第五章 立体的表面交线
5.1 截交线
截切：
用一个平面与立体相交，截去立体的一
部分。
? 截平面 —— 用以截切物体的平面。
? 截交线 —— 截平面与物体表面的共有交线。
? 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形
成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
5.1.1 平面立体的截切
一、平面截切的基本形式
截交线与截断面
截平面
截交线
截断面
?截交线是一个由直线组成的 封闭的平面多边形,其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
?平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。 截交线的每
条边是 截平面与棱面的交线 。
求 截交线的实质是求两平面的交线
截交线的性质：
? 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
二、平面截切体的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点 → 棱线法 （面上取点法） 。
★ 求各棱面与截平面的交线 → 棱面法 （线面交点法） 。
关键是正确地画出截交线的投影 。
⒉ 求截交线的步骤：
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
确定截交线
的投影特性
确定截交
线的形状★ 空间及投影分析
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
例 1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
平面与三棱锥相交
s’
a’ b’ c’ c” a” b”
s
Pv
s”
(1) 求 Pv与 s’a’,s’b’,s’c’
的交点 1’,2’,3’为截平
面与各棱线的交点 Ⅰ, Ⅱ,
Ⅲ 的正面投影。1’
2’
3’
(2) 根据线上取点的方
法，求出 1,2,3和 1”、
2”,3”。
1
1”
2”
2
3 (3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
3”
具体步骤如下：
作业 P21 5-1 （ 2）
1’
2’
3’(4’)
1”
3”4”
12
4
3
例 2 求做立体被截切后的投影
例 3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
3?
2?
1?
(4?) 1?● 2?●4?●
3?●
1
●
2●
4●
★ 空间分析
交线的形状？3
●
★ 投影分析
★ 求截交线
★ 分析棱线的投影
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
截平面与体的
几个棱面相交？ 截交线在俯、
左视图上的形
状？
我们采用的是
哪种解题方法？
棱面法（线面交点法）！
例 4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1
2
1?(2?)
Ⅰ, Ⅱ 两点分别
同时位于三个面
上。
三面共点：
2?● 1?●
注意：
要逐个截平面分析和
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
为整体被截切，求出截交
线后再取局部。
1’
2’(3’)
4’(5’)
6’(7’) 6” 7”
1”
3” 2”
5” 4”
6
7
例 6 补全俯视图和左视图的投影
例 7,求八棱柱被平面 P截切后的俯视图。
P?
截交线的形状？
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
ⅥⅦ
Ⅷ1?
5? 4?
3? 2?
8?
7? 6?
截交线的投影
特性？
2?≡ 3?≡ 6?≡ 7?
1?≡ 8?
4?≡ 5?
求截交线
1
5
4
7
6
3
2
8
分析棱线的
投影
检查截交
线的投影
5.1.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面截平面
截交线
截交线的性质：
? 截交线是截平面与回转体表面的 共有线 。
? 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置 。
? 截交线都是 封闭的平面图形 。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便 确定截交线的形状 。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置,明确 截交
线的投影特性,如积聚性、类似性等。 找出
截交线的 已知 投影,予见未知 投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
☆ 先找特殊点，补充中间点 。
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
垂直
圆 椭圆
平行
两平行直线
倾斜
PV
P
PV
P
PV
P
㈠ 圆柱体的截切
例 1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
平面与圆柱相交
由于平面与圆柱的轴线
斜交，因此截交线为一椭圆。
截交线的正面投影重影为一
直线，水平投影与圆柱面的
投影重影为圆。侧面投影可
根据圆柱表面取点的方法求
出。
具体步骤如下：
（ 1）先作出截交线上的
特殊点。
（ 2）再作出适当数量
的一般点。
（ 3）将这些点的投影依
次光滑的连接起来。
1’
1
5’
5
3
7
3’(7)’
1”
5”
3”7”
2
2’ 2”
4
68
4’ 4”
（ 4）补全侧面投影中
的转向轮廓线。
8”
6”
Ⅰ
Ⅲ
Ⅴ
Ⅶ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅷ
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
平面与圆柱相交
（ ?即正垂面与水平面的夹角 ）
?﹥ 45° ?﹤ 45° ?=45°
例 2：求左视图
虚实分界点
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
分 析：
该立体是在圆柱筒的上
部开出一个方槽后形成的 。
构成方槽的平面为垂直于轴
线的水平 P和两个平行于轴
线的侧平面 Q 。它们与圆柱
体和孔的表面都有交线，平
面 P与圆柱的交线为圆弧，
平面 Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和 Q彼此相交于直线
段。
例 2,补画被挖切后立体的投影 。
平面与圆柱相交
作图步骤如下：
（ 1）先作出完整基本形体的三面投影图。
平面与圆柱相交 作业 P22 5-3（ 2）
（ 2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
例 3：求左视图
★ 空间及投影分析
★ 求截交线
★ 分析圆柱体轮廓素线的投影
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
●
● 解题步骤：
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
●
例 4：求左视图
●
●
●
●
1’
2’ (11)’
3’ (10)’
7’
(8)’ 6’
(9)’ 5’
(7)
1
(8) 11
(6) 2
