第三节 位势倾向方程与 ω方程
一、位势倾向方程
1.公式推导
由简化的涡度方程
代入连续方程
得到 —— 13
? ?V f f
tP
?? ???? ? ? ? ?
设大气是准地转，代入地转风公式：
得到 —— 14
再由热流量方程
? ?22 g gf V f ftP ??? ? ?? ? ? ? ? ???
展开有,—— 15
11
p
dV
t P C T d t
? ? ???
?
????? ? ? ? ?
????
对 取对数后求导
注意：等压面上 p=const
代入状态方程：
代入 15式
整理得
同理可得到
1 1 1
p
RdV
t P C P d t
? ? ? ???
? ? ? ? ?
??? ? ? ? ?
p
RdV
t P C P d t
? ? ? ???
?
??? ? ? ? ?
静力稳定度参数
—— 16
用静力学方程 代入上式，得到：
—— 17
g
p
Rd
V
t C P d t
??
? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
g
p
Rd
V
t t P C P d t
?
??
? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ???
? ? ???
作运算
—— 18
将 14+18式，消去 项，得到：
—— 19位势倾向方程
2 2 2 2
2
2 g
p
f f f R dVf
P t P P C P P d t P
??
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ?
2 2 2 2
2
2 gg g
P
f f f R d
f V f V
P t P P P C P P d t
?
?
? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ???
2.讨论 19式各项的物理意义
①证明左端项
设,则有：
同理
∴
即
② 地转风绝对涡度平流
a.地转风相对涡度平流
? ? ? ?g g gggf V f f V V f t?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
00
00
g g
g g
V
t
V
t
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???
? ?? ? ?
?? ?
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? ???
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????
等压面位势高度升高负涡度平流
等压面位势高度降低正涡度平流
00
00
t
v
t
v
gg
gg
?
?
?
?
g gV ?? ??
天气图应用
槽前脊后为正的相对涡度平流，等压面高度降低
槽后脊前为负的相对涡度平流，等压面高度升高
槽脊线上涡度平流为零，等压面高度无变化
∴ 相对涡度平流使槽脊东移（短波槽），对槽脊的发展
不起作用
b.地转涡度平流 —— 在长波槽中作用较大
在北半球
gg
fV f V
y
?? ?? ? ?
?
所以在天气图上：
1）槽前脊后偏南风,,则
有负地转涡度平流，，等压面位势高度升高
2）槽后脊前偏北风,,则
有正地转涡度平流，，等压面位势高度降低
3）槽脊线上为西风，地转涡度平流为零，等压面位
势高度无变化
0gVf? ?? ?
0gVf? ?? ?
∴ 地转涡度平流使槽脊西退（长波槽），对槽脊发展
不起作用
③ 厚度平流随高度的变化项
代入静力学方程
有：
2
g
f V
P P P t?
? ? ? ? ???? ? ? ? ?
??? ? ???
gg
R
V V T
P P P P
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
0
0
VT
VT
? ? ?? ??
?
? ?? ??? ??
?
????
????
冷平流
暖平流
0
0
Tv
Tv
?
?
0 0,0,
0 0,0,
g g
gg
R
V T V
P P P P
R
V T V
P P P P
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??
? ? ? ? ?? ? ? ? ?
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???
?
?
?
等压面位势高度升高暖平流随高度减弱，即
等压面位势高度降低冷平流随高度减弱，即
,0,00
,0,00
PP
vTv
P
R
P
PP
vTv
P
R
P
gg
gg
??
??
0 0,0,
0 0,0,
g g
gg
R
V T V
P P P P
R
V T V
P P P P
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??
? ? ? ? ?? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
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???
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??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
等压面位势高度升高暖平流随高度减弱，即
等压面位势高度降低冷平流随高度减弱，即
,0,00
,0,00
PP
vTv
P
R
P
PP
vTv
P
R
P
gg
gg
??
??
?
?
?
?
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?
?
???
??
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
等压面位势高度升高暖平流随高度减弱，即
等压面位势高度降低冷平流随高度减弱，即
,0,00
,0,00
PP
vTv
P
R
P
PP
vTv
P
R
P
gg
gg
??
