第三章 变换投影面法
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？
★ 如何求一般位置平面的真实大小？
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动，而用某
一新投影面（辅助投影面）代替原有投影
面，使 物体相对新的投影面处于解题所需
要的有利位置,然后将物体向新投影面进
行投射。
解决方法：更换投影面。
V
H
X A
Ba'
b'
a
b
?
老投影体系
V/H
新投影面
V1
新投影体系
V1/H
X1
新轴
老轴
a1'
b1'
新投影
被替换
的投影
被保留
的投影 被保留
的投影面
被替换
的投影面
V
H
A
B
a?
b?
a
b
二、新投影面的选择原则
1,新投影面必须对空间物体处于 最有利的解
题位置。
?平行于新的投影面
?垂直于新的投影面
2,新投影面必须 垂直于 某 一保留的原投影面，
以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
P
a1
b1
V
H
Aa?
a
?
?
?
ax
X
?
?
⒈ 更换一次投影面
?旧投影体系 X — VH ?新投影体系 P1HX1 —
A点的两个投影,a,a? A点的两个投影,a,a1
⑴ 新投影体系的建立
三、点的投影变换规律
X1
P1
a1
ax1
?
?
?
?
?V
HX
P1H
X1
a?
a
a1
?
ax
ax1.
ax1
?
?
?V
HX
P1H
X1
a?
a
a1V
H
A
a
?
?
?
ax
X
X1
P1
a1
ax1
?
⑵ 新旧投影之间的关系
?aa1 ? X1
? a1ax1 = a?ax
?点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影
到原投影轴的距离。
axa?
??
?
?
一般规律：
?点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直
于新投影轴。
.
?
?
XVH
a
a?
ax
更换 H面
⑶ 求新投影的作图方法
?
?
V
HX
P1H
X1
由点的不变投影向新投影轴作 垂线,
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等
于被代替的投影到原投影轴的距离。
a
a?
X1P1
H ?a1
ax ax1
ax1
更换 V面
● a1
作图规律：
?
?
.
.
⒉ 更换两次投影面
先把 V面换成平面 P1,P1?H，得到中间新投影体系, P1HX1 —
再把 H面换成平面 P2,P2? P1，得到新投影体系, X2 —P1P
2
⑴ 新投影体系的建立
按次序更换
A
a
V
H
a?
ax
X
X1
P1
a1
ax1
?
P2
X2
?
?
?
ax2a2
?
?
? ?
?
?
?
ax2
?
a?
a
X VH
?
⑵ 求新投影的作图方法
?a2
X1
H
P1 X2P1
P2
作图规律
a2a1 ? X2 轴
a2ax2 = aax1
a1?
ax
ax1
?
.
.
V
H
A
B
a?
b?
a
b
四、换面法的六个基本问题
1,把一般位置直线变换成投影面平行线
用 P1面代替 V面，在 P1/H投影体系中,AB//P1。
X1 HP
1
P1a
1
b1
空间分析,
换 H面行吗？ 不行！
作图：
例：求直线 AB的实长及与 H面的夹角。
a?
b?
a
b
X V
H
新投影轴的位置？
a1● b1●
与 ab平行。
?
.
2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线
功用,一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距
离等。 问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个
投影。
X1
V
H
X A
Ba'
b'
a
b
H1
a1'
b1'?
a1 b1
XVH
a b
a'
b'
一般位置直线变换为垂直线
a1● b
1
●
V
H
a?
aX
B
b?
b
A
3,把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析：
a?
b?
a
b
XVH
X1
H1
P1
作图：
X1
P1
a1
b1
X2
P2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 。
X2轴的位置？
?
a2?b2 ax2
a2?b2?
.
