二、测试与检测系统的描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 1）
● 1、静态特性
● 2、动态特性
● 3、负载效应
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 2）
● 静态测量系统的特性，是用以表达
输入与输出的关系，仅用 代数方程
就可以描述。
● （ 1）误差表达
● （ 2）静态特性
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性
（ 1）误差表达
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 3）
● 绝对误差,测量结果与被测参量真
值之间所存在的差值的绝对值。
● 式中,δ － 测量的绝对误差；
x－测量所得值； Q－待测参数真值
● 绝对误差反映了测量的精度。
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性 2
Qx ???
（ 1）误差表达
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 4）
● 相对误差,绝对误差与测量所得值的
比较。
● 式中 ε －相对误差。
● 相对误差用来评价不同被测值的精度。如测
量 100mm与测量 10mm的尺寸，如果其绝对误差
都是 0.01mm，显然，测量 100mm的精度高得多。
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性 3
%1 0 0%1 0 0 ????
Qx
??
?
（ 1）误差表达
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 5）
● 引用误差,绝对误差与测量仪表的量
程的比值。
● 式中,Ym－该测量仪器的量程。
● 这一指标通常用来表征仪器本身，而不是测
量精度。所以式中的 δ 是最大允许误差。仪
器仪表精度等级是以引用误差作为指标的。
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性 4
%100??
m
n Y
?
?
（ 2）静态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 6）
● 灵敏度 S:单位输入变化量引起的输
出变化量。
● 非线性度
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性 5
x
y
S
?
?
?
输出量的变化量
输入量的变化量
0?
%100m a x0 ??
A
B?
（ 2）静态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 7）
● 回程误差
回程误差＝
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性 6
%1 0 0m a x
A
h
回程误差产生的原因,
如铁磁材料的 磁滞,结构
材料的受力变形的 滞后现
象,机械结构中的 摩擦 和
游隙 等
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 8）
● （ 1） 系统模型的划分 1
? 线性系统与非线性系统
线性系统,具有 叠加性、均匀性 的系统
? 连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统,输入、输出均为 连续函数,描述系
统特征的为 微分方程,
离散时间系统,输入、输出均为 离散函数,描述系
统特征的为 差分方程,
? 时变系统 与 时不变 系统,
由系统参数是否随时间而变化决定,
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 1
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 9）
● （ 1） 系统模型的划分 2
? 即时系统与动态系统
即时系统,输出只与输入有关,
动态系统,输出不仅与输入有关,还与 系统状态 有
关,
? 集总参数系统与分布参数系统
集总参数系统,由集总元件构成的系统,用 常微分
方程 描述,
分布参数系统,由分布元件构成的系统,用 偏微分
方程 描述,
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 2
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 10）
● 我们 仅讨论 线性, 时不变、集总参数系统,简称为
线性定常系统,就是可以用常微分方程描述的系统。
因为：对线性定常系统进行分析的理论和方法最为
基础、最成熟，同时其它系统通过某种假设后可近
似作为线性定常系统来处理。
● 动态特性 是研究当测试与检测系统的输入和输出均
为随时间而变化的信号时,系统对输出信号的影响。
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 3
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 11）
● 线性系统的基本定义是：该系统的输入（ 激励 ）
x(t)和输出（ 响应 ） y(t)存在着解析关系,
● 式中,－该系统的结构特性参数
● －该系统输出、输入对时间的
各阶微分。 系统的阶次 由 输出量
最高微分阶次决定。
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 4
)(
)()()(
)(
)()()(
011
1
1
011
1
1
txb
dt
tdx
b
dt
txd
b
dt
txd
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
????????
???????
?
?
?
?
?
?
mn ba,
m
m
n
n
dt
txd
dt
tyd )(,)(
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 12）
● 线性系统就是在此方程式中不包含变量及其各阶微
分的非一次幂项（包括交叉相乘项），如果线性系
统方程中各系数 在工作过程中 不随 时间和
输入量的变化而变化，则该系统称为 线性定常系统 。
● 举例,RLC电路，如果输入
电压是随时间变化的,
其输出是随时间变化的电压
则可建立输入和输出之间的微分方程,
● 可见此电路是线性系统，如果电气结构参数 R,L、
C在运行过程中不发生变化，则是定常系统。
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 5
mn ba,
)(tur
)(tuc
)()()()( 2
2
tudt tduRCdt tudLCtu cccr ???
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 13）
线性系统的性质,
● 叠加性,引起的输出分别为
如输入为 则输出为
● 比例特性：如 引起的输出为,则 引起
的输出为 。
● 微分特性,引起的输出为
● 积分特性,引起的输出为
● 频率保持性：如 则
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 6
????? )()( 21 txtx ????? )()( 21 tyty
???)(),( 21 txtx ???)(),( 21 tyty
)(tx )(ty )(tax
)(tay
dt
tdx )(
dt
tdy )(
?
t
dttx
0
)( ?
t
dtty
0
)(
tjextx 00)( ??
)(0 0)( ?? ?? tjeyty
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 14）
● 线性系统具有 频率保持特性 的含义是输入信号的频
率成分通过线性系统后仍 保持原有的频率成分 。如
果发现输入和输出信号的 频率成分不同,则该系统
就 不是 线性系统。
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 7
如余弦信号通过非线性系统
（二极管），则输出被整流
，其频率成分被改变。
输入信号
输出信号
非线性系
统特性
频率特性
测试与检测系统动态特性的描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 15）
● 线性定常系统 时域信号传输特性描述（时域响应）
－ 卷积
● 若测试与检测系统在任意输入信号 的输出信号
为,如果已知,是否可以在理论上求出？
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 8
)(tx
)(ty )(tx )(ty
系统
时域信号传输特性描述（时域响应）－卷积 1
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 16）
● 系统对单位脉冲函数 的响应
● 单位脉冲函数 的定义,
,
● 为 单位脉冲响应,它反映了系统的传输特性。
条件,在输入前，系统内没有储存信号（ 零状态 ）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 9
)(t?
)(t?
系统
0)( 0 ??tt? 1)( ??
??
??
dtt?
)(th
)(th
时域信号传输特性描述（时域响应）－卷积 2
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 17）
● 相对原点有一时移 的单位脉冲信号 的响应
为 。既然面积为 1的 信号所引起的系统
响应为,那么位于原点上的面积为 的窄
条信号输入后所引起的该系统响应应为,
偏离原点的位置 的窄条面积信号 的响应信
号应为 。
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 10
)( itt ??it
)( itth ? )(t?
