它的一般项，但是它是发散的。 小结： 本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。如 (1)   ∴级数发散 (2)  级数为，分别为等比级数且 ∴原级数收敛 (3)   ∴原级数发散 作业： 作业卡p44-45 第二节 常数项级数的审敛法 教学目的：掌握数项级数收敛性的判别方法 教学重点：正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念。 教学难点：任意项级数收敛性的判别方法 教学内容： 一、 正项级数及其审敛法 每项均为非负的级数称为正项级数 设级数是一个正项级数，它的部分和数列显然是一个单调增加数列：，从而有 定理1 正项级数收敛它的部分和数列有界。 推论：如果正项级数发散，则它的部分和数列  定理2（比较审敛法）已知二正项级数  ⑴ 若级数收敛且对大于某个正整数的一切，都有则级数也收敛； ⑵ 若级数发散且对大于某个正整数的一切，都有，则级数也发散。 证明 设和分别表示级数和的前项和 ⑴ 已知存在，又因，故。根据级数基本性质3，不妨认为在时，因而，即，故，即有上界，所以存在，即收敛 ⑵ 用反证法，若收敛，则因已设，由⑴推知收敛，与题设矛盾，故发散。 推论 设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数N，使得n(N时有成立，则级数收敛；如果级数发散，且当n(N时有成立，则发散。 例1 证明调和级数是发散的  图11-2-1 证明 由微分学可证得一个不等式，当时，（如图示） 由 即，所以调和级数发散。 例2 讨论级数的收敛性，其中常数 解 设，则，但调和级数发散，由定理2可知，当时级数发散 设，当时，有， 所以  考虑级数 其部分和 故级数（*）收敛，由定理2知，级数当时收敛，综上，得 当级数，当时收敛，当时发散 定理3（比较法的极限形式）设和都是正项级数，如果 （1），且级数收敛，则级数收敛。 （2）且级数发散，则级数发散。 证明（1） 由极限定义可知，对于，，使当时，有，即，再由比较审敛法可得级数收敛。 （2）按已知条件可知极限存在，如果级数收敛，则由结论(1)必有级数收敛，但已知级数发散，因此级数不可能收敛，即级数发散。 例3 判别级数的收敛性 解 ∵ ∴由定理3知此级数发散。 定理4（比值审敛法）若正项级数的后项与前项之比值的极限等于：，则当时，级数收敛；（或）时级数发散；时级数可能收敛也可能发散。 证明 ⑴ 当，取一个适当正数，使，依极限定义，自然数，使，有，因此，  这样，级数各项小于收敛的等比级数 的各对应项，所以它也收敛。由于只比它多了前项，因此也收敛。 ⑵ 当，取一个适当正数，使，依极限定义，当时，有即，从而，可知发散，类似可证，当，发散。 ⑶ 当时，由级数可知结论正确。 例4 判别级数的收敛性 解 ∵ ∴ 故级数收敛。 定理5（根值审敛法）设为正项级数，如果它的一般项的次根的极限等于：，则当时，级数收敛，（或）时级数发散，时级数可能收敛也可能发散。 证明与定理4相仿，这里从略。 例5 判别级数的收敛性 解 所以级数收敛。 定理6（极限审敛法）设为正项级数， （1）如果（或），则级数发散； （2）如果p>1,而则级数收敛。 证明（1）在极限形式的比较审敛法中，取，由调和级数发散，知结论成立； （2）在极限形式的比较审敛法中，取，当p>1时，p-级数收敛，故结论成立。 例6 判定级数的收敛性. 解 因为  根据极限审敛法，知所给级数收敛。 二、 交错级数及其审敛法 一个级数的各项如果事正负相间的就叫做交错级数。若（也一样），则就是一个交错级数。 定理7 （莱布尼兹准则）若， 则级数收敛，且 证明 先证前项的和的极限存在， （括号非负） 又  (条件，)  （条件） 故  例7 证明交错级数收敛 证明  及 由莱氏判别法，知收敛，且其和，如果取前项的和，，作为的近似值，产生的误差 三、绝对收敛与条件收敛 每一个任意项级数的各项都换为它的绝对值，那就对应地有一个正项级数，该正项级数与任意项级数的收敛性有下面定理所述的关系。 定理8 若收敛，则也收敛 证明 令，则，即是正项级数，  而收敛，从而收敛，又，由基本性质，知收敛。 必须指出，此定理的逆定理不成立。 定义 若收敛，则称是绝对收敛的；如果收敛而发散，则称是条件收敛的。 如级数是条件收敛的。 