??
∵ 在实际大气中,冷暖平流一般随高度减弱
∴ 暖平流层,高空等压面升高,有利于高空脊发展
冷平流层,高空等压面降低,有利于高空槽发展
补充：冷暖平流在天气图上的应用
①等压面图上冷暖平流的判断
a） 暖平流
冷平流
等温线与等高线有交角处有温度平流
等温线与等高线没有交角处无温度平流
0VT? ?? ?
0VT? ?? ?
b）二十四小时变温
＞０ 暖平流
＜０ 冷平流
②温度槽脊落后于高度槽脊
③ 温度槽脊超前于高度槽脊
∴ 温度平流对槽脊发展起主要作用
④ 非绝热加热随高度的变化项
>0,非绝热加热随高度增加,
等压面位势高度降低
<0,非绝热加热随高度减小,
等压面位势高度升高
二,ω方程
１,公式推导,取 14,17式
—— 14
—— 17
作运算 得：
—— 20
? ?22 g gf V f ftP ??? ? ?? ? ? ? ? ???
g
p
RdV
t t P C P d t
? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?
??? ? ???
? ?
2
22
2g gf V f fP t P P
??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?
?? ??? ? ? ???
作运算 得：
—— 21
σ在水平方向上分布均匀
将 20－ 21，消去 项，得到：
—— 22 ω方程
2 2 2 2 2
g
p
RdV
t t P C P d t
? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
? ?
2
2 2 2 2
2 gg g
p
Rdf f V f V
P P P C P d t
?? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ????? ? ?
????
2.讨论 22式各项的物理意义
(1).左端项，同 19式类似，同理可证
(2).绝对涡度平流随高度变化项
，正绝对涡度平流
，负绝对涡度平流
? ? ? ?gg ggf V f f V fPP ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? 0g gVf ?? ?? ? ?
? ? 0g gVf ?? ?? ? ?
—— 绝对涡度平流随高度增加 ω<0, 有上升运动
—— 绝对涡度平流随高度减小 ω>0, 有下沉运动
? ? 0g gf V fP ?? ??? ? ? ? ? ????
? ? 0g gf V fP ?? ??? ? ? ? ? ????
天气图应用
a）地面低压中心，一般位于高空的槽前脊后，低层涡
度平流很小，高层为正涡度平流
所以在这个地区涡度平流随高度增加 —— 有上升运动
b）地面高压中心，一般位于高空的槽后脊前，低层涡
度平流很小，高层为负涡度平流
所以在这个地区涡度平流随高度减弱 —— 有下沉运动
③ 厚度平流的拉普拉斯项
同理可证：
代入静力学方程
2
gV P
????? ? ??
????? gV P ???? ?? ? ??
gg
RV V T
PP
??? ? ? ? ? ?
?
2
2
0 0,0,
0 0,0,
gg
gg
R
V T V
PP
R
V T V
PP
?
?
? ? ???
? ?? ? ? ? ?? ? ????
?? ? ?
?
?????
? ?? ? ? ? ?? ? ???
? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
????????
???
?
?
?
?
?
?
??
????????
有下沉运动则冷平流，即
有上升运动则暖平流，即
,0,00
,0,00
2
2
?
?
P
vTv
P
P
vTv
P
gg
gg
??
??
2
2
0 0,0,
0 0,0,
gg
gg
R
V T V
PP
R
V T V
PP
?
?
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ????
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?
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?
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????????
???
?
?
?
?
?
?
??
????????
有下沉运动则冷平流，即
有上升运动则暖平流，即
,0,00
,0,00
2
2
?
?
P
vTv
P
R
P
vTv
P
R
gg
gg
??
??
天气图应用
a）高空槽附近（地面低压前部和高压后部）为冷平流
区，有下沉运动
b）高空脊附近（地面低压后部和高压前部）为暖平流
区，有上升运动
④ 非绝热加热的拉普拉斯项
同理可证：
非绝热加热：凝结潜热
下垫面加热