)(th tx ?)0(
)()0( tthx ?
it
ttx i ?)(
)()( ii ttthtx ??
系统
时域信号传输特性描述（时域响应）－卷积 3
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 18）
● 因此由很多窄条叠加而成的 所引起的总的响
应 应为各窄条分别的响应之和。
● 当,则
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 11
)(tx
0??t
)(ty
系统
? ??
?
???
t
t
ii
i
tthttxty
0
)()()(
? ?? t iii dttthtxty 0 )()()(
时域信号传输特性描述（时域响应）－卷积 4
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 19）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 12
? ?? t dthxty 0 )()()( ???
?
?
??
???? ??? dthxthtxty )()()()()(
● 即为 卷积,表达
为
● 公式说明测试检测系统对任意输入 的响应
是输入信号 与该系统的 单位脉冲响应信号
的卷积。所以 标志着一个测试系统的信号 传输
特性,称为一个测试与检测系统的 脉冲响应函数 。
)(tx )(ty
)(tx )(th
)(th
it??
数学通用表达式
积分变量虽为 τ,但 经定积分运算,并代
入积分限后,所得结果仍为 t的函数
时域信号传输特性描述（时域响应）－卷积 4
测试与检测系统 （ 20）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 12
?
?
??
???? ??? dthxthtxty )()()()()(
τ t τ τ
h(t-τ )=1/2(t-τ ) h(-τ ) h(τ )=t/2
2
1
-2
1 1
x(τ )
τ 1 -1/2
1
t τ
x(τ ) h(t-τ )
卷积的几何解释
卷积过程
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 21）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 13
? 根据卷积定理，两函数的时域卷积与它们各
自的频谱密度函数（富里叶变换）的乘积相
对应。将等式 左右都作富里
叶变换可得
? 这一公式的含义是：输入信号的频谱与脉冲
响应函数的富里叶变换相乘就可以得到输出
信号的频谱。
? 脉冲响应函数的富里叶变换 标志着系统
在频域内对信号作用的特性，称为 频率响应
函数 。
)()()( thtxty ??
)()()( ??? HXY ?
)(?H
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 22）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 14
? 的物理意义是输入信
号的各频率成分通过测试与检测系统时,
对它们的影响，信号通过该系统后，得到输
出信号的新的频率结构。
? 因为 的富里叶变换一般是一个复数，故
常将其表达为 的形式。因此可得
)()()( ??? HXY ?
)(?H
)(th
)( ?jH
)(
)(
)(
?
?
?
X
Y
jH ?
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 23）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 15
? 根据这一公式，可以由一个系统的输入输出
关系的微分方程式求得系统的频响函数
? 线性系统的输出输入关系为,
? 将此公式两边作富里叶变换，在变换过程中
利用富里叶变换的微分性质得,
)( ?jH
)(
)()()(
)(
)()()(
011
1
1
011
1
1
txb
dt
tdx
b
dt
txd
b
dt
txd
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
????????
???????
?
?
?
?
?
?
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 24）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 16
? 则线性系统的频响函数为,
? 这是线性系统频响函数表达的普遍公式。
? ?
? ?0111
01
1
1
)()()()(
)()()()(
bjbjbjbX
ajajajaY
m
m
m
m
n
n
n
n
????????
???????
?
?
?
?
????
????
01
1
1
01
1
1
)()()(
)()()(
)(
)()(
ajajaja
bjbjbjb
X
YjH
n
n
n
n
m
m
m
m
???????
?????????
?
?
?
?
???
???
?
??
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 25）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 17
? 举例：一个质量－弹簧－阻尼系统
根据动力学分析，建立运动方程
? 是一个典型的二阶系统。
? 将此公式左右作富里叶变换得,
)()()()( 12
2
txktky
dt
tdyc
dt
tydm ???
)()())(())(( 12 ?????? XkkYjcYjmY ???
交变力
位移响应
阻尼 弹
簧
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 26）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 18
? 该系统的频响函数为
? 令 －系统的固有角频率
－系统的阻尼率
－系统的灵敏度
kjcjm
k
X
YjH
??
??
)()()(
)()(
2
1
???
??
m
k
n ??
km
c
2??
k
kS 1?
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 27）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 19
? 则上式就成为,
? 将此式作归一化处理
S
j
S
j
jH
nn
nn
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?? ? ??
?
?
21
1
2
)(
2
22
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
nn
j
jH
?
?
?
?
?
?
21
1
)( 2
系统灵敏度
系统固有角频率
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 28）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 20
? 由于 是复数，它可以分解为 幅值 和 相
位 两方面表达，其 模 成为系统的 幅
频特性 ；其 相角 称为系统的 相频特性,
它们都是频率 的函数。
? 由此二公式可绘制出该系统的 幅频特性曲线
和 相频特性曲线
)( ?jH
)( ?jH
)(??
?
2
2
22
41
1
)(
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
nn
jH
?
?
?
?
?
?
2
1
2
)(
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
n
n
a r c tg
?
?
?
?
?
??
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 29）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 21
? 幅频特性曲线 相频特性曲线
ζ 阻尼率
固有频率
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 30）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 22
? Bode图,幅值 坐标
用 分贝数, 频率 坐
标用 对数 分度绘制
的幅频特性和相频
特性曲线，称为
Bode图 。
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 31）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 23
? 是复数，可以表达为,
? 式中 是 的 实部
? 是 的 虚部
? 和 都是 的实函数。
)( ?jH
)I m ()R e ()( ??? jjH ??
)Re(? )( ?jH
)( ?jH)Im (?
)Re(? )Im (? ?
2
2
2
2
2
41
1
)R e (
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
nn
n
?
?
?
?
?
?
?
?
实频特性
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 32）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 24
?
2
2
2
2
41
2
)I m (
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
虚频特性
实频曲线
虚频曲线
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 33）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 25
? 将实部作横坐标，
虚部作纵坐标绘制
出 对
的曲线，并分别在
曲线上注明相应的
频率，所得的曲线
称为 幅相频特性曲
线,常称为 Nyquist
（ 奈 奎斯特 ）曲线
。
)Re(? )Im (?