例8 判定级数是绝对收敛还是条件收敛还是发散？ 解 ∵ ∴原给的级数是绝对收敛的。 小结: 1. 级数收敛的必要条件是其通项趋于0，因此，如果通项不趋于0，级数一定发散。但是，通项趋于0的级数未必收敛，如的通项趋于0，但调和级数发散。 2．正项级数的部分和单调增，所以如果证明了有上界，则正项级数收敛。 3．三个重要的级数： (1) 级数： （发散） （收敛） (2) 几何级数： （发散） （收敛） (3) 收敛 4．正项级数的审敛法是： 比较法，比较法的极限形式，比值法，根值法 5．交错级数有莱氏判别法；任意项级数有绝对值判别法 作业： 作业卡p46-47页 第三节 幂级数 如果级数的各项都是定义在某区间中的函数，就叫做函数项级数。当自变量取特定值，如时，级数变成一个数项级数。如果这个数项级数收敛，称为函数项级数的收敛点，如发散，称为发散点， 一个函数项级数的收敛点的全体构成它的收敛域。 教学目的：了解幂级数的收敛域的构造及求法，如何将函数展开成幂级数，函数的幂级数展开式的应用。 教学重点：幂级数收敛域的求法，函数展开成幂级数的充要条件。 教学难点：幂级数收敛半径的求法，函数展开成幂级数的间接方法，近似计算中的误差估计 教学内容： 一、幂级数及其收敛域 形如的级数称为幂级数，其中常数a0,a1,a2,(,an,(叫做幂级数的系数.例如  ， 从简单的一个幂级数公比为的等比级数，当时收敛；当时发散出发，因为它的收敛域是以0为中心，半径为1的对称区间，引入到收敛域构造的阿贝尔定理： 定理1 若有使收敛，则当时，幂级数绝对收敛；若有使发散，则当时，幂级数发散。 证明 先设x0是幂级数的收敛点，根据级数收敛的必要条件，有，于是存在一个常数M，使得 （n=0,1,2,…） 这样级数的一般项的绝对值 . 因为当|x|<|x0|时，等比级数收敛（公比），所以级数收敛，也就是级数绝对收敛. 定理第二部分可用反正法证明，若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛，则根据本定理第一部分，级数当x=x0时应收敛，这与所设矛盾.定理得证. 推论：如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的数R存在，使得 当|x|<R时，幂级数绝对收敛； 当|x|>R时，幂级数发散； 当x=R与x= (R时，幂级数可能收敛也可能发散。 正数R通常叫做幂级数的收敛半径，开区间（(R，R）叫做幂级数的收敛区间。 关于收敛半径的求法有如下定理： 定理2 如果幂级数当充分大以后都有， 且，则 ⑴ 当时， ⑵ 当时， ⑶ 当时， 证明 考察幂级数的各项取绝对值所成的级数  这级数相邻两项之比为  （1）如果存在，根据比值审敛法，则当时，级数收敛，从而级数绝对收敛；当时，级数发散并且从某一个n开始，因此一般项不能趋于零，所以也不能趋于零，从而级数发散，于是收敛半径R=. (2) 如果( = 0，则任何x (0，有，所以级数收敛，从而级数绝对收敛。于是. (3) 如果，则对于除x=0外的其他一切x值，级数必发散，否则由定理1知道将有点x (0使得级数收敛，于是R=0。 例1 求下列各幂级数的收敛域 ⑴  解 ∵ ∴ 当时，级数成为（发散） 当时，级数成为（收敛） ∴收敛域为 ⑵  解 ∵级数中只出现的偶次幂，∴不能直接用定理来求 可设，由比值法 可知当，即，幂级数绝对收敛 当，即，幂级数发散，故 当时，级数成为，它是发散的，因此该幂级数的收敛域是。 幂级数一般形式的讨论，可用变换，使之成为进行。 二、幂级数的运算 设幂级数 a0+a1x+a2x2+…+anxn+… 及 b0+b1x+b2x2+…+bnxn+… 分别在区间（-R,R）及（-R′,R′）内收敛,对于这两个幂级数，有下列四则运算： 加减法： (a0+a1x+a2x2+…+anxn+…)((b0+b1x+b2x2+…+bnxn+…) =(a0( b0)+(a1( b1)x+( a2(b2)x2+…+(an(bn) xn+… 乘法： (a0+a1x+a2x2+…+anxn+…)((b0+b1x+b2x2+…+bnxn+…) = a0 b0+( a0 b1+ a1 b0)x+( a0 b2+ a1 b1+ a2 b0) x2+… +( a0 bn +a1 bn-1 +…+an b0) xn+… 可以证明上2式在（-R,R）与（-R′,R′）中较小的区间内成立. 