第四章 立体的投影
常见的基本几何体
平面基本体 曲面基本体
立体表面是由若干面所组成。表面均
为平面的立体称为 平面立体 ；表面为曲面
或平面与曲面的立体称为 曲面立体 。
在投影图上表示一个立体，就是把
这些平面和曲面表达出来，然后根据可
见性原理判断那些线条是可见的或是不
可见的，分别用实线和虚线来表达，从
而得到 立体的投影图 。
本章内容是在研究点、线、面投影
的基础上进一步论述立体的投影作图问
题。
平面立体的 投影实质 是关于其表面上点、线、面投影的集
合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的棱边，其投影以
粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图中，当多种图线
发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。
一、棱柱
1,棱柱的组成
由 两个底面和几个侧棱
面 组成。侧棱面与侧棱面的
交线叫侧棱线,侧棱线相互
平行 。
a' d'
e'
b' c'
a b
dc
e
e"
c"
d"a"
b"
A D
C
E
BX
Z
Y
正六棱柱的投影
如图,为一正六棱柱，其顶
面、底面均为水平面，它们
的水平投影反映实形，正面
及侧面投影重影为一直线。
4.1 平面基本体
a' d'
e'
b' c'
a b
dc
e
e"
c"
d"a"
b"
A D
C
E
BX
Z
Y
正六棱柱的投影
棱柱有六各侧棱面，前后棱面为 正平面,它们
的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影重影为
一条直线。
a' d'
e'
b' c'
a b
dc
e
e"
c"
d"a"
b"
A D
C
E
BX
Z
Y
正六棱柱的投影
棱柱的其它四个侧棱面均为 铅垂面,其水平投
影均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。
a' d'
e'
b' c'
ab dc e
e"
c"
d"a"
b"
A D
C
E
BX
Z
Y
正六棱柱的投影图
a
(b)
d(c) e
a’
b’
d’
c’
e’ a”
b”
d”
c”
X
Z
YH
YW
2,棱柱的三视图
作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根
据其它投影规律画出其它的两个投影。如图 3-2所示。
棱柱具有这样的 投影特
点,一个投影反映底面实
形，而其余两投影则为矩
形或复合矩形。
画正放棱柱的投影时，一
般先画出对称中心线、对称
线，再画水平投影；然后根
据投影画正面投影和侧面投
影。
（ a） 投影特点 （ b） 绘图过程
图 2-23 棱柱的投影图
a?
a
a?
棱柱表面上取点
(b’)
b
b’’
C
C’ C’’
1,棱锥的组成
由 一个底面和几个
侧棱面 组成。 侧棱线交
于有限远的一点 —— 锥
顶 。
二、棱锥
S
A
B
C
W
V
a'
s'
b'
s"
a
b
c b"
a"
c"
s
X
Y
Z
正三棱锥的投影
如图 4-3所示为一正
三棱锥，锥顶为 S，其
底面为△ ABC，呈水平
位置，水平投影△ abc
反映实形。
棱面△ SAB,△ SBC
是一般位置平面，它们
的各个投影均为类似形。
棱面△ SAC为侧垂面，
其侧面投影 s”a”c”重影
为一直线。
2,棱锥的三视图投影
棱锥处于图示位置时，其底面
ABC是水平面，在俯视图上反映
实形。侧棱面 SAC为侧垂面，另
两个侧棱面为一般位置平。
底边 AB,BC
为水平线,AC为
侧垂线，棱线 SB为
侧平线,SA,SC为
一般位置直线，它
们的投影可根据不
同位置直线的投影
特性进行分析。
S
A
B
C
W
V
a'
s'
b'
s"
a
b
c b"
a"
c"
s
X
Y
Z
正三棱锥的投影
作图时，先画出底面△ ABC的各个投影，再作出
锥顶 S的各个投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥
的三面投影。如图所示。
s’
s
a b
c
a’ c’ b’ a”(b”) c”
s”
正三棱锥的三面投影图
X
YH
Z
YWO
S
A B
C
W
V
a'
s'
b'
s"
a
b
c b"
a"c"
s
X
Y
Z
作图步骤如下：
连接 s’m’并延长，
与 a’c’交于 2’，
2’
m2
在投影 ac上求出
Ⅱ 点的水平投影 2。
连接 s2，即求出
直线 SⅡ 的水平投影。
根据在直线上的
点的投影规律，求出
M点的水平投影 m。
再根据知二求三
的方法，求出 m”。
m”a’
s
b
c
正三棱锥的三面投影图
s’
a
c’ b’ a”(b”) c”
s”
m’
X
Y H
Z
YW
3、三棱锥表面上取点 1
作业时，请不要使
用 45。 辅助线作图。
作图步骤如下：
1’
1
m
过 m’作 m’1’ ∥a ’c’，
交 s’a’于 1’。
求出 Ⅰ 点的水平投
影 1。
过 1作 1m ∥ac,再
根据点在直线上的几
何条件，求出 m 。
再根据知二求三的
方法，求出 m”。（具
体步骤略 )
s
c’ b’
正三棱锥的三面投影图
s’
a b
c
a’ a”(b”) c”
s”
m’
s
(b?)
s?
a?
B
a
c?b? c?
c
s?
b C
A
S
a?
2?
2?
2
Ⅱ
3
s
(b?)
s?
a?
B
a
c?b? c?
c
s?
b C
A
S
a? Ⅲ
(3?) 3?