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 34）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 26
? 由图可见，在某一
时，向径 的长度代
表了频响函数
在频率为 下的
模,而 与
横坐标轴的夹角代表
了频响函数 在
该频率下的相角
i?
OA
)( ?jH
i?
)( ijH ? OA
)( ?jH
)( i??
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 35）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 27
? 信号通过系统在时域内所得的响应（输出）
是输入信号与系统的脉冲响应函数的卷积；
在频域内响应信号的频谱函数是输入信号的
频谱函数与系统的频响函数的乘积。
? 因为 与 一般均为复数，皆可表达
为,
)()()( ??? jHXY ??
)( ?jH)(?X
)()()( ???? xjeXX ?
)()()( ???? jejHjH ?
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 36）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 28
? 所以
? 此时可分辨表达为幅值运算和相位运算
? 即
)()()( ??? jHXY ??
)()()( )()()( ?????? ??? jjj ejHeXeY xy ??
)()()( ?????? jjj eee xy ??
)()()( ?????? ?? xy
（幅值相乘）
(相位相加 )
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 37）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 29
? 举例：一检测系统为二阶线性系统，其频响
函数为
? 则其响应的幅频特性为
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
nn
j
jH
?
?
?
?
?
5.01
1
)( 225.0??
2
2
2
25.01
1
)(
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
nn
jH
?
?
?
?
?
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 38）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 30
? 其相频特性为
2
1
5.0
)(
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
n
n
a r c t g
?
?
?
?
??
系统的冲激响应 h(t) 系统的幅相频特性
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 39）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 31
? 输入信号为
)
6
4c o s (2.0
)2c o s (5.0)
2
c o s ()(
0
00
?
?
??
?
?
??
????
t
tttx
6
输入信号的幅相频特性
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 40）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 32
? 则输出信号
6
)()()( thtxty ??
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 41）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 33
? 频域计算则为幅频
相乘，相频相加。
6
1.28
2.0
0.32
6
-0.9π
-0.1π
)()()( ??? jHXY ??
)()()( ?????? ?? xy
理想频响函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 42）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 34
? 输入、输出满足 的系统
的频响函数为 理想频响函数 。即 不失真系统 。
? 理想频响函数的表达式为,
因为,
则理想频响函数为,
其幅频特性为,
相频特性为,6
)()( 00 ttxAty ??
0)()( 0 tjeXAY ??? ??
)(
)()(
?
??
X
YjH ?
00)( tjeAjH ?? ??
0)( AjH ??
0)( t??? ??
方波通过不同频响系统后波形变化 1
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 43）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 35
6
方波通过不同频响系统后波形变化 2
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 44）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 36
6
输入
方波通过不同频响系统后波形变化 3
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 45）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 37
6
输入
方波通过不同频响系统后波形变化 4
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 46）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 38
6
输入
方波通过不同频响系统后波形变化 5
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 47）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 39
6
输入
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 48）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 40
6
? 描述系统动态特性更为广泛的函数是 传递函数
? 传递函数的 定义 是初始条件为零时 系统输出信
号的拉普拉斯变换 (拉氏变换 )与输入信号的拉
氏变换之比,记为
? 式中 为输出信号的拉氏变换
? 为输入信号的拉氏变换
? s为拉氏变换算子
? 和 皆为实变量
)(sH
)(
)()(
sX
sYsH ?
)(sY ?
? ??
0 )()( dtetysY
st
? ? ?? 0 )()( dtetxsX st
)(sX
,0,??? ??? js
? ?
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 49）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 41
6
? 传递函数表示了系统的输入信号与输出信号之
间在 复数域内 的关系。即代表输入信号在复数
域经传递函数的加工而形成复数的输出信号。
是 系统数学模型 的一种表示方法。
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 50）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 42
6
? 对于一个线性系统，表达输出与输入信号的微
分方程是,
? 在 零初始条件 下，即 时 。
? 则其传递函数可分别对上式两边求拉氏变换求
得
)(
)()()(
)(
)()()(
011
1
1
011
1
1
txb
dt
tdx
b
dt
txd
b
dt
txd
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
????????
???????
?
?
?
?
?
?
0?t 0)(,0)( ?? tytx
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
asasasa
bsbsbsb
sX
sYsH
n
n
n
n
m
m
m
m
???????
?????????
?
?
?
?
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 51）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 43
6
? 传递函数和频响函数均可描述系统，但它们各
自表达不同的物理含义，因此 应用在不同场合
? 如一正弦信号（单一频率）
输入到一个一阶系统，一阶系统的运动微分方
程为
? 将 代入后可求解出微分方程
)0(s i n)( ?? tttx ?
)()()( 1 txktky
dt
tdyc ??
)0(s i n)( ?? tttx ?
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 52）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 44
6
? 式中
)]()()[(
]c o s)[ s in (
)(1
)(
21
/
2
tytyA
et
S
ty
s
??
??
?
?
?
?
???
??
?
2)(1
)(
??
?
?
? SA
)s i n ()(1 ?? ?? tty
?? co s)( /2 tety ?? 衰减项
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 53）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 45
6
? 若将此信号输入到一个二阶系统，此二阶系统
微分方程若为
? 将 代入求解得
? 式中
)()()()( 12
2
txktky
dt
tdyc
dt
tydm ???
ttx ?s in)( ?
)]()()[(
]}s inc o s[)]() { s in [()(
21
1
tytyA
tktketAty ddtn
?????
?????? ?
?
?????? ??
)](s i n [)(1 ??? ??? tty
]s i nc o s[)( 12 tktkety ddtn ???? ??? ?
衰减项
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 54）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 46
6
? 由前面系统时域响应两个公式来看，无论一阶
还是二阶系统，其时域响应均可认为是由 衰减
项 或 与 不衰减 项 或 组成。
衰减项称为瞬态过程, 不衰减项称为稳态过程
)(2 ty )(2 ty? )(
1 ty )(1 ty?
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 55）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 47
6
? 从另外的“域”来讨论同样问题,若输入信号
的拉氏变换和富里叶变换分别为
? 拉氏变换
? 富里叶变换
? 可以证明,正弦函数 的拉氏变换与 单边正弦信
号 的富里叶变换相等，即
? 即
)(s i n)( sXttx ?? ?
)(s i n)( ?? Xttx ??
?? ? ?? ? ? 00 s i ns i n dttedtte tjst ???