与 a1b1垂直
一次换面把直线变成投影面平行线；
例 1
已知等腰三角
形 ABC的底边
为 AB，试用
换面法求出等
腰三角形 ABC
的正面投影。
a'
b'
X VH
c
a
b
b1'
c1'
a1'
c'
e
e1′
功用：可求解平面与投影面的倾角，
点与平面的距离，
两平行面间的距离等。
4,把一般位置平面变换成投影面垂直面
问题的关键：在平面上作一条投影面 平行线, 新
轴 必须 垂直 与该平行线 反映实长的那个投影 。
一般位置直线变换
成投影面垂直线，需经
几次变换？
a? b?
c?
a b
c
d
V
H
A
B
C
D
X
d?
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂
直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
P1
X1
c1
b1
a1?d1
空间分析：
在平面内 取一条
投影面平行线,经一
次换面后变换成新投
影面的垂直线，则该
平面变成新投影面的
垂直面。
作图方法：
两平面垂直需满足什么条件？
能否只进行一次变换？
思考：
若变换 H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
α
a?
b?
c?
a
c
b
X VH
例：把 三角形 ABC变 换 成投影面垂直面。
H
P1X1
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
线 AD。
d?
d
★ 将 AD变换成新投影
面的垂直线。
d1●a1?d1●c1● 反映平面对哪个投影面的夹角？
.
5, 将投影面的垂直面变成投影面的平行面
功用,一次换面后可求解
平面实形、形心、
两直线交角等
问题的关
键：
新投影轴
必须 平行于
该平面的积
聚性投影。
V
b'
a'
c'
H
V1
A
B
C
b a
a1'
c1'b1'
X1
c
展开图
a1?b1
●
需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
6,把一般位置平面变换成投影面平行面
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图,AB是水平 线
空间分析：
a2
●
c2●
b2●
c1●
X2轴 的位置？
平面的实形
.
X1
H P
1
.
与其平行
例 3 已知直线 AB与 ?CDE平面平行，且相距 20mm，
求直线 AB的
水平投影。
XVH
e d
cd'
e'
c'a'
b'
a1b
1 c
1
e1 d1
ba
1, 求直线实长和与投影面的倾角
将直线变换成投影面的平行线 。
2, 求平面实形和形心
将平面变换成投影面的平行面 。
3,求平面与投影面的倾角
将平面变换成投影面的垂直面 。
4,求距离
（ 1） 点与直线之间
a 将直线变换成投影面垂直线 。
b 将点与直线组成的平面变换成投影 面的平行
面 。
五、换面法的应用
（ 2） 点与平面之间
将平面变换成投影面垂直面。
（ 3） 两平行线之间
将两直线变换成投影面垂直线。
（ 4） 两平行平面之间
将两平面变换成投影面垂直面。
5,求夹角
（ 1）两直线之间
将两直线组成的平面变换成投影面平行面 。
（ 2） 两平面之间
将两平面变换成投影面的垂直面, 即应将两
平面的交线变换成投影面的垂直线 。
b1?
距离
d
d1
X1
H
P1
X2
P1 P2 c2
?
d?
例 1：求点 C到直线 AB的距离，并求垂足 D。
c
c? b?
a?
a
b
X V
H
?
?
如下图：当直线 AB
垂直于投影面时,CD平
行于投影面，其投影反映
实长。 A
P
B
D
C
c
a?b?d
作图,
求 C点到直线 AB的距离，
就是求垂线 CD的实长。
空间及投影分析：
c1?
a1? a2?b2?d2?
过 c1作线平行于 x2轴。
.
..
如何确定 d1
点的位置？
b?a?
a
b
c
d
●c?
例 2：已知两交叉直线 AB和 CD的公垂线的长度 为 MN，
且 AB为水平线，求 CD及 MN的投影。 M N
● m?
● d?
●
a1≡b1≡m1
● n1
●c
1
●
d1
● n
空间及投影分析：
V
HX
H P1
X1
圆半径 =MN
●n?
● m
当直线 AB垂直于投影
面时,MN平行于投影面，
这时它的投影 m1n1=MN,且
m1n1⊥ c1d1。
P1
A
C
D
N M
c1 d
1
a1m1b1
n1
B
作图：
请注意各点的投
影如何返回？
求 m点是难点。
.
