第一章 静电场
§ 1 静电的基本现象和基本规律
§ 2 电场 电场强度
§ 3 高斯定理
§ 5 电位及其梯度
§ 1 静电场的基本现象和基本规律
1,摩擦起电
一, 电荷
物体由于摩擦有了吸引轻小物体的性质, 它就带了电,
有了电荷, 这种带电叫摩擦起电 。
2,两种电荷
实验表明，自然界中只存在两类电荷：正电和负电，
且同性电荷相斥、异性电荷相吸引。
规定,丝绸摩擦过的玻璃棒，棒上带电为正；毛皮摩擦
过的硬橡胶棒，棒上带电为负。
3、电荷测量
（ 1）电量的测量
验电器 静电计
（ 金属球 ）
（ 金属箔 ）
动
静
(a) 验电器：张开情况可定性 (b) 静电计：弧度刻尺上读数,
说明电量多少 可用于测量电位
（ 2）电荷正负判定
已带某种已知电荷
张角变大
张角变小
同性
异性
二、静电感应 电荷守恒定律
1、静电感应
另一种重要的起电方法是静电感应，静电
感应实质上为电荷转移的过程：
(a) (b)
(c) (d)
A B A B
2、电荷守恒定律
电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一
个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到
另一部分，也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数
和是守恒的。
[说明 ],
(1) 电荷守恒是一切宏观, 微观过程均遵守的规律；
(2) 电荷的量子化；
电子电量大小 库仑,是电荷的最小单元，
物体带电是基本电子电量的整数倍（不连续）。
19106.1 ???e
三、物质的电结构 导体与绝缘体
1、物质组成与原子结构
中子
质子
原子核
核外电子
原子分子 ??
2、起电的物理解释
摩擦起电 —— 摩擦引起核外电子运 动速度 V变大, 克服
原子核的束缚而发生转移 。
感应起电 —— 导体中自由电子在外电场力作用下从物体
的 一部分转移至另一部分 。
3、物质按导电性能分类
(1) 导体
(2) 绝缘体
(3) 半导体
四、库仑定律
1、内容
真空中两个点电荷之间的相互作用力，其大小与两
者电量成正比、与它们之间的距离平方成反比，方向沿
两电荷连线，且同性相斥、异性相吸。
?12r
其中 为由 指向 的 单位矢量
12
1212
r
rr ???
1q 2q
同理有,
212
21
21
21 rr
qqkF ??? 1221 rr ??
即静止电荷之间的库仑力满足牛顿第三定律，
以后常略去足标。
数学表达形式为：
122
12
21
12 rr
qqF ???
其中 k为比例系数
122
12
21
12 rr
qqkF ???写成等式形式则有：
在 MKSA国际单位制（ SI）中，常用的基本物理量及其
基本单位为：长度 L（ m）、温度 T（ K）、电流 I（ A）、
时间 t （ S）,分子量 （ mol）、质量 m（ kg）。
依据物理公式导出的其它物理量的单位称为导出单位，
例如：
(1) 电量的单位 — 依据 秒安培库仑导出为 ??? 11tIq
(2) 的大小 — 在库仑定律中由物理测量确定：k
设两点电荷,真空中相距 r =1m,力的单
位为牛顿 (N)。所得数值为：
Cqq 121 ??
2、电量的单位及 的数值k
2
29109
CmNk ???
2
212
0 1085.8 mNC ???
??
ε0称为真空介电常数，是电学中的重要常数。至此，
库仑定律可表述为：
rr qqF ?4 1 2 21
0??
?
?
为以后使用方便 (少出现因子 ），取,则
04
1
???k?4
3、关于库仑定律的几点说明：
(1) 真空、点电荷间作用力
真空 — 物理上指没有原子或分子存在的空间, 但并非
一无所有；
点电荷 — 指带电体本身几何线度比它与其它带电体的间
距小得多（ ），象质点一样是客体的抽
象，是理想模型（抓住主要方面 ),具有相对意义。
rl ??
(2) 静止电荷
库仑定律中的相对观察者（或实验室）都处于静止状态。
推广,静止电荷对运动电荷的作用力仍满足库仑定律
2
0
2
4 r
ZeF
????
反之不然,例：原子核 → 电子，,吸引力。
(3) 库仑力为有心力，且与距离平方成反比
此双层信息包含更深层次的含义：
??
???
???
??
有势场。存在势函数关做功与路径无有心力
有源场；高斯定理距离平方反比
(4) 库仑定律是实验定律，是静电学的基础
库仑定律的距离平方反比律精度非常之高
若,则实验测出：
??? 2
1
rF
16102 ????
(6) 库仑力满足牛顿第三定律 。
即
2112 FF
?? ??
(5) 库仑定律的适用范围
、小至 的量级是可靠的。m1510?mr 710大至
五、静电力的叠加原理
两点电荷之间的作用力不因为第三个电荷的存在而改变,
不管一个体系中存在多少个点电荷, 每一对电荷之间的作用
力都服从库仑定律, 而任一点电荷所受的合力则等于所有其
它点电荷单独作用于该电荷的库仑力之矢量和 。
1、电荷分立分布
设体系有 N个点电荷，第 j个点电荷所受合力为
ij
ij
ji
jii
ij
jii
j rr
qq
ff ?
4
1
2
0)()( ??
??
??
??
??
分析可知,q 所受合力为图示中三力之矢量和
-q
q
a
a
-q
q
例：
边长为 的正方形顶点置四个等量异号的点电荷，
如图所示，求点电荷 q所受的合力。a
2、电荷连续分布
推广至真空中连续体电荷分布对 q0之作用力，有
[说明 ]
力叠加原理在宏观范围内未发现失效, 但对诸如原子
或亚原子范围非常小的距离范围时, 则不成立 。
r
r
dqqf ?
4 20
0 ??
??
?
dq q0r?
（ 2） 库仑定律 + 叠加原理, 构成静电学的基础 。
小 结
（ 1）电荷是物质的一种属性：同性电荷相斥，异性电荷相吸；
电荷守恒定律，电荷的量子化。
§ 2 电场和电场强度
一、电场
库仑定律给出了两点电荷之间的相互作用力，
但并未说明作用的传递途径，下面给予分析。
1,两种观点
(2) 近距作用观点：
一个电荷对另一电荷的作用是通过空
间某种中间物为媒介，以一定的有限速度传递过去。
(1) 超距作用观点：
一个点电荷对另一电荷的作用无需经中间物体传递,
而是超越空间直接地, 瞬时地发生 。
即,电荷 电荷?
近代物理学的发展证明,近距作用观点是正确 的, 这个
传递电力的中间媒介不是, 以太,, 而是靠电场以有限速度
传递 （ 磁力通过磁场 ）, 这个有限速度在真空中即光
速,。smc 8103 ???
2、场的概念
在力学中已学过 万有引力场, 重力场, 弹性力场 等,
这里谈 电场 。
凡是有电荷的地方，围绕电荷周围空间存在电场，即电
荷在其周围空间激发电场，且电场对处在其中的其它电荷施
加力的作用。该作用仅由该电荷所在处的电场决定，与其它
地方的电场无关，表明电力作用方式：
电荷 —— 电场 —— 电荷
[说明 ]
(1) 场与实物一样具有能量, 动量等, 可以脱离场源而单独存
在, 即电磁场是物质的一种形态 。
(2) 静止电荷产生的电场为静电场, 电磁场的 物质性, 近
作 用观点 的正确性在时变场情况下更加显示出来 。
c
rt??
c
rt??
r
变化的电荷 q1激发变
化的电场，对 q2的作用需
推迟时间,
二、电场强度
运用电场的 重要性质 —— 对置于其中的电荷施力作用来
定义场强, 且用该电荷作为研究和检测电场的工具, 此电荷
称为 试探电荷, 而激发电场的电荷称为 场源电荷 。
场点置试探电荷 q0,检测由场源区 Q在场点 P处之场的强
弱 （ 大小, 方向 ） 。
r
q0
P
Q
1,试探电荷
2,场强
满足 条件, (1) 电荷 q0的电量应足够小, 以致对场源电荷
影响小；
(2) 电荷 q0的尺度应尽可能小，以致精确定位于
场点处。
场内任一确定点，试探电荷 q0所受的电力与 q0的大小
有关，即电力由电场与试探电荷 q0双方共同决定，反映了
两方面 因素，用此力描述场不能确切地反映场本身的属性。
据库仑定律，此电力与 q0成正比，说明 与 q0无关，
仅由电场单方面属性决定。 0q
F
定义电场强度 为, E?
