Chapter3
第三章 连续时间信号与系统的频域分析
本章要点
信号表示为正交函数集
周期信号的频谱
常用信号的傅里叶变换
傅立叶变换的性质
Parseval’s定理与能量频谱
F
FF
F
FF
F
F
F
F
F
连续时间系统的频域分析
系统无失真传输的条件
理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应
非周期信号的傅里叶变换
调制与解调
周期信号的傅里叶级数
引言
变换域分析 —— 就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信
号,或者说，信号 用完备的正交函数集来
展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变
换域的区别就在于选取不同的正交完备集。
采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章付里叶变
换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。
从而便于研究信号的传输和处理问题。
)(tf )(tf
信号表示为正交函数集
信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。
1A
?
一、矢量的分量和矢量的分解
2A?
1A
? E?
212Ac
?
1A
?
2A
?
E??
2Ac
??
1A
? E??
2Ac
???
2A
?
矢量 在矢量 上的分量示意图
)(a )(b )(c
? ? ?
2A?
21 12 ACAE ??? －?图 (a)中
—— 用分量 来近似代表原矢量 的误差
矢量。
E? 212AC ? 1A?
图 中 为 在 上的斜投影，可有
无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量 时，
都大于 。
)()( cb, 22 AcAc ?? ???,1A? 2A?
1A?
EE ??? ??,E?
结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量
最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。
21 12 ACAE ??? －?图 (a)中
从几何图上可得：
2
21
2
21
1212
c o sc o s
A
AA
A
AAAAC
??
???? ??
2
2
21
22
21
12 A
AA
AA
AAC ???? ?? ??
?
??
从解析角度：
则令 也可导出
2
2121
2 ACAE ??? ??
022121
12
??? ? ACAc ?? 2
2
21
12 A
AAC ??,?
12C
—— 是在最小平方误差的意义上标志着 和
相互近似程度。 1A
? 2A?
2A
?
1A
? E?
212 Ac
?
)(a
?
例如：
和 相同时，
1A
? 2A? 112 ?C
21 AA
?? ? 时,02
c o s.
2
2
21
12 ?? A
AA
C
?
由图 还可看出，)(a
EACA ??? ?? 2121
其中, 与 组成一正交矢量。EA ?? ?
2 2A? E?
平面矢量分解图
yx AAA
??? ??
A?
xA
?
yA
?
yU?
xU? x
y yy
xx
UAA
UAA
???
???
??
??
0
1
?
???
?
?
yx
yyxx
UU
UUUU
??
????
xU? yU?和 是一组模为 1的正
交矢量
zyx AAAA
???? ???
空间中的矢量分解图
A?
xA
?
yA
?
y
x
z
zA?
yU?
xU?
zU?
zz
yy
xx
UAA
UAA
UAA
??
??
??
??
??
??
0
1
??????
??????
xzzyyx
zzyyxx
UUUUUU
UUUUUU
??????
??????
矢量空间的概念可以引申到 n维。设 n维正交矢量集为
nVVVV ?????? 321,、
即
)(
(
mlVV
VKVV
ml
mmmm
???
??
0
??
??
不为单位矢量）
则
rr
r
r
r
r
nnrr
VV
VA
K
VA
C
VCVCVCVCA
??
????
?
??
?
??
??
?
?
?
?
?
????? 2211
二,信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是
函数的分解。
1、函数的分量
设在区间 内，用函数 在另一
函数 中的分量 来近似的代表
原函数 。
21 ttt ?? )(tf1
)(tf2 )(tfC 212
)(tf1
212121 ttttfCtf ??? )()(
取何值时，得到最佳近似？
12C
选择误差函数 的方均值为最小 。)(t
??
即
)()()( tfctft 2121 ????
方均值为
dtt
tt
t
t
）（ 2
12
2 2
1)(
1
?? ??? ??
求此值最小时的
12C
令
0)]()([ 22121
12
2
1
??
?
? ? dttfctf
c
t
t
解得
?
?
?
2
1
2
1
2
2
21
12 t
t
t
t
dttf
dttftf
c
)(
)()(
矢量分解
22
21
12 A
AAC
??
??
12c —— 是在最小方均误差的意义上代表二函数
和 间的相关联的程度 。
)(1 tf
)(2 tf
00 21 2112 ?? ? tt dttftfC )()(
称 和 在区间 内为正交，构成
了一个正交函数集。
)(tf1 )(tf 2 ),( 21 tt
212112 00 AAAAC ???? ?????
称 与 正交，组成正交矢量。1A? 2A?
例 1：
?
?
?
???
????
)2(1
)0(1)(
??
?
t
ttf设矩形脉冲
试用正弦函数 sint 在区间（ 0,2 ）内来近似
表示此函数，使均方误差最小。 ?
?4?
1
? ?2 t
0
1
?4
)(tf
td t
td ttf
c
?
?
?
?
?
2
0
2
2
0
12
s i n
s i n)(
])s i n(s i n[1 2
0 ??
??? ?
?
?
? dttt d t
?
4?
所以
ttf s i n)( ?4?
解,在区间 内近似为
)(tf ),( ?20 tctf s i n)( 12?
例 2：试用函数 在区间
内近似表示
ttf s i n)( ?1 ),( ?20
ttf c o s)( ?2
解,
0
0
12
2
0
??
???
C
t d tt
?
s i nc o s?
也即 cost不包含 sint分量，或说 cost与 sint正交。
2、正交信号空间
设 n个函数 构成一函数集，如在
区间 内满足下列正交特性：
)(),(),( 21 tgtgtg n?
),( 21 tt
)()()( jidttgtgtt ji ??? 02
1
? ?21 2tt ii Kdttg )( —— 常数
则称此函数集为正交函数集，这 n个 构成一个 n维正交
信号空间。任意一个代表信号的函数 f（ t），在区间
内可以用组成信号空间的 n个正交函数的线性组合来近似。
)(tgi
),( 21 tt
?
?
?
n
i
ii tgCtf
1
)()(
理论上讲 ?
???
? n
i
ii
n
tgCtf
1
)()( li m
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
?
?
?
2
1
2
1
t
t
dttg
t
t
dttgtf
C
i
i
i
)(
)()(
? ?
??
??
2
1 1
2
12
2 1 t
t dttgctfttt
n
r
rr )]()([)(??
均方误差
3、用完备正交函数集表示信号
? 如果用正交函数集,, … 在区间 近似
表示函数
? 方均误差为
? 若令 趋于无限大,的极限等于零
? 则此函数集称为完备正交函数集
)(tg1 )(tg2 )(tgn ),( 21 tt
?
?
?
n
r
rr tgctf
1
)()(
? ??? ?? 21 1 2122 1 tt dttgctfttt nr rr )]()([)(??
n )(2 t?? 0)(lim
2 ??
?? tn ?
定义 1：
定义 2：
如果在正交函数集 之外，
不存在函数 x（ t） )(),(),( tgtgtg n??21
??? ? 21 20 tt dttx )(
满足等式
021 ??tt dttgtx i )()(
i为任意整数
则此函数集称为完备正交函数集 。
这有两层意思：
1，如果 x（ t）在区间内与 正交，则 x（ t）必属
于这个正交集。 )(tgi
2，若 x（ t）与 正交，但 中不包含 x（ t），
则此集不完备。
)(tgi )(tgi
4、复变函数的正交特性。
若 和 是 t 的复变函数，则有关正交特性
的描述如下,)(tf 1 )(tf 2
若 在区间 内可由 来近似，
使均方误差幅度最小的 之最佳值是
)(1 tf ),( 21 tt )(tfC 212
12C
的复共轭为 22
2
1
22
2
1
21
12 fft
t
dttftf
t
t
dttftf
C ?
?
?
?
?
?
)()(
)()(
两个复变函数 和 在区间 内互相
正交的条件是：
)(tf 1 )(tf 2 ),(
21 tt
?? ?? ?? 21 2121 21 0tt dttftftt dttftf )()()()(
如果在区间 内，复变函数集,),(
21 tt ?? )(tgi
ni,,,??21?
满足
mldttg
t
t
tg
kdttg
t
t
tg
ml
mmm
??
?
?
?
?
?
0
2
1
2
1
)()(
)()(
则称此为正交函数集
例,(1) 三角函数集为完备正交函数集。
?
???
??
,s i n,s i n,s i n
,,c o s,c o s,c o s,
tntt
tntt
111
111
2
21
???
???
例,(2)复指数函数集
? ),,,( ?2101 ?????? ne tjn ?
是一个复变函数集，也是完备正交函数集。
3.1 周期信号的傅里叶级数
1822年法国数学家付里叶（ 1768—— 1830）在研究
热传导理论时发表了, 热的分析理论, 著作，提出并证
明了将周期函数展开为正弦级数的原理。
一、三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集
1、三角函数集：
?
???
??
,s i n,s i n,s i n
,,c o s,c o s,c o s,
tntt
tntt
111
111
2
21
???
???
representation of signal,Fourier Series
? ?? ?? ????Tt nmTt t d tntmt d tntm11 11 1111 0c o st t s i ns i nc o s ????
? ?? ? ??Tt Tt Ttd tntd tn11 11 1212 2s i nc o st t ??
三角函数的公共周期
1
2
?
??T
不记在三角函数集内但 00210 ?? os i n,,n ?
为任意整数? ? ??Tt nmt d ti n ntm11 11,0co st s ???
正交函数集，三角函数集是一完备当 ??? n
为内可用三角函数集表示在区间周期函数 )()(,Ttttf ?11
? ?tnbtnaatf nn
n
11
1
0
2 ?? s inc o s)( ??? ?
?
?
下：在均方误差最小的条件
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
Tt
t
Tt
t
Tt
t
n
Tt
t
Tt
t
Tt
t
n
t d tntf
Tt d tn
t d tntf
b
t d tntf
Tt d tn
t d tntf
a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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s i n)(
s i n
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c o s)(
c o s
c o s)(
? ? )2,1,0.2 1 ????ne tjn （其中复指数函数集,?
? ?? ?
? ?? ? Tdtee
nmdtee
Tt
t
tjntjn
Tt
t
tjntjm
?
??
?
?
? ?
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1
1
11
1
1
11 0
??
???
为指数函数的公共周期
1
2
?
??T
? ?为一完备的正交函数集当 tjne 1,???? n
? ?表示内可用在区间（任意函数 tjneTtttf 1))( 1,1 ??
tjn
n
n
tjn
n
tjtj
tjn
n
tjtj
eC
eCeCeC
eCeCeCCtf
1
111
111
2
21
2
210)(
?
???
???
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?????
??????
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dtetf
Tdtee
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C
Tt
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Tt
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tjn
n ?
?
? ? ?
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?
?
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??
1
1
1
1
1
11
1
1
1
)(
1)( ?
??
?
下在方均误差最小的条件
二、周期信号 f（ t）表示为付里叶级数
由数学分析知，当周期信号 f（ t）满足狄氏条件时，
可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。
狄氏条件：
（ 1）在一周期内，间断点的数目有限；
（ 2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；
（ 3）在一周期内,??? ? dttfTt
t
1
1
)(
电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当 f（ t)满足
狄氏条件时,才存在。
nnn cba,,
1，周期信号 f（ t）展开为三角付里叶级数
设 f（ t）是周期为 T的函数
? ?tnbtnaatf nn
n
11
1
0 s i nc o s
2)( ?? ??? ?
?
?
? ?? Ttt dttfTa 11 )(20
?
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?
?
?
?
Tt
t
n
Tt
t
n
t d tntf
T
b
t d tntf
T
a
1
1
1
1
1
1
s i n)(
2
c o s)(
2
?
?
直流分量?20a
称为基波分量，
次谐波分量称为，
tbtan
tnbtnan nn
111
11
s i nc o s1
ns i nc o s1
1 ??
??
??
??
? ?
?
?
?
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?
?
???
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nn
nn
n
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tnbtna
a
tf
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s inc o s
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n
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n
n
n
n
nn
tnA
tn
A
b
Atn
A
a
A
tnbtna
??
??
??
??
????
?
22 nnn baA ??
na
nb
n?
n
nn abtg 1???
2、周期信号 f（ t）展开为复指数付里叶级数
? ?ntnj
n
tjn
n
eetf ??? ?
?
???
?
???
?? ?? 11 nn A21C)(
? ? ? ?
? ? dtetf
T
eAC
tnjTt
t
j n
nn
1
1
1
nnnnnn
)(
1
jb-a
2
1
s i njA-c o sA
2
1
2
1
?
? ??
??
?
??
???
证明：
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?nnn
nn
n
tnjtnj
n
tnjtnj
ee
Aa
tf
eetn
????
??????
???
?
?
???
????
???
? 11
11
1
0
1
22
)(
2
1
c o s?
，，
的奇函数）是（的偶函数）是（又
0
22
nn
0000
n-
0
nnAAA
abaAb
nnn
????
??? ? ???
? ? ? ?tnjj
n
tnj
n
eeetf nn 11 nn A21A21)( ???? ??? ?