.
空间及投影分析, AB与 CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（ 60° ），因此需将 AB与 C点所确定的
平面变换成投影面平行面。
例 3,过 C点作直线 CD与 AB相交成 60o角。
d?
X1
H P1 X
1
P1
P2
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图：
c2●
●
●
c1●
a1?b1●
a2●
d2
●d
●
b2●
几个解？
两个解！
已知点 C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线 AB上，
求等边三角形的投影。
思考：
如何解？
解法相同！
60°
D点的投影
如何返回？
.
.
c?
d? b?
a?
d
a
c
b
●
d1
●c
1
●
a1
● d2
● b1
c2●
●a2≡b2
θ
VHX θ
例 4：求平面 ABC和 ABD的两面角。
空间及投影分析,
由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交
时所得两交线之间的夹角。
在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面
垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为
所求。
.
.
? 小 结 ?
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
—— 换面法 。
一,换面法就是 改变投影面的位置,使它与所给物
体或其几何元素处于 解题所需的特殊位置 。
二,换面法的关键是要注意 新投影面的选择条件,
即必须使 新投影面与某一原投面保持垂直关系,
同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规
律继续有效。
三,点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本
问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
2,把一般位置直线变成投影面垂直线
1,把一般位置直线变成投影面平行线
3,把一般位置平面变成投影面垂直面
4,把一般位置平面变成投影面平行面
变换一次投影面
变换一次投影面
变换两次投影面
变换两次投影面
需先在面内作一条投影面平行线
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中
物体与原投影面的相对位置,并把这些条件
抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元
素 对新投影面应处于什么样的特殊位置 （垂
直或平行），据此选择正确的解题思路与方
法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影
在变换前后的关系,既要在新投影体系中正
确无误地求得结果，又能将结果 返回到原投
影体系中去。
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？
★ 如何求一般位置平面的真实大小？
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动，而用某
一新投影面（辅助投影面）代替原有投影
面，使 物体相对新的投影面处于解题所需
要的有利位置,然后将物体向新投影面进
行投射。
解决方法：更换投影面。
V
H
X A
Ba'
b'
a
b
?
老投影体系
V/H
新投影面
V1
新投影体系
V1/H
X1
新轴
老轴
a1'
b1'
新投影
被替换
的投影
被保留
的投影 被保留
的投影面
被替换
的投影面
V
H
A
B
a?
b?
a
b
二、新投影面的选择原则
1,新投影面必须对空间物体处于 最有利的解
题位置。
?平行于新的投影面
?垂直于新的投影面
2,新投影面必须 垂直于 某 一保留的原投影面，
以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
P
a1
b1
V
H
Aa?
a
?
?
?
ax
X
?
?
⒈ 更换一次投影面
?旧投影体系 X — VH ?新投影体系 P1HX1 —
A点的两个投影,a,a? A点的两个投影,a,a1
⑴ 新投影体系的建立
三、点的投影变换规律
X1
P1
a1
ax1
?
?
?
?
?V
HX
P1H
X1
a?
a
a1
?
ax
ax1.
ax1
?
?
?V
HX
P1H
X1
a?
a
a1V
H
A
a
?
?
?
ax
X
X1
P1
a1
ax1
?
⑵ 新旧投影之间的关系
?aa1 ? X1
? a1ax1 = a?ax
?点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影
到原投影轴的距离。
axa?
??
?
?
一般规律：
?点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直
于新投影轴。
.
?
?
XVH
a
a?
ax
更换 H面
⑶ 求新投影的作图方法
?
?
V
HX
P1H
X1
由点的不变投影向新投影轴作 垂线,
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等
于被代替的投影到原投影轴的距离。
a
a?
X1P1
H ?a1
ax ax1
ax1
更换 V面
● a1
作图规律：
?
