第六章 度量空间和线性赋范空间 第1次课 教学内容(或课题)： §6.1 度量空间的进一步例子 目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程： 一 复习第二章度量空间的概念 设是个集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足 ，=0; +对都成立， 则称(，)为度量空间或距离空间，中的元素称为点，条件称为三点不等式. 欧氏空间 对中任意两点和，规定距离为 =. 空间 表闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=. 空间 记=.设，，定义 =. 二 度量空间的进一步例子 例1 设是任意非空集合，对于，令 = 容易验证  ，=0;  +对都成立. 称(，)为离散的度量空间. 由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间. 例2 序列空间 令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令 =. 显然右边的级数总是收敛的. 易知，且=0. 即满足条件. 对，先证 +. 实因令  ()，则因为，所以函数  在上单调递增. 又因为 ，所以有 =++. 再令 ，，，则 . 由上述已证的不等式，得 +. 由此推得  +对都成立. 故按成一度量空间. 例3 有界函数空间 设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全体. ，定义 =.显然，且=0成立，即满足条件.又，有 ++ 所以 +. 即满足条件. 特别当时，=. 例4可测函数空间 设为上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体，为Lebesgue测度，若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数. 令 =. 若把中两个几乎处处相等的函数视为中同一个元素，则0且=0  ，即满足条件. 其次(参考例2) ==+=+，对都成立. 即  满足条件. 故按上述距离成为度量空间. 作业 205. 2. 4. 作业提示 2. 与例2处理方法类似. 4.利用 当时的递增性. 第2次课 教学内容(或课题)： §6.2(1) 度量空间中的极限 目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义. 教学过程： 设为度量空间，是距离，定义 = 为的以为半径的开球，亦称为的邻域. 例1 设是离散的度量空间，是距离，则 = 仿§2.2-§2.3，设是度量空间中的一个子集，是中一点若存在的某一邻域，s.t. ，则称为的内点. 若是的内点，则称为的外点. 若内既有的点又有非的点，则称为的边界点. 若内都含有无穷多个属于的点，则称为的聚点. 的全体聚点所成集合称为的导集，记为. 称为的闭包，记为. 若的每一点都是的内点，则称为开集. 若，则称为闭集. 例2在欧氏空间中，记为全体有理数点的集合，为全体无理数点的集合.则集合及均无内点，均无外点; 既是又是的界点，既是又是的聚点; 既是又是的导集，既是又是的闭包; 、既非开集又非闭集. 若如同例1，将集合离散化，则都是的内点，都是的内点，因此、在离散空间中均为开集; 、均无界点; 之外点集合为，之外点集合为; 、均无聚点，因此，，，，故、均为闭集. 设是中点列，若，s.t.  () 则称是收敛点列，是点列的极限. 收敛点列的极限是唯一的. 实因若设既牧敛于又收敛，则因为 ，而有 =0. 所以=. 附注 ()式换个表达方式：=. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离是和的连续函数. 证明 ++  -+; ++ - +. 所以|-|+ 例3(205.1) 设为一度量空间，令 =， =. 问 =? 答 在空间中，必有=. 在离散度量空间中，当时，=，=，此时. 毕. 设是度量空间中的点集，定义. = 为点集的直径. 若=，则称为中的有界集(等价于固定，，，为某正数，则为有界集). 中的收敛点列是有界集. 实因，设 ，则数列收敛于0,故，s.t.有. 所以，有 + . 中的闭集可以用点列极限来定义： 为闭集  中任何收敛点列的极限都在中，即若，，，则. 具体空间中点列收敛的具体意义： 1. 欧氏空间 =，，为中的点列，=， =.    对每个，有  . 2.  设，，则 =   在一致收敛于. 3. 序列空间 设=，，及=分别是中的点列及点，则   依坐标收敛于. 实因，若对每个有，则因收敛，所以，s.t. . 因为对每个，存在，s.t.当时. 令，当时，成立. 所以当时，成立=++=.所以 反之，若，即=.又因为，有，所以当时，0所以 ，，s.t. 当时，成立 . 所以. 所以，有. 4. 可测函数空间 设，，则因=，有   . 实因，若，则，有 . (不妨设)，取，则. 今对这样取定的及，因，故，s.t. 当时，成立. 所以 =+++=. 所以. 所以. 反之，若，即. 对，由于. 所以，即. 以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中. 作业 205. 5. 作业提示 均匀收敛即一致收敛. 证明大意如同“序列空间”，并利用 =. 第3次课 教学内容(或课题)： §6.2(2) 度量空间中的稠密集 可分空间 目的要求： 掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念. 教学过程： Th 设是度量空间的一个子集，则集合 是个开集，且. 证明 设，则，s.t. . 