)()( ?XsX ? )0( ?t
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 56）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 48
6
? 将输出信号总括成
? 对它求拉氏变换得
? 由于 均为一正弦函数，故
? 则
)]()()[()( 21 tytyAty ?? ?
稳态过程 瞬态过程
)]()()[()( 21 sYsYAsY ?? ?
)(1 ty
)()( 11 ?YsY ?
)]()()[()( 21 sYYAsY ?? ??
稳态过程 瞬态过程
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 57）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 49
6
? 系统的传递函数为,
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
2
2121
21
sX
sY
AjH
sX
sY
X
Y
A
sX
sY
sX
Y
A
sX
sYY
A
sX
sY
sH
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
??
重要
结论
瞬态过程传递函数 稳态过程频响函数
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 58）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 50
6
? 频响函数的含义是一系统对输入与输出皆为
? 正弦信号传递关系的描述。它反映了系统
稳态输出与输入之间的关系，也称为 正弦传递
函数 。
? 传递函数 是系统对输入是正弦信号，而输出是
正弦 叠加瞬态信号 传递关系的描述。它反映了
系统包括 稳态 和 瞬态 输出与输入之间的关系。
? 如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分
析系统。如研究稳态和瞬态全过程信号，则用
传递函数来分析系统。
重要
结论
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 59）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 51
6
?如何测定
系统的频
响函数？
频响函数的测定
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 60）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 52
6
? 测定频响函数的 目的,在作动态参数检测
时，要确定系统的不失真工作频段是否复
合要求。
? 测定频响函数的 方法,用标准信号输入，
测出其输出信号，从而求得需要的特性。
? 输入的标准信号有 正弦信号, 脉冲信号 和
阶跃信号 。
频响函数的测定方法－正弦信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 61）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 53
6
? 理论依据,
? 方法：输入各种频率的正弦信号，检测系
统的输出信号，作出对应频率成分的输出
与输入信号的幅值比（幅频特性）和相位
差（相频特性）。是 最为精确的方法 。
? 问题,效率低,太麻烦。可用慢扫频正弦
信号输入，慢到使每次输出达到稳定状态
。
)(
)()(
?
??
X
YjH ?
频响函数的测定方法－脉冲信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 62）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 54
6
? 理论依据,如 在所有频
率范围是常数，甚至 1，则 。
? 理论上频谱为 1的时域信号是单位脉冲函数
，但 在实际工作中难以获得，且能量太
小，难以对实际物理系统产生影响。
? 目前最常用信号是半正弦信号。
)(
)()(
?
??
X
YjH ? )(?X
)()( ?? YjH ?
)(t?
时域 频域
频响函数的测定方法－脉冲信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 63）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 55
6
? 正弦脉冲在时域所占的宽度 越窄,其频域 sin c
函数的主瓣所占的宽度就 越大,同时主瓣高度越
低，就越显得 平坦 。假如选取 以下频段作激励
输入，可近似认为在此频段内的频谱值是常数。
则系统输出信号在此频段内的频谱就可近似认为
是系统的频响函数。
? 如果测试 较宽 频带的系统频响函数，则要用 极窄
的脉冲激励。
时域 频域
?
?
主瓣
a?
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 64）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 56
6
? 阶跃信号激励是用来测量系统频响函数中
的决定性参数，如 固有频率 和 阻尼率
? 对于一阶系统,其运动微分方程式为,
? 在静态时,所以 代表其静态
灵敏度，上式可表达为
n?
?
)()()( 1 txktky
dt
tdyc ??
0)( ?dt tdy kkS 1?
)()()( tSxty
dt
tdy
k
c ??
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 65）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 57
6
? 令 －称为此系统的 时间常数 。
? 则上式变为,
? 求出它的频响函数为
? 其对数幅频特性曲线如图
由图可见
是其 特性转折
点,所以 是
系统重要参数。
)()()( tSxty
dt
tdy ???
k
c??
1)(
)()(
?
??
???
??
j
S
X
YjH
??
1?
?
特性转折点
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 66）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 57
6
? 令输入 为 t=0时
的阶跃函数，代入下
式
? 求得方程解为
? 其中 表达了系统
对阶跃输入响应快慢
。
)(tx
)()()( tSxty
dt
tdy ???
)1()( / ?teSty ???
?
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 67）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 58
6
? 求 值，上式改写为
? 令
? 则
? 故
?
?/)(1 te
S
ty ???
))(1l n (
S
tyZ ??
?
tZ ??
?
1??
dt
dZ
由试验求出
由公式
计算
求出 ?
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 68）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 59
6
? 对于二阶系统,其输入输出关系式为,
? 当输入为阶跃信号，可求出其响应函数
)()()()( 12
2
txktky
dt
tdyc
dt
tydm ???
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
??
?
?
?
??
?
?? 2
2
2
1
1s in
1
1)( a r c tgt
e
ty n
tn
二阶系统对阶跃输
入的响应
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 69）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 60
6
? 这一阶跃响应函数的瞬态响应是以
角频率作 衰减振荡,将此角频率记为,称为
有阻尼固有角频率。
? 对此响应函数求极值,即可找到各振荡峰值所
对应的时间 。
? 将 代入上式，可求得最大过冲量 M和阻
尼 的关系。
21 ?? ?n
d?
????,2,,0
dd
pt ?
?
?
?
d
t ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
21
e x p
?
??
M
1
ln
1
2
??
?
?
?
?
?
?
M
?
?或
测得 M后，
即可按左式
求得 ?
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 70）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 61
6
? 若测得多个峰值 和,n是两峰值相隔的
周期数。两峰值各自对应的时刻为 和 则
? 将它们均代入下式
? 可得
iM niM?
it ni
t?
21
2
??
?
?
???
n
ini
ntt
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
??
?
?
?
??
?
?? 2
2
2
1
1s in
1
1)( a r c tgt
e
ty n
tn
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 71）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 62
6
? 令 则
? 因此可以由二阶系统对阶跃输入的响应曲线图
中测量出极值 和 求出
2
2
1
2
1
2
)e x p (
)e x p (
lnln
?
??
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
n
n
t
t
M
M
n
in
in
ni
i
ni
i
n M
M
?
? ln? 222
2
4 nn
n
??
??
?
?
iM niM? ?
