氢原子问题补充材料 连带Lagurre多项式及其母函数 在他的关于波动力学的第三篇文章(Ann.d.Phys. 80 4851,1926)中给出了连带Lagurre多项式的母函数为:   式左端即为的母函数,记为  母函数在计算归一化因子时有用. 至于的表达式如何得来,可以参考王竹溪和郭敦仁的特殊函数概论,第六章. 注1:连带Lagurre多项式的级数定义为  另外我们有:   即是次Lagurre多项式的第阶导数,称为次阶连带Lagurre多项式. 还可以看出,当时的即出现在氢原子径向波函数中. 注2:关于连带Lagurre多项式以及Lagurre多项式的性质,可以参考L.Pauling, E.B.Wilson的Introduction to Quantum Mechanics: with applications to chemistry, Chap 5. 注3:合流超几何函数与连带Lagurre多项式的关系为:  径向波函数及其归一化 氢原子总波函数  取, 其中用到了, . 则   (这里已将吸收到归一化因子中去.)    下面证明  证明:取       另一方面,   上式最后一步利用了Tailor展开  我们是要求解形如的积分,故令式中的并注意到此时无穷级数展开和的最低次幂均为S,可以比较它们幂次相等的项的系数,易知: 令即得式,式代入式即得:  所以,