0q
FE
??
?
(1) 的大小：等于单位电量（ ）试探电荷在
该点所受的电场力；
(2) 的方向：同于正电荷在该处所受电力的方向。
E?
E?
cq 10 ?
它表示电场中任一点电场强度的数值大小及方向。
3、讨论
（ 1）场强是矢量物理量。
既有大小，又有方向，且是空间位置矢量的
点函数，形成一个空间场分布，即电场 构成
空间矢量场：
E?
),,( zyxEE ?? ?
(2) 场强的单位
CN 或 mV
(3) 场强定义式的变形
EqF ?? 0?
该式适用性远超过库仑定律的原始形式 r
r
qqF ?
4 20
0
???
?
它表示只要空间有场,不论是静电场，还是时
变电场，场中 q0受力仍如此式计算。但须注意：计算
静电力时不可“自举”。
E?
(4) 匀强电场
(5) 强调 指出,并非与 q0成反比，而是无关；此外不要
受 q0符号书写上的影响，不能见到 q0即认定为试探电
荷；场的概念至关重要，应牢固建立，它是电磁学整
体知识之基础。
E?
某区域中 的大小、方向均不随位置 而变。如
平行板电容器内的 。
r?
E?
某区域中 的大小、方向均不随位置 而变。如
平行板电容器内的 。
E?
(6) 点电荷之场
2
00
2
0
0
4
?
?
4
1
r
rQ
q
F
E
r
r
Qq
F
??
??
???
?
?
?
?
?
表明：点电荷的电场在空间上具有球对称性分布。
三、场强叠加原理
1、叠加原理内容
设 n个点电荷 共同在 P点产生的场强
为, P点置检验电荷 q0，据电场力叠加原理：
nqqq,、,.,,,,,,21
E?
?
?
?????
n
i
in FFFFF
1
21,,,,,,
?????
由场强定义式可得合电场为,
?
?
??????
n
i
i
n E
q
F
q
F
q
F
q
FE
100
2
0
1
0
..,.,.,
??????
即,一组点电荷在某点产生的合场强等于各点电荷单独
存在时在该点产生的场强之矢量和
2、点电荷系的电场
若场源由点电荷系 组成，设 为
第 i个点电荷 qi单独在空间某点 P处之场，则合场为（矢量
和）：
nqqq,、,.,,,,,,21 iE
?
??
??
??
n
i
i
i
i
n
i
i rr
qEE
1
2
01
?
4
1
??
??
3、电荷连续分布的电场
当带电体不能作为点电荷处理时, 就需要考察细节,
即带电体的形状, 大小, 电荷分布情况, 想象把它分割成
许多足够小的电荷元 dq—— 每一元电荷当作点电荷处理,
则整体在所考察点之场为
r
r
dqEdE
vV
?
4
1
2
0
?? ?? ??
??
注意,即使是空间点 P指定，但 也是变量。r?
下面对 dq及几何元的取法给予说明：
(1) 电荷元 dq的取法
电荷连续分布，引用电荷密度描述（均以体分布为基础）：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
???
?
?
?
???
?
?
?
??
??
??
dldq
dl
dq
l
q
c
dsdq
ds
dq
s
q
b
dVdq
dV
dq
V
q
a
l
s
V
??
??
??
，线分布：
，面分布：
，体分布：
0
0
0
lim)(
lim)(
lim)(
均是标量点函数。带电面、带电线均为理想模型，注
意其满足的适用条件。 ???,,
(2) 几何元 的取法：dldsdV,,
在解决实际问题的计算中，要注意选用合适的坐标系，会
给计算带来方便。例如：
① 球坐标系 —— （ ）??,,r
drddrdV ???s in2?
??? drddrds 22 s in ??? 2rdsd ??
222 )()c o s()( drdrrddl ??? ???
（ 为立体角）
② 柱坐标系 —— （ ）
zr,,?
dzdrrddV ??
dzrdds ??
222 )()()( dzdrdrdl ??? ?
③ 直角坐标系 —— （ ）zyx,,
dzdydxdV ?
等,)()(1 22 d x d ydydzdxdzds ???
222 dzdydxdl ???
dzkdyjdxild ???? ???（ ）。
实用特例,如图 1-9中常见带电体 dq的取法：
(a) 带电直线：
(b) 带电圆环：
(c) 带电圆盘或面：
对于均匀带电或 分布, 可取圆环带上带
电
(d) 带电球体：
dzdq ??
?? Rddq ?
drrddq ???
)(r?? ?
rdrdq ?? 2?
drddrdVdq ????? s in2???
对于均匀带电或分布, 可取球壳带电元为：)(r?? ?
drrdq 24???
Z
z
0
dq =λ d z
dq = Rdθλ
R
0 x
dθ
⌒
(a) 带电直线 (b) 带电圆环
????? ddRdsdq s in2????带电球面,
环带 dq =2π r d rσ
0 x
r R
(c) 带电圆盘（面） (d) 带电球体、球面
四,电场的计算
理论基础 为：点电荷电场 + 场强叠加原理
1、电场的计算 —— 已知电荷分布，求电场分布
- +
r
x
l? P
① 场点在延长线上。
例 1：求电偶极子的电场。
i
l
r
rlq
i
l
r
l
r
q
EEE
?????
2
2
20220 )
4
(
2
4
)
2
(
1
)
2
(
1
4
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
??
????
3
0
3
0
2
4
1
4
2
r
pi
r
qlrl ??
????
??
??
② 场点在中垂线上。
经分析可知：,合场强 方
向如图所示，其大小为：
_EE
?? ?
? ?? ?? EEE ???
iEE ?? ?c o s2 ???
2
3
2
2
0
2
3
2
2
0 )
4
(4)
4
(4
2
2
l
r
p
i
l
r
ql
?
??
?
??
????
??
3
04 r
prl
??
?
??
??
③ 场点在空间 *一般位置
分解电偶极矩 为lqp ?? ?
?
?
s in
c o s//
pp
pp
?
?
?
应用上述①、②的结果进行叠加，用 即可表示 。?,r E?
例 2:均匀带电细棒，长为,带电量为,求中垂面上
的场。
l2
q
对称取元电荷，如 图 所示，,分析
它们在 P点合场强的特征，得合场大小为
dZdqlq ?? ??,2
? ? 220 0 2201 42c o s2 zr
r
zr
dzdEE l l
?
?
?
??? ? ?
??
??
? ? 2200 23220 2
1
2
1
lr
l
rzr
r d zl
?
?
?
? ? ?
??
?
??
[讨论 ],
① 当,无限长均匀带电线之电场为rl ??
rE ??
?
2?
E?② 是矢量, 大小, 方向均需指出；
③ 有时对称分析显得十分必要, 例如上述问题中场无平行于直
线的分量；
④ 延拓思考：
若场点 P在一端延长线上或 P点不在中垂面上呢？
（课外练习）
例 3：求图示均匀带电圆环轴线上的电场
? ? 2322020 4
co s
4 xR
qx
r
dlE
?
?? ?
??
?
??
?
可讨论：
② 情况：Rx ??
③ 场极大值发生在 处：
2
Rx ?
④ 延拓思考：均匀带电圆盘轴线上的场：
① x=0 点处,
例 4：均匀带电圆盘轴线上的场
? ?