幂级数的和函数有下列重要性质： 性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续. 性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式  逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导，且有逐项求导公式  逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例2 求幂级数的和函数. 解 先求收敛域.由得收敛半径R=1. 在端点x=-1处，幂级数成为，是收敛的交错级数； 在端点x=1处，幂级数成为，是发散的.因此收敛域为I=[-1，1]. 设和函数为s(x)，即于是 利用性质3，逐项求导，并由 得 对上式从0到x积分，得 于是，当时，有 而s(0)可由s(0)=a0=1得出， 故  三、函数展开成幂级数 定理：设函数在点的某一邻域内只有各阶导数，则在该邻域内能展开成Taylor级数的充分条件是的Taylor公式中的余项当时的极限为零。 取时，称为函数的麦克劳林级数 函数展开成幂级数的方法 1．直接方法： （1）求的各阶导数 （2）求 （3）写出幂级数，且求出 （4）考察余项是否趋于零？如趋于零，则在内的幂级数展开式为  例如， 可用此法分别求出和的展开式：  2．间接方法：利用幂级数可以逐项求导，逐项积分进行 例如，  注:必须熟记五个函数的幂级数展开式： 例3 将函数展开成（x-1）的幂级数 解 因为   而 ， （）  （） 所以 ， （） 小结： 幂级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义。 一个函数的幂级数展开式只依赖函数在展开点出的各阶导数，这是Taylor级数的优点。但从另一方面看，这又是它的缺点，因为求任意阶导数并不容易，而且许多函数难以满足这样强的条件。还应看到，若想取级数的前项和作为函数的近似值，则在离开展开点稍远一点的地方，取非常大才能使误差在所要求的限度内。 作业： 题卡48－53页 第四节 幂级数展开式的应用 教学目的：了解函数的幂级数的展开式的应用。 教学重点：如何利用函数的幂级数的展开式进行近似计算。 教学难点：函数展开成幂级数的间接方法，近似计算中的误差估计 教学内容： 一、近似计算 例1 利用麦克劳林级数计算之值 解 令原式=，则，即∴原式 例2 计算极限  例3 近似计算 1．求的近似值，要求误差不超过0.0001 解 取的马克劳林展开式：  取作为近似式， 于是取时，  误差：    （放大为等比级数）  即  ∵要求，凭观察和试算， 当取时， 故取，计算近似值 2．计算积分的近似值，准确到第四位小数。 解 当时，令， 则的马克劳林级数是， 故，这是一个交错级数， 由于第四项，因此取前三项来计算积分的近似值，可准确到第四位小数，于是， 二、欧拉公式 设有复数项级数为  其中为实常数或实函数. 定义复数项级数  其中. 当x=0时z为纯虚数，可以导出  这就是欧拉公式. 应用欧拉公式可以得出如下式子：  小结： 利用函数的幂级数可以计算一些函数值的近似值，而且可以计算一些定积分的近似值，但要注意必须在展开式有效的区间上按精确度计算出来。 作业： 第五节 傅立叶级数 傅立叶级数最初应用在天文学中，这是由于太阳系的行星运动是周期性，欧拉于1729年解行星问题时就得出了这方面的一些结果，到1829年狄里赫莱第一次论证了傅立叶级数收敛的充分条件。 教学目的：什么是函数的傅立叶级数，给出函数展为傅立叶级数的充分条件，求函数的傅立叶级数展开式的方法 教学重点：了解傅立叶级数的概念和狄立克莱收敛定理。 教学难点：如何将上的函数展开为傅立叶级数 教学内容： 一、三角级数及三角函数系的正交性 正弦函数是一种常见的而简单的函数，例如描述简谐振动的函数 y=Asin(t+)就是一个以为周期的正弦函数。其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅，为角频率，为初相。 在实际问题中，除了正弦函数外，还回遇到非正弦函数，它们反映了叫复杂的周期运动。例如电子技术中常用的周期为的矩形波。 