?
.
.
⒉ 更换两次投影面
先把 V面换成平面 P1,P1?H，得到中间新投影体系, P1HX1 —
再把 H面换成平面 P2,P2? P1，得到新投影体系, X2 —P1P
2
⑴ 新投影体系的建立
按次序更换
A
a
V
H
a?
ax
X
X1
P1
a1
ax1
?
P2
X2
?
?
?
ax2a2
?
?
? ?
?
?
?
ax2
?
a?
a
X VH
?
⑵ 求新投影的作图方法
?a2
X1
H
P1 X2P1
P2
作图规律
a2a1 ? X2 轴
a2ax2 = aax1
a1?
ax
ax1
?
.
.
V
H
A
B
a?
b?
a
b
四、换面法的六个基本问题
1,把一般位置直线变换成投影面平行线
用 P1面代替 V面，在 P1/H投影体系中,AB//P1。
X1 HP
1
P1a
1
b1
空间分析,
换 H面行吗？ 不行！
作图：
例：求直线 AB的实长及与 H面的夹角。
a?
b?
a
b
X V
H
新投影轴的位置？
a1● b1●
与 ab平行。
?
.
2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线
功用,一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距
离等。 问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个
投影。
X1
V
H
X A
Ba'
b'
a
b
H1
a1'
b1'?
a1 b1
XVH
a b
a'
b'
一般位置直线变换为垂直线
a1● b
1
●
V
H
a?
aX
B
b?
b
A
3,把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析：
a?
b?
a
b
XVH
X1
H1
P1
作图：
X1
P1
a1
b1
X2
P2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 。
X2轴的位置？
?
a2?b2 ax2
a2?b2?
.
与 a1b1垂直
一次换面把直线变成投影面平行线；
例 1
已知等腰三角
形 ABC的底边
为 AB，试用
换面法求出等
腰三角形 ABC
的正面投影。
a'
b'
X VH
c
a
b
b1'
c1'
a1'
c'
e
e1′
功用：可求解平面与投影面的倾角，
点与平面的距离，
两平行面间的距离等。
4,把一般位置平面变换成投影面垂直面
问题的关键：在平面上作一条投影面 平行线, 新
轴 必须 垂直 与该平行线 反映实长的那个投影 。
一般位置直线变换
成投影面垂直线，需经
几次变换？
a? b?
c?
a b
c
d
V
H
A
B
C
D
X
d?
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂
直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
P1
X1
c1
b1
a1?d1
空间分析：
在平面内 取一条
投影面平行线,经一
次换面后变换成新投
影面的垂直线，则该
平面变成新投影面的
垂直面。
作图方法：
两平面垂直需满足什么条件？
能否只进行一次变换？
思考：
若变换 H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
α
a?
b?
c?
a
c
b
X VH
例：把 三角形 ABC变 换 成投影面垂直面。
H
P1X1
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
线 AD。
d?
d
★ 将 AD变换成新投影
面的垂直线。
d1●a1?d1●c1● 反映平面对哪个投影面的夹角？
.
5, 将投影面的垂直面变成投影面的平行面
功用,一次换面后可求解
平面实形、形心、
两直线交角等
问题的关
键：
新投影轴
必须 平行于
该平面的积
聚性投影。
V
b'
a'
c'
H
V1
A
B
C
b a
a1'
c1'b1'
X1
c
展开图
a1?b1
●
需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
6,把一般位置平面变换成投影面平行面
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图,AB是水平 线
空间分析：
a2
●
c2●
b2●
c1●
X2轴 的位置？
平面的实形
.
X1
H P
1
.