?
???
??
???
??故
间之外？集中分量之和，至于区
内可表示为正交函数只在以上讨论 )()(f 1,1 Tttt ?
? ? )(
11
11
11
)(s i ns i n
)(c o sc o s
kTtjntnj ee
kTtntn
kTtntn
??
??
??
??
??
???
都可展开为付里叶级数内，在－ )( tft ?????
? ??? 2 100 s in)(40 Tttnn td tntfTba ?，
的对称条件)( tf
），纵轴对称（偶函数)()( tftf ??
），半周镜像（奇谐函数)2()( Ttftf ???
），半周重叠（偶谐函数 )()( 2Ttftf ??
，原点对称（奇函数）)()( tftf ???
展开式中系数特点
? ??? 2 100 c o s)(40 Tttnn td tntfTab ?，
和偶次谐波无奇次谐波，只有直流
谐波分量无偶次谐波，只有奇次
三、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。
F
F
?)(
)(
tf
tf 下形式在一个周期内可写为如
0
2
2
2
0
2
????
??
t
T
t
T
E
T
tt
T
E
0?nbtf 是偶函数，故)(
Et d tTEt d tTETdttfTa T
TT
T ???? ??? ?? ][)(
0
2
2
0
2
2
0
2222
.
1
出其频谱图求其傅立叶展开式并画
如图所示，，有一偶函数，其波形例
??
)(tf
tTT?
2
T2T?
E
解,
?
??? ])[(
)(
11
2
2
n
n
E
?
)(
)(
)(
为偶数
为奇数
n
n
n
E
0
4
2??
tTnnEEtf
n
?
?
214
2 531 22 c o s)(,,?
?
?
??
?
E
24?E?
294?E?
2254?E?
0
11? 13? 15? ?
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8
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2
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11
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n
tn
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t
T
E
T
td tnt
T
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T
n
?
?
?
?
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??
?
?
??
???
22
2 TtTt
T
tf
tf
????)(
)( 下形式在一个周期内可写为如
0?natf 是奇函数，故)(
)(tf
t
1
T
出其频谱图求其傅立叶展开式并画
如图所示，，有一奇函数，其波形例 2
解,
tTnntf
n
n ?
?
2112
1
1 s i n)()( ?
?
?
???
?
2
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14?
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T
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?
?
?
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?)(
)(
tf
tf 下形式在一个周期内可写为如
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4
2
44
4
24
4
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T
t
T
t
T
T
t
T
t
T
T
t
T
t
T
??????
???
???
t
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T
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1
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t d tnt
T
t d tnt
T
t d tnt
TT
t d tntf
T
a
T
T
T
T
T
T
T
Tn
??
??
出其频谱图求其傅立叶展开式并画
形如图所示，，有一奇谐函数，其波例 3
解,
]s in)
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为偶数
为奇数
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n
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n
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n
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T
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ntf jn
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)(tf
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0)
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)
2
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1
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1
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1
(
2
)c o sc o s(
2
1
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1
4
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1
???
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????
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??
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nn
n
E
T
n
n
T
n
n
T
n
nT
E
t d tnEt d tnE
T
a
T
T
T
n
出其频谱图求其傅立叶展开式并画
形如图所示，，有一偶谐函数，其波例 4
解,
?、,212s i n12)(
2
??? ?
?
?
jtTnnEtf
jn
?
?
???
?????
?? ??
)c o s1(
)c o s
2
3
c o s1
2
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)s i ns i n(
2
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n
n
E
n
nn
n
E
t d tnEt d tnE
T
b
T
T
T
n
为偶数
为奇数
n
n
E
n
?
2
0
?
E
0 12? ?
nA
?2
E
?3
E
14? 16?
3.2 周期信号的频谱
为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率
分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示
方法。
一,频谱图的概念
由上一节知周期信号 f（ t）可用付里叶级数来表示。
??
?
???
1
1
0 )c o s (
2)( n nn tnA
atf ??
或
nj
nn
tjn
n
eACetf ?? ?
?
???
?? ? 21C)( 1n
—相位频谱—的关系图（线图）与
—幅度频谱—的关系图（线图）与
1
1
??
?
n
nA
n
n
二,典型周期信号的频谱
周期矩形脉冲信号
F（ t）
2?2?? T t
T：脉冲周期 ?, 脉冲宽度
A,脉冲幅度
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数 bn=0
A
?
T
?? ?? ??? 2 22 2 22)(20 ?? ?TAA d tTdttfT T Ta
1
2
?
??T, 三角函数公共周期
)(2
s i n2
s i n2c o s)(2 12
2 T
nSa
T
A
T
n
T
n
T
A
T
n
n
Atd tntf
T
T
Tna
???
??
??
???
?
? ????? ?
?
第二步：展成指数形式付里叶级数 FS
)c o s ()(2)( 1
1
tnTnSaTATAtf
n
????? ??
?
??
)c o s ()
2
(2 1
1
1 tnnSa
T
A
T
A
n
????? ?
?
?
??
)2(1 12
2
1 ????
?
?
nSa
T
AdtA
T ec
tjn
n ??
?
??
e tjn
n
nSa
T
Atf 1)
2()(
1 ???? ?
?
???
?
函数的公共周期
称为三角:2
1?
??T
f ( t )
t
0
? 2 ?3???2??3?? 1 4?4? ?
sin( ) ( ) tf t S t
t???
当 时
第三步：频谱分析
)(2)2(2 122 TnSaTAnSaTAabaA
nnnn
?????? ?????
An 与 之比值有关，取
T
?
)()2( 1 TnSaTAnSaTAC n ?????? ??
5
1?
T
?
An cn与 包络线均为 )
2( 1
??nSa 1?n 为离散频率
????? n????,.,,,,,2,2 0)2( ???Sa
即
?
?
?
?
?
?? n2,.,,,,,4,2 ???? 0)
2( ?
??Sa
计算第一个振幅为零的谐波次数 n
)
5
1
(5
2
22
2 1
1
???
???
T
T
n
T
n
T
n
?
?
?
???
??
??
取即
带入得将令
1?
TA?2
??2
??4
12? 13? 14? 15?
An
?
幅度频谱图
?2 ?4? ?3
1 t ttSa sin)( ?
抽样函数
???2??3??4?
??? ? abtg
n
n
n
1?
0 an>0
0an ??
)2(22 1???? nSaTACeAA nj N
nn
??? ??
???n
0)2( 1 ???nSa
0)2( 1 ???nSa
0 Cn>0
Cn<0
即
即?
—称复数频谱—eC njnn A ??? 21
0
?
15?
?n
?
相位频谱图
16? 110?
1?
??2 ??4
12? 13? 14? 15? ?
Ac nn ?21?
TA?
?
??2???4-
第四步：讨论频谱结构与, T 的关系
1.当 不变,T增大，谱线间隔 减小，谱线逐渐密集，幅度 减 小
??T 01 ?? 0?
T
A?
T?? 21 ?
?
TA?
当
非周期信号 连续频率
1?n
非周期信号连续频谱
此例中 为一实数。幅度频谱与相位频谱可以合
画在一张图上。
)( 2??? nSaTAC n ?
110?
?5?T
?10?T
对于一般频谱，常以 0频率开始 振幅将为包络线最大值的 1/10
的频率之间的频带定义为信号的频带宽度
2.当 T不变,减小时?
??? TA??
T不变 间隔不变
振幅为 0的谐波频率
?1?Bf
???Bf?
??? 2?B
???????,.,,,,,,???? 42
3.频带宽度的定义
对于周期矩形信号，一般 或
周期矩形信号的时间特性,f(t)变化快
f(t)变化慢
频率特性, 变化快的信号必然具有较宽的频带
?
?
T
?? 2
1 ?
B?
三、周期信号的频谱特点
(1)离散性 —— 谱线是离散的而不是连续的，谱线之间
的间隔为 。这种频谱常称为离散频谱。
(2)谐波性 —— 谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数
倍。
(3)收敛性 —— 各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐
减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减
小
T
?? 2
1 ?
1?
3.3 非周期信号的傅里叶变换
一,频谱密度函数
以周期矩形信号为例，当周期 （周期信号变为非周期信号），
（离散频谱变成连续频谱）,即谱线长度趋
于零（无穷小）。
??T
01?? 021 ?? nn AC
以上两节讨论了周期信号的付里叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散
性、谐波性、收敛性三个特点，本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信
号中，导出非周期信号的傅立叶变换 FT。
此时，原分析方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但
它们的大小并不相同，相对值仍有差别。
为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入
一个新的量 —— 称为,频谱密度函数”。
设周期信号
??
???
?
n
tjn
n eCtf 1)(
?
?? ?? 2
2
1)(1
T
T
tjn
n dtetfTC
?
连续频率，离散频率，为非周期信号若
：两边同时乘以
????
?
? ?
????
?? ?
?
?
11
2
21
nTf ( t )
)(2T 1
d
dtetfCTC
T
T
tjnn
n
?
?
?
??
?
?
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?
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???
dtetf
dtetf
AT
TCjF
tj
T
T
tjn
T
n
T
n
T
?
??
)(
)(
2
)( 2
2
1limlimlim则定义，
频谱密度函数
? ?? ? ? ?
? ? 频谱函数。的频谱密度函数，简称称为原函数
—频谱密度的概念—值，反映单位频带的频谱从量纲上来看：
f ( t )
2
1
?
?
??
jF
CTCjF n
n
?
??
?
??
???
叶变换二、非周期信号的付里
1
1
1
11
1
1
)(
22
T
)(
?
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?
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????
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tjn
n
n
n
tjn
n
e
C
tf
d
Tnd
eCtf
?
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???
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???
??
??????
?
，，，当
，由周期信号
?? ?????? ?? ????,??? 2 )(,T
1
jFC n
?
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??
??
?
??
??
?
??
dtetfjF
dejFtf
tj
tj
?
?
?
??
?
)()(
)(
2
1
)(
换。的频谱密度或付里叶变称为 )()( tfjF ?
?
?
??
??
??
??
?
?
?
—傅立叶逆变换—
—傅立叶正变换—
??
?
?
?
?
dejFtf
dtetfjF
tj
tj
)()(
)()(
2
1
? ? ? ? )F ( j)()()(f ( t ))F ( j 1 ??? ??? ? tfjFtf,或，记作,FF
? ?
）（－
备正交）—谐和振荡函数集（完—这里
??
?
?? j
tj
ejFjF
e
)()( ?
? ?
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?????
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??
?
???
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dtjFj
dtjF
dejFtf
dejFtf
tj
tj
)(s i n)(
2
1
)(c o s)(
2
1
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
][( )(
的三角函数形式三、
? ?
? ??
?
??
??
??
??
??
0
)(c o s)(
1
)(c o s)(
2
1
?????
?
?????
?
dtjF
dtjF
奇函数积分为零
从上式可以看出：
1,非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。
2,不同的是，由于非周期信号的 于是它包含了从零到无限高的所
有频率分量。
3,同时，三角函数振幅,故用频谱不能直接画出，必须用它的密度
函数作出。
4,最后必须指出，从理论上讲,FT也应满足类似狄氏条件。
0?? ?? djF )(
而非必要条件。
可 积，dtf ( t )存在的充分条件是FT的f ( t ),绝对? ? ?? ??
讨论：
? ?? ?? ?? 01 ?????? dtjFtf )(c o s)()(
,,01 ??? ?T
3.4 常用信号的傅里叶变换
01 ?? ? ??? )()( tetf t、单边指数信号
1
t0
f(t)
(a)
0 ?
?1
)( ?jF
(b)
2?
? ???
?0
(c)
?
?
?
?
?
?
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?
??
?
???
?
?
?
?
?
??? ? ?
?
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???
????
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1
22
0
)(
11
)()]([)(
j t g
tjtj
e
j
dtedtetftfjF F
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
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??
?
??
??
1
22
1
1
tgjF
j
te t
)()(
)(即
不存在。不收敛，时,FT0 dte t? ??? ?? ??
02 ?? ? ?? tetf )(、双边指数信号
f(t)
0 t
(a)
)( ?jF
0?)(??
?
0
(b)
1 ?
2
0
2
2
22
22
?
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?
???? ?
?
??
??
?
)()(
][)(
??
??
?
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??
?
? ?
??
jF
dteeejF tj
ttF
部分所以只须作出
系作出，的部分可以根据对称关奇函数。故作图时
的）是（的偶函数，是说明：下节将证明
0
0
?
?
?
?
????? )( jF
3、矩形单脉冲信号（门函数）
t202 ???
)(tf
)(
:
tG?
? 脉冲
??????? 6420
)( ?jF
?A
A
????????? 86420
)(??
?
(a) (b) (c)
)( ?jF
?A
????????? 86420
(d)
)(s i n
)()()(
22
2
222
2
??
?
??
?
?
?
?????
?
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aA
A
ee
j
A
dteAdtetfjF
s
jj
tjtj
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????
??
?? ?
??? ?