具体的说将周期为T的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数组成的级数来表示，记为  （1） 其中都是常数。 将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明显的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成许多不同运动 的叠加，为了 以后讨论方便起见，我们将正弦函数按三角公式变形得  并令则（1）式右端的级数就可以写成  （2） 一般的，型如（2）的式的级数叫三角级数，其中都是常数。 如同讨论幂级数是一样，我们必须讨论三角级数（2）的收敛问题，以及给定周期为2的周期函数如何把 它展开成三角级数（2）为此，我们首先介绍三角函数系的正交性。 所谓三角函数系  （3） 在区间上正交，就是指在三角函数系（3）中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零，即   以上等式，都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下 利用三角学中积化合差的公式  当kn时，有   其余不证。 在三角函数系（3）中，两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零，即   二、傅立叶级数 1．若以为周期的函数可展为三角函数，即 ， （4） 我们假设上式可以逐项积分。 先求,对上式从到逐项积分：  根据三角函数（3）的正交性，等式右除第一项，其余都为零，所以 于是得  其次求用乘（4）式两端，再从到逐项积分，我们得到  根据三角函数系（3）的正交性等式右端除k=n的一项处，其余各项均为零，所以  于是得  如果（5）式的积分都存在，这时它们的系数叫函数的傅立叶系数，将这些系数代入（4）式右，所得的三角级数叫做傅立叶级数。 2．（Diriclilet收敛定理） 设是周期为的周期函数，如果它满足： ⑴ 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ⑵ 在一个周期内至多只有有限个极值点， 则的傅立叶级数收敛，且当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于 例1 已知，求 ⑴ 设的周期为，将展开为傅立叶级数； ⑵ 证明 解 ⑴  从而有  ⑵ 令，有  令，有  注：利用周期函数的定积分性质，有  3．正弦级数和余弦级数 当为奇函数时，是奇函数，是偶函数，故  （5） 即知奇函数的傅立叶级数是含有正弦项的正弦级数  （6） 当为偶函数时，是偶函数是奇函数故  （7） 即知偶函数的 傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数  （8） 例2 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。 解 先求正弦级数。为此对函数进行奇延拓。按公式（5）有 将求得的代入（6）得  在端点及处级数的和显然为零，它不代表原来函数的值 再求余弦级数。为此对进行偶延拓。按公式（7）有   将所求得的代入余弦级数（8）得  4．若的周期为，则有 ， 其中  （只需作变量代换，由2可得） 5．当为奇函数时，，其中  当为偶函数时，，其中  6．当定义在上时 要先对进行奇偶延拓，再周期延拓可将展开成正弦级数或余弦级数。 小结： 函数展为傅立叶级数的问题本来是由分解周期函数为谐波引出的，对非周期函数，甚至只是定义在上的函数，当它在上满足狄氏条件时，它的傅立叶级数在上收敛，而且由于其各项都有周期，故在上都收敛，其和函数是上的以为周期的函数。在之外与一般是不同的。但是，如果把定义在上的函数按周期延拓到数轴所有点上去，得到一个以为周期的新的函数，并且仍用表示这个新的函数，那么在整个数轴上就应有展开式： ， 若是的连续点，上式左边即是。 傅立叶级数，作为一种函数的解析表达式，消除了初等函数和用几个式子联合分段表达的函数之间的界限——他们都融合成为一类无穷多项表达式了。这里，第一次用一个正交函数系中的函数作为函数项级数的项去表达一个函数，把函数在一个完备的正交函数系中进行分解是近代数学中一项很有意义的发展。 作业： 作业卡p54-56