3 (5)
(9)10
1’’
2’’11’’
(10)’’ 3’’
9’’ 5’’8’’ 6’’7’’
已知圆柱截切后的两面投影，求作其 W面投影
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
平面与圆锥相交
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相对位
置不同，截交线有五种形状。
过锥顶
两相交直线
PV
圆
PVθ
θ = 90°
PV
椭圆
α
θ
θ ＞ α
抛物线
PVθ
α
θ =α
双曲线
PV
α
θ = 0° ＜ α
例 1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
平面与圆柱相交
此种截交线为一椭圆。
由于圆锥前后对称，故椭圆
也前后对称。椭圆的长轴为
截平面与圆锥前后对称面的
交线 —— 正平线，椭圆的短
轴是垂直与长轴的正垂线。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
正平线正垂线
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
正平线正垂线平面与圆锥相交
具体步骤如下,（ 1）先作出截交线上的特殊点。
1’
2’
1 2
1”
2”
3’4’
3
4
5’6’
6
5
（ 2）再作一般点。
（ 3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
（ 4）补全侧面转向轮廓线。
3”4”
5”6”
7’8’
7
8
7”8”
平面与圆锥相交
例 2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3
4
2
1
5
3’ 2’
(4’)
1’
(5’)
4” 3” 2” 1”
（ 1）先求特殊点。
（ 2）再求一般点。
（ 3）依次光滑连接各点。
5”
3 1
5
2
4
具体步骤如下：
例 3:求圆锥被截切后的正面投影,
分析,截交线的正面投影为双曲线,
作图,
1 求特殊点。
最高点 最低点
2 求一般点。
3 连线。
1’
(2)’
(4)’
3’
(6)’
5’(8)’
7’
9’ (10)’
2” 1”
4
3
3”4”
6
5
5”6”(12)’
11’
11”12”
7
8
7”8”
9
10
10” 9”
11
12
已知立体的正面投影，试完成 H,W两面投影
平面与圆球相交,截交线的形状都是
圆,但根据截平面与投影面的相对位置
不同,其 截交线的投影可能为圆、椭圆
或积聚成一条直线 。
㈢ 球体的截切
平面与球相交
例 1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水平面截圆球的截交线
的投影，在俯视图上为
部分圆弧，在侧视图上
积聚为直线。
两个侧平面截圆球的
截交线的投影，在侧视
图上为部分圆弧，在俯
视图上积聚为直线。
㈣ 复合回转体的截切
●● ● ● ●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系,然后 分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。 (作业 P22 5-5）
例：求作顶尖的俯视图
小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成
的封闭的平面多边形，多边形的边是 截平
面与棱面的交线 。
求截交线的方法,棱线法 棱面法
二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截
平面与被截立体轴线的相对位置。
截交线是截平面与回转体表面的 共有线 。
当截交线的投影为非圆曲线时,要 先
找特殊点，再补充中间点,最后光滑连接
各点。
注意分析平面体的棱线和回转体轮廓
素线的投影。
⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对
位置，以 确定截交线的投影特性 。
⒉ 求截交线
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析
⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以
确定截交线的形状 。
⒊ 当单体被多个截平面截切时，要 逐个 截
平面 进行截交线的分析与作图 。当只有
局部被截切 时，先 按整体被截切求出截
交线,然后 再取局部 。
⒋ 求 复合回转体 的截交线，应首先分析复
合回转体由哪些基本回转体组成以及它
们的连接关系，然后 分别求出 这些 基本
回转体的截交线,并依 次将其连接 。
本次作业
?习题集 第 21页 5-1 5-2
?习题集 第 22页 5-3(1)(2) 5-5 5-6
?作业上请注明班级、学号、姓名。
?作业下周一上课之前交于课代表处。
5.1 截交线
截切：
用一个平面与立体相交，截去立体的一
部分。
? 截平面 —— 用以截切物体的平面。
? 截交线 —— 截平面与物体表面的共有交线。
? 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形
成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
5.1.1 平面立体的截切
一、平面截切的基本形式
截交线与截断面
截平面
截交线
截断面
?截交线是一个由直线组成的 封闭的平面多边形,其
形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。
?平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平
面立体的棱线或底边与截平面的交点。 截交线的每
条边是 截平面与棱面的交线 。
求 截交线的实质是求两平面的交线
截交线的性质：
? 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
二、平面截切体的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点 → 棱线法 （面上取点法） 。
★ 求各棱面与截平面的交线 → 棱面法 （线面交点法） 。
关键是正确地画出截交线的投影 。
⒉ 求截交线的步骤：
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置
确定截交线
的投影特性
确定截交
线的形状★ 空间及投影分析
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交
线，并连接成多边形。
例 1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
投影和侧面投影。
平面与三棱锥相交
s’
a’ b’ c’ c” a” b”
s
Pv
s”
(1) 求 Pv与 s’a’,s’b’,s’c’
的交点 1’,2’,3’为截平
面与各棱线的交点 Ⅰ, Ⅱ,
Ⅲ 的正面投影。1’
2’
3’
(2) 根据线上取点的方
法，求出 1,2,3和 1”、
2”,3”。
1
1”
2”
2
3 (3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投
影。
(4) 补全棱线的投影。
3”
具体步骤如下：
作业 P21 5-1 （ 2）
1’
2’
3’(4’)
1”
3”4”
12
4
3
例 2 求做立体被截切后的投影
例 3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
3?