?
?
)(
)
2
()(
??
??
?? aAjF s
?210
222122
1224
0
,,
)()(
)(
?
?
??
?
?
??
n
nn
nn
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
）（、单位冲激函数 t?4
付里叶变换）的）、（ ()( FTt?1
)(t? )( ?jF
)1(
0 0t ?
1
)(a )(b
??
?
?
??
?
?
?
?????
??
????
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
??
?
22
00
0
2
2
1
2
1
1
2
1
)(
1)(
1)()]([)(
limlim tdeedet
t
edtettjF
tjtj
jtj
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
?
??
反变换式：
F
常数频谱 1不满足绝对可积条件，反变换求解过程见管致中书 P120
物理意义：在时域中变化
异常剧烈的冲激函数包含
幅度相等的所有频率分量。
因此，这种频谱常称为“均
匀谱“或”白色谱“。
?
?
??
???
?
)(1
2
1
1)(
)(?
I FT)()2(
tdet tj ??
?
?
??
??
?知由
）的逆变换（冲激函数
)(21)(
2
1
)(1
2
1
)()(
)(1
2
1
)(1
2
1
?????
?
??
?
????
??
?
?
??
?
?
?
?
???
?????
?????
???????
?
?
?
?
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??
??
?
??
??
或
又由
作变量代换与将
得令
tde
tdet
tdett
tj
tj
tj
???? ?? dtetfjF tj?? )()(
)(lim)(
)()(
tft
tetf
FT
t
t
e
t
e
0
0
5
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
设
方法。确实存在，用取极限的进行变换，但其
，不能直接应用公式去）不满足绝对可积条件（
）（、单位阶跃信号
)()()( ??
??
?
??
?
??
? eee jBAj
j
jF ??
?
?
?
?
?
? 22221
由单边指数信号频谱
)()(
)(lim)(lim)(lim)]([)(
??
?????
???
jBA
BjAjFtjF eee
??
????
??? 000
F显然
0
00
0
0
????
???
?
?
???
???
?
?
)(l i m)(
)(l i m)(
e
e
AA
AA
2
0
1
0
2
00
1
)(
1
)()()()(
1
)(lim)()()(
)(lim
1
lim)(lim
?
?
???
?
???
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??????
?
??????
?
?
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??
j
e
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ejjBAjF
BBA
tg
d
dA
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?
?
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?
?? ?
故
且
)(
l i ml i m
??
????
??
??
?????? ??
j
jjj
F0
1101
00
时，
时，注意：这里不能直接求 ?
0
1
)(t?
t
)( ?jF
)(?
2?
0
)(??
?
?
?
??
??? dtee
e
tjtj
tj
cc
c
)(][
FT6
???
?
F
的、指数函数
? ? ? ? ??
?
－
）（知
）（由
???
???
? 21
21
dte tj
?
?
?
??
?
?
??
??
???
??
?
)(2
)(2
)(
)(
c
tjtj
c
tj
c
dtee
dte
c
c
????
????
???
??
??
代换得以
)]()([s i n
)]()([c o s
)(
ccc
ccc
c
tj
jt
t
e c
????????
????????
?????
????
????
??
显然
故 2 ][2
1s in
][
2
1c o s
tjtj
c
tjtj
c
cc
cc
ee
j
t
eet
??
??
?
?
?
?
??
??
FT)(
2
)(
FT7
1
1
周期信号的—
基频
、周期信号的
?
?
?
?
jF
T
ectf
p
n
tjn
n ?? ?
?
???
散的。故周期信号的频谱是离
??
?
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???
??
???
?
???
????
???
n
n
n
n
n
tjn
n
p
nAnc
ectfjF
][][2
][)]([)(
11
1
????????
?
?FF
?
?
?
?
?
nn
j
n
n
AC
eAA n
2
1
?
方法统一起来。
周期信号的分析
将周期信号与非
的付里叶变换。：求周期单位冲激序列例 1
-2T-T 0 T 2T 3T t
?????? 11111 32012 ??
)( )(1? ?jFp
)(tT?
(a)周期单位冲激序列 (b)付里叶变换频谱
??
??
?
?
???
?
???
?
?
?
?
?
???
?????
???
???
nn
p
T
T
tjn
T
T
tjn
n
n
nTp
nn
T
jF
T
dtet
T
dtetf
T
C
nCtjF
)()(
1
2)(
1
)(
1
)(
1
)(2)]([)(
111
2
2
2
2
1
11
?????????
?
??????
??
F
表示在无穷小的频带
范围内（即谐频点）
取得了无限大的频谱
密度值。
之间的关系。的
与其截取一个周期信号的、周期信号
FT
FS8 0 )()( tftf
)2()()()()(
)1()(
1
,)(
2
2
2
2
000
2
2
11
?
?
dtetfdtetfjFtf
dtetf
T
CeCtf
tj
T
T
tj
T
T
tjn
T
Tn
n
tjn
n
??
??
? ?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
???
??已知
1)(
1
21
0 ??? nn jFTC ??
）两式得），（比较（
由此式求出。中任一个，另一个可以或结论：已知 )(0 ?jFC n
例 2：
付里叶变换
付里叶变换
付里叶级数
0 t
)(0tf
)(t?
)1(
nC
T1
12?? 01?? 11 2?? ?-2T –T 0 T 2T t
)(tT?
)1(
01?? 11 2?? ?
)( 1?
)(0 ?jF
)1(
0 t
)(tT?
10 )(
1 ??? njFTC
n ??
??
???
?
?
n
n nC
jF
)(2
)(
1????
?
)(0 ?jF
1
?
例 3：
?0
)(0 tf
A
202 ??? t
)]([ 0 tfF
)(tf
1T? 1T t
A
?
?
A
jF )(0
?0
1
2T?
nC
?0
1
2T?
)( ?jF
??2 ??4
202 ???
)2()(0 ???? aAjF s?
1T
A?
1??A
????? ?? n n ncjF ][2)( 1?????
3.5 傅立叶变换的性质
? ?? ? ? ?
常数则
、、若
、线性特性
i
n
i
ii
n
i
ii
ii
ajfatfa
nijFtf
??
??
??
?
?
?
?
?
??
11
)()(
21
1
?
?
F
F ?
说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。
0)()(
),()(
2
0
tjejFttf
jFtf
??
?
???
?
那么
若
）、延时特性（时移性质
失真。
否则输出会分量都滞后相位则系统设计得每个频率
时延通过一个系统传输后仅应用：要使一个信号
相对应。延时和在频域中的移相说明：信号在时域中的
,
)(
0
,01
t
ttf
?
F
)(tf )( 0ttf ?
0tje ??
)()(
),()(
3
c
tj jjFetf
jFtf
c ??
?
? ??
?
则
若
、频移性质
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?ccc
ccc
jjFjjF
j
ttf
jjFjjFttf
?????
?????
????
????
2
s i n)(
2
1
c o s)(
完成。变频等过程在此基础上
如调幅、同步解调、系统中得到广泛应用，频谱搬移技术，在通信
。频谱延频率轴右移
等效于在频域中将整个中乘以说明：一个信号在时域
c
tj ce
?
?,
F
t0
)(tf
A
2?2??
ttf c?cos)(
2? t2??
)(?jF
?
?
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频移性质
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、尺度变换特性
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1
4
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a
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一对矛盾。速度与占用频带宽度是在无线电通信中，通信
等效于在频域中压缩。展反之，信号在时域中扩
等效于在频域中扩展。缩说明：信号在时域中压
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1
1
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a
a
F
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??2????2? ???
?2
倍。分量大小必然减小能量守恒定理，各频率
倍。根据倍，也即频谱展宽增加所以它所含的频率分量
倍，快倍，信号随时间变化加压缩物理意义：信号的波形
a
aa
aa
a
t
j
a
t
j
e
a
F
a
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a
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、奇偶特性5
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是实偶函数，即
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则
是实奇函数，即
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jF
t d ttfjjXjF
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????
2
1
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t
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2
c
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1
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函数。形脉冲的频谱必为矩形函数，而显然矩形脉冲的频谱为 aa SS
等
还有
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)(
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21
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)()(
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7
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d
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-
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则
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则
，若
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、卷积定理
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)()()()(
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2121
2211
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??
jFjFtftf
jFtfjFtf
??
??
则
，若
频域卷积定理
年研究生入学试题）（武汉理工大学
分）的付里叶变换。（例一：求函数
2002
41
2
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0
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0
0
tj
tj
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j
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F
F另可证明
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)(),(
)(),()()(
年研究生入学试题武汉理工大学
。的付里叶变换以及
求的付里叶变换为设分：例
2002
00
102
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batf
dt
d
jFtf ??
)(])([ ?? Fjdt tdf ?F
a
b
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a
b
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由微分性知
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令
令
Parseval’s定理与能量频谱
从能量的角度来考察信号时域和频域特性间的关系
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T
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T
T
T
2
2
2
2
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??
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?
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的平均功率定义：信号
的能量定义：信号
号一、能量信号与功率信
有限值的信号功率信号：平均功率为
值的信号能量信号：能量为有限
1t? 0 2t t
)(tf
t
tsin
0
定理形式）周期信号的（
定理二、
sP a r s e v a l
sP a r s e v a l
'
'
1
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n
n
n
n
n
n
n
nn
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T
T
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A
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A
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则有若
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43322120
433221202
IIIII
IIIItiI )(
Parseval’s定理：周期信号的功率等于该信号在
完备正交函数集中各分量功率之和。
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率＝频域中求得的信号功时域中的信号功率
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信号的能量
定理形式）能量信号的（ 一般非周期信号
属于能量有限信号
代入上式
变换积分次序得
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ddtetfjFE
tj
tj
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f
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2?
—奇函数—
—偶函数—
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)(
Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号
能量等于在频域中求得的信号能量。
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频域中的信号能量时域中的信号能量
dffjFdttfE ??
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22
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wG
jFG
)(
)(
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内的全部能量为故信号在整个频率范围
能量。处的单位频带中的信号—表示—
为能量密度频谱。定义：
)( ?G谱念，来定义一个能量频
助于密度的概振幅频率类似，可以借分量中的分布，和分析
号能量在频率无穷小量。为了表明信各频率分量的能量也是
的频率分量，无限多个振幅为无限小非周期信号可分为解为
）（特别是对于随机信号
题有着总要作用。信号所占有的频带等问
号的能量的分布，决定变化情况，它对研究信
密度在频域中随频率的能谱是表示信号的能量
LTI系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应
本节只研究零状态响应。
1.时域分析法
? ? ? ?0() te t e t d? ? ? ????
)(te
()ht
)(*)()( thtetr ?
即将 分解为无限个 之叠加 。)(te
()t?
即零状态响应分解为所有被激励加权的 之叠加 。
? ? ? ?0( ) ( ) ( ) tr t h t e t h e t d? ? ?? ? ? ??
()ht
时域方法缺点：计算复杂。
3.6 连续时间系统的频域分析
2.频域分析法（是变换域分析法的一种）
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( ) ( ) ( )r t h t e t??
由时域卷积定理知：
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[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
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Rj
Hj
Ej
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?
?
? ? ? ?
??
?
即
称为系统函数（或传递函数）
此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法,Z域
分析法等都是属于变换域分析法。
?? )()( ?jEte
? ? ? ? ? ?011( ) | | c o s [ ]2 jte t E j e d E j t d?? ? ? ? ? ? ???????? ? ???
? ? ? ?011( ) ( )2 j t j tr t R j e d H j E j e d??? ? ? ? ???????????
将任意激励信号分解为无穷多项
信号的叠加（或无穷多项正弦分量的
叠加）
tje?
将无穷多项 信号分量作用于系统所
得的响应取和（叠加）
tje?
2
?频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础
上，与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。
?总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法
都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。
有始信号通过线性电路的瞬态分析
? ? ? ? ? ?
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1
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R j H j
h t F H j
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??
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即冲激响应
? ? ? ?( ) 2e t t t? ? ?? ? ????? ? ?0ut例 1：已知
,求零状态响应 。
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R
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（ RC低通网络）
频域电路模型 )()( 0 ??? jcUjjI ?
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求
求 系 统 函 数, 电 压 传 输 比
求
求
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t j j RC
t
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Cj
R
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1
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[)]([)()4(
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????
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te
RC
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RC
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1
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1
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? ? 2 2E j Sa ???? ??? ????
??et
??et
??out
RC1
急速变化处意味着
有很高的频率分量
|)().(||)(| 0 ??? jEjHjU ?
从以上分析可以看出，利用 从频谱改变的观点
解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求傅立
叶逆变换的过程比较烦琐，因此，在求解一般非周期信号作
用于具体电路的响应时，用 更方便，很少利
用 。
这节引出 的重要意义在于研究信号传输的基本特
性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义。
? ?Hj?
结论
? ?HS
? ?Hj?
? ?Hj?
