第二章 连续时间信号与系统的时域分析
本章要点
F
F
F
F
F
F
F
常用典型信号
连续时间信号的分解
连续时间系统的数学模型
连续时间系统的时域模拟
连续时间系统的响应
单位冲激响应
卷积
2.1常用典型信号
一．实指数信号
函数表示式为,() tf t A e ??
f ( t)
t0
0? ?
A
f ( t)
t0
0? ?
A
f ( t)
t0
0? ?
A
图 2.1实指数信号的波形
二．复指数信号
函数表示式为,
0()() jtf t A e ????
由欧拉公式，可得
00( ) [ c o s ( ) s i n ( ) ]tf t A e t j t? ????
f ( t )
t0
0? ?
A
- A
f ( t )
t0
0? ?
A
- A
f ( t )
t0
0? ?
A
- A
图 2.2 复指数信号实部和虚部的波形
根据 ? 0?,的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：
0 0???? ()f t A?
1．当 时,为直流信号；
0()() jtf t A e ????
() tf t e??0 0? ? 0??2．当 而 时,为实指数信号；
0?? 0?? 0() jtf t e ??3．当 时,称为正弦指数信号，
0
2T ?
??
的周期信号。
0jte?
不难证明 是周期为
三．抽样信号
()aSt
抽样信号
()aSt
定义为 sin
( ) ( ) tf t S t t???
f ( t )
t
0
? 2 ?3???2??3?? 1 4?4? ?
图 2.3 抽样信号
可以看出，（ 1） ()
aSt
为偶函数；
t ? ?? ()
aSt
（ 2）当 时,的振幅衰减趋近于 0；
( ) 0fk???
，（ k为整数）；（ 3）
()aSt 信号满足：
20 ()S t d t
?
?
? ??
()S t d t? ????? ??
四、单位阶跃函数 unit step function
1.定义
??
?
?
??
)t(
)t()t(
01
00?
)(t?
1
0 t
2.1常用典型信号
奇异函数 —— 是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续
点的函数 。
此函数在 t=0处不连续，函数值未定义。
。
2
1
)0( ?tS
VUs 1? P PVt)(?
)(a )(b
? ?
? ?
)(t?2,可代替电路中的开关，故又称为开关函数
3.,给函数的表示带来方便
0
1
)( 0tt ??
0t
右移
)(t?
t
0
1
)( 0tt ??
0t?
左移
t
(a)
(b)
(c)
t?sin
)(sin 0ttt ???
0
0
0
0t
0t
0t
t
t
t
起始任一函数)t(?
）图的不同（
）与注意（
c
b
)()(s in 00 tttt ?? ??
)(tP?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
)t(
)t(
)t(
)t(P
?
?
??
0
0
1
00
)(tP?
?
1面积为
?
1
0 t
五、单位脉冲函数
1、定义
）来表示（可用 t)t(P ??
)(tP?
? t
)(1 t??
0
??1
)(1 ???? t?
?1
0
0
t
t
?
?1
? ?)t()t()t(P ????? ??? 1故
2.
= +
)(tSgn
0
t
1
1?
??
?
??
??
)t(
)t()t(S g n
01
01
六、符号函数 Sgn(t)
1.定义
1
)(2 t?1
??
1?
)(tSgn
0 0 0
t t t
）来表示（可用 t)t(S g n ?
12 ?? )t()t(S g n ?故
2.
七、单位斜变函数 R(t)
1.定义
??
?
?
??
)t(
)t(t)t(R
00
0
0
)(tR
1
1
t
）来表示（可用 t)t(R,?2
00 ???
??
??
?
????
??
????
???
dd)()t(R
td)()t(R
tt
t
0
0
?
?
t
t
dt
)t(dR)t( ??
八, ）（单位冲激函数 t?
处奇异在 0?t
称为冲激强度K
??
?
?
?
?
??
?
?
??
1
00
dt)t(
)t()t(
?
?
0 00
)(t? )( 0tt ?? )(tK?
)(K
t t t
)1(
0t
（ 1）
1、定义
unit impulse function
或
)t(Plimt ??? 0??）（或
?1
0 ?
)(tP?
t
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
??
1
0
00
dt)t(
)t(t
)t(t
?
?
?
）（
）（
t
ts in)t(Sa)kt(Saklimt
k
??
?
?
??
??
??
，其中）（或 ??
?k
0 t?2??3?
?? ? ?2 ?3
?1
k?
(2) 是偶函数)(t?
? ? )tt()tt(
)t()t(
00 ????
??
??
??
)(t?2,的基本性质
(1)筛选性,设 f(t)为一连续函数，则有
)t(fdt)t(f)tt(
)(fdt)t()t(f
00
0
??
?
?
?
?
??
?
?
)(fdt)t()(fdt)t(ft 0000 ??? ???? ?? ?? ）（证明：
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
??
t
t
td)(
td)(
00
01
???
???
证明：由
dt
)t(d)(d)()t( t ??????? ?? ?
?? 或
dt
)t(d)t()t(lim)t(Plimt ?
?
????
??? ?
????
?? 00）（反之，
)(t?(3)冲击函数 的积分等于阶跃函数
)t(d)(
)t(
t
????
?
??
??
的定义式比较，得将这对式子与
)(t?
)()()( taat ?? 14 ?、
)(
)()()(
)()()(
)(
t
a
at
ad
a
atdat
a
ad
a
atdat
a
dtat
??
????
????
?
1
0
11
0
11
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
? ?
? ?
? ??
?
?
??
?
??
?
???
??
）（故
证明：
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
)
2
()
2
(
1
)
2
()
2
(
1
)('
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tt
dt
ttd
t或
)(' t?冲击偶函数
2
2
dt
td
dt
tdt )()()(' ??? ??
九,
1、定义
0??im?
0??im?
0
2
?? 2?
?1
)1(?
)1(?
矩形脉冲的导数
t
0
)(' t?
0?从负t
0?从正t
)1( t
2,的基本性质)(' t?
? ? 奇函数① )(')(',00 tttt ????? ??
)()(')(')()(')(,tftfttf ??? 00 ??④
0?? ??? dtt )(',?③
)(')(')(,00 tfdttttf ???? ??? ?②
引入广义函数后，瞬息物理现象则可由奇异函数来描述，
例如：
_
?V1
)0( ?tK
_
?
cU FC
ic
1?
? ?
? ?
?
??
??
???
??
???
0
0
0
0
10
100
1000
_ _
)()()(
)()(
)()(
库仑dttdiq
CCUq
VUVU
c
c
cc
???
例 1.有始周期锯齿波的分解
A
T T2 T3
)(tf
t
00 ?? ttf,)(
0
2.2 连续时间信号的分解
分解 —— 将时间函数用若干个奇异函数之和来表示。
time domain decompose of signal
?
?
?
???
??????
????
1
21
)()(
.,,,,,,,,)2()()()(
)()()()(
n
nTtAtR
T
A
TtATtAtR
T
A
tf
TtAtR
T
A
tftf
?
??
?
故
T T2
A
)()( 21 tftf ?
0 ?
)(1tf
0
A
T ?
A?
A
T
)( TtA ??
)( TtA ?? ?
0t t t
)(2tf
例 2.任意函数表示为阶跃函数的积分
.,,,,)()]()([
.,,,,)()]()([)()()()(
?????
??????
tktttkftkf
ttftftftftf
?????
????? 00
)0(f
)(tf
0 t? t?2 tk ??)1( tk? t
的几等分。将间隔分成宽度为
时间段的函数考虑
t
)t(ft
?
?0
)(tfa
F F动画演示
t
t
tf
t
t
ttkftkf
ttkftkff
tktftftftf
tkt
k
n
k
k
?
?
?
?
?
???
????
????
?
?
??
?
??
????
????
?
?
?
]
)(
[
]
)()(
[)()(
)()()()()(
1
0
?????
???
?
?
?
?
?
?
dtftftftf
tktt
t
tf
tftf
t
t
n
k
tkta
?
?
?????
????
?
?
?
00
1
0
0
)()()()()()(lim
)(]
)(
[)()()(
例 3.任意函数表示为冲激函数的积分,
)0(f
)(tf
0 t? tk ??)1( tk? t
)(tfa
t? tk? t0
)(tfa
?
?
???
????
???????
n
k
t
t
tt
tkttPtkf
tkttPtkf
tttPtfttPftftf
0
0
)()(
.,,,,,)()(
.,,,)()()()()()(
???
???
????
?
?
???
)()()()()()(lim ttfdtftftf tt ??????? ????? ?? 00
F F动画演示
一、线性时不变系统的分析方法
第一步：建立数学模型
第二步：运用数学工具去处理
第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。
例一：对图示电路列写电流
的微分方程。
)t(U)t(i)t(i 021 和电压、
2.3 连续时间系统的数学模型
)(te )(
0 tU
R
)(1ti
C
RL
M
)(2tiL
?
?
?
?
