3-11粒子数表象中的谐振子
? 算符解法
? 系统常用量子光学，固体
谐振子
)??()
2
(
)??()
2
(
2/)(
)?(
2
1
2/1
2/1
222
p
i
xa
p
i
xa
aaaa
xpH
??
??
??
??
?
??
?
??
??
??
??
?
??
?
?
?
)()
2
(
1
)()
2
(
2/1
2/1
?
?
??
??
aa
i
p
aax
??
??
?
?
玻色代数
? 粒子数算符 N
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
aNa
aNa
aa
aa
aa
aaN
],[
],[
0],[
0],[
1],[
? 能量本征态 〉 粒子数本征态
??)
2
1
( ?? NH
粒子数本征态
1,
0
!
1
100
,4
0,3
1,2
0,1
m i n
??
?
?
?
??
?
?
?
?
nnnm
a
n
n
i o nNo r m a l i z a t
n
n
n
nnnN
mn
n
?
矩阵元
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
....
.020
.001
0000
1
.....
.....
..200
..010
..000
1,
a
nnam
N
nm
?
能级
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
.
7000
0500
0030
0001
2
1
)2/1(
)2/1(
?
?
?
?
?
?
H
n
nNnnHnE
n
常用矩阵元
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
??
.....
.0300
.3020
.0201
.0010
2
)11()(
1
)11()(
2/1
1,,1
2/1
1,,1
2/1
??
??
??
??
??
?
?
?
x
nm
i
npm
nmnxm
nmnm
nmnm
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?,
.....
.0300
.3020
.0201
.0010
2
1
2/1
???
i
p
物理意义
波函数显示式
2/
2
22
2
0
00
00'''
00
00
x
x
AeAex
x
dx
d
x
xxaxdx
ax
a
?
??
??
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
相干态
.,,,,,
??? ?a