信号分析
付里叶变换应用于通信系统历史悠久、范围宽广。
现代通信系统的发展处处伴随着付里叶变换方法的精心
运用。从本章开始介绍这些应用中最主要的几个方面 —
— 调制、滤波、失真、抽样。
3.7 系统无失真传输的条件
由前面举例（例 1）知：
2
?
)(te C
R
)(0tu
2
?0 0 t
)(0tu)(te
失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中
产生了失真。
一,线性系统引起信号失真的原因
1.幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的
衰减，引起幅度失真。
2.相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，
造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起
相位失真。
由延时特性知：
0)()( 0 tjejFttf ?? ???
相移与频率成正比??? 0)( t???
在实际应用中，有时需要有意识地利用系统的失真进行波形
变换有时希望传输过程中使用信号失真最小。
二,线性系统无失真条件
0
)(te
t
)(te 0|)(| tjKejH ?? ?? )()( 0ttKetr ??
波形无改变则
称为无失真
0
)(te
t0t
实现无失真传输,应满足的条件)( ?jH
0
0
)(
)(
)(
)()(
)()(
tj
tj
Ke
jE
jR
jH
ejEtr
jEte
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
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由
则
设
t
t
t
t
0t
0
0
0
)(te
)(tr
)(1 tr
? ?|| ?jH
? ???
0 ?
?
k
信号通过系统时谐波的相
移比需与其频率成正比。
例,)2s i n (s i n)(
1211 tEtEte ?? ??
)]
2
(2s i n [)(s i n [
)2s i n ()s i n ()(
1
2
12
1
1
11
212111
?
?
?
?
?
?
????
????
????
tkEtkE
tkEtkEtr
基波 二次谐波
为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生
相位失真，应有 常数???
0
1
2
1
1
2 t?
?
?
?
一、理想低通滤波器的频域特性
为截止频率 (Cut off frequency)c?
?
?
?
?
? ?
0
1
|)(|
|)(|)( )(
?
?? ??
jH
ejHjH j
c
c
??
??
?
?
||
||
0)( t??? ?
相移特性是过原点直线
3.8 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应
阻带
|)(| ?jH
通带阻带
)(??
c?? ?
0 c?
二,理想低通滤波器的冲激响应
? ?
0
0
0
0
)(
1
)(
)(s i n
)(2
1
2
1
)(
2
1
)]([)(
0
0
ttS
tt
tt
ttj
e
dee
dejH
jHth
c
a
c
c
cc
ttj
tjtj
tj
c
c
c
c
??
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
F
由图知 t<0时,, 而输
入 在 t=0时加入, 这是反
因果规律的，所以理想低通
滤波器是无法实现的 。
( ) 0ht ?
()t?
)(th
t
0t
c?
?
0
三、理想低通滤波器的阶跃响应
设理想低通滤波器的阶跃响应为 ? ?gt
? ? ? ? ? ? ? ?tg t h t t h d? ? ???? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
0
0
0
si n
t
c
c
t c
c
c
Sa t d
t
d
t
?
? ? ?
?
???
?
? ? ?
??
??
?? ????
?????
??
?
?
?
令 ? ?
0cxt????
,则
cd dx?? ?,于是有
? ? ? ?01 sinc tt xg t dxx?? ???? ? ? ?00 01 s i n s i nc ttxxd x d xxx ?? ?????????????
? ? ? ?01 sinc tt xg t dxx?? ???? ? ? ?00 01 s i n s i nc ttxxd x d xxx ?? ?????????????
上式第一项积分
0 sin
2
x dx
x
?
?? ??
第二项积分是正弦积分函数
0
s in() yS i y d? ?
?? ?
它的函数值可从正弦积分函数表中查得，于是可得理想低通滤波器的阶跃响应为
? ? ? ?0112 cg t S i t t??? ? ?????
x
xsin
x
1
O
?2? ?3 ?4
? ?xSi
xO
2
?
2
??
式中
称为正弦积分函数
1
tO
2
1
0t
tO
dyy ysinS ix x0??
)(tg B
Bt
A
At
)]([121)( 0ttSitg c ??? ??
)(t?
A点处：
C
AB
Bc
BcB
Ac
AcA
tt
tt
ttSitg
tt
ttSitg
?
?
?
?
?
?
?
84.3
)2(92.1)(
2
)(,1)(
)1(92.1)(
2
)(,0)(
0
0
0
0
??
??
???
???
????
由正弦积分函数表可得
B点处：
查表得：
故可求得：
响应电压的建立时间与通频带成反比。
)]([121)( 0ttSitg c ??? ??
四、理想低通滤波器的物理可实现条件
给定一个网络数学模型，什么样的可以物理实现，什么样的不行？这是一个
网络综合问题。
()
()
Hj
Hj
?
?
?
?
?
?
?
??
网络的逼近：找一个可实现的 去逼近理想网络
的理想条件
网络综合
网络的实现：根据所找到的,确定网络的结构
和元件参数
网络分析：已知网络结构和参数，求系统在一定输入下的响应。
网络综合：在给定网络特性的情况下，确定网络的结构和参数。
1,物理可实现的时域条件：
? ?
2
ln
1
Hj d? ?
?
?
??
????
? ? 0,0h t t?? 时，这一条件也称为“因果条件”
2,物理可实现的频域条件：
物理可实现的必要条件是：
其中 ? ?Hj? 满足
? ? 2||H j d????? ???
这一条件称为佩利－维纳准则
例如：理想低通滤波器 ? ?| | 0,
cHj ? ? ??? 时，
? ?ln,Hj ? ??这时 ? ?
2
ln
1
Hj d? ?
?
?
?? ??于是 不收敛，
违反了佩利－维纳准则,则系统不可实现。
举例：一个简单的低通滤波器。
L
C R
2()Ut
?
?
2()Uj?
jL?
1jC? R
1()Ut
?
?
1()Uj?
分析,
可看出, 与理想低通滤波器有些相似, 不同在于)(|,)(| ???jH
2
2
1
1
2
22
2
2
1
1
( ) 11
()
1()
1
1
11
,( ),( )
1
1
()
3
2
2
( ),
3
3
22
()
cc
c
c
c
cc
c
c
c
c
Uj R j c
Hj
Uj
jL
j
R j c
H j t g
LC
ht
Hj
j
h t F H
? ?
?
? ??
?
?
??
?
?
? ? ? ?
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
? ? ?
??
?
??
??
?
??
??
??
??
? ? ?
??
????
? ? ? ?
???
??????
? ? ? ?
?? ????
? ? ? ???
??
?
??
??
?? ??
??
??
??
?
令
下面求系统的
? ?
2
23
( ) si n
23
c
t
c
cj e t
?
?
??
? ??
? ??
??
??
( ) 0,0h t t??
以图示电路为例, 设, 则网络系统函数,CLR?
例题分析
)t(?
c?? c?0
|)(| ?jH
?
?
??
2?
c?
c?? ?
()??
)(th
t
0
例题分析
与理想低通
滤波器有些相似, 不同在
于
)(|,)(| ???jH
( ) 0,0h t t??
―佩利－维纳准则”是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
3.9 调制与解调
一、为什么要调制？
为了有效传输信号
①天线尺寸可实现。 天线尺寸
???
?
???
?
??
?
f
f
c
f
变频信号
信号波长）
光速一定v
(
10
1
② 不同信号在同一信道里传输不产生重叠。
（用多路复用技术解决：在一个信道中传输多路信号。）
调制是实现多路复用的关键技术。
二、调制原理 theory of modulation 。
调制 —— 将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程。
相乘
)(tg ttg 0c o s)( ?
t0cos?
——待传输的信号，称为调制信号
——运载 的高频振荡信号称为载波。
——为经调制后的高频信号称为已调波。
)(tg
t0?cos
ttgtf 0?c o s)()( ?
)(tg
应用付里叶变换的性质说明频谱搬迁的原理
? ??G
0
1
m?m??
?
? ?t0cos?F
0
1
0?0??
?
)(? )(?
? ? )()( ?jGtg ?F
? ?
? ?
? ?)()(
)()(
2
2
2
1
)( c o s
00
00
0
00
???????
??????
?
?
??
????
????
??
?
变换由复指数函数的付里叶
tjtj
eet FF
)(?F
21
0 0?0??
?
m?? ?0
)( 0 m?? ??)( 0 m?? ?? m???0
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?)()(
2
1
)]([)]([
2
1
)()()(
2
1
)( c o s)(
2
1
)]c o s)([()(
00
00
00
0
0
????
????
?????????
?
?
?
?
????
????
?????
??
?
GG
jGjG
G
ttg
ttgtf
FF
FF
分析例中已调波 ttgtf
0c o s)()( ??
振幅随调制信号而变，这种调制称为调幅
调制
调幅
调频
调相
脉冲调制（分两步进行）
这些内容在后续课本
中学习如高频电子线
路、通信原理
三、调幅波的频谱分析举例
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
—调幅系数—令
—调幅波（已调信号）—
—调制信号—
—载波—
0
0
1
0
0
1
0
00
0
0
1
000
)c o s (c o s1
)c o s (c o s
)c o s ()()(
)()(
)c o s ()()(
c o s)(
c o s
A
kE
m
tmA
tEkA
ttkeAta
tkeAtA
ttAta
Ete
Aa
nm
n
c
n
nntn
c
n
nntnm
c
c
n
nntnm
c
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
????
???
??
??
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
??
?
??
1、正弦调制
? ?
? ?? ? ? ?? ?????????
???
?
?? ??????????
?????
????
000000
00
0
c o s
2
c o s
2
)c o s (
)c o s ()c o s (1)(
)c o s ()(
tA
m
tA
m
tA
tmAta
A
kE
mtEte
ccc
c
m
m,设
载频分量 上边频分量
边频分量
下边频分量
频谱
0A
20mA 20mA
c? ??c???c?
? 调幅波的频宽为调制频率的两倍
这种调制中载波的振幅随信号 e(t)成比例的改变，称为调幅，简称 AM
a(t)中含有载波分量，当 时，解调不需本地载波，直接用简单的包
络检波器（二极管、电阻、电容组成）即可提取包络恢复 e(t)。接收机
简单，成本降低，但代价是使用价格昂贵的发射机。
1?m
0
tEte m ?? co s)(
0
t
? ? tteAta c?c o s)()( 0 ??
)cos(0 tA c?
0A
0A
kEm m?
2、复杂周期信号调制
? ?? ?
? ?? ?
)c o s ()c o s (1
c o s
2
c o s
2
)c o s ()(
0
1 0
0
1
00
1
0000
???
???
?????
??
?
?
?
?
?
????
?????
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tt
A
kE
A
tA
m
tA
m
tAta
cnn
n
nm
n
nnc
n
n
nnc
n
c
nmE
mE1
mE2
mE3
0 1? 2? 3?
smB频宽
调制信号频谱
0A
012Am
022Am
032Am
012Am
022Am
032Am
c?
1??c?
2??c?
3??c?
2??c?
1??c?3??c?
下边带 上边带
sms B2B ?边带频宽
? ?
调幅波的频谱
),m a x (23
2
E1
2112 nnnncc
c
nm
??????? （最高调制频率）、
附近。载频、信号的频谱被搬移到
相同。、边带频谱结构与分析：
??
?
1c?
11 nc ???
2c?
21 nc ???
?
千赫频
两临近电台的载
赫—频段
号例如：电台广播声音信
9
4 5 0 050
12 ??
?
cc ??
3、频分复用（多路复用技术之一）
)(1 te
)(2 te
)(ten
)co s( tcn?
)co s( 2tc?
)cos( 1tc?
1调制
2调制
n调制
)(1 ta
)(2 ta
)(tan
?
)(ta 至信道传输
多路复用
频分复用
时分复用
1c? 2c?
?
cn?
四、解调 demodulation
解调 —— 由已调信号 a（ t）恢复原始信号 e（ t）的过程称为 解调 。
? ?
高。但发射机功率大，成本
本低（民用）。）接受机结构简单，成调幅（
—振幅调制或—
AM
)c o s ()()( 00 ?? ??? ttkeAta c
V S B )().(
)()c o s ()()(
残留边带调制还有单边带调制
—抑制载波振幅调制—
SSB
SCAMtteta c ?? ?
此时调波幅表示为：
。小发射功率去传输信号不发送出去，则可用较若将载波分量抑制掉而
)(0 te
本地载波tc?co s
相乘 低通tte c?co s)( )(te
mcmc ???? ???2
?
)(?E
m?? m?
1
0
? ?
? ?
? ?
? ?)2()2(
4
1
)(
2
1
)()(
2c o s)(
2
1
)(
2
1
2c o s1)(
2
1
c o sc o s)()(
00
0
cc
c
c
cc
EEE
teE
ttete
tte
tttete
?????
?
?
?
??
?????
?
??
??
?
F
)(0?E
21
4141
m?m?? c?2c?2? ?
0
?m??
m?
21
0
)(
2
te
c
附近的分量，即可取出
滤除在频率为再利用一个理想低通,?
)( ?jH
c?? c?
?