所以. ，其中-，则(-)+=. 所以. 所以是之内点. 所以是开集. 又证 以中每一点为心作半径的邻域，所有这些邻域的并集就是集合. 每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故为开集. 至于是很显然的. 证毕. 附注 当时，得到是之闭包未必是. 例如=. ==，但. 205.6. 设，证明度量空间中的集为中的闭集，而集 为开集  为闭集. 证明 设且在中.则当时，对，有=0. 令，得时，. 所以. 所以是闭集. “” 设为闭集，，则 (当). 因在连续，所以(当). 取：0-，则对，有 . 所以+. 所以当++(-)= 所以. 所以为开集. “” 设为开集. 设，且. 取点：=，则，令得，.因为，故只有. 不妨设=(=-时同法可证之). 因为为开集，所以，s.t. =. ，因为，所以点+. 因为=，所以对上述且，存在，s.t.， 所以-. 所以+=. 但由方框，应有，与+=相互矛盾. 这就证明了. 故为闭集. 证毕. Def 1 设是度量空间，和是的两个子集，令表示的闭包，若，则称集在集中稠密，当=时，称为的一个稠密子集. 若有一个可列的稠密子集，则称是可分空间. 例1 维欧氏空间是可分空间. 事实上，座标为有理数的点的全体是的可列稠密子集. 设是闭区间全体有理数集合，是全体无理数集合. 在中，因为，，所以在中稠，在中稠. 因为，，所以和都在中稠密. 若=视为的子空间，则是可分空间. 例2 离散距离空间可分  是可列集. 实因在中没有稠密的真子集(因中任何一个真子集的闭集还是这个真子集本身)，所以中唯一的稠密子集只有本身，因此可分的充要条件为是可列集. 例3 令表示有界实(或复)数列全体. 对中，=，定义=. 显然0 且=0  =0  对，都有=0  对，都有  . 其次设=. 因为，都有 ++. 所以+.即+. 所以按成为度量空间. 往证是不可分空间. 令表示中坐标取值为0或1的点的全体，则与二进位小数一一对应，所以有连续统的基数，对中任意的两个不同点，有=1. 若可分，则中存在可列稠密子集，设为. 对中每一点，作球，则是一族的两两不相交的球，总数有不可列个. 但由于在中稠密，所以每个中至少含有中的一点，这与是可列集矛盾. 证毕. 作业： 205. 3.7.8.9. 作业解答： 3. 令=,则是开集且. 因为，所以=. 因是闭集，所以=，即=. 7. 取：0. 作开集 = 和=，则，. 又，，，，有 ++. 所以 ----=0. 所以. 所以与必不相交. 又证不相交 若，则存在和，，,s.t. . 于是 0++. 矛盾. 所以 =. 8. ，令= 则集合=含有不可数个元素，，、且时，=1. 若可分，则中存在可列的稠密子集，记为. 对中每一点，作球，则是一族两两不相交的球，总数有不可列个. 但由于在中稠密，所以每个中至少含有中的点，这与是可列集矛盾. 故不可分. 9. 因为 可分，所以存在稠密子集=. 对于每个.存在. 因为在中稠密，所以可在中取出中一点. 取有理数：，所以，且所有至多可列个，包含它的开集至多可选出可列个. 证毕. 第4次课 教学内容(或课题)： §6.3 连续映照 目的要求： 掌握连续映照概念，掌握连续映照的充要条件，学会使用连续映照概念和连续映照充要条件处理与连续映照的实际问题. 教学过程： Def 1 设=，=是两个度量空间，是到中的映照：= =. ，若0，0，s.t. 且，都有，则称在连续： 用邻域来描述在连续：对的每一个-邻域，必存在的某个-邻域，s.t. (表在作用之下的像集). 也可以用极限来定义映照的连续性，基于 Th 1 设是度量空间到度量空间中的映照：， 则在连续  当时，必有. 证明 “” 设在连续，则0，0，s.t. 且，都有. 因为，所以，s.t.当时，有. 所以. 所以. “” 反证法. 若在不连续，则0，s.t. 0，，虽然，但是. 特别取=，则有，s.t.当时，有. 即时，有. 与假设矛盾.证毕. 若映照在的每一点都连续，则称是上的连续映照. 称集合()为集合在映照下的原像.简记为. 用开集刻划连续映照，就是 Th 2 度量空间到中的映照是上的连续映照  任意开集，是中的开集. 证明 “” 设是连续映照，是中开集. 若=，则是中开集. 若，则，令=，则. 由于是开集，所以存在邻域 . 由的连续性，存在邻域，s.t.  . 从而 . 所以是的内点. 因为是任意的，所以是中的开集. “” 设中每个开集的原像是开集. ，则是中的开集. 又，所以是的内点，所以存在邻域. 所以，所以在连续. 又是任意的，所以是上的连续映照. 证毕. 利用=，又有 Th  度量空间到中的映照是上的连续映照  任意闭集，是中的闭集. 证明 “” 设是上的连续映照，又设，是闭集，则是开集. 由Th2, 是开集. 但=，故是中的闭集. “” 且是闭集，则是开集. 由=，及中任何闭集的总是中的闭集，得中任何开集的原像总是开集，由Th2, 是上的连续映照. 证毕. 206.10. 设为距离空间，为中的子集. 令=, . 证明是上的连续函数. 证明 ，，，s.t.. ，因为 +，所以 +， 所以 - , 所以-，所以 -. 同理 -.所以||= |-|0(). 所以是上的连续映照(Th 1). 作业： 206. 11. 12. 13. 作业解答： 11. 先证 0. 否则0，，，s.t. . 令=，则，，s.t. ,令，由于是二元连续函数，故得=0(是的聚点，是的聚点，聚点存在). 因此=与=相矛盾，故=0. 取：0，再令=，=，则与均为开集. 下证与都不相交. 若不然设，则++. 与相矛盾. 故任意二邻域不相交，从而=. 12. 取开集. 因为是到中的连续映照, 所以是开集. 因为是到中的连续映照，所以是开集. 即是开集. 所以 是到中的连续映照. 13. 由Th或由=和Th2推得. 附注 区间及均为闭集.