)
)(1
1
1(
22 200 23220
x
Rxr
r drx
E
R
?
??
?
? ?
?
?
?
?
当 R 时,；当 时，则成为点电荷模型。??
02?
??E Rx ??
2、受力的计算
基础公式,EqF ?? ?
例 1,电偶极子 在均匀电场 中所受的力 和力矩 。p?
0E
? F? M?
?F
?
?F
? oE
?
（ 1）合力：,
0??? ?? FFF ???
?? s in2s in2 lFlFM ???? ??
?? s ins in22 00 q lElqE ???
?s in0PE?
综上可知在均匀电场 中，电偶极子 的运动行为是：
只转动、不平动 。（若场非均匀，则会发生平动）
0E
? p?
0EPM
??? ??写成 矢量式 为：
（ 2）合力矩：对 0点产生的力矩 为M?
例 2：研究示波器中电子的电偏转
质量为 m、电量为 e的电子以初速 v0进入极板间均匀电场
为 的电场中，则参数方程为E?
??
?
?
?
??
?
22
0
2
1
2
1
t
m
eE
aty
tvx
消去 t后得轨迹方程为,2
2
02
xmveEy ?
由图中其余几何尺寸，可求得屏上偏转距,其中,段为
抛物线,段为直线。
By
?OA
AB
B
§ 3 高斯定理
一、电力线
电力线作为一种辅助工具, 形象, 直观地描绘电场,
电场是矢量场, 引入电力线要反映场的两个方面
方向
大小
??
??
S
NE
其中 表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数 —— 电力
线数密度。
??
?
S
N
作法如下：
(1) 反映电场方向 —— 曲线上每点切向与该点场方向一致；
(2) 反映电场大小 —— 用所画电力线的疏密程度表示, 电力线
数密度 与该点场的大小成正比
在 SI制中，比例系数取 1，则,
即 。
??
??
S
NE
SESEN ?????? ?c o s??
(1)电力线起自正电荷 （ 或来自无穷远处 ）, 止于负电荷 (或
伸向无穷远处 ),不会在没有电荷的地方中断 — 不中断；
3、电力线的普遍性质
(2) 对于正, 负电荷等量的体系, 正电荷发出的电力线全部
集中到负电荷上去；
(3) 无电荷空间任两条电力线不相交；
二、电通量
1、定义：
在电场中通过一曲面元的电通量定义为：
)(c o s NsEsEE ????????? ???
为面元矢量,为面元的法线方向为面元的法线方向nss ?? ??? n?
对于非无限小的曲面,有
? ? ????
S S
E sdEdsE
??c os
对于闭合曲面 为：
? ? ???? S SE sdEdsE ???c o s
并规定,取闭合曲面 S的外法向矢为正
,为正, 表明有电力线穿出
,为负，表明有电力线穿入
90?? E??
90?? E??
2、点电荷场中电通量示例
r
r
qE ?
4 20??
?
? （使用库仑定律）
(1) 面元的电通量
Ed?
对应的立体角为sd ? 22co s rdsrdsd ???? ? 故
2
0
2
0 4
c o s
4
?
r
qdsdsn
r
rqsdEd
E ??
?
??
?????? ??
?
??? ? dqrdsq
0
2
0 44 ????
(2) 任意曲面 的电通量s
E?
(3) 任意闭合曲面 的电通量s
E?
① 当 q在 S内：图 (a)
② 当 q在 S外：图 (b)
(a)
(b)
[说明 ]
(1) 电场对任曲面的 ΦE在数值上等于通过该曲面电力线的条数
(a) (b)
(2) ΦE的有效性相当于只一次穿过闭合面；
三, 高斯定理
?
??
?
?
?
????
SE
sq
sqq
sdE
)(0
)(
0
外在
内在
???
设空间有一组点电荷,
则任一点的场为
ni qqqq,、、,??21
?
?
?
n
i
iEE
1
?? （ 场叠加原理 ）
1,单个点电荷情况
2、多个点电荷情况
又令一任意形状的闭曲面 S包围电荷
iqqq,、,....21
而 另外电荷 在 S之外, 则,
ni qq,,...1?
sdEEEsdE S nSE ?????? ???????? ?? ).,,( 21
sdEEsdEEE nS iS i ??????? ????????? ?? ? ).,,().,,( 121
?????
)(0
21
0
1)...(1
内s
ii qqqq ??
即分立电荷时，有
?? ??
内S
iS qsdE
0
1
?
??
3、电荷连续分布情况
?? ?? VS dVsdE ??
0
1??
上式即为 高斯定理的数学表述
它表明：通过任一闭合曲面 S的电通量 ΦE等于该闭合曲面所围
所有电荷电量的代数和 除以 ε0，与闭合曲面外
的电荷无关。 )( ?? dvq i ?或
(1) 高斯定理是静电场基本定理之一，反映了静电场是 有源场 。
(2) 高斯定理给出了场 与场源 q间的一种联系，这种联系非直
接。
E?
若 =0,则 ΦE =0,但不意味着 S面上处处 =0。
仅指 S内电荷电量的代数和（可正、可负），而 则指
空间所有电荷激发场之合贡献。
内q E?
内q E?
4,高斯定理的几点认识与说明
(3)一般地, 不能用此求得每个场点的场强, 仅当电荷分布乃
至场分布具有某种对称性时, 才能仅用此求得场 。 但求不
出时切不可误作该定理不成立 。
(4) 高斯定理是从库仑定律导出的, 因而, 此定理正确与否,
是证明库仑定律正确性的一种间接方法 。
(5) 认为高斯定理与库仑定律完全等价或从高斯定理出发可
导出库仑定律的看法是欠妥的，库仑定律比高斯定理包含
更多信息。
四, 高斯定理的应用
(1) 说明电力线的起点和终点
(2) 说明电力线的疏密与的大小关系
1、应用高斯定理说明电力线的性质
2,解题示例
(1)电荷分布乃至场分布具有一定对称性时, 可用
此定理求空间的场分布 。
(2) 解题步骤
① 分析场的对称性，明确 的方向；E?
(3) 典型问题：已知电荷分布 ),,(),,,( zyxEEzyx ?? ?? 求??
② 选取合适的高斯面 ；
? ??? sdEE ??③ 计算 ；
内q
④ 计算 ；
⑤ 应用定理求 的大小，结合方向得出 。E? E?
例 1：求均匀带电 q，半径为 R的球壳内、外之场。
场强大小分布如图
例 2：均匀带正电 q,半径为 R的球体内, 外之场 。
E ~ r曲线如图
0
R
例 3：均匀带电线密度为 λ的无限长细棒之场
半径为 R的均匀带电体密度为 ρ的 长圆柱体,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
2
)(
2
0
0
2
Rr
r
Rr
r
R
E
?
?
?
?
半径为 R的均匀带电面密度为 σ的 长圆柱面,
?
?
?
?
?
?
?
?
)(0
)(
0
Rr
Rr
rE ?
?
[拓宽知识 ]
例 4：均匀面密度为 σ的无限大平面薄板之场
(1)厚度为 2d,均匀带电体密度为 ρ的 无限大平板, 如下图 (a)
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
2
)(
2
0
0
板内
板外
?
?
?
?
x
d
E
[拓宽知识 ]
(2) 组合无限大均匀带电的平面, 示例与说明见上图 (b),(c)
(3) 均匀带电椭球体, 上图 (d)
椭球体内、外场点处的场不能由上述高斯
定理求出，但不意味着该定理不成立。
§ 4 电位及其梯度
一, 静电场的环路定理
1、静电场力做功与路径无关：
(1) 点电荷形成的场中电场力做功：
a
bI
II起点
q0
(2) 任意带电体系的电场中场力做功
数学表示：
? ??l ldE 0??
2,静电场是保守场 —— 环路定理
? ??l ldE 0??