与其平行
例 3 已知直线 AB与 ?CDE平面平行，且相距 20mm，
求直线 AB的
水平投影。
XVH
e d
cd'
e'
c'a'
b'
a1b
1 c
1
e1 d1
ba
1, 求直线实长和与投影面的倾角
将直线变换成投影面的平行线 。
2, 求平面实形和形心
将平面变换成投影面的平行面 。
3,求平面与投影面的倾角
将平面变换成投影面的垂直面 。
4,求距离
（ 1） 点与直线之间
a 将直线变换成投影面垂直线 。
b 将点与直线组成的平面变换成投影 面的平行
面 。
五、换面法的应用
（ 2） 点与平面之间
将平面变换成投影面垂直面。
（ 3） 两平行线之间
将两直线变换成投影面垂直线。
（ 4） 两平行平面之间
将两平面变换成投影面垂直面。
5,求夹角
（ 1）两直线之间
将两直线组成的平面变换成投影面平行面 。
（ 2） 两平面之间
将两平面变换成投影面的垂直面, 即应将两
平面的交线变换成投影面的垂直线 。
b1?
距离
d
d1
X1
H
P1
X2
P1 P2 c2
?
d?
例 1：求点 C到直线 AB的距离，并求垂足 D。
c
c? b?
a?
a
b
X V
H
?
?
如下图：当直线 AB
垂直于投影面时,CD平
行于投影面，其投影反映
实长。 A
P
B
D
C
c
a?b?d
作图,
求 C点到直线 AB的距离，
就是求垂线 CD的实长。
空间及投影分析：
c1?
a1? a2?b2?d2?
过 c1作线平行于 x2轴。
.
..
如何确定 d1
点的位置？
b?a?
a
b
c
d
●c?
例 2：已知两交叉直线 AB和 CD的公垂线的长度 为 MN，
且 AB为水平线，求 CD及 MN的投影。 M N
● m?
● d?
●
a1≡b1≡m1
● n1
●c
1
●
d1
● n
空间及投影分析：
V
HX
H P1
X1
圆半径 =MN
●n?
● m
当直线 AB垂直于投影
面时,MN平行于投影面，
这时它的投影 m1n1=MN,且
m1n1⊥ c1d1。
P1
A
C
D
N M
c1 d
1
a1m1b1
n1
B
作图：
请注意各点的投
影如何返回？
求 m点是难点。
.
.
空间及投影分析, AB与 CD都平行于投影面时，其投影
的夹角才反映实大（ 60° ），因此需将 AB与 C点所确定的
平面变换成投影面平行面。
例 3,过 C点作直线 CD与 AB相交成 60o角。
d?
X1
H P1 X
1
P1
P2
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图：
c2●
●
●
c1●
a1?b1●
a2●
d2
●d
●
b2●
几个解？
两个解！
已知点 C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线 AB上，
求等边三角形的投影。
思考：
如何解？
解法相同！
60°
D点的投影
如何返回？
.
.
c?
d? b?
a?
d
a
c
b
●
d1
●c
1
●
a1
● d2
● b1
c2●
●a2≡b2
θ
VHX θ
例 4：求平面 ABC和 ABD的两面角。
空间及投影分析,
由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交
时所得两交线之间的夹角。
在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面
垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为
所求。
.
.
? 小 结 ?
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
—— 换面法 。
一,换面法就是 改变投影面的位置,使它与所给物
体或其几何元素处于 解题所需的特殊位置 。
二,换面法的关键是要注意 新投影面的选择条件,
即必须使 新投影面与某一原投面保持垂直关系,
同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规
律继续有效。
三,点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本
问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
2,把一般位置直线变成投影面垂直线
1,把一般位置直线变成投影面平行线
3,把一般位置平面变成投影面垂直面
4,把一般位置平面变成投影面平行面
变换一次投影面
变换一次投影面
变换两次投影面
变换两次投影面
需先在面内作一条投影面平行线
四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中
物体与原投影面的相对位置,并把这些条件
抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元
素 对新投影面应处于什么样的特殊位置 （垂
直或平行），据此选择正确的解题思路与方
法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影
在变换前后的关系,既要在新投影体系中正
确无误地求得结果，又能将结果 返回到原投
影体系中去。
