第10次课 教学内容(或课题)： §7.线性空间 目的要求： 掌握线性空间、线性相关、线性无关、维数和基等概念，认识几个常用的线性空间. 教学过程： Def 1.设是一非空集合，在中定义了元素的加法运算和实数(复数)与中元素的乘法运算，满足下列条件： (一)关于加法成为交换群，即对，与之对应，记之为，称为与的和，满足 1) ， 2)  ， 3) 在中存在唯一元素，s.t.对，成立=，称为中零元素， 4) 对中每个元素存在唯一元素，s.t. =，称为的负元素，记为. (二) 对中每个元素及任何实数(复数)，存在元素与之对应，记为=，称为与的数积，满足 1) 1=， 2) 对任何实数或复数都成立， ;  ()， 则称按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(复数)有意义，则称是实(复)线性空间. 对任何及数，易证0=，=,. 实因，有0=; =，有=; ，有. 以后把零元素记为0. 例1. . 对中=，=和实数(复数)，定义， =. 容易验证按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间. 例2. . 对和数，定义 ，  则按上述加法和数乘运算成为线性空间. 一般情况及有关约定见课本193.1-7行. 例3. 空间  (0). 设=是实(复)数列，若，则称数列是次收敛数列. 次收敛数列的全体记为. 对=，=和或，定义 ， =. 往证，. 实因 =，所以， 所以. =，所以. 所以  (0)按上述加法和数乘运算成为线性空间. 一般场合及今后约定见课本193.倒4-倒3行. 设是线性空间，，，若及数，有，，则按中加法和数乘运算也成为线性空间，称为的子空间. 和是的两个子空间，称为平凡子空间. 设，或，称 为向量的一个线性组合. 设，，中任意有限个向量线性组合全体记为，称为由张成的线性包. 命题 是的线性子空间，并且是中包含的最小线性子空间. 即若是中包含的线性子空间，则必有. Def 2. 设是线性空间中的向量，若在个不全为零的数，s.t. =0 (1) 则称线性相关，否则称为线性无关. 线性相关  若=0，则必有. Def 3. 设是线性空间的一个子集，如果中任意有限个向量都线性无关，则称是中线性无关子集. 设和为中两个子集，若中任何向量与中任何向量都线性无关，则称和线性无关. 例如，在中，令，， ，则是中线性无关子集. 令，，则和线性无关 线性无关与线性相关与所取数域有关. 在实数域上线性无关的向量组在复数域中可能线性相关. Def 4. 设是线性空间，是中线性无关子集，如果=，则称的基数为的维数，记为，称为的一组基. 如果的基数为有限数，则是有限维线性空间，否则是无限维线性空间. 如果只含有零元素，则称是零维线性空间. 任何有限维线性空间的维数不随基的不同而改变. 空间标准基、是无限维空间，均见课本195.倒9-例20行. 第11次课 教学内容(或课题)：§线线赋范空间和巴拿赫空间(1) 目的要求： 掌握线性赋范空间、巴拿赫空间的基本概念，掌握由范数诱导出的距离. 教学过程： Def 1. 设是实(或复)的线性空间，若对每个，有一个确定的实数，记之为，与之对应，并且满足：  0，并且=0=0;  =，其中为任意实(或复)数;  ，， 则称为向量的范数，称按范数成为线性赋范空间. 设是中点列，若存在，s.t. 0 ，则称点列依范数收敛于，记为 = 或  . 若令 = ，则由0，知0. 由=0，知=0. 又，由=，知. 于是是上的距离，且 点列依范数收敛于等价于按距离收敛于. 称为由范数导出的距离. 所以线性赋范空间实际上是一种特殊的度量空间. 若是由范数导出的距离，即=. 则该距离与线性运算之间有某种关系，即对和或，有  (1) 反之，若是线性空间，是上的距离，且适合条件和，则一定可以在上定义范数，s.t. 是由所导出的距离. 实因令=即可. 范数是的连续函数. 实因由，得=，-. 将与交换，并利用，得-===. 所以 . (2) 于是 ，从而 . 完备的线性赋范空间称为Banach(巴拿赫)空间. 例1. 欧氏空间，对每个=，定义 =. (3) 若令==，=，则为中欧几里得距离，且满足条件和，由此可知是中的范数，又因完备，故按范数(3)成为Banach空间. 例2 空间，对每个，定义 =. (4) 则容易证明按范数(4)成为Banach空间. 例3 空间，对每个=，定义 =. (5) 则按范数(5)成为Banach空间. 207.22. 设表示有界闭区间上右连续的有界变差函数的全体，其线性运算为通常函数空间中的运算，在中定义范数=. 证明：是Banach空间. 证 显然是线性空间. 今证满足范数条件. =0及=显然成立; =0  =0且=0  对任一分划：，成立=0及=0  =0，; ==. 最后证明的完备性. =. 设是中任一基本点列，则0，，s.t. 时，有=. 容易证明在一致收敛，记=. 只要证明，且0 . 1) 的右连续性：设0，因  ，利用一致收敛于以及的右连续性，立即得到的右连续性. 2) 及0 ：因为是中的基本点列，故0，，s.t. ，有 对一切分划成立. 上式中固定，令，得 . 故当时，有. 这就证明了及0 . 证毕. 第12次课 教学内容(或课题)：§8.线性赋范空间和Banach空间(2) 目的要求： 掌握Holder不等式和Minkowski不等式，借此二不等式进一步认识一些Banach空间. 教学过程： 例4. 空间. 设是上实值可测函数，0，若是上的Kebesgue可积函数，则称是上的方可积函数. 上的方可积函数全体记为.