第5次课 教学内容(或课题)： §4 柯西点列和完备度量空间 目的要求： 掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间. 教学过程： 设是中的点列，若0，，s.t.当时，有=，则称是中的柯西点列. Def 1 设=(，)是度量空间，是中的点列. 若0,，s.t.当时，有，则称是中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(，)中每个柯西点列都收敛，则称(，)是完备的度量空间. 有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1, 1.4, 1,41,  在中收敛于，在有理数集中不收敛. 但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列. 实因若，则0, ，s.t.当时，都有.因此当时，有++. 所以是柯西点列. 例2 (表有界实或复数列全体)是完备度量空间. 证明 设是中的柯西点列，其中=.0, ，s.t.当时，都有 = (1) 因此对每个固定的，当时，成立  (2) 于是，是柯西数列. 由于实数集或复数集按差的绝对值定义距离是完备的，故存在实或复数，s.t. ()令=，往证且. 在(2)中，令，得时，成立  (3) 因为=，所以0，s.t. ，成立(不同的数列，界可能不一样). 所以 +. 所以. 由(3)知，时，成立. 所以. 所以是完备度量空间. 例2 令表示所有收敛的实或复数列的全体，=， =，令 =. 则 0且=时，=0. 又==0  =(). 于是=0  =. =，则由于对，成立 ++= +. 所以+. 即+. 所以可定义为中两点间的距离. 于是按距离成为度量空间(实际上是的一个子空间). 欲证是完备度量空间，先证 Th 1 完备度量空间的子空间是完备度量空间  是中的闭子空间. 证明 设是完备子空间，对每个，中点列，使. 所以是中柯西点列. 所以它在中收敛. 由极限的唯一性，所以. 所以. 即是中的闭子空间. 反之，若是中柯西点列，因是完备度量空间，则在中收敛. 即，s.t. .因为是中的闭子空间，所以，所以在中收敛. 于是是完备度量空间. 例2的证明 由Th 1 只证是中的闭子空间即可. =(要证，从而)，=()，s.t. . 所以0，，s.t.当时，成立 =. 特别取，则对，成立 .因为, 所以当时，收敛. 故，s.t. ,时，成立 . 所以,时，成立 ++++=. 所以是柯西数列，因而收敛. 所以=. 所以是中的闭子空间. 由Th 1，是完备度量空间. 证毕. 作业： 206. 14. 15中的. 作业题解： 14 =1，，s.t.当时，有1, 特别当时，有1. 又时，只有有限个值故0,s.t. . 因此，成立 +. 所以是有界点列. 15设是中的柯西点列，=. 即0, ， s.t.时，成立 = () 所以，时，成立 . 因为给0， 对于每个固定的，：0，然后由这个，按不等式()，. 所以时，对这个固定的，成立. 所以  (). 所以是实(复)数集中的柯西点列. 而实(复)数集完备, 所以收敛，设(). 记=，则. 而，所以完备. 设是中的柯西点列，=，. 0，，s.t.当时，成立. 所以及，成立 . () 因此在集上，函数列收敛，设. 由()式，令得时，. 所以时，++(由于收敛，从而存在). 所以，又已证所以是完备度量空间. 第6次课 教学内容(或课题)： 柯西点列和完备度量空间(续) 目的要求： 再次巩固上次课学习的概念与定理，进一步掌握使用概念及定理判别完备度量空间的常用方法. 教学过程： 是完备的度量空间. 证明 设 ， 是中的柯西点列. 0，，s.t.当时，成立 . (4) 所以，有. 于是当固定时， 是柯西数列.由实(复)数集的完备性，，s.t.. 往证，实因在(4)中令，得知时，成立 . (5)所以在上一致收敛于，从而. 由(5)，当时，=. 所以 ，故是完备度量空间. 令表示闭区间上实系数多项式全体,作为的子空间是不完备的度量空间. 实因多项式列  在闭区间上一致收敛于连续的指数函数，但非多项式. 即不是的闭子空间. 由Th 1，不是完备度量空间. 证毕. 设表示闭区间上连续函数全体，对，令 =. 易知成为度量空间. 实因  显然 0. 若时，，从而=0. 反之若=0，即=0. 因0，故= 于. 又因相等的连续函数必然处处相等，故. 总之0且=0.  =+ =+. 所以是度量空间. 