C
解：由两类约束关系，分别列两回路方程得：
回路 1的 KVL方程：
)t(e)t(Ridt )t(diMdt )t(diLd)(iC t ????? ?? 12111 ??
)(te )(
0 tU
R
)(1ti
C
RL
M
)(2tiL
?
?
?
?
C
电阻 R的伏安关系：
整理后得：
01 2122 ????? ?? )t(Ridt )t(diMdt )t(diLd)(ic t ??
)t(RitU 20 ?）（
)t(iCdt )t(diC Rdt )t(id)C LR(dt )t(idRLdt )t(idML 12121
2
2
3
1
3
4
1
4
22 1222 ?????? ）（
2
2
3
3
4
4 1
dt
)t(ed
Cdt
)t(edR
dt
)t(edL ???
回路 2的 KVL方程：
3
3
02
0
2
0
2
2
3
0
3
4
0
4
22
3
3
22
2
2
2
2
2
3
2
3
4
2
4
22
122
2
122
2
dt
)t(ed
RM
U
Cdt
dU
C
R
dt
Ud
)
C
L
R(
dt
Ud
RL
dt
Ud
ML
dt
)t(ed
M
)t(i
Cdt
)t(di
C
R
dt
)t(id
)
C
L
R(
dt
)t(id
RL
dt
)t(id
ML
?
??????
?
??????
）（
）（
例 2,对图示电路，写出激励 e(t)和响应 r(t)间的微分方程。
)(ti
)(te 2C
L
R )(tr
?
?
?
?
解：由图列方程
)., (),,,,,,,,,t(iR )t(rdt )t(drC 22 ??KCL:
)., (),,,,,,,,,t(e)t(rdt )t(diL 1??KVL:
)t(e)t(rdt )t(drRLdt )t(rdLC ???2
2
2
将（ 2）式两边微分，得
).(.,,,,,,,,,dt )t(didt )t(drRdt )t(rdC 312
2
2 ??
将（ 3）代入（ 1）得
*由以上例题可以得出如下结论：
1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。
例一：含有 4个储能元件，故为四阶电路。
例二：含有 2个储能元件，故为二阶电路。
2.无论是电流 i(t)或电压 U（ t）,他们的齐次方程相同。
说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。
eb
dt
de
b...
dt
ed
b
dt
ed
b
ra
dt
dr
a....
dt
rd
a
dt
rd
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
011
1
1
011
1
1
?????
????
?
?
?
?
?
?
二、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。
一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，
总可以用下列形式的微分方程来描述：
n阶常系数微分方程
三,n阶常系数微分方程的求解法 the solution method for
constant-coefficient difference equation of Nth-order
全响应 =
齐次方程通解 + 非齐次方程特解
（自由响应） （受迫响应）
全响应 =
零输入响应 + 零状态响应
（解齐次方程） （叠加积分法）
时域分析法
（经典法）
变换域法
（第五章拉普拉斯变换法）
微分方程求解
2.4 连续时间系统的时域模拟
系统模型。
框图组合建立之一：即利用基本的方②解决上述矛盾的方法
得要领。
十分繁琐或不法是不行的，研究过程在实际中只依赖这种方
统分析方法方程或差分方程）的系①建立数学模型（微分
为什么要模拟？
。或仿真的方法称为系统模拟
图运算单元给出系统方框利用线性微分方程基本
一、何谓系统的模拟
,
)(
到系统设计（综合）。有助于从系统分析过渡
与互联的研究方法也特征的实质，系统分解这种方法容易理解性能
简化。统时，分析过程将得以将它们组合构成复杂系
果熟知各单元性能，解为若干基本单元，如系统的模拟是将系统分
、模拟图用基本单元
法二、线性系统的模拟方
1
)(
)(
2
)(2
1
)(1
sX
x
sX
x
t
t
?
)()()(
)(
21
)(2)(1
sXsXY
xxty
s
tt
??
? ?
① 加法器,
)(
)(
sY
y t
② 标量乘法器,
)(
)(
sX
x t a
)(
)(
sY
y t
)()(
)()(
saXsY
taxty
?
?
③ 乘法器：
?
)(
)(
2
)(2
1
)(1
sX
x
sX
x
t
t
)(
)(
sY
y t
)()()(
)(
21
)(2)(1
sXsXY
xxty
s
tt
?
?
4 延时器：
)(tx
? )(ty )()( ??? txty
初始条件为零的积分器
时域形式
?? t dxty 0 )()( ??
复频域形式
)(1)( sXssY ?
?
)(tx )(ty
s1
)(sX )(sY
初始条件不为零的积分器
?
)(tx
?
)0(y
)(ty
??? t dxyty 0 )()0()( ??
s1 ?
sy )0(
)(sX )(sY
s
sX
s
ysY )()0()( ??
5
、一阶微分方程的模拟2
xyay ?? 0' yaxy 0' ??
?x ?
0a?
y'y
条件，故是零状态响应以上模拟图都未计初始
?
0a?
)(sX
s
1
)(sY)(ssY
、二阶系统的模拟3
xyayay ??? 01 '''
yayaxy 01 ''' ???
? ? ?
0a?
1a?
)(tx ''y
'y y
页规则
阶系统的模拟可以推出由一、二阶系统的模拟
30P
n
xbxbyayay
x
0101
4
????????
导数的二阶系统的模拟、含有
qbqbyy
xqaqaqqq
01
01
2
)1(1,
???
??????
）式满足（则
）满足方程（使引入一辅助函数
方程即可证明
代入原、将 )2()1(
称为直接模拟框图。系统函数作出的，一般
根据系统的微分方程或以上讨论的框图是直接
X
? ?? ?
1a?
0a?
1b
0b
y
q? q?
q
)(...)()(
)()(...)()(
)()(
)()()(
tebtebteb
tratratratr
m
m
m
m
n
n
n
1
1
1
0
1
1
1
1
????
????
?
?
?
?
)()( )()( tebtra jm
j
j
in
i
i ??
??
?
00
1?na
描述 LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是 n阶线性
常系数微分方程。
上式缩写为：
2.5 连续时间系统的响应
the time domain solution for linear system response
值为特征方程的根。
系统的特征方程为
?
??? 0)())((
21
01
1
1
????????
???????
?
?
n
n
n
n
ppp
apapap
全响应
受迫响应—特解—
自由响应—齐次解—
?
?
?
)(
)(
)(
tr
tr
tr
p
h
)()()( trtrtr ph ??
令
值为特征方程的根。
系统的特征方程为
?
??? 0)())((
21
01
1
1
????????
???????
?
?
n
n
n
n
ppp
apapap
)( trn一、齐次解
)...,( nii 21??为单实根设齐次方程的特征根均
值为特征方程的根。
系统的特征方程为
?
??? 0)())((
21
01
1
1
????????
???????
?
?
n
n
n
n
ppp
apapap
t
n
i
ih
iectr ??
?
?
1
)(
iC
?特征根 )( tr
h齐次解
??? j
m
＋＝
一对共轭复根
重实根
单实根
21?
? ?)s in ()c o s (
01
2
2
1
1
tDtCe
eCetCetCetC
Ce
t
tttm
m
tm
m
t
??
?
????
?
?
???????
?
?
?
?
表 2.1不同特征根所对应的齐次解
式中常数 由初始条件确定。tn
i
in
iectr ??
?
?
1
)(
te)t(r
C)(r)(r
22
2200
?
?
?
???
故
代入上式得将 ＋
0?t
0?t
。，求系统的响应已知
出方程为：描述某系统的输入输例
)(2)0(,0)(
)()(2)(1 '
trrte
tetrtr
??
??
?
tCetr
pp
2)(
202
??
?????
0)(2)(
0
00
' ??
?
??
?
?
trtr
t
tt
求系统的响应
时的状态初始条件：系统在
时接入）时的状态（设激励在初始状态：系统在
te)t()t(r
C,C
2
10
12
22
???
??将初始条件代入上式得
0?t
求系统的零输入响应。，已知
程为：描述某系统的微分方例
,)(r)(r).t(e
)t(e)t(r)t(r)t(r
'
''"
2020
2442
????
???
??
tt
eCteCtr
rrrr
2
0
2
1
21
2
21
''
)(
2,044,
2)0()0(,2)0()0(
??
????
??
???
?????
零输入响应
＝－得特征根为
解：由于激励为零，故
、,????
)( tr p二、特解
特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。表 2.2列出了几种激励及其所对应特解的形式。
备注
B（常数） A A（待定常数）
不等于特征根
等于特征单根
重特征根
所有特征根均不等于零
重等于零的特征根
激励 ()et ()prt特解
te?
mt
cos t? sin t?或
?
?
? 等于 k
te?A
10ttA te A e???
11 1 0()k m mmmt A t A t A t A??? ? ? ?
11 1 0k t k t t tkkA t e A t e A te A e? ? ? ???? ? ? ?
11 1 0mmmmA t A t A t A??? ? ? ?