理想低通滤波器
)( ?jH
)( ?jE )( ?jR
?)( ?jH
c?? ?1
c?? ?0
0)()(
)( 0
tjejHjH
t
???
???
??
?
第三章 连续时间信号与系统的频域分析
本章要点
信号表示为正交函数集
周期信号的频谱
常用信号的傅里叶变换
傅立叶变换的性质
Parseval’s定理与能量频谱
F
FF
F
FF
F
F
F
F
F
连续时间系统的频域分析
系统无失真传输的条件
理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应
非周期信号的傅里叶变换
调制与解调
周期信号的傅里叶级数
引言
变换域分析 —— 就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信
号,或者说，信号 用完备的正交函数集来
展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变
换域的区别就在于选取不同的正交完备集。
采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章付里叶变
换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。
从而便于研究信号的传输和处理问题。
)(tf )(tf
信号表示为正交函数集
信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。
1A
?
一、矢量的分量和矢量的分解
2A?
1A
? E?
212Ac
?
1A
?
2A
?
E??
2Ac
??
1A
? E??
2Ac
???
2A
?
矢量 在矢量 上的分量示意图
)(a )(b )(c
? ? ?
2A?
21 12 ACAE ??? －?图 (a)中
—— 用分量 来近似代表原矢量 的误差
矢量。
E? 212AC ? 1A?
图 中 为 在 上的斜投影，可有
无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量 时，
都大于 。
)()( cb, 22 AcAc ?? ???,1A? 2A?
1A?
EE ??? ??,E?
结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量
最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。
21 12 ACAE ??? －?图 (a)中
从几何图上可得：
2
21
2
21
1212
c o sc o s
A
AA
A
AAAAC
??
???? ??
2
2
21
22
21
12 A
AA
AA
AAC ???? ?? ??
?
??
从解析角度：
则令 也可导出
2
2121
2 ACAE ??? ??
022121
12
??? ? ACAc ?? 2
2
21
12 A
AAC ??,?
12C
—— 是在最小平方误差的意义上标志着 和
相互近似程度。 1A
? 2A?
2A
?
1A
? E?
212 Ac
?
)(a
?
例如：
和 相同时，
1A
? 2A? 112 ?C
21 AA
?? ? 时,02
c o s.
2
2
21
12 ?? A
AA
C
?
由图 还可看出，)(a
EACA ??? ?? 2121
其中, 与 组成一正交矢量。EA ?? ?
2 2A? E?
平面矢量分解图
yx AAA
??? ??
A?
xA
?
yA
?
yU?
xU? x
y yy
xx
UAA
UAA
???
???
??
??
0
1
?
???
?
?
yx
yyxx
UU
UUUU
??
????
xU? yU?和 是一组模为 1的正
交矢量
zyx AAAA
???? ???
空间中的矢量分解图
A?
xA
?
yA
?
y
x
z
zA?
yU?
xU?
zU?
zz
yy
xx
UAA
UAA
UAA
??
??
??
??
??
??
0
1
??????
??????
xzzyyx
zzyyxx
UUUUUU
UUUUUU
??????
??????
矢量空间的概念可以引申到 n维。设 n维正交矢量集为
nVVVV ?????? 321,、
即
)(
(
mlVV
VKVV
ml
mmmm
???
??
0
??
??
不为单位矢量）
则
rr
r
r
r
r
nnrr
VV
VA
K
VA
C
VCVCVCVCA
??
????
?
??
?
??
??
?
?
?
?
?
????? 2211
二,信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是
函数的分解。
1、函数的分量
设在区间 内，用函数 在另一
函数 中的分量 来近似的代表
原函数 。
21 ttt ?? )(tf1
)(tf2 )(tfC 212
)(tf1
212121 ttttfCtf ??? )()(
取何值时，得到最佳近似？
12C
选择误差函数 的方均值为最小 。)(t
??
即
)()()( tfctft 2121 ????
方均值为
dtt
tt
t
t
）（ 2
12
2 2
1)(
1
?? ??? ??
求此值最小时的
12C
令
0)]()([ 22121
12
2
1
??
?
? ? dttfctf
c
t
t
解得
?
?
?
2
1
2
1
2
2
21
12 t
t
t
t
dttf
dttftf
c
)(
)()(
矢量分解
22
21
12 A
AAC
??
??
12c —— 是在最小方均误差的意义上代表二函数
和 间的相关联的程度 。
)(1 tf
)(2 tf
00 21 2112 ?? ? tt dttftfC )()(
称 和 在区间 内为正交，构成
了一个正交函数集。
)(tf1 )(tf 2 ),( 21 tt
212112 00 AAAAC ???? ?????
称 与 正交，组成正交矢量。1A? 2A?
例 1：
?
?
?
???
????
)2(1
)0(1)(
??
?
t
ttf设矩形脉冲
试用正弦函数 sint 在区间（ 0,2 ）内来近似
表示此函数，使均方误差最小。 ?
?4?
1
? ?2 t
0
1
?4
)(tf
td t
td ttf
c
?
?
?
?
?
2
0
2
2
0
12
s i n
s i n)(
])s i n(s i n[1 2
0 ??
??? ?
?
?
? dttt d t
?
4?
所以
ttf s i n)( ?4?
解,在区间 内近似为
)(tf ),( ?20 tctf s i n)( 12?
例 2：试用函数 在区间
内近似表示
ttf s i n)( ?1 ),( ?20
ttf c o s)( ?2
解,
0
0
12
2
0
??
???
C
t d tt
?
s i nc o s?
也即 cost不包含 sint分量，或说 cost与 sint正交。
2、正交信号空间
设 n个函数 构成一函数集，如在
区间 内满足下列正交特性：
)(),(),( 21 tgtgtg n?
),( 21 tt
)()()( jidttgtgtt ji ??? 02
1
? ?21 2tt ii Kdttg )( —— 常数
则称此函数集为正交函数集，这 n个 构成一个 n维正交
信号空间。任意一个代表信号的函数 f（ t），在区间
内可以用组成信号空间的 n个正交函数的线性组合来近似。
)(tgi
),( 21 tt
?
?
?
n
i
ii tgCtf
1
)()(
理论上讲 ?
???
? n
i
ii
n
tgCtf
1
)()( li m
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
?
?
?
2
1
2
1
t
t
dttg
t
t
dttgtf
C
i
i
i
)(
)()(
? ?
??
??
2
1 1
2
12
2 1 t
t dttgctfttt
n
r
rr )]()([)(??
均方误差
3、用完备正交函数集表示信号
? 如果用正交函数集,, … 在区间 近似
表示函数
? 方均误差为
? 若令 趋于无限大,的极限等于零
? 则此函数集称为完备正交函数集
)(tg1 )(tg2 )(tgn ),( 21 tt
?
?
?
n
r
rr tgctf
1
)()(
? ??? ?? 21 1 2122 1 tt dttgctfttt nr rr )]()([)(??
n )(2 t?? 0)(lim
2 ??
?? tn ?
定义 1：
定义 2：
如果在正交函数集 之外，
不存在函数 x（ t） )(),(),( tgtgtg n??21
??? ? 21 20 tt dttx )(
满足等式
021 ??tt dttgtx i )()(
i为任意整数
则此函数集称为完备正交函数集 。
这有两层意思：
1，如果 x（ t）在区间内与 正交，则 x（ t）必属
于这个正交集。 )(tgi
2，若 x（ t）与 正交，但 中不包含 x（ t），
则此集不完备。
)(tgi )(tgi
4、复变函数的正交特性。
若 和 是 t 的复变函数，则有关正交特性
的描述如下,)(tf 1 )(tf 2
若 在区间 内可由 来近似，
使均方误差幅度最小的 之最佳值是
)(1 tf ),( 21 tt )(tfC 212
12C
的复共轭为 22
2
1
22
2
1
21
12 fft
t
dttftf
t
t
dttftf
C ?
?
?
?
?
?
)()(
)()(
两个复变函数 和 在区间 内互相
正交的条件是：
)(tf 1 )(tf 2 ),(
21 tt
?? ?? ?? 21 2121 21 0tt dttftftt dttftf )()()()(
如果在区间 内，复变函数集,),(
21 tt ?? )(tgi
ni,,,??21?
满足
mldttg
t
t
tg
kdttg
t
t
tg
ml
mmm
??
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?
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1
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)()(
则称此为正交函数集
例,(1) 三角函数集为完备正交函数集。
?
???
??
,s i n,s i n,s i n
,,c o s,c o s,c o s,
tntt
tntt
111
111
2
21
???
???
例,(2)复指数函数集
? ),,,( ?2101 ?????? ne tjn ?
是一个复变函数集，也是完备正交函数集。
3.1 周期信号的傅里叶级数
1822年法国数学家付里叶（ 1768—— 1830）在研究
热传导理论时发表了, 热的分析理论, 著作，提出并证
明了将周期函数展开为正弦级数的原理。
一、三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集
1、三角函数集：
?
???
??
,s i n,s i n,s i n
,,c o s,c o s,c o s,
tntt
tntt
111
111
2
21
???
???
representation of signal,Fourier Series
? ?? ?? ????Tt nmTt t d tntmt d tntm11 11 1111 0c o st t s i ns i nc o s ????
? ?? ? ??Tt Tt Ttd tntd tn11 11 1212 2s i nc o st t ??
三角函数的公共周期
1
2
?
??T
不记在三角函数集内但 00210 ?? os i n,,n ?
为任意整数? ? ??Tt nmt d ti n ntm11 11,0co st s ???
正交函数集，三角函数集是一完备当 ??? n
为内可用三角函数集表示在区间周期函数 )()(,Ttttf ?11
? ?tnbtnaatf nn
n
11
1
0
2 ?? s inc o s)( ??? ?
?
?
下：在均方误差最小的条件
?
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Tt
t
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Tt d tn
t d tntf
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Tt d tn
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s i n
s i n)(
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c o s
c o s)(
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? ?? ? Tdtee
nmdtee
Tt
t
tjntjn
Tt
t
tjntjm
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?
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1
1
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???
为指数函数的公共周期
1
2
?
??T
? ?为一完备的正交函数集当 tjne 1,???? n
? ?表示内可用在区间（任意函数 tjneTtttf 1))( 1,1 ??
tjn
n
n
tjn
n
tjtj
tjn
n
tjtj
eC
eCeCeC
eCeCeCCtf
1
111
111
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1
)(
1)( ?
??
?
下在方均误差最小的条件
二、周期信号 f（ t）表示为付里叶级数
由数学分析知，当周期信号 f（ t）满足狄氏条件时，
可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。
狄氏条件：
（ 1）在一周期内，间断点的数目有限；
（ 2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；
（ 3）在一周期内,??? ? dttfTt
t
1
1
)(
电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当 f（ t)满足
狄氏条件时,才存在。
nnn cba,,
1，周期信号 f（ t）展开为三角付里叶级数
设 f（ t）是周期为 T的函数
? ?tnbtnaatf nn
n
11
1
0 s i nc o s
2)( ?? ??? ?
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2
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?
直流分量?20a
称为基波分量，
次谐波分量称为，
tbtan
tnbtnan nn
111
11
s i nc o s1
ns i nc o s1
1 ??
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n
n
n
n
nn
tnA
tn
A
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A
a
A
tnbtna
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22 nnn baA ??
na
nb
n?
n
nn abtg 1???
2、周期信号 f（ t）展开为复指数付里叶级数
? ?ntnj
n
tjn
n
eetf ??? ?
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?? ?? 11 nn A21C)(
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证明：
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nn
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tnjtnj
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Aa
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，，
的奇函数）是（的偶函数）是（又
0
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nnAAA
abaAb
nnn
????
??? ? ???
? ? ? ?tnjj
n
tnj
n
eeetf nn 11 nn A21A21)( ???? ??? ?
?
???
??
???
??故
间之外？集中分量之和，至于区
内可表示为正交函数只在以上讨论 )()(f 1,1 Tttt ?
? ? )(
11
11
11
)(s i ns i n
)(c o sc o s
kTtjntnj ee
kTtntn
kTtntn
??
??
??
??
??
???
都可展开为付里叶级数内，在－ )( tft ?????
? ??? 2 100 s in)(40 Tttnn td tntfTba ?，
的对称条件)( tf
），纵轴对称（偶函数)()( tftf ??
），半周镜像（奇谐函数)2()( Ttftf ???
），半周重叠（偶谐函数 )()( 2Ttftf ??
，原点对称（奇函数）)()( tftf ???
展开式中系数特点
? ??? 2 100 c o s)(40 Tttnn td tntfTab ?，
和偶次谐波无奇次谐波，只有直流
谐波分量无偶次谐波，只有奇次
三、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。
F
F
?)(
)(
tf
tf 下形式在一个周期内可写为如
0
2
2
2
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t
T
t
T
E
T
tt
T
E
0?nbtf 是偶函数，故)(
Et d tTEt d tTETdttfTa T
TT
T ???? ??? ?? ][)(
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2222
.