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 72）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 63
6
频响函数的
测定方法
正弦信号激励
脉冲信号激励
阶跃信号激励
负载效应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 73）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 64
6
? 在某些情况下，当检测系统将传感器接入被检
测系统时，会引起某些能量的附加结果，从而
使被测量值受到干扰而偏离实际值，这就是负
载效应。
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 74）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 64
6
谢 谢
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 1）
● 1、静态特性
● 2、动态特性
● 3、负载效应
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 2）
● 静态测量系统的特性，是用以表达
输入与输出的关系，仅用 代数方程
就可以描述。
● （ 1）误差表达
● （ 2）静态特性
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性
（ 1）误差表达
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 3）
● 绝对误差,测量结果与被测参量真
值之间所存在的差值的绝对值。
● 式中,δ － 测量的绝对误差；
x－测量所得值； Q－待测参数真值
● 绝对误差反映了测量的精度。
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性 2
Qx ???
（ 1）误差表达
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 4）
● 相对误差,绝对误差与测量所得值的
比较。
● 式中 ε －相对误差。
● 相对误差用来评价不同被测值的精度。如测
量 100mm与测量 10mm的尺寸，如果其绝对误差
都是 0.01mm，显然，测量 100mm的精度高得多。
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性 3
%1 0 0%1 0 0 ????
Qx
??
?
（ 1）误差表达
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 5）
● 引用误差,绝对误差与测量仪表的量
程的比值。
● 式中,Ym－该测量仪器的量程。
● 这一指标通常用来表征仪器本身，而不是测
量精度。所以式中的 δ 是最大允许误差。仪
器仪表精度等级是以引用误差作为指标的。
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性 4
%100??
m
n Y
?
?
（ 2）静态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 6）
● 灵敏度 S:单位输入变化量引起的输
出变化量。
● 非线性度
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性 5
x
y
S
?
?
?
输出量的变化量
输入量的变化量
0?
%100m a x0 ??
A
B?
（ 2）静态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 7）
● 回程误差
回程误差＝
二、测试与检测系统的描述
1、静态特性 6
%1 0 0m a x
A
h
回程误差产生的原因,
如铁磁材料的 磁滞,结构
材料的受力变形的 滞后现
象,机械结构中的 摩擦 和
游隙 等
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 8）
● （ 1） 系统模型的划分 1
? 线性系统与非线性系统
线性系统,具有 叠加性、均匀性 的系统
? 连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统,输入、输出均为 连续函数,描述系
统特征的为 微分方程,
离散时间系统,输入、输出均为 离散函数,描述系
统特征的为 差分方程,
? 时变系统 与 时不变 系统,
由系统参数是否随时间而变化决定,
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 1
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 9）
● （ 1） 系统模型的划分 2
? 即时系统与动态系统
即时系统,输出只与输入有关,
动态系统,输出不仅与输入有关,还与 系统状态 有
关,
? 集总参数系统与分布参数系统
集总参数系统,由集总元件构成的系统,用 常微分
方程 描述,
分布参数系统,由分布元件构成的系统,用 偏微分
方程 描述,
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 2
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 10）
● 我们 仅讨论 线性, 时不变、集总参数系统,简称为
线性定常系统,就是可以用常微分方程描述的系统。
因为：对线性定常系统进行分析的理论和方法最为
基础、最成熟，同时其它系统通过某种假设后可近
似作为线性定常系统来处理。
● 动态特性 是研究当测试与检测系统的输入和输出均
为随时间而变化的信号时,系统对输出信号的影响。
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 3
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 11）
● 线性系统的基本定义是：该系统的输入（ 激励 ）
x(t)和输出（ 响应 ） y(t)存在着解析关系,
● 式中,－该系统的结构特性参数
● －该系统输出、输入对时间的
各阶微分。 系统的阶次 由 输出量
最高微分阶次决定。
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 4
)(
)()()(
)(
)()()(
011
1
1
011
1
1
txb
dt
tdx
b
dt
txd
b
dt
txd
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
????????
???????
?
?
?
?
?
?
mn ba,
m
m
n
n
dt
txd
dt
tyd )(,)(
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 12）
● 线性系统就是在此方程式中不包含变量及其各阶微
分的非一次幂项（包括交叉相乘项），如果线性系
统方程中各系数 在工作过程中 不随 时间和
输入量的变化而变化，则该系统称为 线性定常系统 。
● 举例,RLC电路，如果输入
电压是随时间变化的,
其输出是随时间变化的电压
则可建立输入和输出之间的微分方程,
● 可见此电路是线性系统，如果电气结构参数 R,L、
C在运行过程中不发生变化，则是定常系统。
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 5
mn ba,
)(tur
)(tuc
)()()()( 2
2
tudt tduRCdt tudLCtu cccr ???
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 13）
线性系统的性质,
● 叠加性,引起的输出分别为
如输入为 则输出为
● 比例特性：如 引起的输出为,则 引起
的输出为 。
● 微分特性,引起的输出为
● 积分特性,引起的输出为
● 频率保持性：如 则
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 6
????? )()( 21 txtx ????? )()( 21 tyty
???)(),( 21 txtx ???)(),( 21 tyty
)(tx )(ty )(tax
)(tay
dt
tdx )(
dt
tdy )(
?
t
dttx
0
)( ?
t
dtty
0
)(
tjextx 00)( ??
)(0 0)( ?? ?? tjeyty
2、动态特性
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 14）
● 线性系统具有 频率保持特性 的含义是输入信号的频
率成分通过线性系统后仍 保持原有的频率成分 。如
果发现输入和输出信号的 频率成分不同,则该系统
就 不是 线性系统。
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 7
如余弦信号通过非线性系统
（二极管），则输出被整流
，其频率成分被改变。
输入信号
输出信号
非线性系
统特性
频率特性
测试与检测系统动态特性的描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 15）
● 线性定常系统 时域信号传输特性描述（时域响应）
－ 卷积
● 若测试与检测系统在任意输入信号 的输出信号
为,如果已知,是否可以在理论上求出？
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 8
)(tx
)(ty )(tx )(ty
系统
时域信号传输特性描述（时域响应）－卷积 1
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 16）
● 系统对单位脉冲函数 的响应
● 单位脉冲函数 的定义,
,
● 为 单位脉冲响应,它反映了系统的传输特性。
条件,在输入前，系统内没有储存信号（ 零状态 ）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 9
)(t?
)(t?