12c o s s i nA t A t???
k有
j??所有特征根均不等于
例描述某系统的微分方程为
1,y” (t) + 5y’ (t) + 6y(t) = f(t)
求（ 1）当 f(t) = 2e-t,t≥0； y(0)=2,y’ (0)= － 1时的全解；
（ 2）当 f(t) = e-2t,t≥0； y(0)= 1,y’ (0)=0时的全解。
解, (1) 特征方程为 λ2 + 5λ+ 6 = 0,其特征根 λ1= – 2,λ2= – 3。
齐次解为 y h(t) = C1e – 2t + C2e – 3t
由表 2.2可知，当 f(t) = 2e – t时，其特解可设为 Y P(t) = Pe – t
将其代入微分方程得
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得
P=1于是特解为 y
p(t) = e – t
全解为,y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
其中待定常数 C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2,y’ (0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3, C2 = – 2
最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e– 3t + e – t,t≥0
（ 2） 齐次解同上。当激励 f(t)=e– 2t时，其指数与特征根之一相重。
由表 2.2知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e– 2t
代入微分方程可得 P1e-2t = e– 2t,所以 P1= 1 但 P0不能求得。
全解为 y(t)= C1e– 2t + C2e– 3t + te– 2t + P0e– 2t
= (C1+P0)e– 2t +C2e– 3t + te– 2t
将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1,
y’ (0)= – 2(C1+P0) – 3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2,C2= – 1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e– 2t – e– 3t + te– 2t,t≥0
上式第一项的系数 C1+P0= 2，不能区分 C1和 P0，因而也不能区
分自由响应和强迫响应。
三,零输入响应和零状态响应
)()( )()( tebtra jm
j
j
in
i
i ??
??
?
00
1?na
)()()( trtrtr ph ??
).,,2,1( nii ??为单实根设齐次方程的特征根均
t
n
i
ih
iectr ??
?
?
1
)(
)()( trectr pt
n
i
i
i ?? ?
?
?
1
)( trecec pt
n
i
f
t
n
i
x
i
i
i
i
??? ??
??
??
11
t
n
i
f
t
n
i
x
t
n
i
i
i
i
i
i
i ececec ??? ???
???
??
111
自由响应 强迫响应
零输入响应 零状态响应)(tr
zi )(trzs
零状态响应
的齐次解
自由响应
式中
零输入响应
两种分解方式的区别：
1,自由响应与零输入响应的系数各不相同
ic ixc
与 不相同
ic
ixc
由初始状态和激励共同确定
由初始状态确定
2,自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
t??
t??
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指
时，响应不为零的那部分响应分量。
t??
一,冲激响应
1.定义：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响
应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用 h(t)表示。
?
?
???
)(
)(
tg
thL T I
阶跃响应
冲击响应叠加积分系统的零状态响应
??? dtgetr
thtetr
t )()(')(
)()()(
??
??
? ?0
)(t?
)(t?
0 t
)(th
)1( LTI
)(th)(t?
0 t零状态
2.6 单位冲激响应
step response and impulse response
2,h(t)的求解方法
例 1.描述某系统的微分方程为,
试求该系统的冲激响应 h(t)。
解：由冲激响应的定义，当 e(t)= 时，)(t?
)()()()( tetrtrtr ?????? 23
)()( thtrZS ?
?
?
?
???
??????
?? 000
123
)()(
).,,, (.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,)()()()(
hh
tththth ?得
21
20023
00
21 ＝－，＝－特征根为
上式可化为时，
??
?
)., (.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,)()()(
,)(
???????
???
tththth
tt?
0)0()0(,)()(
)0()0(,)()(,)()()()(
)1.....(.,,,,,,,,,)()(2)(3)(
)0()0(1
)3.,,,,,,,, (.,,,,,,,,,)()()(
2
21
＝＝即为连续函数
即项含项含
和平衡，确定初始条件）等号两边奇异函数要由方程（
故
－
－
hhtdtthth
hhtthdtththtth
tththth
hh
teCeCth
tt
?
?
??
??
?
?
???
????????????
??????
?
??
??
?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
??
?
?
????
??
???
?????
0
0
0
0
0000
1200300
001
dtthhh
dtthhhhh
)()()(
)()()()(')('
)(
，其中
逐项积分，得到式两边从对
)()()(
)('
)(
)()()('
)(',)(')('
teeth
C
C
CCh
CCh
hh
hhh
tt
?
2
2
1
21
21
1
1
120
00
30010
10100
??
?
?
??
???
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
????
???
??
???
故
式得代入，将初始条件
即故
满足方程时，当
若
初始值确定
)()()(
)()(...)()(
)(
)()(
thtte
tetratratr nnn
??
???? ??
?
0
1
1
01
)(
,...,,,
)()(...)()(
)(
)()(
11
121000
0
1
1 ?
??
?
?
?
???
???? ??
njh
tthathath
j
n
n
n
）（ －
?
)(.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,)(
...)()()(...)()(
)(
)()()(
31
I2
0
1
10
1
1
??
?????? ????
teb
tebtebtratratr
LT
m
m
m
m
n
n
n
骤系统的冲激响应求解步
)(
)(
,...,,,)()(
21
10
221000
0
1
?
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
n
j
h
njh
初始值为各由系数平衡法，可推得
.)(
)()(...)()(
)(),(.
)()(
）式相同求解过程与（
满足方程选取新变量
111
10
1
111
11
?
???? ??
th
tthathath
ththa
n
n
n ?
)(')()()(')(" tetetrtrtr ???? 245
2,为描述某系统的微分方程例
)(.,,)()()(
)(
.
)()( thbthbthbth
b
m
m
m
m 10
1
111
31
????
?
?
?
系统的冲激响应为微分特性，即可求得式
状态响应的线性性质和根据线性时不变系统零
试求该系统的冲激响应 h(t)。
解,
)()()(')("
)()(
tththth
th
???? 111
1
45
1 应选求满足下式的冲击响
代入上式得将
故冲击响应
，特征根为
1000
41
11
2
211
21
??
??
????
??
??
)(',)(
)()()(
hh
teCeCth tt ?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
00
10
045
0
1
1
111
)(
)('
)()(')("
h
h
ththth
t 时化为零输入响应，设
3
1
3
1
140
00
21
211
211 ????
?
?
?
????
???
?
? CC
CCh
CCh,
)('
)(
)()()(')()(
)()(
teeththth
th
tt ?4
11 3
2
3
12
2
?? ????
再求满足系统方程的
)()
3
4
3
1
(
)()
3
1
3
1
()()
3
4
3
1
()('
)()
3
1
3
1
()()(
4
44
1
4
11
tee
teeteeth
teethth
tt
tttt
tt
?
??
?
??
????
??
???
?????
??为故冲击响应
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
)]([)(.
)
)(
)((
)(
)(.
))((.
)(
sHLth
dt
td
t
dt
tdg
th
h
th
13
2
01
?
??
的确定难点化为零输入响应
的求法
二、阶跃响应
1.定义
)(tg
)(t?
1
t0
LTI)(t?
)(tg
零状态
t0
2.g(t)的求解方法
1210
000
12
121000
0
1
1
??
??
?
??
?
?
?
???
????
??
?
?
?
nj
gg
njg
ttgatgatg
jj
j
n
n
n
,...,,,
)()(
)(
...,,,,)(
)()(...)()(
)()(
)(
)()(
平衡，得由方程两边奇异函数要
?
)()()( t
a
eCtg
n
i
t
i
i ???
?
??
1 0
1
单根，则若该方程的特征根均为
齐次解 特解
另外, ??
???? ??
tt dtdhtg ])()([)()( ?????? ?
试求该系统的阶跃响应
为描述某系统的微分方程例
),()()(')("
.
tetrtrtr ??? 86
3
)()()( teCeCtg tt ?
??
8
1
42
4
2
2
1
21
???
????
??故
，，特征根为
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
00
00
86
)(
)('
)()()(')("
)(
g
g
ttgtgtg
tg
?
满足方程为解：
)3(),2(15.2
)()
8
1
8
1
4
1
()(
8
1
,
4
1
042)0('
0
8
1
)0(
0
42
21
21
21
作业：
于是得
初始值代入上式得由
teetg
CC
CCg
CCg
tt
?????
????
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
?
?
?
).(),()(,1)0(',2)0(
)()('2)(3)('4)("4
2 trteterr
tetetrtrtr
t 求全响应已知
：系统的微分方程为例
?????
????
??
)(3)(2
)(3)(2)()('2
)()(2)('),()(
)(
31
)()()()1(:
2
22
222
3
21
21
tet
tetetete
tetetetete
ecectr
，
trtrtr
t
tt
ttt
tt
n
pn
??
??
???
??
?
??
???
??
??
???
????
???
????
??
得由
特征根
解
解
ttt
t
pppp
t
p
t
p
t
p
t
eecectr
etrrrr
petrpetr
petr
tetrtrtr
t
23
21
2
22
2
2
3)(
3)(1'''
4)('',2)('
)(
)1()(3)(3)('4)("
,0
???