1
出其频谱图求其傅立叶展开式并画
如图所示，，有一偶函数，其波形例
??
)(tf
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2
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E
解,
?
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为奇数
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n
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n
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2 531 22 c o s)(,,?
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294?E?
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0
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T
tf
tf
????)(
)( 下形式在一个周期内可写为如
0?natf 是奇函数，故)(
)(tf
t
1
T
出其频谱图求其傅立叶展开式并画
如图所示，，有一奇函数，其波形例 2
解,
tTnntf
n
n ?
?
2112
1
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tf 下形式在一个周期内可写为如
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T
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T
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T
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T
Tn
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??
出其频谱图求其傅立叶展开式并画
形如图所示，，有一奇谐函数，其波例 3
解,
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t d tnEt d tnE
T
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T
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出其频谱图求其傅立叶展开式并画
形如图所示，，有一偶谐函数，其波例 4
解,
?、,212s i n12)(
2
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为偶数
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E
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E
14? 16?
3.2 周期信号的频谱
为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率
分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示
方法。
一,频谱图的概念
由上一节知周期信号 f（ t）可用付里叶级数来表示。
??
?
???
1
1
0 )c o s (
2)( n nn tnA
atf ??
或
nj
nn
tjn
n
eACetf ?? ?
?
???
?? ? 21C)( 1n
—相位频谱—的关系图（线图）与
—幅度频谱—的关系图（线图）与
1
1
??
?
n
nA
n
n
二,典型周期信号的频谱
周期矩形脉冲信号
F（ t）
2?2?? T t
T：脉冲周期 ?, 脉冲宽度
A,脉冲幅度
第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数
f(t)是偶函数 bn=0
A
?
T
?? ?? ??? 2 22 2 22)(20 ?? ?TAA d tTdttfT T Ta
1
2
?
??T, 三角函数公共周期
)(2
s i n2
s i n2c o s)(2 12
2 T
nSa
T
A
T
n
T
n
T
A
T
n
n
Atd tntf
T
T
Tna
???
??
??
???
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? ????? ?
?
第二步：展成指数形式付里叶级数 FS
)c o s ()(2)( 1
1
tnTnSaTATAtf
n
????? ??
?
??
)c o s ()
2
(2 1
1
1 tnnSa
T
A
T
A
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)2(1 12
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?
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nSa
T
AdtA
T ec
tjn
n ??
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e tjn
n
nSa
T
Atf 1)
2()(
1 ???? ?
?
???
?
函数的公共周期
称为三角:2
1?
??T
f ( t )
t
0
? 2 ?3???2??3?? 1 4?4? ?
sin( ) ( ) tf t S t
t???
当 时
第三步：频谱分析
)(2)2(2 122 TnSaTAnSaTAabaA
nnnn
?????? ?????
An 与 之比值有关，取
T
?
)()2( 1 TnSaTAnSaTAC n ?????? ??
5
1?
T
?
An cn与 包络线均为 )
2( 1
??nSa 1?n 为离散频率
????? n????,.,,,,,2,2 0)2( ???Sa
即
?
?
?
?
?
?? n2,.,,,,,4,2 ???? 0)
2( ?
??Sa
计算第一个振幅为零的谐波次数 n
)
5
1
(5
2
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2 1
1
???
???
T
T
n
T
n
T
n
?
?
?
???
??
??
取即
带入得将令
1?
TA?2
??2
??4
12? 13? 14? 15?
An
?
幅度频谱图
?2 ?4? ?3
1 t ttSa sin)( ?
抽样函数
???2??3??4?
??? ? abtg
n
n
n
1?
0 an>0
0an ??
)2(22 1???? nSaTACeAA nj N
nn
??? ??
???n
0)2( 1 ???nSa
0)2( 1 ???nSa
0 Cn>0
Cn<0
即
即?
—称复数频谱—eC njnn A ??? 21
0
?
15?
?n
?
相位频谱图
16? 110?
1?
??2 ??4
12? 13? 14? 15? ?
Ac nn ?21?
TA?
?
??2???4-
第四步：讨论频谱结构与, T 的关系
1.当 不变,T增大，谱线间隔 减小，谱线逐渐密集，幅度 减 小
??T 01 ?? 0?
T
A?
T?? 21 ?
?
TA?
当
非周期信号 连续频率
1?n
非周期信号连续频谱
此例中 为一实数。幅度频谱与相位频谱可以合
画在一张图上。
)( 2??? nSaTAC n ?
110?
?5?T
?10?T
对于一般频谱，常以 0频率开始 振幅将为包络线最大值的 1/10
的频率之间的频带定义为信号的频带宽度
2.当 T不变,减小时?
??? TA??
T不变 间隔不变
振幅为 0的谐波频率
?1?Bf
???Bf?
??? 2?B
???????,.,,,,,,???? 42
3.频带宽度的定义
对于周期矩形信号，一般 或
周期矩形信号的时间特性,f(t)变化快
f(t)变化慢
频率特性, 变化快的信号必然具有较宽的频带
?
?
T
?? 2
1 ?
B?
三、周期信号的频谱特点
(1)离散性 —— 谱线是离散的而不是连续的，谱线之间
的间隔为 。这种频谱常称为离散频谱。
(2)谐波性 —— 谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数
倍。
(3)收敛性 —— 各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐
减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减
小
T
?? 2
1 ?
1?
3.3 非周期信号的傅里叶变换
一,频谱密度函数
以周期矩形信号为例，当周期 （周期信号变为非周期信号），
（离散频谱变成连续频谱）,即谱线长度趋
于零（无穷小）。
??T
01?? 021 ?? nn AC
以上两节讨论了周期信号的付里叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散
性、谐波性、收敛性三个特点，本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信
号中，导出非周期信号的傅立叶变换 FT。
此时，原分析方法失效，但谱线长度（振幅）虽同为无穷小，但
它们的大小并不相同，相对值仍有差别。
为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入
一个新的量 —— 称为,频谱密度函数”。
设周期信号
??
???
?
n
tjn
n eCtf 1)(
?
?? ?? 2
2
1)(1
T
T
tjn
n dtetfTC
?
连续频率，离散频率，为非周期信号若
：两边同时乘以
????
?
? ?
????
?? ?
?
?
11
2
21
nTf ( t )
)(2T 1
d
dtetfCTC
T
T
tjnn
n
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dtetf
dtetf
AT
TCjF
tj
T
T
tjn
T
n
T
n
T
?
??
)(
)(
2
)( 2
2
1limlimlim则定义，
频谱密度函数
? ?? ? ? ?
? ? 频谱函数。的频谱密度函数，简称称为原函数
—频谱密度的概念—值，反映单位频带的频谱从量纲上来看：
f ( t )
2
1
?
?
??
jF
CTCjF n
n
?
??
?
??
???
叶变换二、非周期信号的付里
1
1
1
11
1
1
)(
22
T
)(
?
?
?
?
?
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tjn
n
n
n
tjn
n
e
C
tf
d
Tnd
eCtf
?
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???
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???
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，由周期信号
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1
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tj
tj
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2
1
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换。的频谱密度或付里叶变称为 )()( tfjF ?
?
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?
?
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—傅立叶逆变换—
—傅立叶正变换—
??
?
?
?
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dejFtf
dtetfjF
tj
tj
)()(
)()(
2
1
? ? ? ? )F ( j)()()(f ( t ))F ( j 1 ??? ??? ? tfjFtf,或，记作,FF
? ?
）（－
备正交）—谐和振荡函数集（完—这里
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tj
ejFjF
e
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tj
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2
1
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2
1
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2
1
)(
)(
2
1
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的三角函数形式三、
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0
)(c o s)(
1
)(c o s)(
2
1
?????
?
?????
?
dtjF
dtjF
奇函数积分为零
从上式可以看出：
1,非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。
2,不同的是，由于非周期信号的 于是它包含了从零到无限高的所
有频率分量。
3,同时，三角函数振幅,故用频谱不能直接画出，必须用它的密度
函数作出。
4,最后必须指出，从理论上讲,FT也应满足类似狄氏条件。
0?? ?? djF )(
而非必要条件。
可 积，dtf ( t )存在的充分条件是FT的f ( t ),绝对? ? ?? ??
讨论：
? ?? ?? ?? 01 ?????? dtjFtf )(c o s)()(
,,01 ??? ?T
3.4 常用信号的傅里叶变换
01 ?? ? ??? )()( tetf t、单边指数信号
1
t0
f(t)
(a)
0 ?
?1
)( ?jF
(b)
2?
? ???
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(c)
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???
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??? ? ?
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1
22
0
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j t g
tjtj
e
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1
22
1
1
tgjF
j
te t
)()(
)(即
不存在。不收敛，时,FT0 dte t? ??? ?? ??
02 ?? ? ?? tetf )(、双边指数信号
f(t)
0 t
(a)
)( ?jF
0?)(??
?
0
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1 ?
2
0
2
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22
22
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ttF
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系作出，的部分可以根据对称关奇函数。故作图时
的）是（的偶函数，是说明：下节将证明
0
0
?
?
?
?
????? )( jF
3、矩形单脉冲信号（门函数）
t202 ???
)(tf
)(
:
tG?
? 脉冲
??????? 6420
)( ?jF
?A
A
????????? 86420
)(??
?
(a) (b) (c)
)( ?jF
?A
????????? 86420
(d)
)(s i n
)()()(
22
2
222
2
??
?
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?
?
?
?????
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aA
A
ee
j
A
dteAdtetfjF
s
jj
tjtj
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????
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?? ?
??? ?
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)(
)
2
()(
??
??
?? aAjF s
?210
222122
1224
0
,,
)()(
)(
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??
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??
n
nn
nn
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）（、单位冲激函数 t?4
付里叶变换）的）、（ ()( FTt?1
)(t? )( ?jF
)1(
0 0t ?
1
)(a )(b
??
?
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??
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?????
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22
00
0
2
2
1
2
1
1
2
1
)(
1)(
1)()]([)(
limlim tdeedet
t
edtettjF
tjtj
jtj
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?
?
?
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???
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???
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?
??
反变换式：
F
常数频谱 1不满足绝对可积条件，反变换求解过程见管致中书 P120
物理意义：在时域中变化
异常剧烈的冲激函数包含
幅度相等的所有频率分量。
因此，这种频谱常称为“均
匀谱“或”白色谱“。
?
?
??
???
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)(1
2
1
1)(
)(?
I FT)()2(
tdet tj ??
?
?
??
??
?知由
）的逆变换（冲激函数
)(21)(
2
1
)(1
2
1
)()(
)(1
2
1
)(1
2
1
?????
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?
????
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?
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?????
?????
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又由
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tde
tdet
tdett
tj
tj
tj
???? ?? dtetfjF tj?? )()(
)(lim)(
)()(
tft
tetf
FT
t
t
e
t
e
0
0
5
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??
?
?
?
??
?
?
设
方法。确实存在，用取极限的进行变换，但其
，不能直接应用公式去）不满足绝对可积条件（
）（、单位阶跃信号
)()()( ??
??
?
??
?
??
? eee jBAj
j
jF ??
?
?
?
?
?
? 22221
由单边指数信号频谱
)()(
)(lim)(lim)(lim)]([)(
??
?????
???
jBA
BjAjFtjF eee
??
????
??? 000
F显然
0
00
0
0
????
???
?
?
???
???
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)(l i m)(
)(l i m)(
e
e
AA
AA
2
0
1
0
2
00
1
)(
1
)()()()(
1
)(lim)()()(
)(lim
1
lim)(lim
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???
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??????
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故
且
)(
l i ml i m
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j
jjj
F0
1101
00
时，
时，注意：这里不能直接求 ?
0
1
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t
)( ?jF
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2?
0
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e
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tj
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c
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的、指数函数
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－
）（知
）（由
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???
? 21
21
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)(2
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)(
c
tjtj
c
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c
dtee
dte
c
c
????
????
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代换得以
)]()([s i n
)]()([c o s
)(
ccc
ccc
c
tj
jt
t
e c
????????
????????
?????
????
????
??
显然
故 2 ][2
1s in
][
2
1c o s
tjtj
c
tjtj
c
cc
cc
ee
j
t
eet
??
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?
??
??
FT)(
2
)(
FT7
1
1
周期信号的—
基频
、周期信号的
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T
ectf
p
n
tjn
n ?? ?
?
???
散的。故周期信号的频谱是离
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???
????
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n
n
n
n
n
tjn
n
p
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][][2
][)]([)(
11
1
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nn
j
n
n
AC
eAA n
2
1
?
方法统一起来。
周期信号的分析
将周期信号与非
的付里叶变换。：求周期单位冲激序列例 1
-2T-T 0 T 2T 3T t
?????? 11111 32012 ??
)( )(1? ?jFp
)(tT?
(a)周期单位冲激序列 (b)付里叶变换频谱
??
??
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???
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???
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?????
???
???
nn
p
T
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T
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T
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T
dtetf
T
C
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1
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1
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1
)(
1
)(2)]([)(
111
2
2
2
2
1
11
?????????