系统
0)( 0 ??tt? 1)( ??
??
??
dtt?
)(th
)(th
时域信号传输特性描述（时域响应）－卷积 2
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 17）
● 相对原点有一时移 的单位脉冲信号 的响应
为 。既然面积为 1的 信号所引起的系统
响应为,那么位于原点上的面积为 的窄
条信号输入后所引起的该系统响应应为,
偏离原点的位置 的窄条面积信号 的响应信
号应为 。
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 10
)( itt ??it
)( itth ? )(t?
)(th tx ?)0(
)()0( tthx ?
it
ttx i ?)(
)()( ii ttthtx ??
系统
时域信号传输特性描述（时域响应）－卷积 3
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 18）
● 因此由很多窄条叠加而成的 所引起的总的响
应 应为各窄条分别的响应之和。
● 当,则
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 11
)(tx
0??t
)(ty
系统
? ??
?
???
t
t
ii
i
tthttxty
0
)()()(
? ?? t iii dttthtxty 0 )()()(
时域信号传输特性描述（时域响应）－卷积 4
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 19）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 12
? ?? t dthxty 0 )()()( ???
?
?
??
???? ??? dthxthtxty )()()()()(
● 即为 卷积,表达
为
● 公式说明测试检测系统对任意输入 的响应
是输入信号 与该系统的 单位脉冲响应信号
的卷积。所以 标志着一个测试系统的信号 传输
特性,称为一个测试与检测系统的 脉冲响应函数 。
)(tx )(ty
)(tx )(th
)(th
it??
数学通用表达式
积分变量虽为 τ,但 经定积分运算,并代
入积分限后,所得结果仍为 t的函数
时域信号传输特性描述（时域响应）－卷积 4
测试与检测系统 （ 20）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 12
?
?
??
???? ??? dthxthtxty )()()()()(
τ t τ τ
h(t-τ )=1/2(t-τ ) h(-τ ) h(τ )=t/2
2
1
-2
1 1
x(τ )
τ 1 -1/2
1
t τ
x(τ ) h(t-τ )
卷积的几何解释
卷积过程
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 21）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 13
? 根据卷积定理，两函数的时域卷积与它们各
自的频谱密度函数（富里叶变换）的乘积相
对应。将等式 左右都作富里
叶变换可得
? 这一公式的含义是：输入信号的频谱与脉冲
响应函数的富里叶变换相乘就可以得到输出
信号的频谱。
? 脉冲响应函数的富里叶变换 标志着系统
在频域内对信号作用的特性，称为 频率响应
函数 。
)()()( thtxty ??
)()()( ??? HXY ?
)(?H
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 22）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 14
? 的物理意义是输入信
号的各频率成分通过测试与检测系统时,
对它们的影响，信号通过该系统后，得到输
出信号的新的频率结构。
? 因为 的富里叶变换一般是一个复数，故
常将其表达为 的形式。因此可得
)()()( ??? HXY ?
)(?H
)(th
)( ?jH
)(
)(
)(
?
?
?
X
Y
jH ?
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 23）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 15
? 根据这一公式，可以由一个系统的输入输出
关系的微分方程式求得系统的频响函数
? 线性系统的输出输入关系为,
? 将此公式两边作富里叶变换，在变换过程中
利用富里叶变换的微分性质得,
)( ?jH
)(
)()()(
)(
)()()(
011
1
1
011
1
1
txb
dt
tdx
b
dt
txd
b
dt
txd
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
????????
???????
?
?
?
?
?
?
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 24）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 16
? 则线性系统的频响函数为,
? 这是线性系统频响函数表达的普遍公式。
? ?
? ?0111
01
1
1
)()()()(
)()()()(
bjbjbjbX
ajajajaY
m
m
m
m
n
n
n
n
????????
???????
?
?
?
?
????
????
01
1
1
01
1
1
)()()(
)()()(
)(
)()(
ajajaja
bjbjbjb
X
YjH
n
n
n
n
m
m
m
m
???????
?????????
?
?
?
?
???
???
?
??
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 25）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 17
? 举例：一个质量－弹簧－阻尼系统
根据动力学分析，建立运动方程
? 是一个典型的二阶系统。
? 将此公式左右作富里叶变换得,
)()()()( 12
2
txktky
dt
tdyc
dt
tydm ???
)()())(())(( 12 ?????? XkkYjcYjmY ???
交变力
位移响应
阻尼 弹
簧
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 26）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 18
? 该系统的频响函数为
? 令 －系统的固有角频率
－系统的阻尼率
－系统的灵敏度
kjcjm
k
X
YjH
??
??
)()()(
)()(
2
1
???
??
m
k
n ??
km
c
2??
k
kS 1?
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 27）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 19
? 则上式就成为,
? 将此式作归一化处理
S
j
S
j
jH
nn
nn
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?? ? ??
?
?
21
1
2
)(
2
22
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
nn
j
jH
?
?
?
?
?
?
21
1
)( 2
系统灵敏度
系统固有角频率
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 28）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 20
? 由于 是复数，它可以分解为 幅值 和 相
位 两方面表达，其 模 成为系统的 幅
频特性 ；其 相角 称为系统的 相频特性,
它们都是频率 的函数。
? 由此二公式可绘制出该系统的 幅频特性曲线
和 相频特性曲线
)( ?jH
)( ?jH
)(??
?
2
2
22
41
1
)(
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
nn
jH
?
?
?
?
?
?
2
1
2
)(
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
n
n
a r c tg
?
?
?
?
?
??
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 29）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 21
? 幅频特性曲线 相频特性曲线
ζ 阻尼率
固有频率
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 30）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 22
? Bode图,幅值 坐标
用 分贝数, 频率 坐
标用 对数 分度绘制
的幅频特性和相频
特性曲线，称为
Bode图 。
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 31）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 23
? 是复数，可以表达为,
? 式中 是 的 实部
? 是 的 虚部
? 和 都是 的实函数。
)( ?jH
)I m ()R e ()( ??? jjH ??
)Re(? )( ?jH
)( ?jH)Im (?
)Re(? )Im (? ?
2
2
2
2
2
41
1
)R e (
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
nn
n
?
?
?
?
?
?
?
?
实频特性
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 32）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 24
?