?
??
?
?
????
?
???
?
????
?
）式，可得代入（，，将
设特解
系统方程为：时
?
3)0(',2)0()0(
2)]0()0([4)]0(')0('[
)(3)(2)(3)('4)("
3)(2)(3)('4)("
)0('),0()2(
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
???
????
????
????
???
????
?
?
??
?????
rrr
rrrr
dttedttdttrdttrdttr
ettrtrtr
rr
t
t
＋
－
＋
－
＋
－
＋
－
＋
－
将方程两边积分
的确定
?
?
0343)(
4,3
363
23
3)(3)0(',2)0(
23
21
21
21
23
21
????
???
?
?
?
????
???
?????
???
???
??
teeetr
cc
cc
cc
eecectrrr
ttt
ttt
故
得
代入将
t0 t? tk? ttk ???
)(te
)0(e
)(tea
2.7 卷 积
一、杜阿美尔积分
????
????
???
?
?
?
?
?
dte
dteetete
tktt
t
te
tete
t
t
a
t
tkt
n
k
a
)()('
)()(')()(lim)(
)(
)(
)()()(
??
????
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
0
00
1
0
0 信号分解
)(
)(
)()()(
)()(
)()(
tkttg
t
te
tgetr
tgt
trte
tkt
n
k
a
aa
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
1
0
原理得由线性定常系统的叠加
零状态响应为时，输入为
时，零状态响应为设输入为
称为杜阿美尔积分
为时，零状态响应则当输入为
???
????
?
?
?
??
???
???
?
dtge
dtgetgetrtr
trte
t
t
a
t
)()('
)()(')()()(lim)(
)()(
0
00
0
二、卷积积分
t0 t?
tk? tk ?? )1(
)(te
)0(e
)(teb
)()()( tktPttkete t
n
k
b ??? ? ???? ?
? 0
t?1
0
0
tP?
t?
0??t
)1(
)(t?
t t
)(l i m)( 0 tPt tt ?????
????????
???
?
?
??
dtetktttke
tkttPtketete
t
n
k
t
t
n
k
t
b
t
)()()()(l i m
)()(l i m)(l i m)(
????
???
??
?
?
?
?
?
??
0
0
0
0
00
)()()(
)()(
)()(
0
tkthttketr
trte
tht
n
k
b
bb
??????
?
?
?
由叠加原理，得
时，零状态响应为输入为
时，零状态响应为设输入为 ?
)()()(
)()()(lim)(
)()(
thtetr
dthetrtr
trte
t
b
t
??
???? ?
??
卷积积分常简记为
卷积积分
为时，零状态响应则当输入为
???
? 00
1.定义,
)()()()()(
)()()(
),()(
tftftftftf
dtfftf
tftf
2121
21
21
????
?? ?
?
??
简记为
两者做卷积运算定义为和对于任意两个信号
???
2.8 卷积及其性质
0000
0
???????
?????? ??
?
??
)(,,,)(
)()()()()()()(
???
??????
thtttht
thtedthedthetr
t
时即时，
零状态响应在因果系统中，系统的
?
integral and the property
2.卷积的图示
0
0)(00
)()()(,
积分下限可改为
时，时接入系统，即又激励是在
有故积分上限可改为
?
???
?? ?
??
tett
dthetrt
t
???
1
1
1
)(1 tf )(2 tf
5.0
0 0t t
).()(
)(),(
)()(
??
?
?
?
22
21
21
ff
tftf
tftf
反转得
代换，并将的自变量用第一步：将函数
的步骤：求
00 0
1
1 1 1?
5.0
5.0
)(1?f )(2?f )(2 ??f
? ? ?
)()( ??? ?? tftf 22,得轴平移时间沿正第二步：将函数
)(2 ??tf
0t1?t ?
)(0 左移?t
)(2 ??tf
)(1?f
0 t ?1?t 1
1
5.0
)(10 右移??t
)(1?f
)(2 ??tf
0 t ?1?t 1
1
5.0
)(21 右移?? t
2
0.5
)(2 ??tf
0 t1?t ?
)(1?f
1
1 2
2?t
以上计算结果归纳为
完全分离，与
于零两图形分离，其乘积等
的积分分相乘，求相乘后图形第三步：两信号重叠部
0)()()(,2
)2(5.05.01)(,5.01)()(,21
5.05.01)(,5.01)()(,10
0)()()(,0)()(,0
21
1
1
21
0
21
2121
???
??????????
?????????
????????
?
?
?
?
?
??
tftfft
tdtftfft
tdtftfft
dtfftftfft
t
t
??
???
???
?????
0
5.0
1 2 t
)(tf
下页动画演示卷积
卷积动画
3.卷积的性质
(1)交换律：
(2)分配律：
(3)结合律, )]()([)()()]()([
)()()()()]()([)(
)()()()(
tftftftftftf
tftftftftftftf
tftftftf
321321
3121321
1221
?????
??????
???
).()( tftf 21 ?例一、计算
0
2
t1
)(1 tf
)]()([)( 121 ??? tttf ?? )()( tetf t???2
0
1
t
)(2 tf
)(te t??
1
1 t0
2
)(1?f
)(2 ??tf
?
??????? ? dtetftftf tt )(]()([)()()( )( ?????? ???021 12方法一：
)(1?f
0
1
2
1
)(1?f
)(2 ??f
?
2
1
1
)(2 ??tf
?t0
)()()]()()[()(
)()()(,
)()()(,
)(
)()(
)(
12112
1221
12210
1
1
0
1
0
???????
??????
??????
????
?????
???
?
?
teettetf
teedetft
tedetft
ttt
ttt
t
tt
???
??
??
?
?
故
????
??????????
???????
??
??
?
dede
dtedte
dtetftftf
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
)(
)()()()(
)()]()([)()()(
)()(
)()(
)(
122
122
12
00
00
0
21
???
?????
??????
????
????
??
??
??
?方法二：
)(][)]()()[(
)(][)()(
)()()()()(
)(
)(
)()(
12112
11212
121212
1
1
1
1
0
???????
?????
??????
????
???
?????
??
teette
tete
dedetetf
ttt
tt
t
t
tt
???
??
??????? ??
)(][)()(
)(
)()(
)]()([)()()()(
)(
11212
1222
122
12
1
1
1
00
00
0
12
?????
?????
?????
????????
???
?
?
?
??
??
?
???
??
?
tete
dtedede
dtedte
dttetftftf
tt
t
t
tt
tt
t
??
?????
??????
???????
???
??
?
律方法三、由卷积的交换
1
01
??
???
t
t
?
?
得
由
4.卷积的微分性质
5.卷积的积分性质
6.由 4.5两性质可得
)()()()()]()([ tfdt tdfdt tdftftftfdtd 212121 ?????
)()()()()]()([ ????????? 212121 fdfdffdff ttt ????? ??? ??????
?? dfdt tdftftft t? ?????? )()()()()( 2121f
7.函数与冲激函数的卷积
8.函数延时后的卷积
)()()(
)(')(')(
)()()(
)()()(
)()()()()(
2121
00
tttfttttf
tfttf
ttftttf
tfdtf
dtfttftf
??????
??
????
???
????
?
?
?
??
?
??
?
?
?
????
?????
偶函数???? )()( tt ????
)()()(
)()()(
212211
21
tttfttfttf
tftftf
??????
??
则
若
9.函数与阶跃函数的卷积
10.相关与卷积
相关运算定义
?
??
??
????
?
????????
t
tt
df
tdf
dt
td
dfttf
??
???
?
???
)(
)(])([
)(
])([)()(
)6(性质
???
???
dtxytR
dtyxtR
yx
xy
)()()(
)()()(
??
??
?
?
?
??
?
?? )11( ?
的互相关函数与—称为—
的互相关函数与—称为—
)()(
)()(
txtyR
tytxR
yx
xy
???
???
??
dxtytR
dytxtR
t
yx
xy
)()()(
)()()(
?
?
?
??
?
??
??
??
?? 的变量置换，可得若作
)()()(
)()()(
)(
)()()()(
)()()(),(
tytxtR
tytxtR
tR
tRdtxxtR
tRtR
yx
xy
xx
xxxx
yxxy
???
???
????
????
?
?
??
—称为自相关函数—
两式可得对照
???
2111
例 2、
，并画波形。
所示，求的波形图如图与已知：
)(')()()(
)()()(
ttftfty
atftf
???? 21
21
1?
0
1
1
1?
)(1 tf
0 1
1
1? 01?
)1(
)1(?
1
)(' tf2
)()()( 112 ???? tttf ??
解,
)1()1(
)]1()1([)(
)(')(
)()(') ] '()([
)() ] '()([)()()()(
11
1
21
2121
21
'
21
???? ?? ? ?? ?
?????
??
???? ?? ? ?? ?
??? ?? ? ?? ????
tftf
tttf
tftf
tftftftf
ttftfttftfty
??
??