?
??????
??
F
表示在无穷小的频带
范围内（即谐频点）
取得了无限大的频谱
密度值。
之间的关系。的
与其截取一个周期信号的、周期信号
FT
FS8 0 )()( tftf
)2()()()()(
)1()(
1
,)(
2
2
2
2
000
2
2
11
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dtetf
T
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tj
T
T
tj
T
T
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T
Tn
n
tjn
n
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?
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???
??
??
???
??已知
1)(
1
21
0 ??? nn jFTC ??
）两式得），（比较（
由此式求出。中任一个，另一个可以或结论：已知 )(0 ?jFC n
例 2：
付里叶变换
付里叶变换
付里叶级数
0 t
)(0tf
)(t?
)1(
nC
T1
12?? 01?? 11 2?? ?-2T –T 0 T 2T t
)(tT?
)1(
01?? 11 2?? ?
)( 1?
)(0 ?jF
)1(
0 t
)(tT?
10 )(
1 ??? njFTC
n ??
??
???
?
?
n
n nC
jF
)(2
)(
1????
?
)(0 ?jF
1
?
例 3：
?0
)(0 tf
A
202 ??? t
)]([ 0 tfF
)(tf
1T? 1T t
A
?
?
A
jF )(0
?0
1
2T?
nC
?0
1
2T?
)( ?jF
??2 ??4
202 ???
)2()(0 ???? aAjF s?
1T
A?
1??A
????? ?? n n ncjF ][2)( 1?????
3.5 傅立叶变换的性质
? ?? ? ? ?
常数则
、、若
、线性特性
i
n
i
ii
n
i
ii
ii
ajfatfa
nijFtf
??
??
??
?
?
?
?
?
??
11
)()(
21
1
?
?
F
F ?
说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。
0)()(
),()(
2
0
tjejFttf
jFtf
??
?
???
?
那么
若
）、延时特性（时移性质
失真。
否则输出会分量都滞后相位则系统设计得每个频率
时延通过一个系统传输后仅应用：要使一个信号
相对应。延时和在频域中的移相说明：信号在时域中的
,
)(
0
,01
t
ttf
?
F
)(tf )( 0ttf ?
0tje ??
)()(
),()(
3
c
tj jjFetf
jFtf
c ??
?
? ??
?
则
若
、频移性质
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?ccc
ccc
jjFjjF
j
ttf
jjFjjFttf
?????
?????
????
????
2
s i n)(
2
1
c o s)(
完成。变频等过程在此基础上
如调幅、同步解调、系统中得到广泛应用，频谱搬移技术，在通信
。频谱延频率轴右移
等效于在频域中将整个中乘以说明：一个信号在时域
c
tj ce
?
?,
F
t0
)(tf
A
2?2??
ttf c?cos)(
2? t2??
)(?jF
?
?
? ?)()(21 cc jjFjjF ???? ???
频移性质
是非零的常数则
若
、尺度变换特性
a
a
jF
a
atf
jFtf
)()(
),()(
?
?
1
4
?
?
),()( ?jFtf
a
???
?? 时，当 1
一对矛盾。速度与占用频带宽度是在无线电通信中，通信
等效于在频域中压缩。展反之，信号在时域中扩
等效于在频域中扩展。缩说明：信号在时域中压
)(
)(
1
1
?
?
a
a
F
)(2tf
0
1
? t??
)(1tf
1
2?
t
2??
0
)(1 ?jF
?
??2???4? ??2 ??4
?
)(2 ?jF
?
??2????2? ???
?2
倍。分量大小必然减小能量守恒定理，各频率
倍。根据倍，也即频谱展宽增加所以它所含的频率分量
倍，快倍，信号随时间变化加压缩物理意义：信号的波形
a
aa
aa
a
t
j
a
t
j
e
a
F
a
tatf
e
a
F
a
tatf
0
0
)(
1
)]([
)(
1
)]([
0
0
?
?
?
?
?
?
????
??
F
F可以证明：
)(
)()()(
s i n)(c o s)(
)()(
??
?
???
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j
tj
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t d ttfjt d ttf
dtetfjF
?
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??
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??
?
???
??
?
??
?
、奇偶特性5
的奇函数是的偶函数，是 ?????
?
??????
)()(
)(
)()()()()(
jF
R
Xa r c t gXRjF ???? 22
的奇函数是与
的偶函数是与
是实函数分析：
????
???
)()(
)()(
)()1(
X
jFR
tf
的实偶函数必为
则
是实偶函数，即
??
???
??
)(
c o s)()()(
s i n)()(
)()()()(
jF
t d ttfRjF
t d ttfX
tftftf
?
?
?
?
??
??
??
??
0
2
0
2
的虚奇函数必为
则
是实奇函数，即
??
???
?
)(
s i n)(2)()(
0)(
)()()()3(
0
jF
t d ttfjjXjF
R
tftftf
?
?
???
?
???
)()(
)()(
??
?
??
?
fjtF
jFtf
2
6
则
若
、对称特性
)()()(
)()()()()(
?
?
??
????
??
ftRf
ffRjFtf
??
????
2
1
or2R ( t )
)F ( jtf ( t )
则
，即
的实偶函数。是的实偶函数，则是若
)(tf
1
2?
t
2??
0
)( ?jF
?
??2??2?
?
)(tf
t
c??2?
?
?
2
c
c??2
)(1?F
0
1
?
2c?? 2c?
函数。形脉冲的频谱必为矩形函数，而显然矩形脉冲的频谱为 aa SS
等
还有
)(
)(
???
?
21
1
?
?t 的互求提供方便与本性质为 )()( ?jFtf
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
??
??
?
jFj
dt
tfd
jFj
dt
tdf
jF
n
n
n
?
?
?
则
，若
时域微分定理
、微分特性
f ( t )
1
7
n
n
n
d
jdF
tfjt
d
jdF
tfjt
jF
?
?
?
?
?
)(
)()(
)(
)()(
)(
)(
?
?
?
-
-
f ( t )
2
则
，若
频域微分定理
例：求图示波形的频谱
)]()
2
([
2
)]
2
()([
2
)(
ttt
E
ttt
E
Etf
?
?
?
?
?
??
?
???
????解：
EEtt
E
tt
E
tf
?????
?????
)]()
2
([
2
)]
2
()([
2
)(
?
?
?
?
?
??
?
)]()()([)( tTtTtEtf ???? 2222 ???????
2
?
2
??
0 t
)(tf
2
?
2
??
0
?E2
)(tf?
t
E
)(s i n
])c o s ([
][)]([
4
8
2
2
2
2
2
2
2
22
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F
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t
2
??
2
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)4( ?E?
)2(?E
)2( ?E
)()(s i n)(
)(s i n)()(
424
8
4
8
22
22
?????
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??
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Sa
EE
jF
E
jFj
????
??由微分性：
?
?
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????
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djF
t
tf
jtf
jFtf
jF
j
Fdf
jFtf
t
)(
)(
)()0(
),()()2(
)(
1
)()0()(
),()()1(
8
??
?
?
?
?????
?
则
若
则
若
、积分特性
)()()()(
)()()()(
)1(
9
2121
2211
??
??
jFjFtftf
jFtfjFtf
???
??
则
，若
时域卷积定理
、卷积定理
)(*)(
2
1
)()(
)()()()(
)2(
2121
2211
??
?
??
jFjFtftf
jFtfjFtf
??
??
则
，若
频域卷积定理
年研究生入学试题）（武汉理工大学
分）的付里叶变换。（例一：求函数
2002
41
2
)()( ?? ttf ?
)()( ajFaat ?1?F
0
0
)()]([
)()]([
0
0
tj
tj
eFttf
eFttf
?
?
?
?
??
?? ?
F
F解：由时移特性知：
????? jt
1?? )()]([F
?
?
?
????
?
2
0
]
2
1
)2([2)]1
2
([
)(
1
)]([
0
j
a
t
j
e
j
t
e
a
F
a
tatf
?
?
?????
??
F
F另可证明
)(
)(),(
)(),()()(
年研究生入学试题武汉理工大学
。的付里叶变换以及
求的付里叶变换为设分：例
2002
00
102
fF
batf
dt
d
jFtf ??
)(])([ ?? Fjdt tdf ?F
a
b
j
a
b
j
e
a
F
a
jbatf
dt
d
e
a
F
a
batf
?
?
?
?
?
)()]([
)()([
1
1
??
??
F
F
由微分性知
??
?
??
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djFf
tdejFtf
dttfF
dtetfjF
tj
tj
?
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)(
2
1
)0(
0)(
2
1
)(
)()0(
0)()(
令
令
Parseval’s定理与能量频谱
从能量的角度来考察信号时域和频域特性间的关系
])([l i m)(
)()(
dttf
T
Ptf
dttftf
T
T
T
2
2
2
2
1
E
?
?
???
?
??
?
?
?
?
的平均功率定义：信号
的能量定义：信号
号一、能量信号与功率信
有限值的信号功率信号：平均功率为
值的信号能量信号：能量为有限
1t? 0 2t t
)(tf
t
tsin
0
定理形式）周期信号的（
定理二、
sP a r s e v a l
sP a r s e v a l
'
'
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
nn
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T
T
T
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A
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A
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2
(
2
1
2
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2
[
1
)]([
1
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值（方均根值）—周期电流信号的有效—
则有若
I
IIdtti
T
tititf
n
nm??
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1
22
02
2
2
2
11 ?
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?
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?????
??????
43322120
433221202
IIIII
IIIItiI )(
Parseval’s定理：周期信号的功率等于该信号在
完备正交函数集中各分量功率之和。
??? ???? ???? ??? ??
率＝频域中求得的信号功时域中的信号功率
??
?
?
?
??
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1
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n
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tj
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?
信号的能量
定理形式）能量信号的（ 一般非周期信号
属于能量有限信号
代入上式
变换积分次序得
dtetfjF
ddtetfjFE
tj
tj
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djFdjF
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1
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???
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???
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????
f
jF
??
??
?
2?
—奇函数—
—偶函数—
)(
)(
Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号
能量等于在频域中求得的信号能量。
?? ??? ??? ?? ??
频域中的信号能量时域中的信号能量
dffjFdttfE ??
?
??
?
??
??
22
2 )()]([ ?
dfjF
djFdjFE
G
2
0
2
0
2
2
1
2
1
3
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)()(
).()(
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??
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??
??
?
??
谱函数能量信号的能量密度频
?
?
?
?
0
21
??
?
?
?
?
dGE
wG
jFG
)(
)(
)()(
内的全部能量为故信号在整个频率范围
能量。处的单位频带中的信号—表示—
为能量密度频谱。定义：
)( ?G谱念，来定义一个能量频
助于密度的概振幅频率类似，可以借分量中的分布，和分析
号能量在频率无穷小量。为了表明信各频率分量的能量也是
的频率分量，无限多个振幅为无限小非周期信号可分为解为
）（特别是对于随机信号
题有着总要作用。信号所占有的频带等问
号的能量的分布，决定变化情况，它对研究信
密度在频域中随频率的能谱是表示信号的能量
LTI系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应
本节只研究零状态响应。
1.时域分析法
? ? ? ?0() te t e t d? ? ? ????
)(te
()ht
)(*)()( thtetr ?
即将 分解为无限个 之叠加 。)(te
()t?
即零状态响应分解为所有被激励加权的 之叠加 。
? ? ? ?0( ) ( ) ( ) tr t h t e t h e t d? ? ?? ? ? ??
()ht
时域方法缺点：计算复杂。
3.6 连续时间系统的频域分析
2.频域分析法（是变换域分析法的一种）
)()( trjR ?? ?)( ?jH
( ) ( ) ( )r t h t e t??
由时域卷积定理知：
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
()
F r t F h t e t F h t F e t
R j H j E j
Rj
Hj
Ej
? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
??
?
即
称为系统函数（或传递函数）
此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法,Z域
分析法等都是属于变换域分析法。
?? )()( ?jEte
? ? ? ? ? ?011( ) | | c o s [ ]2 jte t E j e d E j t d?? ? ? ? ? ? ???????? ? ???
? ? ? ?011( ) ( )2 j t j tr t R j e d H j E j e d??? ? ? ? ???????????
将任意激励信号分解为无穷多项
信号的叠加（或无穷多项正弦分量的
叠加）
tje?
将无穷多项 信号分量作用于系统所
得的响应取和（叠加）
tje?
2
?频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础
上，与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。
?总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法
都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。
有始信号通过线性电路的瞬态分析
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?1
1
1
e t t t
R j H j
h t F H j
??
??
??
??
? ? ?
? ????
当 时，
即冲激响应
? ? ? ?( ) 2e t t t? ? ?? ? ????? ? ?0ut例 1：已知
,求零状态响应 。
)(*)()( thtetr ? )()()( ??? jHjEjR ??
R
()et ?
?
?
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()out C
R
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0()Uj?C()Ej? 1jC?
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1
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U j RI j
Uj
I j j C
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?