2
2
2
2
41
2
)I m (
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
虚频特性
实频曲线
虚频曲线
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 33）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 25
? 将实部作横坐标，
虚部作纵坐标绘制
出 对
的曲线，并分别在
曲线上注明相应的
频率，所得的曲线
称为 幅相频特性曲
线,常称为 Nyquist
（ 奈 奎斯特 ）曲线
。
)Re(? )Im (?
测试与检测系统的频域描述
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 34）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 26
? 由图可见，在某一
时，向径 的长度代
表了频响函数
在频率为 下的
模,而 与
横坐标轴的夹角代表
了频响函数 在
该频率下的相角
i?
OA
)( ?jH
i?
)( ijH ? OA
)( ?jH
)( i??
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 35）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 27
? 信号通过系统在时域内所得的响应（输出）
是输入信号与系统的脉冲响应函数的卷积；
在频域内响应信号的频谱函数是输入信号的
频谱函数与系统的频响函数的乘积。
? 因为 与 一般均为复数，皆可表达
为,
)()()( ??? jHXY ??
)( ?jH)(?X
)()()( ???? xjeXX ?
)()()( ???? jejHjH ?
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 36）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 28
? 所以
? 此时可分辨表达为幅值运算和相位运算
? 即
)()()( ??? jHXY ??
)()()( )()()( ?????? ??? jjj ejHeXeY xy ??
)()()( ?????? jjj eee xy ??
)()()( ?????? ?? xy
（幅值相乘）
(相位相加 )
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 37）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 29
? 举例：一检测系统为二阶线性系统，其频响
函数为
? 则其响应的幅频特性为
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
nn
j
jH
?
?
?
?
?
5.01
1
)( 225.0??
2
2
2
25.01
1
)(
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
nn
jH
?
?
?
?
?
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 38）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 30
? 其相频特性为
2
1
5.0
)(
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
n
n
a r c t g
?
?
?
?
??
系统的冲激响应 h(t) 系统的幅相频特性
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 39）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 31
? 输入信号为
)
6
4c o s (2.0
)2c o s (5.0)
2
c o s ()(
0
00
?
?
??
?
?
??
????
t
tttx
6
输入信号的幅相频特性
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 40）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 32
? 则输出信号
6
)()()( thtxty ??
信号通过系统的时频域响应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 41）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 33
? 频域计算则为幅频
相乘，相频相加。
6
1.28
2.0
0.32
6
-0.9π
-0.1π
)()()( ??? jHXY ??
)()()( ?????? ?? xy
理想频响函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 42）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 34
? 输入、输出满足 的系统
的频响函数为 理想频响函数 。即 不失真系统 。
? 理想频响函数的表达式为,
因为,
则理想频响函数为,
其幅频特性为,
相频特性为,6
)()( 00 ttxAty ??
0)()( 0 tjeXAY ??? ??
)(
)()(
?
??
X
YjH ?
00)( tjeAjH ?? ??
0)( AjH ??
0)( t??? ??
方波通过不同频响系统后波形变化 1
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 43）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 35
6
方波通过不同频响系统后波形变化 2
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 44）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 36
6
输入
方波通过不同频响系统后波形变化 3
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 45）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 37
6
输入
方波通过不同频响系统后波形变化 4
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 46）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 38
6
输入
方波通过不同频响系统后波形变化 5
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 47）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 39
6
输入
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 48）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 40
6
? 描述系统动态特性更为广泛的函数是 传递函数
? 传递函数的 定义 是初始条件为零时 系统输出信
号的拉普拉斯变换 (拉氏变换 )与输入信号的拉
氏变换之比,记为
? 式中 为输出信号的拉氏变换
? 为输入信号的拉氏变换
? s为拉氏变换算子
? 和 皆为实变量
)(sH
)(
)()(
sX
sYsH ?
)(sY ?
? ??
0 )()( dtetysY
st
? ? ?? 0 )()( dtetxsX st
)(sX
,0,??? ??? js
? ?
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 49）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 41
6
? 传递函数表示了系统的输入信号与输出信号之
间在 复数域内 的关系。即代表输入信号在复数
域经传递函数的加工而形成复数的输出信号。
是 系统数学模型 的一种表示方法。
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 50）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 42
6
? 对于一个线性系统，表达输出与输入信号的微
分方程是,
? 在 零初始条件 下，即 时 。
? 则其传递函数可分别对上式两边求拉氏变换求
得
)(
)()()(
)(
)()()(
011
1
1
011
1
1
txb
dt
tdx
b
dt
txd
b
dt
txd
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
????????
???????
?
?
?
?
?
?
0?t 0)(,0)( ?? tytx
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
asasasa
bsbsbsb
sX
sYsH
n
n
n
n
m
m
m
m
???????
?????????
?
?
?
?
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 51）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 43
6
? 传递函数和频响函数均可描述系统，但它们各
自表达不同的物理含义，因此 应用在不同场合
? 如一正弦信号（单一频率）
输入到一个一阶系统，一阶系统的运动微分方
程为
? 将 代入后可求解出微分方程
)0(s i n)( ?? tttx ?
)()()( 1 txktky
dt
tdyc ??
)0(s i n)( ?? tttx ?
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 52）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 44
6
? 式中
)]()()[(
]c o s)[ s in (
)(1
)(
21
/
2
tytyA
et
S
ty
s
??
??
?
?
?
?
???
??
?
2)(1
)(
??
?
?
? SA
)s i n ()(1 ?? ?? tty
?? co s)( /2 tety ?? 衰减项
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 53）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 45
6
? 若将此信号输入到一个二阶系统，此二阶系统
微分方程若为
? 将 代入求解得
? 式中
)()()()( 12
2
txktky
dt
tdyc
dt
tydm ???
ttx ?s in)( ?
)]()()[(
]}s inc o s[)]() { s in [()(
21
1
tytyA
tktketAty ddtn
?????
?????? ?
?
?????? ??
)](s i n [)(1 ??? ??? tty
]s i nc o s[)( 12 tktkety ddtn ???? ??? ?
衰减项
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 54）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 46
6
? 由前面系统时域响应两个公式来看，无论一阶
还是二阶系统，其时域响应均可认为是由 衰减
项 或 与 不衰减 项 或 组成。
衰减项称为瞬态过程, 不衰减项称为稳态过程
)(2 ty )(2 ty? )(
1 ty )(1 ty?