静电场力移动单位正电荷一周做功为零 。
二, 电势差和电势
1,外力做功
2,电势能
电场力做正功, 电势能 减少 ；电场力做负功电势能 增加
着重指出几点：
（ 1）电位能 W是体系所 共有 的
（ 2）电势能差是绝对的，但电势能是相对的，电势能
与电势能零点的选取有关。
（ 3） 电势能是标量。
3,电势差及电势
（ 1）电势差：
? ?????? QPQPPQ ldEq QWPWUUU ??
0
)()()(
即单位正电荷在场中 P,Q 两点的电势能之差，反映场
本身在 P,Q两点的属性。
(2) 电势是标量，有正负、高低之分。
某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。
结论：
?
?
?
?
?
?
?
低负荷在远点
高正荷在远点
负场源中
在远点处电势能高负
在远点处电势能低正
正场源场中
W
W
q
q
0
0
电势能高低
?
?
)0(
)0(
P
P
V
V
电势高负场源电荷之场中远点
电势高正场源电荷之场中近点
电势高低
（ 2）电势
① 用电势能定义：
? ? ??? PP ldEq PWU ??
0
)(
② 用电势差定义：
? ?? QPP ldEU ?? （选 Q点为 0电势参考点 ）
对于电荷分布在有限域，常选 0?
?U
? ? ?? PP ldEU ??
几点说明：
a,电势差与电势零点的选取无关, 具有绝对意义；
而电势则不然 。
b,电势差 （ 即电压 ） 与电势的关系为：
QPQP
Q
PPQ UUldEldEldEU ???????? ???
?? ??????
c,场中某点电势能用电势表示为,
? ? ??? P PP UqldEqW 00 ??
4,电势能和电势的单位：
在 SI制中,
电势能 —— 焦耳（ J） Jev 19106.11 ???
电势 ——— 伏特（ V）
伏特库仑焦耳 11 ?
5,说明：
（ 1） 区别电势与电势能
空间某点的 电势 与试探电荷 q0无关, 反映电场本身的性质；
电势能 则与场中某点的 q0大小及正, 负有关, 为场及试探电荷
所共有 。
（ 2）推论,
i) 正场源电荷的场中，近电荷处 高；负场源电
荷的 情况则反之 P
U
ii) 正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点；
负电荷则相反
iii) 沿电力线方向电势逐点降低
三, 电势的计算
1、方法之一：场强积分法
已知场分布, 代入),,( zyxEE ?? ? ? ??? Q
PQP ldEUU
??
例 1：试求点电荷电场中的电势分布。
q
P
rp
∞
例 2：求均匀带电为 q, 半径为 R的薄球壳的电势分布 。
由高斯定理可知空间的电场分布具有球对称性
?
?
?
?
?
?
?
?
)(,0
)(,
4)( 20
Rr
Rr
r
q
rE ??
例 3：无限大均匀带电 平面。?
+σ
dP
0 x
U
电荷分布无限，不能取 参考。
可选取平面上 参考。
0??U
0?面U
2,方法之二：电势叠加原理法
当电荷分布于有限域内, 可选, 则0?
?U
点电荷场中,? ? ???
r r
qldEU
04 ??
??
点电荷组场中,?
? ? ? ? ????? ? ? i ir i i r ii UldEldEU ????
连续电荷分布：
r
dqdU
04??
? ),,( dldsdvdq ????
?? rdqU
04
1
??
例 1：电偶极子的电势。
选用球坐标系变量表述，用
?? ??? ? UUUU i i
)θ
r－ r+r
P
－ ＋0 Z
－ q +q
??
??
??
????
rr
rrq
r
q
r
qU
000 444 ??????
其中：
?? c o s2c o s2 lrrlrr ???? ??,
lr ??
22
2
2 co s
4 r
lrrr ???
?? ? ?c o slrr ?? ??
3
0
2
0
2
0 44
co s
4
co s
r
rP
r
P
r
qlU
????
?
??
? ?
?
????
例 2*：已知空间电荷分布具有球对称性，,
求空间距中心 R处的 U分布。
),(0 为常数are ar?? ??
0 r r
R P
dr
内
·
（ 1） 可用场强积分法：
用高斯定理求出 E分布，再由 积分便可得果。???
RP E d rU
（ 2） 也可用电势叠加原理做。
四, 等势面 电势梯度
1,等势面
（ 1）定义：
静电场中电势相等的点的集合一般是一个曲
面 (或体 ),此面即称等势面 。
（ 2）规定：
规定相邻两等势面之间的电势差相等, 即相邻等势面
间 相同 。 因此等势面疏密反映场的强弱 。U?
（ 3） 性质：
① 等势面处处与电力线（即电场）垂直。
② 等势面密处 E大、疏处 E小。
n?
??
)(,小nnEldEU QP ?????? ? ??
在 相同下,小处 E大； 大处 E小。U? n? n?
n
UE
n ?
??
?? 0
lim
2,电势梯度
（ 1） 方向导数和梯度
在标量场 中, 过场点 P,U沿任意方向的
空间变化率 。
),,( zyxU
P
P’
l
PUPU
l
U
l
U
ll ?
???
?
??
?
?
????
)()(limlim
00
标量场中过 P点有无限多个方向，故方向导数有许多。
矢量分析中, 任一标量场 U之梯度定义为：
n? l?
大小 —— 等于标函数沿其等值面法向的方向导数
n
U
?
?
方向 —— 为等值面法向且指向 U的值增一侧 。
梯度是矢量, 记为 n
n
Ug ra d U ?
?
??
其中 为等值面单位法向, 指向 U值增一侧 。n?
(2) 电势与电场的微分关系
UEg r a d UE ????? ??,或
常用坐标系中, 梯度表示为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
Z
U
e
U
e
U
eU
r
U
e
r
U
e
r
U
eU
z
U
k
y
U
j
x
U
iU
z
r
???
???
???
???
???
??
??
柱坐标系：
球坐标系：
直角坐标系：
s i n
(3) 几点说明
① UE ????
是一矢量，其方向与 相反，而 U是一标量。E? gradU
② 电势公式与库仑定律等价
③ 与 U并非直接关系E?
UE ???? ? ?? ldEU ??
－ ＋ ＋ ＋
－ q ＋ q ＋ q ＋ q
P P E=0
U≠ 0
σ
0?PU(a) 但 0?PE?
0?U 0???nU并非
(b) 0?
PE 但 0?PU
0?E 0?U不一定
(4) 例题：半径为 a、均匀带电 圆盘。求轴线上的 U,E 。?
求解过程：
先求 U
圆环整个视为微元，环带上 ??rdrdq 2?
22
04 zr
dqdU
?
?
??
)(
22
22
0
220
0
0
zza
zr
r d rdUU aa ???
?
?? ??
?
?
?
?
再求 E?
k
za
z
k
z
U
E
???
)1(
2 220 ?
??
?
?
??
?
?
第一章 真空中静电场小结
一, 理论体系：
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
电场是有势场环路定理
电场为有源场高斯定理
叠加原理
库仑定律出发点,
二、内容：
1、一个定律,
3
0
21
4 r
rqqF ??
???
2、两个定理,
? ???s v dvsdE ??
0
1??
? ??l ldE 0??
3、两个物理量,—— 反映场力性质，,
要求唯一。
E? EqF ?? ?
—— 反映场能性质,,
要求可微 。
U qUW ?
4,三种方法：已知电荷分布, 求电场分布
(1) 场强公式；
(2) 高斯定理；
(3) UE ????
5、场的形象化几何描述：
电力线 —— 规定, 性质, 通量 ? ??? sdE ??
等势面 —— 规定、性质、梯度 n
n
Ug ra d U ?
?
??
三, 三者关系网UEq,,?
1,Eq ?? ??
r
dqU
04
1
??
Uq ?2,?? r
r
dqE ??
3
04
1
?? ? ?
??s v dvsdE ??
0
1??
UE ??3,? ??