0 1
1
1?
1?
22? t
)(ty
)()()( ttftf ???
由微分性
延时性
Tttfba
ttf
T
T
?? ??
?
并画出其波形。设所示，求
的波形如图与单位冲激序列、时间函数例
),()()(),(
)()(3
)(tf
A
2?2??
0 t
)(tT?
0 tT
)1(
T2T?T2?
)1( )1( )1( )1(
解,
问,
)()( ttf T??
TT?
2?2??
0 t
??T
A
)()( ttf T??
0 t
??T
.,,,,,.,,,,,,,,)()()(
)()()()(
210 ????????
????
??
?
?
???
?
???
?
???
kkTtfkTttf
kTttfttf
kk
k
T
?
??
的波形如何？时，当 )()( ttfT T?? ??
作业,2.17(a)(c),2.20,2.21(b)
本章要点
F
F
F
F
F
F
F
常用典型信号
连续时间信号的分解
连续时间系统的数学模型
连续时间系统的时域模拟
连续时间系统的响应
单位冲激响应
卷积
2.1常用典型信号
一．实指数信号
函数表示式为,() tf t A e ??
f ( t)
t0
0? ?
A
f ( t)
t0
0? ?
A
f ( t)
t0
0? ?
A
图 2.1实指数信号的波形
二．复指数信号
函数表示式为,
0()() jtf t A e ????
由欧拉公式，可得
00( ) [ c o s ( ) s i n ( ) ]tf t A e t j t? ????
f ( t )
t0
0? ?
A
- A
f ( t )
t0
0? ?
A
- A
f ( t )
t0
0? ?
A
- A
图 2.2 复指数信号实部和虚部的波形
根据 ? 0?,的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：
0 0???? ()f t A?
1．当 时,为直流信号；
0()() jtf t A e ????
() tf t e??0 0? ? 0??2．当 而 时,为实指数信号；
0?? 0?? 0() jtf t e ??3．当 时,称为正弦指数信号，
0
2T ?
??
的周期信号。
0jte?
不难证明 是周期为
三．抽样信号
()aSt
抽样信号
()aSt
定义为 sin
( ) ( ) tf t S t t???
f ( t )
t
0
? 2 ?3???2??3?? 1 4?4? ?
图 2.3 抽样信号
可以看出，（ 1） ()
aSt
为偶函数；
t ? ?? ()
aSt
（ 2）当 时,的振幅衰减趋近于 0；
( ) 0fk???
，（ k为整数）；（ 3）
()aSt 信号满足：
20 ()S t d t
?
?
? ??
()S t d t? ????? ??
四、单位阶跃函数 unit step function
1.定义
??
?
?
??
)t(
)t()t(
01
00?
)(t?
1
0 t
2.1常用典型信号
奇异函数 —— 是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续
点的函数 。
此函数在 t=0处不连续，函数值未定义。
。
2
1
)0( ?tS
VUs 1? P PVt)(?
)(a )(b
? ?
? ?
)(t?2,可代替电路中的开关，故又称为开关函数
3.,给函数的表示带来方便
0
1
)( 0tt ??
0t
右移
)(t?
t
0
1
)( 0tt ??
0t?
左移
t
(a)
(b)
(c)
t?sin
)(sin 0ttt ???
0
0
0
0t
0t
0t
t
t
t
起始任一函数)t(?
）图的不同（
）与注意（
c
b
)()(s in 00 tttt ?? ??
)(tP?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
)t(
)t(
)t(
)t(P
?
?
??
0
0
1
00
)(tP?
?
1面积为
?
1
0 t
五、单位脉冲函数
1、定义
）来表示（可用 t)t(P ??
)(tP?
? t
)(1 t??
0
??1
)(1 ???? t?
?1
0
0
t
t
?
?1
? ?)t()t()t(P ????? ??? 1故
2.
= +
)(tSgn
0
t
1
1?
??
?
??
??
)t(
)t()t(S g n
01
01
六、符号函数 Sgn(t)
1.定义
1
)(2 t?1
??
1?
)(tSgn
0 0 0
t t t
）来表示（可用 t)t(S g n ?
12 ?? )t()t(S g n ?故
2.
七、单位斜变函数 R(t)
1.定义
??
?
?
??
)t(
)t(t)t(R
00
0
0
)(tR
1
1
t
）来表示（可用 t)t(R,?2
00 ???
??
??
?
????
??
????
???
dd)()t(R
td)()t(R
tt
t
0
0
?
?
t
t
dt
)t(dR)t( ??
八, ）（单位冲激函数 t?
处奇异在 0?t
称为冲激强度K
??
?
?
?
?
??
?
?
??
1
00
dt)t(
)t()t(
?
?
0 00
)(t? )( 0tt ?? )(tK?
)(K
t t t
)1(
0t
（ 1）
1、定义
unit impulse function
或
)t(Plimt ??? 0??）（或
?1
0 ?
)(tP?
t
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
??
1
0
00
dt)t(
)t(t
)t(t
?
?
?
）（
）（
t
ts in)t(Sa)kt(Saklimt
k
??
?
?
??
??
??
，其中）（或 ??
?k
0 t?2??3?
?? ? ?2 ?3
?1
k?
(2) 是偶函数)(t?
? ? )tt()tt(
)t()t(
00 ????
??
??
??
)(t?2,的基本性质
(1)筛选性,设 f(t)为一连续函数，则有
)t(fdt)t(f)tt(
)(fdt)t()t(f
00
0
??
?
?
?
?
??
?
?
)(fdt)t()(fdt)t(ft 0000 ??? ???? ?? ?? ）（证明：
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
??
t
t
td)(
td)(
00
01
???
???
证明：由
dt
)t(d)(d)()t( t ??????? ?? ?
?? 或
dt
)t(d)t()t(lim)t(Plimt ?
?
????
??? ?
????
?? 00）（反之，
)(t?(3)冲击函数 的积分等于阶跃函数
)t(d)(
)t(
t
????
?
??
??
的定义式比较，得将这对式子与
)(t?
)()()( taat ?? 14 ?、
)(
)()()(
)()()(
)(
t
a
at
ad
a
atdat
a
ad
a
atdat
a
dtat
??
????
????
?
1
0
11
0
11
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
? ?
? ?
? ??
?
?
??
?
??
?
???
??
）（故
证明：
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
)
2
()
2
(
1
)
2
()
2
(
1
)('
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tt
dt
ttd
t或
)(' t?冲击偶函数
2
2
dt
td
dt
tdt )()()(' ??? ??
九,
1、定义
0??im?
0??im?
0
2
?? 2?
?1
)1(?
)1(?
矩形脉冲的导数
t
0
)(' t?
0?从负t
0?从正t
)1( t
2,的基本性质)(' t?
? ? 奇函数① )(')(',00 tttt ????? ??
)()(')(')()(')(,tftfttf ??? 00 ??④
0?? ??? dtt )(',?③
)(')(')(,00 tfdttttf ???? ??? ?②
引入广义函数后，瞬息物理现象则可由奇异函数来描述，
例如：
_
?V1
)0( ?tK
_
?
cU FC
ic
1?
? ?
? ?
?
??
??
???
??
???
0
0
0
0
10
100
1000
_ _
)()()(
)()(
)()(
库仑dttdiq
CCUq
VUVU
c
c
cc
???
例 1.有始周期锯齿波的分解
A
T T2 T3
)(tf
t
00 ?? ttf,)(
0
2.2 连续时间信号的分解
分解 —— 将时间函数用若干个奇异函数之和来表示。
time domain decompose of signal
?
?
?
???
??????
????
1
21
)()(
.,,,,,,,,)2()()()(
)()()()(
n
nTtAtR
T
A
TtATtAtR
T
A
tf
TtAtR
T
A
tftf
?
??
?
故
T T2
A
)()( 21 tftf ?
0 ?
)(1tf
0
A
T ?
A?
A
T
)( TtA ??
)( TtA ?? ?
0t t t
)(2tf
例 2.任意函数表示为阶跃函数的积分
.,,,,)()]()([
.,,,,)()]()([)()()()(
?????
??????
tktttkftkf
ttftftftftf
?????
????? 00
)0(f
)(tf
0 t? t?2 tk ??)1( tk? t
的几等分。将间隔分成宽度为
时间段的函数考虑
t
)t(ft
?
?0
)(tfa
F F动画演示
t
t
tf
t
t
ttkftkf
ttkftkff
tktftftftf
tkt
k
n
k
k
?
?
?
?
?
???
????
????
?
?
??
?
??
????
????
?
?
?
]
)(
[
]
)()(
[)()(
)()()()()(
1
0
?????
???
?
?
?
?
?
?
dtftftftf
tktt
t
tf
tftf
t
t
n
k
tkta
?
?
?????
????
?
?
?
00
1
0
0
)()()()()()(lim
)(]
)(
[)()()(
例 3.任意函数表示为冲激函数的积分,
)0(f
)(tf
0 t? tk ??)1( tk? t
)(tfa
t? tk? t0
)(tfa
?