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 55）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 47
6
? 从另外的“域”来讨论同样问题,若输入信号
的拉氏变换和富里叶变换分别为
? 拉氏变换
? 富里叶变换
? 可以证明,正弦函数 的拉氏变换与 单边正弦信
号 的富里叶变换相等，即
? 即
)(s i n)( sXttx ?? ?
)(s i n)( ?? Xttx ??
?? ? ?? ? ? 00 s i ns i n dttedtte tjst ???
)()( ?XsX ? )0( ?t
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 56）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 48
6
? 将输出信号总括成
? 对它求拉氏变换得
? 由于 均为一正弦函数，故
? 则
)]()()[()( 21 tytyAty ?? ?
稳态过程 瞬态过程
)]()()[()( 21 sYsYAsY ?? ?
)(1 ty
)()( 11 ?YsY ?
)]()()[()( 21 sYYAsY ?? ??
稳态过程 瞬态过程
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 57）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 49
6
? 系统的传递函数为,
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
2
2121
21
sX
sY
AjH
sX
sY
X
Y
A
sX
sY
sX
Y
A
sX
sYY
A
sX
sY
sH
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
??
重要
结论
瞬态过程传递函数 稳态过程频响函数
频响函数与传递函数
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 58）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 50
6
? 频响函数的含义是一系统对输入与输出皆为
? 正弦信号传递关系的描述。它反映了系统
稳态输出与输入之间的关系，也称为 正弦传递
函数 。
? 传递函数 是系统对输入是正弦信号，而输出是
正弦 叠加瞬态信号 传递关系的描述。它反映了
系统包括 稳态 和 瞬态 输出与输入之间的关系。
? 如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分
析系统。如研究稳态和瞬态全过程信号，则用
传递函数来分析系统。
重要
结论
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 59）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 51
6
?如何测定
系统的频
响函数？
频响函数的测定
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 60）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 52
6
? 测定频响函数的 目的,在作动态参数检测
时，要确定系统的不失真工作频段是否复
合要求。
? 测定频响函数的 方法,用标准信号输入，
测出其输出信号，从而求得需要的特性。
? 输入的标准信号有 正弦信号, 脉冲信号 和
阶跃信号 。
频响函数的测定方法－正弦信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 61）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 53
6
? 理论依据,
? 方法：输入各种频率的正弦信号，检测系
统的输出信号，作出对应频率成分的输出
与输入信号的幅值比（幅频特性）和相位
差（相频特性）。是 最为精确的方法 。
? 问题,效率低,太麻烦。可用慢扫频正弦
信号输入，慢到使每次输出达到稳定状态
。
)(
)()(
?
??
X
YjH ?
频响函数的测定方法－脉冲信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 62）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 54
6
? 理论依据,如 在所有频
率范围是常数，甚至 1，则 。
? 理论上频谱为 1的时域信号是单位脉冲函数
，但 在实际工作中难以获得，且能量太
小，难以对实际物理系统产生影响。
? 目前最常用信号是半正弦信号。
)(
)()(
?
??
X
YjH ? )(?X
)()( ?? YjH ?
)(t?
时域 频域
频响函数的测定方法－脉冲信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 63）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 55
6
? 正弦脉冲在时域所占的宽度 越窄,其频域 sin c
函数的主瓣所占的宽度就 越大,同时主瓣高度越
低，就越显得 平坦 。假如选取 以下频段作激励
输入，可近似认为在此频段内的频谱值是常数。
则系统输出信号在此频段内的频谱就可近似认为
是系统的频响函数。
? 如果测试 较宽 频带的系统频响函数，则要用 极窄
的脉冲激励。
时域 频域
?
?
主瓣
a?
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 64）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 56
6
? 阶跃信号激励是用来测量系统频响函数中
的决定性参数，如 固有频率 和 阻尼率
? 对于一阶系统,其运动微分方程式为,
? 在静态时,所以 代表其静态
灵敏度，上式可表达为
n?
?
)()()( 1 txktky
dt
tdyc ??
0)( ?dt tdy kkS 1?
)()()( tSxty
dt
tdy
k
c ??
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 65）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 57
6
? 令 －称为此系统的 时间常数 。
? 则上式变为,
? 求出它的频响函数为
? 其对数幅频特性曲线如图
由图可见
是其 特性转折
点,所以 是
系统重要参数。
)()()( tSxty
dt
tdy ???
k
c??
1)(
)()(
?
??
???
??
j
S
X
YjH
??
1?
?
特性转折点
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 66）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 57
6
? 令输入 为 t=0时
的阶跃函数，代入下
式
? 求得方程解为
? 其中 表达了系统
对阶跃输入响应快慢
。
)(tx
)()()( tSxty
dt
tdy ???
)1()( / ?teSty ???
?
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 67）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 58
6
? 求 值，上式改写为
? 令
? 则
? 故
?
?/)(1 te
S
ty ???
))(1l n (
S
tyZ ??
?
tZ ??
?
1??
dt
dZ
由试验求出
由公式
计算
求出 ?
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 68）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 59
6
? 对于二阶系统,其输入输出关系式为,
? 当输入为阶跃信号，可求出其响应函数
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二阶系统对阶跃输
入的响应
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 69）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 60
6
? 这一阶跃响应函数的瞬态响应是以
角频率作 衰减振荡,将此角频率记为,称为
有阻尼固有角频率。
? 对此响应函数求极值,即可找到各振荡峰值所
对应的时间 。
? 将 代入上式，可求得最大过冲量 M和阻
尼 的关系。
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测得 M后，
即可按左式
求得 ?
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 70）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 61
6
? 若测得多个峰值 和,n是两峰值相隔的
周期数。两峰值各自对应的时刻为 和 则
? 将它们均代入下式
? 可得
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频响函数的测定方法－阶跃信号激励
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 71）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 62
6
? 令 则
? 因此可以由二阶系统对阶跃输入的响应曲线图
中测量出极值 和 求出
2
2
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2
1
2
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测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 72）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 63
6
频响函数的
测定方法
正弦信号激励
脉冲信号激励
阶跃信号激励
负载效应
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 73）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 64
6
? 在某些情况下，当检测系统将传感器接入被检
测系统时，会引起某些能量的附加结果，从而
使被测量值受到干扰而偏离实际值，这就是负
载效应。
测试与检测技术基础
测试与检测系统 （ 74）
二、测试与检测系统的描述
2、动态特性 64
6
谢 谢