L ldEU
?? UE ????
§ 1 静电的基本现象和基本规律
§ 2 电场 电场强度
§ 3 高斯定理
§ 5 电位及其梯度
§ 1 静电场的基本现象和基本规律
1,摩擦起电
一, 电荷
物体由于摩擦有了吸引轻小物体的性质, 它就带了电,
有了电荷, 这种带电叫摩擦起电 。
2,两种电荷
实验表明，自然界中只存在两类电荷：正电和负电，
且同性电荷相斥、异性电荷相吸引。
规定,丝绸摩擦过的玻璃棒，棒上带电为正；毛皮摩擦
过的硬橡胶棒，棒上带电为负。
3、电荷测量
（ 1）电量的测量
验电器 静电计
（ 金属球 ）
（ 金属箔 ）
动
静
(a) 验电器：张开情况可定性 (b) 静电计：弧度刻尺上读数,
说明电量多少 可用于测量电位
（ 2）电荷正负判定
已带某种已知电荷
张角变大
张角变小
同性
异性
二、静电感应 电荷守恒定律
1、静电感应
另一种重要的起电方法是静电感应，静电
感应实质上为电荷转移的过程：
(a) (b)
(c) (d)
A B A B
2、电荷守恒定律
电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一
个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到
另一部分，也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数
和是守恒的。
[说明 ],
(1) 电荷守恒是一切宏观, 微观过程均遵守的规律；
(2) 电荷的量子化；
电子电量大小 库仑,是电荷的最小单元，
物体带电是基本电子电量的整数倍（不连续）。
19106.1 ???e
三、物质的电结构 导体与绝缘体
1、物质组成与原子结构
中子
质子
原子核
核外电子
原子分子 ??
2、起电的物理解释
摩擦起电 —— 摩擦引起核外电子运 动速度 V变大, 克服
原子核的束缚而发生转移 。
感应起电 —— 导体中自由电子在外电场力作用下从物体
的 一部分转移至另一部分 。
3、物质按导电性能分类
(1) 导体
(2) 绝缘体
(3) 半导体
四、库仑定律
1、内容
真空中两个点电荷之间的相互作用力，其大小与两
者电量成正比、与它们之间的距离平方成反比，方向沿
两电荷连线，且同性相斥、异性相吸。
?12r
其中 为由 指向 的 单位矢量
12
1212
r
rr ???
1q 2q
同理有,
212
21
21
21 rr
qqkF ??? 1221 rr ??
即静止电荷之间的库仑力满足牛顿第三定律，
以后常略去足标。
数学表达形式为：
122
12
21
12 rr
qqF ???
其中 k为比例系数
122
12
21
12 rr
qqkF ???写成等式形式则有：
在 MKSA国际单位制（ SI）中，常用的基本物理量及其
基本单位为：长度 L（ m）、温度 T（ K）、电流 I（ A）、
时间 t （ S）,分子量 （ mol）、质量 m（ kg）。
依据物理公式导出的其它物理量的单位称为导出单位，
例如：
(1) 电量的单位 — 依据 秒安培库仑导出为 ??? 11tIq
(2) 的大小 — 在库仑定律中由物理测量确定：k
设两点电荷,真空中相距 r =1m,力的单
位为牛顿 (N)。所得数值为：
Cqq 121 ??
2、电量的单位及 的数值k
2
29109
CmNk ???
2
212
0 1085.8 mNC ???
??
ε0称为真空介电常数，是电学中的重要常数。至此，
库仑定律可表述为：
rr qqF ?4 1 2 21
0??
?
?
为以后使用方便 (少出现因子 ），取,则
04
1
???k?4
3、关于库仑定律的几点说明：
(1) 真空、点电荷间作用力
真空 — 物理上指没有原子或分子存在的空间, 但并非
一无所有；
点电荷 — 指带电体本身几何线度比它与其它带电体的间
距小得多（ ），象质点一样是客体的抽
象，是理想模型（抓住主要方面 ),具有相对意义。
rl ??
(2) 静止电荷
库仑定律中的相对观察者（或实验室）都处于静止状态。
推广,静止电荷对运动电荷的作用力仍满足库仑定律
2
0
2
4 r
ZeF
????
反之不然,例：原子核 → 电子，,吸引力。
(3) 库仑力为有心力，且与距离平方成反比
此双层信息包含更深层次的含义：
??
???
???
??
有势场。存在势函数关做功与路径无有心力
有源场；高斯定理距离平方反比
(4) 库仑定律是实验定律，是静电学的基础
库仑定律的距离平方反比律精度非常之高
若,则实验测出：
??? 2
1
rF
16102 ????
(6) 库仑力满足牛顿第三定律 。
即
2112 FF
?? ??
(5) 库仑定律的适用范围
、小至 的量级是可靠的。m1510?mr 710大至
五、静电力的叠加原理
两点电荷之间的作用力不因为第三个电荷的存在而改变,
不管一个体系中存在多少个点电荷, 每一对电荷之间的作用
力都服从库仑定律, 而任一点电荷所受的合力则等于所有其
它点电荷单独作用于该电荷的库仑力之矢量和 。
1、电荷分立分布
设体系有 N个点电荷，第 j个点电荷所受合力为
ij
ij
ji
jii
ij
jii
j rr
ff ?
4
1
2
0)()( ??
??
??
??
??
分析可知,q 所受合力为图示中三力之矢量和
-q
q
a
a
-q
q
例：
边长为 的正方形顶点置四个等量异号的点电荷，
如图所示，求点电荷 q所受的合力。a
2、电荷连续分布
推广至真空中连续体电荷分布对 q0之作用力，有
[说明 ]
力叠加原理在宏观范围内未发现失效, 但对诸如原子
或亚原子范围非常小的距离范围时, 则不成立 。
r
r
dqqf ?
4 20
0 ??
??
?
dq q0r?
（ 2） 库仑定律 + 叠加原理, 构成静电学的基础 。
小 结
（ 1）电荷是物质的一种属性：同性电荷相斥，异性电荷相吸；
电荷守恒定律，电荷的量子化。
§ 2 电场和电场强度
一、电场
库仑定律给出了两点电荷之间的相互作用力，
但并未说明作用的传递途径，下面给予分析。
1,两种观点
(2) 近距作用观点：
一个电荷对另一电荷的作用是通过空
间某种中间物为媒介，以一定的有限速度传递过去。
(1) 超距作用观点：
一个点电荷对另一电荷的作用无需经中间物体传递,
而是超越空间直接地, 瞬时地发生 。
即,电荷 电荷?
近代物理学的发展证明,近距作用观点是正确 的, 这个
传递电力的中间媒介不是, 以太,, 而是靠电场以有限速度
传递 （ 磁力通过磁场 ）, 这个有限速度在真空中即光
速,。smc 8103 ???
2、场的概念
在力学中已学过 万有引力场, 重力场, 弹性力场 等,
这里谈 电场 。
凡是有电荷的地方，围绕电荷周围空间存在电场，即电
荷在其周围空间激发电场，且电场对处在其中的其它电荷施
加力的作用。该作用仅由该电荷所在处的电场决定，与其它
地方的电场无关，表明电力作用方式：
电荷 —— 电场 —— 电荷
[说明 ]
(1) 场与实物一样具有能量, 动量等, 可以脱离场源而单独存
在, 即电磁场是物质的一种形态 。
(2) 静止电荷产生的电场为静电场, 电磁场的 物质性, 近
作 用观点 的正确性在时变场情况下更加显示出来 。
c
rt??
c
rt??
r
变化的电荷 q1激发变
化的电场，对 q2的作用需
推迟时间,
二、电场强度
运用电场的 重要性质 —— 对置于其中的电荷施力作用来
定义场强, 且用该电荷作为研究和检测电场的工具, 此电荷
称为 试探电荷, 而激发电场的电荷称为 场源电荷 。
场点置试探电荷 q0,检测由场源区 Q在场点 P处之场的强
弱 （ 大小, 方向 ） 。
r
q0
P
Q
1,试探电荷
2,场强
满足 条件, (1) 电荷 q0的电量应足够小, 以致对场源电荷
影响小；
(2) 电荷 q0的尺度应尽可能小，以致精确定位于
场点处。
场内任一确定点，试探电荷 q0所受的电力与 q0的大小
有关，即电力由电场与试探电荷 q0双方共同决定，反映了
两方面 因素，用此力描述场不能确切地反映场本身的属性。
据库仑定律，此电力与 q0成正比，说明 与 q0无关，
仅由电场单方面属性决定。 0q
F
定义电场强度 为, E?