?
???
????
???????
n
k
t
t
tt
tkttPtkf
tkttPtkf
tttPtfttPftftf
0
0
)()(
.,,,,,)()(
.,,,)()()()()()(
???
???
????
?
?
???
)()()()()()(lim ttfdtftftf tt ??????? ????? ?? 00
F F动画演示
一、线性时不变系统的分析方法
第一步：建立数学模型
第二步：运用数学工具去处理
第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。
例一：对图示电路列写电流
的微分方程。
)t(U)t(i)t(i 021 和电压、
2.3 连续时间系统的数学模型
)(te )(
0 tU
R
)(1ti
C
RL
M
)(2tiL
?
?
?
?
C
解：由两类约束关系，分别列两回路方程得：
回路 1的 KVL方程：
)t(e)t(Ridt )t(diMdt )t(diLd)(iC t ????? ?? 12111 ??
)(te )(
0 tU
R
)(1ti
C
RL
M
)(2tiL
?
?
?
?
C
电阻 R的伏安关系：
整理后得：
01 2122 ????? ?? )t(Ridt )t(diMdt )t(diLd)(ic t ??
)t(RitU 20 ?）（
)t(iCdt )t(diC Rdt )t(id)C LR(dt )t(idRLdt )t(idML 12121
2
2
3
1
3
4
1
4
22 1222 ?????? ）（
2
2
3
3
4
4 1
dt
)t(ed
Cdt
)t(edR
dt
)t(edL ???
回路 2的 KVL方程：
3
3
02
0
2
0
2
2
3
0
3
4
0
4
22
3
3
22
2
2
2
2
2
3
2
3
4
2
4
22
122
2
122
2
dt
)t(ed
RM
U
Cdt
dU
C
R
dt
Ud
)
C
L
R(
dt
Ud
RL
dt
Ud
ML
dt
)t(ed
M
)t(i
Cdt
)t(di
C
R
dt
)t(id
)
C
L
R(
dt
)t(id
RL
dt
)t(id
ML
?
??????
?
??????
）（
）（
例 2,对图示电路，写出激励 e(t)和响应 r(t)间的微分方程。
)(ti
)(te 2C
L
R )(tr
?
?
?
?
解：由图列方程
)., (),,,,,,,,,t(iR )t(rdt )t(drC 22 ??KCL:
)., (),,,,,,,,,t(e)t(rdt )t(diL 1??KVL:
)t(e)t(rdt )t(drRLdt )t(rdLC ???2
2
2
将（ 2）式两边微分，得
).(.,,,,,,,,,dt )t(didt )t(drRdt )t(rdC 312
2
2 ??
将（ 3）代入（ 1）得
*由以上例题可以得出如下结论：
1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。
例一：含有 4个储能元件，故为四阶电路。
例二：含有 2个储能元件，故为二阶电路。
2.无论是电流 i(t)或电压 U（ t）,他们的齐次方程相同。
说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。
eb
dt
de
b...
dt
ed
b
dt
ed
b
ra
dt
dr
a....
dt
rd
a
dt
rd
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
011
1
1
011
1
1
?????
????
?
?
?
?
?
?
二、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。
一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，
总可以用下列形式的微分方程来描述：
n阶常系数微分方程
三,n阶常系数微分方程的求解法 the solution method for
constant-coefficient difference equation of Nth-order
全响应 =
齐次方程通解 + 非齐次方程特解
（自由响应） （受迫响应）
全响应 =
零输入响应 + 零状态响应
（解齐次方程） （叠加积分法）
时域分析法
（经典法）
变换域法
（第五章拉普拉斯变换法）
微分方程求解
2.4 连续时间系统的时域模拟
系统模型。
框图组合建立之一：即利用基本的方②解决上述矛盾的方法
得要领。
十分繁琐或不法是不行的，研究过程在实际中只依赖这种方
统分析方法方程或差分方程）的系①建立数学模型（微分
为什么要模拟？
。或仿真的方法称为系统模拟
图运算单元给出系统方框利用线性微分方程基本
一、何谓系统的模拟
,
)(
到系统设计（综合）。有助于从系统分析过渡
与互联的研究方法也特征的实质，系统分解这种方法容易理解性能
简化。统时，分析过程将得以将它们组合构成复杂系
果熟知各单元性能，解为若干基本单元，如系统的模拟是将系统分
、模拟图用基本单元
法二、线性系统的模拟方
1
)(
)(
2
)(2
1
)(1
sX
x
sX
x
t
t
?
)()()(
)(
21
)(2)(1
sXsXY
xxty
s
tt
??
? ?
① 加法器,
)(
)(
sY
y t
② 标量乘法器,
)(
)(
sX
x t a
)(
)(
sY
y t
)()(
)()(
saXsY
taxty
?
?
③ 乘法器：
?
)(
)(
2
)(2
1
)(1
sX
x
sX
x
t
t
)(
)(
sY
y t
)()()(
)(
21
)(2)(1
sXsXY
xxty
s
tt
?
?
4 延时器：
)(tx
? )(ty )()( ??? txty
初始条件为零的积分器
时域形式
?? t dxty 0 )()( ??
复频域形式
)(1)( sXssY ?
?
)(tx )(ty
s1
)(sX )(sY
初始条件不为零的积分器
?
)(tx
?
)0(y
)(ty
??? t dxyty 0 )()0()( ??
s1 ?
sy )0(
)(sX )(sY
s
sX
s
ysY )()0()( ??
5
、一阶微分方程的模拟2
xyay ?? 0' yaxy 0' ??
?x ?
0a?
y'y
条件，故是零状态响应以上模拟图都未计初始
?
0a?
)(sX
s
1
)(sY)(ssY
、二阶系统的模拟3
xyayay ??? 01 '''
yayaxy 01 ''' ???
? ? ?
0a?
1a?
)(tx ''y
'y y
页规则
阶系统的模拟可以推出由一、二阶系统的模拟
30P
n
xbxbyayay
x
0101
4
????????
导数的二阶系统的模拟、含有
qbqbyy
xqaqaqqq
01
01
2
)1(1,
???
??????
）式满足（则
）满足方程（使引入一辅助函数
方程即可证明
代入原、将 )2()1(
称为直接模拟框图。系统函数作出的，一般
根据系统的微分方程或以上讨论的框图是直接
X
? ?? ?
1a?
0a?
1b
0b
y
q? q?
q
)(...)()(
)()(...)()(
)()(
)()()(
tebtebteb
tratratratr
m
m
m
m
n
n
n
1
1
1
0
1
1
1
1
????
????
?
?
?
?
)()( )()( tebtra jm
j
j
in
i
i ??
??
?
00
1?na
描述 LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是 n阶线性
常系数微分方程。
上式缩写为：
2.5 连续时间系统的响应
the time domain solution for linear system response
值为特征方程的根。
系统的特征方程为
?
??? 0)())((
21
01
1
1
????????
???????
?
?
n
n
n
n
ppp
apapap
全响应
受迫响应—特解—
自由响应—齐次解—
?
?
?
)(
)(
)(
tr
tr
tr
p
h
)()()( trtrtr ph ??
令
值为特征方程的根。
系统的特征方程为
?
??? 0)())((
21
01
1
1
????????
???????
?
?
n
n
n
n
ppp
apapap
)( trn一、齐次解
)...,( nii 21??为单实根设齐次方程的特征根均
值为特征方程的根。
系统的特征方程为
?
??? 0)())((
21
01
1
1
????????
???????
?
?
n
n
n
n
ppp
apapap
t
n
i
ih
iectr ??
?
?
1
)(
iC
?特征根 )( tr
h齐次解
??? j
m
＋＝
一对共轭复根
重实根
单实根
21?
? ?)s in ()c o s (
01
2
2
1
1
tDtCe
eCetCetCetC
Ce
t
tttm
m
tm
m
t
??
?
????
?
?
???????
?
?
?
?
表 2.1不同特征根所对应的齐次解
式中常数 由初始条件确定。tn
i
in
iectr ??
?
?
1
)(
te)t(r
C)(r)(r
22
2200
?
?
?
???
故
代入上式得将 ＋
0?t
0?t
。，求系统的响应已知
出方程为：描述某系统的输入输例
)(2)0(,0)(
)()(2)(1 '
trrte
tetrtr
??
??
?
tCetr
pp
2)(
202
??
?????
0)(2)(
0
00
' ??
?
??
?
?
trtr
t
tt
求系统的响应
时的状态初始条件：系统在
时接入）时的状态（设激励在初始状态：系统在
te)t()t(r
C,C
2
10
12
22
???
??将初始条件代入上式得
0?t
求系统的零输入响应。，已知
程为：描述某系统的微分方例
,)(r)(r).t(e
)t(e)t(r)t(r)t(r
'
''"
2020
2442
????
???
??
tt
eCteCtr
rrrr
2
0
2
1
21
2
21
''
)(
2,044,
2)0()0(,2)0()0(
??