例5 上面定义的度量空间不完备. 证明 令 = 先证是中的柯西点列. 实因，当 时，== =. 所以点列是中的柯西点列. 再证点列在中不收敛. 实因对每个， ==++. 若0, 必有 ==0. 但由于在闭区间上连续，得在恒为0，在恒为1. 与在=间断相矛盾. 故是不完备的度量空间. 作业： 206. 15.、离散空间. 作业解答： 设是中的基本点列，0，有  =. 0，，s.t. ，，有. 从而. 所以 0 . 由此可找到自然数列：，s.t. 对都成立. 记=, 再令=，则- =，=. 令，得=0. 所以=. 显见在上处处收敛于一个极限函数，记这个极限函数为. 令 = 则为上的可测函数，故. 当时，由 =， 令，由勒贝格有界收敛定理，得  . 所以. 故是完备的度量空间. 第7次课 教学内容(或课题)： §5.度量空间的完备化 目的要求： 使学生掌握度量空间的完备化定理的条件、结论及其证明方法. 教学过程： Der 1 设(,)，(,)是两个度量空间，若存在到上的保距映照(,，有(,)= (,))，则称(,)和(,)等距同构，此时称为到上的等距同构映照(既映上又保距). 等距同构映照是1-1映照. 实因设,，且，则因(,)0及(,)=(,)0，知. 在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一个度量空间. Th 1 (度量空间完备化定理) 设=(,)是度量空间，那么一定存在一完备度量空间=(,)，使与的其个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若(,)也是一完备度量空间，且与的其个稠密子空间等距同构，则(,)与(,)等距同构. 证明 分4步完成. (1)构造=(,). 令为中柯西点列=全体，对中任意两个元素=和=，若 =0， (1) 则称与相等，记为=，或=. =，=，定义 (,)=. (2) 首先指出(2)式右端极限存在. 实因由三点不等式 ++， 所以 -+. 同理 -+. 所以 |-|+. (3) 因为和是中的柯西点列，所以是 中柯西数列,所以(2)式在端极限存在. 其次指出：若=，=，则 =， 即(,)与用来表示,具体柯西点列，无关. 实因仿(3)式之证法，得 |-|+. 由 =0和=0， 可得 =. 最后证明  满足关于距离条件及： 显然 =0. 又=0  =0 =. =，=，=， 则 ，故， 即 . 所以按成度量空间. (2)作的稠密子空间及到的等距映照 ，令=，其中=，，显然. 令=，=. 因为 ==，所以是到上的等距映照. 在与等距同构之下往证是中的稠密子集. =, 令=，其中=，，则. 因=是中的柯西点列，故0，，s.t. 时，有 . 于是 =. 即在 中必有中的点， 故在中稠密. (3)证明是完备的度量空间 设是中的柯西点列，因为在中稠密，所以对每个，，s.t. . (4) 所以  ，所以是中柯西点列. 因为是到上的等距映照，所以是中柯西点列. 令=，则. 由(4)式，有  =0 (). 所以 =0，所以是完备度量空间. (4) 证明的唯一性 设是另一个完备度量空间，且与中稠密子集等距同构. 作到上映照如下： 对，由于在中稠密，中点列，s.t..但由于与等距同构，也与等距同构，从而与也等距同构. 设为到上等距同构映照，由知是中柯西点列，由完备性，，s.t.. 令=. 首先，这样定义的与无关， 即若另有，，，，则 =. 实因 ====0. 所以=. 下证是到上的等距同构映照, 对，由于是的稠密子集，所以存在中点列，s.t.. 同前证明可知为中的柯西点对，有，s.t.. 易知=，即映照到上. 又对，有中点列和， s.t. ，. 所以 ===， 所以是一个等距同构映照. 所以与等距同构. 证毕. 若将彼此等距同构的度量空间视为同一空间，则有 Th 设=是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间=使为的稠密子空间. 作业：206.16.证明与的一个子空间等距同构. 作业提示： 作到内的映照：，其中=，; 取的其它值时，是线性的. 后面证明略. 第8次课 教学内容(或课题)： §压缩映照原理及其应用(1) 目的要求： 掌握压缩映照概念，掌握不动点概念，掌握压缩映照定理的证明方法，学会用压缩映照定理解决隐函数存在性、微分方程解之存在性的方法. 教学过程： Def 1. 设是度量空间，是到中的压映照，若存在一个数：01，s.t. 、，成立  (1) 则称是到中的压缩映照(简称压缩映照). Th 1.