0q
FE
??
?
(1) 的大小：等于单位电量（ ）试探电荷在
该点所受的电场力；
(2) 的方向：同于正电荷在该处所受电力的方向。
E?
E?
cq 10 ?
它表示电场中任一点电场强度的数值大小及方向。
3、讨论
（ 1）场强是矢量物理量。
既有大小，又有方向，且是空间位置矢量的
点函数，形成一个空间场分布，即电场 构成
空间矢量场：
E?
),,( zyxEE ?? ?
(2) 场强的单位
CN 或 mV
(3) 场强定义式的变形
EqF ?? 0?
该式适用性远超过库仑定律的原始形式 r
r
qqF ?
4 20
0
???
?
它表示只要空间有场,不论是静电场，还是时
变电场，场中 q0受力仍如此式计算。但须注意：计算
静电力时不可“自举”。
E?
(4) 匀强电场
(5) 强调 指出,并非与 q0成反比，而是无关；此外不要
受 q0符号书写上的影响，不能见到 q0即认定为试探电
荷；场的概念至关重要，应牢固建立，它是电磁学整
体知识之基础。
E?
某区域中 的大小、方向均不随位置 而变。如
平行板电容器内的 。
r?
E?
某区域中 的大小、方向均不随位置 而变。如
平行板电容器内的 。
E?
(6) 点电荷之场
2
00
2
0
0
4
?
?
4
1
r
rQ
q
F
E
r
r
F
??
??
???
?
?
?
?
?
表明：点电荷的电场在空间上具有球对称性分布。
三、场强叠加原理
1、叠加原理内容
设 n个点电荷 共同在 P点产生的场强
为, P点置检验电荷 q0，据电场力叠加原理：
nqqq,、,.,,,,,,21
E?
?
?
?????
n
i
in FFFFF
1
21,,,,,,
?????
由场强定义式可得合电场为,
?
?
??????
n
i
i
n E
q
F
q
F
q
F
q
FE
100
2
0
1
0
..,.,.,
??????
即,一组点电荷在某点产生的合场强等于各点电荷单独
存在时在该点产生的场强之矢量和
2、点电荷系的电场
若场源由点电荷系 组成，设 为
第 i个点电荷 qi单独在空间某点 P处之场，则合场为（矢量
和）：
nqqq,、,.,,,,,,21 iE
?
??
??
??
n
i
i
i
i
n
i
i rr
qEE
1
2
01
?
4
1
??
??
3、电荷连续分布的电场
当带电体不能作为点电荷处理时, 就需要考察细节,
即带电体的形状, 大小, 电荷分布情况, 想象把它分割成
许多足够小的电荷元 dq—— 每一元电荷当作点电荷处理,
则整体在所考察点之场为
r
r
dqEdE
vV
?
4
1
2
0
?? ?? ??
??
注意,即使是空间点 P指定，但 也是变量。r?
下面对 dq及几何元的取法给予说明：
(1) 电荷元 dq的取法
电荷连续分布，引用电荷密度描述（均以体分布为基础）：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
???
?
?
?
???
?
?
?
??
??
??
dldq
dl
dq
l
q
c
dsdq
ds
dq
s
q
b
dVdq
dV
dq
V
q
a
l
s
V
??
??
??
，线分布：
，面分布：
，体分布：
0
0
0
lim)(
lim)(
lim)(
均是标量点函数。带电面、带电线均为理想模型，注
意其满足的适用条件。 ???,,
(2) 几何元 的取法：dldsdV,,
在解决实际问题的计算中，要注意选用合适的坐标系，会
给计算带来方便。例如：
① 球坐标系 —— （ ）??,,r
drddrdV ???s in2?
??? drddrds 22 s in ??? 2rdsd ??
222 )()c o s()( drdrrddl ??? ???
（ 为立体角）
② 柱坐标系 —— （ ）
zr,,?
dzdrrddV ??
dzrdds ??
222 )()()( dzdrdrdl ??? ?
③ 直角坐标系 —— （ ）zyx,,
dzdydxdV ?
等,)()(1 22 d x d ydydzdxdzds ???
222 dzdydxdl ???
dzkdyjdxild ???? ???（ ）。
实用特例,如图 1-9中常见带电体 dq的取法：
(a) 带电直线：
(b) 带电圆环：
(c) 带电圆盘或面：
对于均匀带电或 分布, 可取圆环带上带
电
(d) 带电球体：
dzdq ??
?? Rddq ?
drrddq ???
)(r?? ?
rdrdq ?? 2?
drddrdVdq ????? s in2???
对于均匀带电或分布, 可取球壳带电元为：)(r?? ?
drrdq 24???
Z
z
0
dq =λ d z
dq = Rdθλ
R
0 x
dθ
⌒
(a) 带电直线 (b) 带电圆环
????? ddRdsdq s in2????带电球面,
环带 dq =2π r d rσ
0 x
r R
(c) 带电圆盘（面） (d) 带电球体、球面
四,电场的计算
理论基础 为：点电荷电场 + 场强叠加原理
1、电场的计算 —— 已知电荷分布，求电场分布
- +
r
x
l? P
① 场点在延长线上。
例 1：求电偶极子的电场。
i
l
r
rlq
i
l
r
l
r
q
EEE
?????
2
2
20220 )
4
(
2
4
)
2
(
1
)
2
(
1
4
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
??
????
3
0
3
0
2
4
1
4
2
r
pi
r
qlrl ??
????
??
??
② 场点在中垂线上。
经分析可知：,合场强 方
向如图所示，其大小为：
_EE
?? ?
? ?? ?? EEE ???
iEE ?? ?c o s2 ???
2
3
2
2
0
2
3
2
2
0 )
4
(4)
4
(4
2
2
l
r
p
i
l
r
ql
?
??
?
??
????
??
3
04 r
prl
??
?
??
??
③ 场点在空间 *一般位置
分解电偶极矩 为lqp ?? ?
?
?
s in
c o s//
pp
pp
?
?
?
应用上述①、②的结果进行叠加，用 即可表示 。?,r E?
例 2:均匀带电细棒，长为,带电量为,求中垂面上
的场。
l2
q
对称取元电荷，如 图 所示，,分析
它们在 P点合场强的特征，得合场大小为
dZdqlq ?? ??,2
? ? 220 0 2201 42c o s2 zr
r
zr
dzdEE l l
?
?
?
??? ? ?
??
??
? ? 2200 23220 2
1
2
1
lr
l
rzr
r d zl
?
?
?
? ? ?
??
?
??
[讨论 ],
① 当,无限长均匀带电线之电场为rl ??
rE ??
?
2?
E?② 是矢量, 大小, 方向均需指出；
③ 有时对称分析显得十分必要, 例如上述问题中场无平行于直
线的分量；
④ 延拓思考：
若场点 P在一端延长线上或 P点不在中垂面上呢？
（课外练习）
例 3：求图示均匀带电圆环轴线上的电场
? ? 2322020 4
co s
4 xR
qx
r
dlE
?
?? ?
??
?
??
?
可讨论：
② 情况：Rx ??
③ 场极大值发生在 处：
2
Rx ?
④ 延拓思考：均匀带电圆盘轴线上的场：
① x=0 点处,
例 4：均匀带电圆盘轴线上的场
? ?
