§3 介质中的静电场方程 一、引言与准备 1、循环关系 欲求介质中 则需（∵） 需 需（，或、） 需知（∵），返回，出现循环。 表明: 极化原因（：自由电荷激发的外场、：总场）和极化效果（：由束缚电荷激发）之间有反馈联系。 一般地，未知，也难以求出，实验中不易测量，因而求其中任一物理量皆困难，需另辟途径，见以下介质中的高斯定理。 如若通过另辟溪径求得了循环中的某一物理量，则整个问题将迎刃而解。 2、极化电荷激发的场 介质极化，反过来对极化场的影响归结为：，即代表介质宏观作用，计及了就已考虑了介质的影响，因而激发的规律中只能用，切不可重复！ 极化电荷也是电荷，静止时激发静电场，满足的场方程为  二、介质中安培环路定理 介质中电场满足的环路定理为 = 表明：电介质的存在归结为增加了一些新场源（激发），而未改变场的无旋性，故在介质中的静电场中仍可引用电势描述（注：此与对应）。 三、介质中高斯定理 介质存在时,场源有两部分  对应的场方程均有形式，而，则总场的闭面通量为：  该式即介质中高斯定理。但该式的右端极化电荷不易实验上测量，惯常回避之，间接地得到它。为此，运用  代入上式，得  引入辅助物理量：电位移矢量(electric displacement)  则高斯定理为  [讨论] 1、表述的优越性。 右侧不含极化电荷，对高斯面的通量仅与其内自由电荷有关；用描述电场，线起自正自由电荷，止于负自由电荷；当问题具有某种对称性时，可由高斯定理求解，物理思路是： 先求再求再追究极化电荷分布等。 2、是辅助物理量，无物理意义。 是、不同量之叠加，与同量纲； 仅由表示，并不意味着仅与有关，这因与并非直接关系。 对于各向同性线性介质：，有  式中 相对介电常数，无量纲，，； …绝对介电常数，与同量纲。 常用关系：。 除介质参数外，三者知其一即可求出其它。 ① 对于真空中  ② 对于导体中 因为。 3、的物理意义。 、反映介质极化难易程度，即表示介质在一定场强下的极化能力。结合均匀介质可从以下几方面认识： (1) 从充满均匀介质电容器的电容看  电容增大倍，。 (2) 从各向同性线性介质充满电场区域看   或  （均匀介质才成立） （非均匀介质也成立）   与对比 与对比 （介质中）此为一般式 （真空中） （谈源） （谈场）   ， 或： 即：   表明：介质极化电荷对自由电荷的场有一定屏蔽 表明：有介质时出现， 作用。上述右侧有，而左侧有，可见 它激发的对场 介质对场影响又可通过反映。 有部分抵消作用。 上述出现，其物理意义为：介质中的等于除去介质同样自由场源分布产生的的倍。 [强调指出] 上述是有条件的，并非一般，可归结为如下常见的几情况： ① 要么均匀介质充满电场全空间； ② 要么不同均匀介质区之间分界面是等势面； ③ 要么连续变化，但的等值面处处与等势面重合。例如，如图3-11。 此时仅与自由电荷有关。（一般地，是仅与有关，而既与自由电荷有关、又与极化电荷有关）。 图3-11 4、带电导体表面外 如图3-12，在导体与介质分界面处作高斯面，运用得  ∴  图3-12 5、比较、、三物理量的闭面通量  其中 普适关系为：  特殊关系为：  6、均匀介质内若无自由电荷，则不论极化均匀否，其体内无净束缚电荷，极化电荷分布在介质表面（若介质—空气，则只—层；若介质1—介质2，则两层）。 证明： 在均匀介质内任取闭面S，因，而有 又，S为任意， 所以S内无净极化电荷分布。 7、一般地，介质非均匀，不能引入与相应的势函数。 因为，所以可引入电势；但因  故不能引入与对应的势函数。 8、退化情况 对于真空，，故退化为：。因而本节内容包括真空而成为一般知识。 四、例题 例1：点荷周围充满均匀介质，求。 解：因，为常数，所以与具有相同的对称性。过场点作球面高斯面S（以为球心），应用，得    即 ，或 上述结果理解为：周围被极化电荷包围（分布于邻近及无限大面上），使激发场的有效场源削弱，。 [讨论] (1)半径为R的导体球带电，球外充满均匀介质。介质中场的表示式同上结果，为。 (2)半径为R的导体球带电Q，球外介质分层均匀，同上计算、。 例2：平行板电容器极板带电，其内充满均匀介质，求、、及C 。 解：处在均匀外场中的均匀介质必发生均匀极化，分布如同、仍均匀。作高斯面如图3-13，用，得   图3-13  （∵）   （左负、右正，的方向：）   总结以上的解题过程，给出思路为：其它。 [注意] 不同，会出现不同结果。 例题知识的拓宽与延伸—— 分层均匀 如图3-14，由高斯定理知各区仍有 ， 自由电荷均匀分布，真空场。但各区的场、不同 ∵ ，  图3-14 ∴ ，  总电压，故，有  其中、。 (2) 分区均匀 如图3-15,各区仍有结论:，但两区不同：，。 图3-15 图3-16 ① 若恒Q：则，即，有 ， 即  此外  由此可求出。 ② 若恒U：则， （结论与①不同）。 综合①、②情况，计算电容时，相当于两电容的并联，‖  分区均匀时的电路图形可简化为图3-16所示。 例3：柱形电容器充满均匀介质，设内极带电线密度为，求介质内的及分布。 图3-17 解：作高斯面如图3-17所示，应用得 ，   ，   并且可以验证：，即电荷守恒。