????
??
???
?????
零输入响应
＝－得特征根为
解：由于激励为零，故
、,????
)( tr p二、特解
特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。表 2.2列出了几种激励及其所对应特解的形式。
备注
B（常数） A A（待定常数）
不等于特征根
等于特征单根
重特征根
所有特征根均不等于零
重等于零的特征根
激励 ()et ()prt特解
te?
mt
cos t? sin t?或
?
?
? 等于 k
te?A
10ttA te A e???
11 1 0()k m mmmt A t A t A t A??? ? ? ?
11 1 0k t k t t tkkA t e A t e A te A e? ? ? ???? ? ? ?
11 1 0mmmmA t A t A t A??? ? ? ?
12c o s s i nA t A t???
k有
j??所有特征根均不等于
例描述某系统的微分方程为
1,y” (t) + 5y’ (t) + 6y(t) = f(t)
求（ 1）当 f(t) = 2e-t,t≥0； y(0)=2,y’ (0)= － 1时的全解；
（ 2）当 f(t) = e-2t,t≥0； y(0)= 1,y’ (0)=0时的全解。
解, (1) 特征方程为 λ2 + 5λ+ 6 = 0,其特征根 λ1= – 2,λ2= – 3。
齐次解为 y h(t) = C1e – 2t + C2e – 3t
由表 2.2可知，当 f(t) = 2e – t时，其特解可设为 Y P(t) = Pe – t
将其代入微分方程得
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得
P=1于是特解为 y
p(t) = e – t
全解为,y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
其中待定常数 C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2,y’ (0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3, C2 = – 2
最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e– 3t + e – t,t≥0
（ 2） 齐次解同上。当激励 f(t)=e– 2t时，其指数与特征根之一相重。
由表 2.2知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e– 2t
代入微分方程可得 P1e-2t = e– 2t,所以 P1= 1 但 P0不能求得。
全解为 y(t)= C1e– 2t + C2e– 3t + te– 2t + P0e– 2t
= (C1+P0)e– 2t +C2e– 3t + te– 2t
将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1,
y’ (0)= – 2(C1+P0) – 3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2,C2= – 1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e– 2t – e– 3t + te– 2t,t≥0
上式第一项的系数 C1+P0= 2，不能区分 C1和 P0，因而也不能区
分自由响应和强迫响应。
三,零输入响应和零状态响应
)()( )()( tebtra jm
j
j
in
i
i ??
??
?
00
1?na
)()()( trtrtr ph ??
).,,2,1( nii ??为单实根设齐次方程的特征根均
t
n
i
ih
iectr ??
?
?
1
)(
)()( trectr pt
n
i
i
i ?? ?
?
?
1
)( trecec pt
n
i
f
t
n
i
x
i
i
i
i
??? ??
??
??
11
t
n
i
f
t
n
i
x
t
n
i
i
i
i
i
i
i ececec ??? ???
???
??
111
自由响应 强迫响应
零输入响应 零状态响应)(tr
zi )(trzs
零状态响应
的齐次解
自由响应
式中
零输入响应
两种分解方式的区别：
1,自由响应与零输入响应的系数各不相同
ic ixc
与 不相同
ic
ixc
由初始状态和激励共同确定
由初始状态确定
2,自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
t??
t??
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指
时，响应不为零的那部分响应分量。
t??
一,冲激响应
1.定义：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响
应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用 h(t)表示。
?
?
???
)(
)(
tg
thL T I
阶跃响应
冲击响应叠加积分系统的零状态响应
??? dtgetr
thtetr
t )()(')(
)()()(
??
??
? ?0
)(t?
)(t?
0 t
)(th
)1( LTI
)(th)(t?
0 t零状态
2.6 单位冲激响应
step response and impulse response
2,h(t)的求解方法
例 1.描述某系统的微分方程为,
试求该系统的冲激响应 h(t)。
解：由冲激响应的定义，当 e(t)= 时，)(t?
)()()()( tetrtrtr ?????? 23
)()( thtrZS ?
?
?
?
???
??????
?? 000
123
)()(
).,,, (.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,)()()()(
hh
tththth ?得
21
20023
00
21 ＝－，＝－特征根为
上式可化为时，
??
?
)., (.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,)()()(
,)(
???????
???
tththth
tt?
0)0()0(,)()(
)0()0(,)()(,)()()()(
)1.....(.,,,,,,,,,)()(2)(3)(
)0()0(1
)3.,,,,,,,, (.,,,,,,,,,)()()(
2
21
＝＝即为连续函数
即项含项含
和平衡，确定初始条件）等号两边奇异函数要由方程（
故
－
－
hhtdtthth
hhtthdtththtth
tththth
hh
teCeCth
tt
?
?
??
??
?
?
???
????????????
??????
?
??
??
?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
??
?
?
????
??
???
?????
0
0
0
0
0000
1200300
001
dtthhh
dtthhhhh
)()()(
)()()()(')('
)(
，其中
逐项积分，得到式两边从对
)()()(
)('
)(
)()()('
)(',)(')('
teeth
C
C
CCh
CCh
hh
hhh
tt
?
2
2
1
21
21
1
1
120
00
30010
10100
??
?
?
??
???
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
????
???
??
???
故
式得代入，将初始条件
即故
满足方程时，当
若
初始值确定
)()()(
)()(...)()(
)(
)()(
thtte
tetratratr nnn
??
???? ??
?
0
1
1
01
)(
,...,,,
)()(...)()(
)(
)()(
11
121000
0
1
1 ?
??
?
?
?
???
???? ??
njh
tthathath
j
n
n
n
）（ －
?
)(.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,)(
...)()()(...)()(
)(
)()()(
31
I2
0
1
10
1
1
??
?????? ????
teb
tebtebtratratr
LT
m
m
m
m
n
n
n
骤系统的冲激响应求解步
)(
)(
,...,,,)()(
21
10
221000
0
1
?
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
n
j
h
njh
初始值为各由系数平衡法，可推得
.)(
)()(...)()(
)(),(.
)()(
）式相同求解过程与（
满足方程选取新变量
111
10
1
111
11
?
???? ??
th
tthathath
ththa
n
n
n ?
)(')()()(')(" tetetrtrtr ???? 245
2,为描述某系统的微分方程例
)(.,,)()()(
)(
.
)()( thbthbthbth
b
m
m
m
m 10
1
111
31
????
?
?
?
系统的冲激响应为微分特性，即可求得式
状态响应的线性性质和根据线性时不变系统零
试求该系统的冲激响应 h(t)。
解,
)()()(')("
)()(
tththth
th
???? 111
1
45
1 应选求满足下式的冲击响
代入上式得将
故冲击响应
，特征根为
1000
41
11
2
211
21
??
??
????
??
??
)(',)(
)()()(
hh
teCeCth tt ?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
00
10
045
0
1
1
111
)(
)('
)()(')("
h
h
ththth
t 时化为零输入响应，设
3
1
3
1
140
00
21
211
211 ????
?
?
?
????
???
?
? CC
CCh
CCh,
)('
)(
)()()(')()(
)()(
teeththth
th
tt ?4
11 3
2
3
12
2
?? ????
再求满足系统方程的
)()
3
4
3
1
(
)()
3
1
3
1
()()
3
4
3
1
()('
)()
3
1
3
1
()()(
4
44
1
4
11
tee
teeteeth
teethth
tt
tttt
tt
?
??
?
??
????
??
???
?????
??为故冲击响应
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
)]([)(.
)
)(
)((
)(
)(.
))((.
)(
sHLth
dt
td
t
dt
tdg
th
h
th
13
2
01
?
??
的确定难点化为零输入响应
的求法
二、阶跃响应
1.定义
)(tg
)(t?
1
t0
LTI)(t?
)(tg
零状态
t0
2.g(t)的求解方法
1210
000
12
121000
0
1
1
??
??
?
??
?
?
?
???
????
??
?
?
?
nj
gg
njg
ttgatgatg
jj
j
n
n
n
,...,,,
)()(
)(
...,,,,)(
)()(...)()(
)()(
)(
)()(
平衡，得由方程两边奇异函数要
?
)()()( t
a
eCtg
n
i
t
i
i ???
?
??
1 0
1
单根，则若该方程的特征根均为
齐次解 特解
另外, ??
???? ??
tt dtdhtg ])()([)()( ?????? ?
试求该系统的阶跃响应
为描述某系统的微分方程例
),()()(')("
.
tetrtrtr ??? 86
3
)()()( teCeCtg tt ?
??
8
1
42
4
2
2
1
21
???
????
??故
，，特征根为
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
00
00
86
)(
)('
)()()(')("
)(
g
g
ttgtgtg
tg
?
满足方程为解：
)3(),2(15.2
)()
8
1
8
1
4
1
()(
8
1
,
4
1
042)0('
0
8
1
)0(
0
42
21
21
21
作业：
于是得
初始值代入上式得由
teetg
CC
CCg
CCg
tt
?????