2?
1?
(4?) 1?● 2?●4?●
3?●
1
●
2●
4●
★ 空间分析
交线的形状？3
●
★ 投影分析
★ 求截交线
★ 分析棱线的投影
★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
截平面与体的
几个棱面相交？ 截交线在俯、
左视图上的形
状？
我们采用的是
哪种解题方法？
棱面法（线面交点法）！
例 4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1
2
1?(2?)
Ⅰ, Ⅱ 两点分别
同时位于三个面
上。
三面共点：
2?● 1?●
注意：
要逐个截平面分析和
绘制截交线。当平面体只
有局部被截切时，先假想
为整体被截切，求出截交
线后再取局部。
1’
2’(3’)
4’(5’)
6’(7’) 6” 7”
1”
3” 2”
5” 4”
6
7
例 6 补全俯视图和左视图的投影
例 7,求八棱柱被平面 P截切后的俯视图。
P?
截交线的形状？
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
ⅥⅦ
Ⅷ1?
5? 4?
3? 2?
8?
7? 6?
截交线的投影
特性？
2?≡ 3?≡ 6?≡ 7?
1?≡ 8?
4?≡ 5?
求截交线
1
5
4
7
6
3
2
8
分析棱线的
投影
检查截交
线的投影
5.1.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线
截平面截平面
截交线
截交线的性质：
? 截交线是截平面与回转体表面的 共有线 。
? 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置 。
? 截交线都是 封闭的平面图形 。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线
的相对位置，以便 确定截交线的形状 。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置,明确 截交
线的投影特性,如积聚性、类似性等。 找出
截交线的 已知 投影,予见未知 投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
☆ 先找特殊点，补充中间点 。
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截
平面与圆柱轴线的相对位置
垂直
圆 椭圆
平行
两平行直线
倾斜
PV
P
PV
P
PV
P
㈠ 圆柱体的截切
例 1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个
投影。
平面与圆柱相交
由于平面与圆柱的轴线
斜交，因此截交线为一椭圆。
截交线的正面投影重影为一
直线，水平投影与圆柱面的
投影重影为圆。侧面投影可
根据圆柱表面取点的方法求
出。
具体步骤如下：
（ 1）先作出截交线上的
特殊点。
（ 2）再作出适当数量
的一般点。
（ 3）将这些点的投影依
次光滑的连接起来。
1’
1
5’
5
3
7
3’(7)’
1”
5”
3”7”
2
2’ 2”
4
68
4’ 4”
（ 4）补全侧面投影中
的转向轮廓线。
8”
6”
Ⅰ
Ⅲ
Ⅴ
Ⅶ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅵ
Ⅷ
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
平面与圆柱相交
（ ?即正垂面与水平面的夹角 ）
?﹥ 45° ?﹤ 45° ?=45°
例 2：求左视图
虚实分界点
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立
体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只
要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面
之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
分 析：
该立体是在圆柱筒的上
部开出一个方槽后形成的 。
构成方槽的平面为垂直于轴
线的水平 P和两个平行于轴
线的侧平面 Q 。它们与圆柱
体和孔的表面都有交线，平
面 P与圆柱的交线为圆弧，
平面 Q与圆柱的交线为直线，
平面Ｐ和 Q彼此相交于直线
段。
例 2,补画被挖切后立体的投影 。
平面与圆柱相交
作图步骤如下：
（ 1）先作出完整基本形体的三面投影图。
平面与圆柱相交 作业 P22 5-3（ 2）
（ 2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
例 3：求左视图
★ 空间及投影分析
★ 求截交线
★ 分析圆柱体轮廓素线的投影
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
●
● 解题步骤：