)
)(1
1
1(
22 200 23220
x
Rxr
r drx
E
R
?
??
?
? ?
?
?
?
?
当 R 时,；当 时，则成为点电荷模型。??
02?
??E Rx ??
2、受力的计算
基础公式,EqF ?? ?
例 1,电偶极子 在均匀电场 中所受的力 和力矩 。p?
0E
? F? M?
?F
?
?F
? oE
?
（ 1）合力：,
0??? ?? FFF ???
?? s in2s in2 lFlFM ???? ??
?? s ins in22 00 q lElqE ???
?s in0PE?
综上可知在均匀电场 中，电偶极子 的运动行为是：
只转动、不平动 。（若场非均匀，则会发生平动）
0E
? p?
0EPM
??? ??写成 矢量式 为：
（ 2）合力矩：对 0点产生的力矩 为M?
例 2：研究示波器中电子的电偏转
质量为 m、电量为 e的电子以初速 v0进入极板间均匀电场
为 的电场中，则参数方程为E?
??
?
?
?
??
?
22
0
2
1
2
1
t
m
eE
aty
tvx
消去 t后得轨迹方程为,2
2
02
xmveEy ?
由图中其余几何尺寸，可求得屏上偏转距,其中,段为
抛物线,段为直线。
By
?OA
AB
B
§ 3 高斯定理
一、电力线
电力线作为一种辅助工具, 形象, 直观地描绘电场,
电场是矢量场, 引入电力线要反映场的两个方面
方向
大小
??
??
S
NE
其中 表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数 —— 电力
线数密度。
??
?
S
N
作法如下：
(1) 反映电场方向 —— 曲线上每点切向与该点场方向一致；
(2) 反映电场大小 —— 用所画电力线的疏密程度表示, 电力线
数密度 与该点场的大小成正比
在 SI制中，比例系数取 1，则,
即 。
??
??
S
NE
SESEN ?????? ?c o s??
(1)电力线起自正电荷 （ 或来自无穷远处 ）, 止于负电荷 (或
伸向无穷远处 ),不会在没有电荷的地方中断 — 不中断；
3、电力线的普遍性质
(2) 对于正, 负电荷等量的体系, 正电荷发出的电力线全部
集中到负电荷上去；
(3) 无电荷空间任两条电力线不相交；
二、电通量
1、定义：
在电场中通过一曲面元的电通量定义为：
)(c o s NsEsEE ????????? ???
为面元矢量,为面元的法线方向为面元的法线方向nss ?? ??? n?
对于非无限小的曲面,有
? ? ????
S S
E sdEdsE
??c os
对于闭合曲面 为：
? ? ???? S SE sdEdsE ???c o s
并规定,取闭合曲面 S的外法向矢为正
,为正, 表明有电力线穿出
,为负，表明有电力线穿入
90?? E??
90?? E??
2、点电荷场中电通量示例
r
r
qE ?
4 20??
?
? （使用库仑定律）
(1) 面元的电通量
Ed?
对应的立体角为sd ? 22co s rdsrdsd ???? ? 故
2
0
2
0 4
c o s
4
?
r
qdsdsn
r
rqsdEd
E ??
?
??
?????? ??
?
??? ? dqrdsq
0
2
0 44 ????
(2) 任意曲面 的电通量s
E?
(3) 任意闭合曲面 的电通量s
E?
① 当 q在 S内：图 (a)
② 当 q在 S外：图 (b)
(a)
(b)
[说明 ]
(1) 电场对任曲面的 ΦE在数值上等于通过该曲面电力线的条数
(a) (b)
(2) ΦE的有效性相当于只一次穿过闭合面；
三, 高斯定理
?
??
?
?
?
????
SE
sq
sqq
sdE
)(0
)(
0
外在
内在
???
设空间有一组点电荷,
则任一点的场为
ni qqqq,、、,??21
?
?
?
n
i
iEE
1
?? （ 场叠加原理 ）
1,单个点电荷情况
2、多个点电荷情况
又令一任意形状的闭曲面 S包围电荷
iqqq,、,....21
而 另外电荷 在 S之外, 则,
ni qq,,...1?
sdEEEsdE S nSE ?????? ???????? ?? ).,,( 21
sdEEsdEEE nS iS i ??????? ????????? ?? ? ).,,().,,( 121
?????
)(0
21
0
1)...(1
内s
ii qqqq ??
即分立电荷时，有
?? ??
内S
iS qsdE
0
1
?
??
3、电荷连续分布情况
?? ?? VS dVsdE ??
0
1??
上式即为 高斯定理的数学表述
它表明：通过任一闭合曲面 S的电通量 ΦE等于该闭合曲面所围
所有电荷电量的代数和 除以 ε0，与闭合曲面外
的电荷无关。 )( ?? dvq i ?或
(1) 高斯定理是静电场基本定理之一，反映了静电场是 有源场 。
(2) 高斯定理给出了场 与场源 q间的一种联系，这种联系非直
接。
E?
若 =0,则 ΦE =0,但不意味着 S面上处处 =0。
仅指 S内电荷电量的代数和（可正、可负），而 则指
空间所有电荷激发场之合贡献。
内q E?
内q E?
4,高斯定理的几点认识与说明
(3)一般地, 不能用此求得每个场点的场强, 仅当电荷分布乃
至场分布具有某种对称性时, 才能仅用此求得场 。 但求不
出时切不可误作该定理不成立 。
(4) 高斯定理是从库仑定律导出的, 因而, 此定理正确与否,
是证明库仑定律正确性的一种间接方法 。
(5) 认为高斯定理与库仑定律完全等价或从高斯定理出发可
导出库仑定律的看法是欠妥的，库仑定律比高斯定理包含
更多信息。
四, 高斯定理的应用
(1) 说明电力线的起点和终点
(2) 说明电力线的疏密与的大小关系
1、应用高斯定理说明电力线的性质
2,解题示例
(1)电荷分布乃至场分布具有一定对称性时, 可用
此定理求空间的场分布 。
(2) 解题步骤
① 分析场的对称性，明确 的方向；E?
(3) 典型问题：已知电荷分布 ),,(),,,( zyxEEzyx ?? ?? 求??
② 选取合适的高斯面 ；
? ??? sdEE ??③ 计算 ；
内q
④ 计算 ；
⑤ 应用定理求 的大小，结合方向得出 。E? E?
例 1：求均匀带电 q，半径为 R的球壳内、外之场。
场强大小分布如图
例 2：均匀带正电 q,半径为 R的球体内, 外之场 。
E ~ r曲线如图
0
R
例 3：均匀带电线密度为 λ的无限长细棒之场
半径为 R的均匀带电体密度为 ρ的 长圆柱体,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
2
)(
2
0
0
2
Rr
r
Rr
r
R
E
?
?
?
?
半径为 R的均匀带电面密度为 σ的 长圆柱面,
?
?
?
?
?
?
?
?
)(0
)(
0
Rr
Rr
rE ?
?
[拓宽知识 ]
例 4：均匀面密度为 σ的无限大平面薄板之场
(1)厚度为 2d,均匀带电体密度为 ρ的 无限大平板, 如下图 (a)
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
2
)(
2
0
0
板内
板外
?
?
?
?
x
d
E
[拓宽知识 ]
(2) 组合无限大均匀带电的平面, 示例与说明见上图 (b),(c)
(3) 均匀带电椭球体, 上图 (d)
椭球体内、外场点处的场不能由上述高斯
定理求出，但不意味着该定理不成立。
§ 4 电位及其梯度
一, 静电场的环路定理
1、静电场力做功与路径无关：
(1) 点电荷形成的场中电场力做功：
a
bI
II起点
q0
(2) 任意带电体系的电场中场力做功
数学表示：
? ??l ldE 0??
2,静电场是保守场 —— 环路定理
? ??l ldE 0??