(压缩映照定理) 设是完备度量空间，是上的压缩映照，则有且只有一个不动点(即方程有且只有一个 解). 证： 固定，令 =，==，==， 则是中的柯西点列， 实因 = =. (2) 由三点不等式，当时， ()=. 因为01，所以，所以  () (3) 所以当，时，. 所以是中的柯西点列. 由完备性， 存在，s.t. . 由三点不等式和条件(1)，有  0 (). 所以=0，所以 =. 往证唯一性. 若又有，s.t. ，则由条件(1)，得=，0. 又因为0，所以=0，所以=. 证毕. Th 2. 设函数在带状域，中处处连续，且处处有关于的偏导数，若存在常数和， 满足 ，0， 则方程 =0 在区间上必有唯一的连续函数作为解：0，. 证 在完备度量空间中作映照，s.t. ，有=. 因为连续，所以也连续，所以. 所以是到自身的映照. 取，= =  =(01)， 0=1. 令=1-，则01，且 . 所以 ，所以. 所以是压缩映照. 由Th 1，存在唯一的，满足，即 0，. 证毕. Th 3.(Picard) 设是矩形 =上的二元连续函数，设，. 又在上关于满足Lipschitz条件，即存在常数，s.t.、，有  (4) 则方程 = 在区间=上有唯一的满足条件=的连续函数的解，其中 . (5) 证 连续函数空间是完备度量空间，用表示中满足条件 || () (6) 的连续函数全体所成的子空间，显然是闭子空间. 由§4.Th 1, 是完备度量空间. 令 =， (7) 则是到中的映照. 实因 ，若，则当时，，又因在上二元连续，所以(7)式右边积分有意义. 又对，成立 =，所以当时， . 是压缩映照. 实因由Lipschitz条件(4)，对中任意两点和，有 = . 令=，则01，且 =. 即是上的压缩映照. 由Th 1，存在唯一，s.t.，即 =， (8) 且. 两边对求导，得 . 故是方程 =的解. 若又有也是方程 = 满足初值条件的解，则因=，所以且是不动点，所以=. 作业： 206.17.有界闭集，是到自身映照，， ，有. 证明映照在中存在唯一的不动点. 作业提示：令 =，. ，，因为   =. 所以时必有. 即在连续. 所以存在，s.t. =. 显然0. 往证=0. 用反证法，设0，则由，== 与=矛盾. 所以=0. 于是==0，有=. 即为之不动点. 因为，有 ， 只要，就有，从而必有，所以不动点唯一. 第9次课 教学内容(或课题)： §6.压缩映照原理及其应用(2). 习题课 目的要求： 在掌握压缩映照原理之后，重点掌握应用压缩映照原理的常用方法. 教学过程： 206.18. 设为完备度量空间，是到中的映照，记=，若，则映照有唯一不动点. 证 因为=，所以时，. 又时，上式也成立. 因此对，恒有. 因为，所以0，，s.t.：时，有 . 又至少有一个. 固定，依次令 =，==，==，== 则 =， =，  =. 所以  (). 所以是中的柯西点列. 因为是完备度量空间，所以，s.t.. 所以 = 0 . 所以 =0， 所以 ，且. 再设又有，s.t. =，则= . 因为0，所以=0，所以. 证毕. 206.19. 设为完备度量空间到中的映照， 若在开球内适合 ，01，又在闭球=连续，且 . 证明在中有唯一的不动点. 证 因为，有. 设在球面上：=. 令且，，所以 . 因为连续，所以. 又因距离连续，所以于上式令，得 . 同理当在球面上：=，而时，也有. 再设,均在球面上，取，且,，由，令，得. 到此已证出，均有 . 因是中的一个闭子集，而为完备度量空间，故也是中的一个完备的子空间. 往下只要证明在中央到自身的映照. 设，则.   =， 所以. 毕. 206.20. 设，,=为一组实数，适合条件1，其中=时，=1，否则=0. 证明代数方程组  对任何一组固定的必有唯一的一组解. 证 在完备度量空间中，令 =()，=()，=()，方程组的系数矩阵记作，则方程组可改写为 = 或 =. 又可改写为 = 或 =. 令映照：=，=，则 = =  . 利用柯西不等式，得  =. 记常数=， 由已知条件，有01. 于是对，有，即为压缩映照. 由压缩映照原理，存在唯一，s.t. =，即=或=. 附注： 如果和225.题与联起来，那么是由诱导的距离，有 == == =， 这就简便多了. 作业： 207. 21.设，求方程  的连续解. 作业提示： 若可导，则由 =， 得 ===. 若不可导，则令=，=迭代而得 ， = = = = =. == =(理由同上). 一般地有 =  . 所以 =.