同一立体被多个
平面截切，要逐个截
平面进行截交线的分
析和作图。
●
●
例 4：求左视图
●
●
●
●
1’
2’ (11)’
3’ (10)’
7’
(8)’ 6’
(9)’ 5’
(7)
1
(8) 11
(6) 2
3 (5)
(9)10
1’’
2’’11’’
(10)’’ 3’’
9’’ 5’’8’’ 6’’7’’
已知圆柱截切后的两面投影，求作其 W面投影
平面截切圆锥有四种情况，如图所示。
平面与圆锥相交
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相对位
置不同，截交线有五种形状。
过锥顶
两相交直线
PV
圆
PVθ
θ = 90°
PV
椭圆
α
θ
θ ＞ α
抛物线
PVθ
α
θ =α
双曲线
PV
α
θ = 0° ＜ α
例 1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的
另外两个投影。
平面与圆柱相交
此种截交线为一椭圆。
由于圆锥前后对称，故椭圆
也前后对称。椭圆的长轴为
截平面与圆锥前后对称面的
交线 —— 正平线，椭圆的短
轴是垂直与长轴的正垂线。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
正平线正垂线
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
正平线正垂线平面与圆锥相交
具体步骤如下,（ 1）先作出截交线上的特殊点。
1’
2’
1 2
1”
2”
3’4’
3
4
5’6’
6
5
（ 2）再作一般点。
（ 3）依次光滑连接各点，即得
截交线的水平投影和侧面投影。
（ 4）补全侧面转向轮廓线。
3”4”
5”6”
7’8’
7
8
7”8”
平面与圆锥相交
例 2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个
投影。
3
4
2
1
5
3’ 2’
(4’)
1’
(5’)
4” 3” 2” 1”
（ 1）先求特殊点。
（ 2）再求一般点。
（ 3）依次光滑连接各点。
5”
3 1
5
2
4
具体步骤如下：
例 3:求圆锥被截切后的正面投影,
分析,截交线的正面投影为双曲线,
作图,
1 求特殊点。
最高点 最低点
2 求一般点。
3 连线。
1’
(2)’
(4)’
3’
(6)’
5’(8)’
7’
9’ (10)’
2” 1”
4
3
3”4”
6
5
5”6”(12)’
11’
11”12”
7
8
7”8”
9
10
10” 9”
11
12
已知立体的正面投影，试完成 H,W两面投影
平面与圆球相交,截交线的形状都是
圆,但根据截平面与投影面的相对位置
不同,其 截交线的投影可能为圆、椭圆
或积聚成一条直线 。
㈢ 球体的截切
平面与球相交
例 1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水平面截圆球的截交线
的投影，在俯视图上为
部分圆弧，在侧视图上
积聚为直线。
两个侧平面截圆球的
截交线的投影，在侧视
图上为部分圆弧，在俯
视图上积聚为直线。
㈣ 复合回转体的截切
●● ● ● ●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成
以及它们的连接关系,然后 分别求出这些基本回
转体的截交线，并依次将其连接。 (作业 P22 5-5）
例：求作顶尖的俯视图
小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成
的封闭的平面多边形，多边形的边是 截平
面与棱面的交线 。
求截交线的方法,棱线法 棱面法
二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截
平面与被截立体轴线的相对位置。
截交线是截平面与回转体表面的 共有线 。
当截交线的投影为非圆曲线时,要 先
找特殊点，再补充中间点,最后光滑连接
各点。
注意分析平面体的棱线和回转体轮廓
素线的投影。
⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对
位置，以 确定截交线的投影特性 。
⒉ 求截交线
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析
⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以
确定截交线的形状 。
⒊ 当单体被多个截平面截切时，要 逐个 截
平面 进行截交线的分析与作图 。当只有
局部被截切 时，先 按整体被截切求出截
交线,然后 再取局部 。
⒋ 求 复合回转体 的截交线，应首先分析复
合回转体由哪些基本回转体组成以及它
们的连接关系，然后 分别求出 这些 基本
回转体的截交线,并依 次将其连接 。
本次作业
?习题集 第 21页 5-1 5-2
?习题集 第 22页 5-3(1)(2) 5-5 5-6
?作业上请注明班级、学号、姓名。
?作业下周一上课之前交于课代表处。