? ——频域阻抗
时域电路模型
（ RC低通网络）
频域电路模型 )()( 0 ??? jcUjjI ?
)(tuR
2
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2
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2
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2
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j
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eeee
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j
jE
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解：
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? ? ? ? ? ?
2
2
110
1
21 ( ) ( ) 1 2
2
1
12 ( )
1 1
13 ( ) ( ) ( ) 2
12
224 ( ) ( ) 1 ( 1 )
1
2 1
jj
a
j
a
jj
j
F e t E j e S ej
jcHj
j R cR
jc
R j E j H j S ej R c
u t F R j F e ej
jRC
Fe j
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?
??? ? ? ? ? ??
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??? ? ? ? ?
???
??
解：
求
求 系 统 函 数, 电 压 传 输 比
求
求
? ?
? ?
1
()
0
22 )
11
1( ) 2 ( )
1
1( ) 2 ( )
1
( ) 2 ( ) ( ) 2 1 ( )
j
tt RC
t
t j j RC
t
RC
e
jjR C R C
e t e tj
j RC
e t e e e tj
j RC
u t t t e t
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??? ? ? ? ?
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??
＋
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2。得
故＝
电压传输比
RCj
Cj
R
Cj
jE
jU
jH
?
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1
1
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2
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1
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2
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1
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1
1
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e
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1
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1
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1
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j
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j
te
te
RC
j
j
te
RC
t
jjt
t
RCt
得
得利用
)(]1[2)(]1[2
)]()([2)]()([2)(
1
1
0
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?????
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??
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tete
tetetttu
RC
t
t
RC
RC
t
t
RC
例题说明
?
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R
C
1
1?
2
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?
?
2
O t?
E
O t?
O ?
O ?
?E
O ?
1
22??
out
? ? ? ?211Hj RC? ?? ?
? ? 2 2E j Sa ???? ??? ????
??et
??et
??out
RC1
急速变化处意味着
有很高的频率分量
|)().(||)(| 0 ??? jEjHjU ?
从以上分析可以看出，利用 从频谱改变的观点
解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求傅立
叶逆变换的过程比较烦琐，因此，在求解一般非周期信号作
用于具体电路的响应时，用 更方便，很少利
用 。
这节引出 的重要意义在于研究信号传输的基本特
性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义。
? ?Hj?
结论
? ?HS
? ?Hj?
? ?Hj?
信号分析
付里叶变换应用于通信系统历史悠久、范围宽广。
现代通信系统的发展处处伴随着付里叶变换方法的精心
运用。从本章开始介绍这些应用中最主要的几个方面 —
— 调制、滤波、失真、抽样。
3.7 系统无失真传输的条件
由前面举例（例 1）知：
2
?
)(te C
R
)(0tu
2
?0 0 t
)(0tu)(te
失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中
产生了失真。
一,线性系统引起信号失真的原因
1.幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的
衰减，引起幅度失真。
2.相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，
造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起
相位失真。
由延时特性知：
0)()( 0 tjejFttf ?? ???
相移与频率成正比??? 0)( t???
在实际应用中，有时需要有意识地利用系统的失真进行波形
变换有时希望传输过程中使用信号失真最小。
二,线性系统无失真条件
0
)(te
t
)(te 0|)(| tjKejH ?? ?? )()( 0ttKetr ??
波形无改变则
称为无失真
0
)(te
t0t
实现无失真传输,应满足的条件)( ?jH
0
0
)(
)(
)(
)()(
)()(
tj
tj
Ke
jE
jR
jH
ejEtr
jEte
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
由
则
设
t
t
t
t
0t
0
0
0
)(te
)(tr
)(1 tr
? ?|| ?jH
? ???
0 ?
?
k
信号通过系统时谐波的相
移比需与其频率成正比。
例,)2s i n (s i n)(
1211 tEtEte ?? ??
)]
2
(2s i n [)(s i n [
)2s i n ()s i n ()(
1
2
12
1
1
11
212111
?
?
?
?
?
?
????
????
????
tkEtkE
tkEtkEtr
基波 二次谐波
为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生
相位失真，应有 常数???
0
1
2
1
1
2 t?
?
?
?
一、理想低通滤波器的频域特性
为截止频率 (Cut off frequency)c?
?
?
?
?
? ?
0
1
|)(|
|)(|)( )(
?
?? ??
jH
ejHjH j
c
c
??
??
?
?
||
||
0)( t??? ?
相移特性是过原点直线
3.8 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应
阻带
|)(| ?jH
通带阻带
)(??
c?? ?
0 c?
二,理想低通滤波器的冲激响应
? ?
0
0
0
0
)(
1
)(
)(s i n
)(2
1
2
1
)(
2
1
)]([)(
0
0
ttS
tt
tt
ttj
e
dee
dejH
jHth
c
a
c
c
cc
ttj
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tj
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?
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??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
F
由图知 t<0时,, 而输
入 在 t=0时加入, 这是反
因果规律的，所以理想低通
滤波器是无法实现的 。
( ) 0ht ?
()t?
)(th
t
0t
c?
?
0
三、理想低通滤波器的阶跃响应
设理想低通滤波器的阶跃响应为 ? ?gt
? ? ? ? ? ? ? ?tg t h t t h d? ? ???? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
0
0
0
si n
t
c
c
t c
c
c
Sa t d
t
d
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?? ????
?????
??
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令 ? ?
0cxt????
,则
cd dx?? ?,于是有
? ? ? ?01 sinc tt xg t dxx?? ???? ? ? ?00 01 s i n s i nc ttxxd x d xxx ?? ?????????????
? ? ? ?01 sinc tt xg t dxx?? ???? ? ? ?00 01 s i n s i nc ttxxd x d xxx ?? ?????????????
上式第一项积分
0 sin
2
x dx
x
?
?? ??
第二项积分是正弦积分函数
0
s in() yS i y d? ?
?? ?
它的函数值可从正弦积分函数表中查得，于是可得理想低通滤波器的阶跃响应为
? ? ? ?0112 cg t S i t t??? ? ?????
x
xsin
x
1
O
?2? ?3 ?4
? ?xSi
xO
2
?
2
??
式中
称为正弦积分函数
1
tO
2
1
0t
tO
dyy ysinS ix x0??
)(tg B
Bt
A
At
)]([121)( 0ttSitg c ??? ??
)(t?
A点处：
C
AB
Bc
BcB
Ac
AcA
tt
tt
ttSitg
tt
ttSitg
?
?
?
?
?
?
?
84.3
)2(92.1)(
2
)(,1)(
)1(92.1)(
2
)(,0)(
0
0
0
0
??
??
???
???
????
由正弦积分函数表可得
B点处：
查表得：
故可求得：
响应电压的建立时间与通频带成反比。
)]([121)( 0ttSitg c ??? ??
四、理想低通滤波器的物理可实现条件
给定一个网络数学模型，什么样的可以物理实现，什么样的不行？这是一个
网络综合问题。
()
()
Hj
Hj
?
?
?
?
?
?
?
??
网络的逼近：找一个可实现的 去逼近理想网络
的理想条件
网络综合
网络的实现：根据所找到的,确定网络的结构
和元件参数
网络分析：已知网络结构和参数，求系统在一定输入下的响应。
网络综合：在给定网络特性的情况下，确定网络的结构和参数。
1,物理可实现的时域条件：
? ?
2
ln
1
Hj d? ?
?
?
??
????
? ? 0,0h t t?? 时，这一条件也称为“因果条件”
2,物理可实现的频域条件：
物理可实现的必要条件是：
其中 ? ?Hj? 满足
? ? 2||H j d????? ???
这一条件称为佩利－维纳准则
例如：理想低通滤波器 ? ?| | 0,
cHj ? ? ??? 时，
? ?ln,Hj ? ??这时 ? ?
2
ln
1
Hj d? ?
?
?
?? ??于是 不收敛，
违反了佩利－维纳准则,则系统不可实现。
举例：一个简单的低通滤波器。
L
C R
2()Ut
?
?
2()Uj?
jL?
1jC? R
1()Ut
?
?
1()Uj?
分析,
可看出, 与理想低通滤波器有些相似, 不同在于)(|,)(| ???jH
2
2
1
1
2
22
2
2
1
1
( ) 11
()
1()
1
1
11
,( ),( )
1
1
()
3
2
2
( ),
3
3
22
()
cc
c
c
c
cc
c
c
c
c
Uj R j c
Hj
Uj
jL
j
R j c
H j t g
LC
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Hj
j
h t F H
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? ? ? ?
?? ????
? ? ? ???
??
?
??
??
?? ??
??
??
??
?
令
下面求系统的
? ?
2
23
( ) si n
23
c
t
c
cj e t
?
?
??
? ??
? ??
??
??
( ) 0,0h t t??
以图示电路为例, 设, 则网络系统函数,CLR?
例题分析
)t(?
c?? c?0
|)(| ?jH
?
?
??
2?
c?
c?? ?
()??
)(th
t
0
例题分析
与理想低通
滤波器有些相似, 不同在
于
)(|,)(| ???jH
( ) 0,0h t t??
―佩利－维纳准则”是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
3.9 调制与解调
一、为什么要调制？
为了有效传输信号
①天线尺寸可实现。 天线尺寸
???
?
???
?
??
?
f
f
c
f
变频信号
信号波长）
光速一定v
(
10
1
② 不同信号在同一信道里传输不产生重叠。
（用多路复用技术解决：在一个信道中传输多路信号。）
调制是实现多路复用的关键技术。
二、调制原理 theory of modulation 。
调制 —— 将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程。
相乘
)(tg ttg 0c o s)( ?
t0cos?
——待传输的信号，称为调制信号
——运载 的高频振荡信号称为载波。
——为经调制后的高频信号称为已调波。
)(tg
t0?cos
ttgtf 0?c o s)()( ?
)(tg
应用付里叶变换的性质说明频谱搬迁的原理
? ??G
0
1
m?m??
?
? ?t0cos?F
0
1
0?0??
?
)(? )(?
? ? )()( ?jGtg ?F
? ?
? ?
? ?)()(
)()(
2
2
2
1
)( c o s
00
00
0
00
???????
??????
?
?
??
????
????
??
?
变换由复指数函数的付里叶
tjtj
eet FF
)(?F
21
0 0?0??
?
m?? ?0
)( 0 m?? ??)( 0 m?? ?? m???0
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?)()(
2
1
)]([)]([
2
1
)()()(
2
1
)( c o s)(
2
1
)]c o s)([()(
00
00
00
0
0
????
????
?????????
?
?
?
?
????
????
?????
??
?
GG
jGjG
G
ttg
ttgtf
FF
FF
分析例中已调波 ttgtf
0c o s)()( ??
振幅随调制信号而变，这种调制称为调幅
调制
调幅
调频
调相
脉冲调制（分两步进行）
这些内容在后续课本
中学习如高频电子线
路、通信原理
三、调幅波的频谱分析举例
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
—调幅系数—令
—调幅波（已调信号）—
—调制信号—
—载波—
0
0
1
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0
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1、正弦调制
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载频分量 上边频分量
边频分量
下边频分量
频谱
0A
20mA 20mA
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? 调幅波的频宽为调制频率的两倍
这种调制中载波的振幅随信号 e(t)成比例的改变，称为调幅，简称 AM
a(t)中含有载波分量，当 时，解调不需本地载波，直接用简单的包
络检波器（二极管、电阻、电容组成）即可提取包络恢复 e(t)。接收机
简单，成本降低，但代价是使用价格昂贵的发射机。
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2、复杂周期信号调制
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smB频宽
调制信号频谱
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022Am
032Am
012Am
022Am
032Am
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2??c?
1??c?3??c?
下边带 上边带
sms B2B ?边带频宽
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调幅波的频谱
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2
E1
2112 nnnncc
c
nm
??????? （最高调制频率）、
附近。载频、信号的频谱被搬移到
相同。、边带频谱结构与分析：
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11 nc ???
2c?
21 nc ???
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千赫频
两临近电台的载
赫—频段
号例如：电台广播声音信
9
4 5 0 050
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3、频分复用（多路复用技术之一）
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)(2 te
)(ten
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1调制
2调制
n调制
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)(2 ta
)(tan
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)(ta 至信道传输
多路复用
频分复用
时分复用
1c? 2c?
?
cn?
四、解调 demodulation
解调 —— 由已调信号 a（ t）恢复原始信号 e（ t）的过程称为 解调 。
? ?
高。但发射机功率大，成本
本低（民用）。）接受机结构简单，成调幅（
—振幅调制或—
AM
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V S B )().(
)()c o s ()()(
残留边带调制还有单边带调制
—抑制载波振幅调制—
SSB
SCAMtteta c ?? ?
此时调波幅表示为：
。小发射功率去传输信号不发送出去，则可用较若将载波分量抑制掉而
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本地载波tc?co s
相乘 低通tte c?co s)( )(te
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附近的分量，即可取出
滤除在频率为再利用一个理想低通,?
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理想低通滤波器
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