????
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
?
?
?
).(),()(,1)0(',2)0(
)()('2)(3)('4)("4
2 trteterr
tetetrtrtr
t 求全响应已知
：系统的微分方程为例
?????
????
??
)(3)(2
)(3)(2)()('2
)()(2)('),()(
)(
31
)()()()1(:
2
22
222
3
21
21
tet
tetetete
tetetetete
ecectr
，
trtrtr
t
tt
ttt
tt
n
pn
??
??
???
??
?
??
???
??
??
???
????
???
????
??
得由
特征根
解
解
ttt
t
pppp
t
p
t
p
t
p
t
eecectr
etrrrr
petrpetr
petr
tetrtrtr
t
23
21
2
22
2
2
3)(
3)(1'''
4)('',2)('
)(
)1()(3)(3)('4)("
,0
???
?
??
?
?
????
?
???
?
????
?
）式，可得代入（，，将
设特解
系统方程为：时
?
3)0(',2)0()0(
2)]0()0([4)]0(')0('[
)(3)(2)(3)('4)("
3)(2)(3)('4)("
)0('),0()2(
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
???
????
????
????
???
????
?
?
??
?????
rrr
rrrr
dttedttdttrdttrdttr
ettrtrtr
rr
t
t
＋
－
＋
－
＋
－
＋
－
＋
－
将方程两边积分
的确定
?
?
0343)(
4,3
363
23
3)(3)0(',2)0(
23
21
21
21
23
21
????
???
?
?
?
????
???
?????
???
???
??
teeetr
cc
cc
cc
eecectrrr
ttt
ttt
故
得
代入将
t0 t? tk? ttk ???
)(te
)0(e
)(tea
2.7 卷 积
一、杜阿美尔积分
????
????
???
?
?
?
?
?
dte
dteetete
tktt
t
te
tete
t
t
a
t
tkt
n
k
a
)()('
)()(')()(lim)(
)(
)(
)()()(
??
????
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
0
00
1
0
0 信号分解
)(
)(
)()()(
)()(
)()(
tkttg
t
te
tgetr
tgt
trte
tkt
n
k
a
aa
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
1
0
原理得由线性定常系统的叠加
零状态响应为时，输入为
时，零状态响应为设输入为
称为杜阿美尔积分
为时，零状态响应则当输入为
???
????
?
?
?
??
???
???
?
dtge
dtgetgetrtr
trte
t
t
a
t
)()('
)()(')()()(lim)(
)()(
0
00
0
二、卷积积分
t0 t?
tk? tk ?? )1(
)(te
)0(e
)(teb
)()()( tktPttkete t
n
k
b ??? ? ???? ?
? 0
t?1
0
0
tP?
t?
0??t
)1(
)(t?
t t
)(l i m)( 0 tPt tt ?????
????????
???
?
?
??
dtetktttke
tkttPtketete
t
n
k
t
t
n
k
t
b
t
)()()()(l i m
)()(l i m)(l i m)(
????
???
??
?
?
?
?
?
??
0
0
0
0
00
)()()(
)()(
)()(
0
tkthttketr
trte
tht
n
k
b
bb
??????
?
?
?
由叠加原理，得
时，零状态响应为输入为
时，零状态响应为设输入为 ?
)()()(
)()()(lim)(
)()(
thtetr
dthetrtr
trte
t
b
t
??
???? ?
??
卷积积分常简记为
卷积积分
为时，零状态响应则当输入为
???
? 00
1.定义,
)()()()()(
)()()(
),()(
tftftftftf
dtfftf
tftf
2121
21
21
????
?? ?
?
??
简记为
两者做卷积运算定义为和对于任意两个信号
???
2.8 卷积及其性质
0000
0
???????
?????? ??
?
??
)(,,,)(
)()()()()()()(
???
??????
thtttht
thtedthedthetr
t
时即时，
零状态响应在因果系统中，系统的
?
integral and the property
2.卷积的图示
0
0)(00
)()()(,
积分下限可改为
时，时接入系统，即又激励是在
有故积分上限可改为
?
???
?? ?
??
tett
dthetrt
t
???
1
1
1
)(1 tf )(2 tf
5.0
0 0t t
).()(
)(),(
)()(
??
?
?
?
22
21
21
ff
tftf
tftf
反转得
代换，并将的自变量用第一步：将函数
的步骤：求
00 0
1
1 1 1?
5.0
5.0
)(1?f )(2?f )(2 ??f
? ? ?
)()( ??? ?? tftf 22,得轴平移时间沿正第二步：将函数
)(2 ??tf
0t1?t ?
)(0 左移?t
)(2 ??tf
)(1?f
0 t ?1?t 1
1
5.0
)(10 右移??t
)(1?f
)(2 ??tf
0 t ?1?t 1
1
5.0
)(21 右移?? t
2
0.5
)(2 ??tf
0 t1?t ?
)(1?f
1
1 2
2?t
以上计算结果归纳为
完全分离，与
于零两图形分离，其乘积等
的积分分相乘，求相乘后图形第三步：两信号重叠部
0)()()(,2
)2(5.05.01)(,5.01)()(,21
5.05.01)(,5.01)()(,10
0)()()(,0)()(,0
21
1
1
21
0
21
2121
???
??????????
?????????
????????
?
?
?
?
?
??
tftfft
tdtftfft
tdtftfft
dtfftftfft
t
t
??
???
???
?????
0
5.0
1 2 t
)(tf
下页动画演示卷积
卷积动画
3.卷积的性质
(1)交换律：
(2)分配律：
(3)结合律, )]()([)()()]()([
)()()()()]()([)(
)()()()(
tftftftftftf
tftftftftftftf
tftftftf
321321
3121321
1221
?????
??????
???
).()( tftf 21 ?例一、计算
0
2
t1
)(1 tf
)]()([)( 121 ??? tttf ?? )()( tetf t???2
0
1
t
)(2 tf
)(te t??
1
1 t0
2
)(1?f
)(2 ??tf
?
??????? ? dtetftftf tt )(]()([)()()( )( ?????? ???021 12方法一：
)(1?f
0
1
2
1
)(1?f
)(2 ??f
?
2
1
1
)(2 ??tf
?t0
)()()]()()[()(
)()()(,
)()()(,
)(
)()(
)(
12112
1221
12210
1
1
0
1
0
???????
??????
??????
????
?????
???
?
?
teettetf
teedetft
tedetft
ttt
ttt
t
tt
???
??
??
?
?
故
????
??????????
???????
??
??
?
dede
dtedte
dtetftftf
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
)(
)()()()(
)()]()([)()()(
)()(
)()(
)(
122
122
12
00
00
0
21
???
?????
??????
????
????
??
??
??
?方法二：
)(][)]()()[(
)(][)()(
)()()()()(
)(
)(
)()(
12112
11212
121212
1
1
1
1
0
???????
?????
??????
????
???
?????
??
teette
tete
dedetetf
ttt
tt
t
t
tt
???
??
??????? ??
)(][)()(
)(
)()(
)]()([)()()()(
)(
11212
1222
122
12
1
1
1
00
00
0
12
?????
?????
?????
????????
???
?
?
?
??
??
?
???
??
?
tete
dtedede
dtedte
dttetftftf
tt
t
t
tt
tt
t
??
?????
??????
???????
???
??
?
律方法三、由卷积的交换
1
01
??
???
t
t
?
?
得
由
4.卷积的微分性质
5.卷积的积分性质
6.由 4.5两性质可得
)()()()()]()([ tfdt tdfdt tdftftftfdtd 212121 ?????
)()()()()]()([ ????????? 212121 fdfdffdff ttt ????? ??? ??????
?? dfdt tdftftft t? ?????? )()()()()( 2121f
7.函数与冲激函数的卷积
8.函数延时后的卷积
)()()(
)(')(')(
)()()(
)()()(
)()()()()(
2121
00
tttfttttf
tfttf
ttftttf
tfdtf
dtfttftf
??????
??
????
???
????
?
?
?
??
?
??
?
?
?
????
?????
偶函数???? )()( tt ????
)()()(
)()()(
212211
21
tttfttfttf
tftftf
??????
??
则
若
9.函数与阶跃函数的卷积
10.相关与卷积
相关运算定义
?
??
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xy
xx
xxxx
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—称为自相关函数—
两式可得对照
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2111
例 2、
，并画波形。
所示，求的波形图如图与已知：
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atftf
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21
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1
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解,
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tftf
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tftf
tftftftf
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1
1?
1?
22? t
)(ty
)()()( ttftf ???
由微分性
延时性
Tttfba
ttf
T
T
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并画出其波形。设所示，求
的波形如图与单位冲激序列、时间函数例
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)(tf
A
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0 tT
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解,
问,
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TT?
2?2??
0 t
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A
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0 t
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210 ????????
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kTttfttf
kk
k
T
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的波形如何？时，当 )()( ttfT T?? ??
作业,2.17(a)(c),2.20,2.21(b)