静电场力移动单位正电荷一周做功为零 。
二, 电势差和电势
1,外力做功
2,电势能
电场力做正功, 电势能 减少 ；电场力做负功电势能 增加
着重指出几点：
（ 1）电位能 W是体系所 共有 的
（ 2）电势能差是绝对的，但电势能是相对的，电势能
与电势能零点的选取有关。
（ 3） 电势能是标量。
3,电势差及电势
（ 1）电势差：
? ?????? QPQPPQ ldEq QWPWUUU ??
0
)()()(
即单位正电荷在场中 P,Q 两点的电势能之差，反映场
本身在 P,Q两点的属性。
(2) 电势是标量，有正负、高低之分。
某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。
结论：
?
?
?
?
?
?
?
低负荷在远点
高正荷在远点
负场源中
在远点处电势能高负
在远点处电势能低正
正场源场中
W
W
q
q
0
0
电势能高低
?
?
)0(
)0(
P
P
V
V
电势高负场源电荷之场中远点
电势高正场源电荷之场中近点
电势高低
（ 2）电势
① 用电势能定义：
? ? ??? PP ldEq PWU ??
0
)(
② 用电势差定义：
? ?? QPP ldEU ?? （选 Q点为 0电势参考点 ）
对于电荷分布在有限域，常选 0?
?U
? ? ?? PP ldEU ??
几点说明：
a,电势差与电势零点的选取无关, 具有绝对意义；
而电势则不然 。
b,电势差 （ 即电压 ） 与电势的关系为：
QPQP
Q
PPQ UUldEldEldEU ???????? ???
?? ??????
c,场中某点电势能用电势表示为,
? ? ??? P PP UqldEqW 00 ??
4,电势能和电势的单位：
在 SI制中,
电势能 —— 焦耳（ J） Jev 19106.11 ???
电势 ——— 伏特（ V）
伏特库仑焦耳 11 ?
5,说明：
（ 1） 区别电势与电势能
空间某点的 电势 与试探电荷 q0无关, 反映电场本身的性质；
电势能 则与场中某点的 q0大小及正, 负有关, 为场及试探电荷
所共有 。
（ 2）推论,
i) 正场源电荷的场中，近电荷处 高；负场源电
荷的 情况则反之 P
U
ii) 正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点；
负电荷则相反
iii) 沿电力线方向电势逐点降低
三, 电势的计算
1、方法之一：场强积分法
已知场分布, 代入),,( zyxEE ?? ? ? ??? Q
PQP ldEUU
??
例 1：试求点电荷电场中的电势分布。
q
P
rp
∞
例 2：求均匀带电为 q, 半径为 R的薄球壳的电势分布 。
由高斯定理可知空间的电场分布具有球对称性
?
?
?
?
?
?
?
?
)(,0
)(,
4)( 20
Rr
Rr
r
q
rE ??
例 3：无限大均匀带电 平面。?
+σ
dP
0 x
U
电荷分布无限，不能取 参考。
可选取平面上 参考。
0??U
0?面U
2,方法之二：电势叠加原理法
当电荷分布于有限域内, 可选, 则0?
?U
点电荷场中,? ? ???
r r
qldEU
04 ??
??
点电荷组场中,?
? ? ? ? ????? ? ? i ir i i r ii UldEldEU ????
连续电荷分布：
r
dqdU
04??
? ),,( dldsdvdq ????
?? rdqU
04
1
??
例 1：电偶极子的电势。
选用球坐标系变量表述，用
?? ??? ? UUUU i i
)θ
r－ r+r
P
－ ＋0 Z
－ q +q
??
??
??
????
rr
rrq
r
q
r
qU
000 444 ??????
其中：
?? c o s2c o s2 lrrlrr ???? ??,
lr ??
22
2
2 co s
4 r
lrrr ???
?? ? ?c o slrr ?? ??
3
0
2
0
2
0 44
co s
4
co s
r
rP
r
P
r
qlU
????
?
??
? ?
?
????
例 2*：已知空间电荷分布具有球对称性，,
求空间距中心 R处的 U分布。
),(0 为常数are ar?? ??
0 r r
R P
dr
内
·
（ 1） 可用场强积分法：
用高斯定理求出 E分布，再由 积分便可得果。???
RP E d rU
（ 2） 也可用电势叠加原理做。
四, 等势面 电势梯度
1,等势面
（ 1）定义：
静电场中电势相等的点的集合一般是一个曲
面 (或体 ),此面即称等势面 。
（ 2）规定：
规定相邻两等势面之间的电势差相等, 即相邻等势面
间 相同 。 因此等势面疏密反映场的强弱 。U?
（ 3） 性质：
① 等势面处处与电力线（即电场）垂直。
② 等势面密处 E大、疏处 E小。
n?
??
)(,小nnEldEU QP ?????? ? ??
在 相同下,小处 E大； 大处 E小。U? n? n?
n
UE
n ?
??
?? 0
lim
2,电势梯度
（ 1） 方向导数和梯度
在标量场 中, 过场点 P,U沿任意方向的
空间变化率 。
),,( zyxU
P
P’
l
PUPU
l
U
l
U
ll ?
???
?
??
?
?
????
)()(limlim
00
标量场中过 P点有无限多个方向，故方向导数有许多。
矢量分析中, 任一标量场 U之梯度定义为：
n? l?
大小 —— 等于标函数沿其等值面法向的方向导数
n
U
?
?
方向 —— 为等值面法向且指向 U的值增一侧 。
梯度是矢量, 记为 n
n
Ug ra d U ?
?
??
其中 为等值面单位法向, 指向 U值增一侧 。n?
(2) 电势与电场的微分关系
UEg r a d UE ????? ??,或
常用坐标系中, 梯度表示为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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Z
U
e
U
e
U
eU
r
U
e
r
U
e
r
U
eU
z
U
k
y
U
j
x
U
iU
z
r
???
???
???
???
???
??
??
柱坐标系：
球坐标系：
直角坐标系：
s i n
(3) 几点说明
① UE ????
是一矢量，其方向与 相反，而 U是一标量。E? gradU
② 电势公式与库仑定律等价
③ 与 U并非直接关系E?
UE ???? ? ?? ldEU ??
－ ＋ ＋ ＋
－ q ＋ q ＋ q ＋ q
P P E=0
U≠ 0
σ
0?PU(a) 但 0?PE?
0?U 0???nU并非
(b) 0?
PE 但 0?PU
0?E 0?U不一定
(4) 例题：半径为 a、均匀带电 圆盘。求轴线上的 U,E 。?
求解过程：
先求 U
圆环整个视为微元，环带上 ??rdrdq 2?
22
04 zr
dqdU
?
?
??
)(
22
22
0
220
0
0
zza
zr
r d rdUU aa ???
?
?? ??
?
?
?
?
再求 E?
k
za
z
k
z
U
E
???
)1(
2 220 ?
??
?
?
??
?
?
第一章 真空中静电场小结
一, 理论体系：
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
电场是有势场环路定理
电场为有源场高斯定理
叠加原理
库仑定律出发点,
二、内容：
1、一个定律,
3
0
21
4 r
rqqF ??
???
2、两个定理,
? ???s v dvsdE ??
0
1??
? ??l ldE 0??
3、两个物理量,—— 反映场力性质，,
要求唯一。
E? EqF ?? ?
—— 反映场能性质,,
要求可微 。
U qUW ?
4,三种方法：已知电荷分布, 求电场分布
(1) 场强公式；
(2) 高斯定理；
(3) UE ????
5、场的形象化几何描述：
电力线 —— 规定, 性质, 通量 ? ??? sdE ??
等势面 —— 规定、性质、梯度 n
n
Ug ra d U ?
?
??
三, 三者关系网UEq,,?
1,Eq ?? ??
r
dqU
04
1
??
Uq ?2,?? r
r
dqE ??
3
04
1
?? ? ?
??s v dvsdE ??
0
1??
UE ??3,? ??
L ldEU
?? UE ????