4.2 回转体的投影及其表面取点、线
回转体（面）的形成
工程中常见的曲面立体是 回转体,主要有圆柱、圆锥、
球、环等。回转体是一动线（直线、圆弧或其它曲线）绕
一定线（直线）回转一周形成的曲面。
O
O
顶圆
素线
赤道圆
喉圆
纬圆
底圆
母线轴线
回转面的术语
回转面用 转向轮廓
线 表示。转向轮廓线是
与曲面相切的投射线与
投影面的交点所组成的
线段。
在投影图上表示回转
体，就是把组成立体的
回转面 或 平面 表示出来，
然后判断可见性。如图
所示。
转向轮廓线
转向轮廓线
X
Z
Y
圆柱的三面投影图
V Wa’
a’
b’c’d’
c’d’
a c
d bA
A
C
D B
C
d”
c”
d”
c”
a”b”
a”b”
1、圆柱的投影
圆柱表面由 圆柱面 和 顶面、底面 所组成。圆柱面是
由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。
如图所示，圆柱的
轴线垂直于 H面，其上
下底圆为 水平面,水
平投影反映实形，其
正面和侧面投影重影
为一直线。而圆柱面
则用曲面投影的 转向
轮廓线 表示。
一个投影为圆，其余二投影
均为矩形。规定：回转体对
某投影面的 转向轮廓线,只
能在该投影面上画出，而在
其它投影面上则不再画出。
一、圆柱
X
Z
Y
W
a’
a’
b’c’d’
c’d’
a c
d bA
A
C
D B
C
d”
c”
d”
c”
a”b”
a”b”
V
a b
a’
a’
b’
b’ a”(b”)
a”(b”)
c’(d’)
c’(d’)
c
d
d’
d’
c’
c’
圆柱的投影
圆柱投影图的绘制,（ 1） 先绘出圆柱的对
称线、回转轴线。
（ 2）绘出圆柱的顶面
和底面。
（ 3）画出正面转向轮
廓线和侧面转向轮廓线。
正面转向轮廓线
侧面转向轮廓线
在圆柱表面上取点
已知圆柱表面上的点 M及 N正面投影 a’, b’, m′ 和 n′,求
它们的其余两投影。
2、圆柱表面上取点
a’ a”
a
b’ (b”)
b
X
Z
Y
图 3-11 圆锥的三面投影图
V W
a c
d bA C
B
S
a’
b’
c’d’
s’
s”
c”
d”
a”(b”)
1,圆锥的投影
圆锥表面由 圆锥面 和 底圆 组成。它是一母线绕与它相交
的轴线回转而成。
如图所示，圆锥轴
线垂直 H面,底面 为水
平面，它的水平投影
反映实形，正面和侧
面投影重影为一直线。
对于 圆锥面,要
分别画出正面和侧
面转向轮廓线。
正面转向轮廓线
侧面转向轮廓线
二、圆锥体
圆锥投影图的绘制,
s’
a’ b’
sa b
c
d
c”d”c’(d’)
s”
a’(b’)
（ 1） 先绘出圆锥的对
称线、回转轴线。
（ 2）在水平投影面上
绘出圆锥底圆，正面
投影和侧面投影积聚
为直线。
(3) 作出锥
顶的正面投
影和侧面投
影并画出正
面转向轮廓
线和侧面转
向轮廓线。
圆锥的投影 X
Z
Y
V W
a c
d bA C
B
S
a’
b’
c’d’
s’ s”
c”
d”
a”(b”)
2、圆锥表面上取点
在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一
种是辅助圆法。
方法一：素线法
过 M点及锥顶 S作
一条素线 SⅠ,先求
出素线 SⅠ 的投影,
再求出素线上的 M点。
X
Z
Y
圆锥的三面投影图
V W
a c
d bA C
B
S
a’
b’
c’d’
s’
s”
c”
d”
a”(b”)
m
m’
m”
M
已知圆锥表面的点
M的正面投影 m’,求出
M点的其它投影。
过 m’s’作圆锥表面
上的素线，延长交底
圆为 1’。
1’
1
1”
m
m”
a’(b’)
图 3-14 圆锥的投影及表面上的点
s
s”
a b
c
d
c”d”
s’
a’ b’
c’(d’)
m’
求出素线的水平投
影 s1及侧面投影 s”1”。
求出 M点的水平投
影和侧面投影。
X
Z
Y
圆锥的三面投影图
V W
a c
d b
a’
b’
c’d’
s’
s”
c”
d”
a”(b”)
A C
B
S
方法二：纬圆法（辅助圆法）
过 M点作一平行与底面
的水平辅助圆，该圆的正
面投影为过 m’且平行于
a’b’的直线 2’3’，它们的
水平投影为一直径等于
2’3’的圆,m在圆周上，
由此求出 m及 m”。
m
M
m’
m”
m’
圆锥的投影及表面上的点
s’
s
s”
a’
a
b’
b
c”d”
m
m” 以 s为中心，以 sm
为半径画圆，
已知圆锥面上 M点
的水平投影 m，求出
其 m’和 m”。
作出辅助圆的正面
投影 2’3’。
2 3
2’ 3’
求出 m’及 m”的投影。
m
m
m
n
n( )n( )
已知圆锥表面上点 M及 N
的正面投影 m′ 和 n′,求
它们的其余两投影。
在圆锥表面上定点
a’
a
(a”)
球的表面是球面。球面是一条园母线绕过圆心
且在同一平面上的轴线回转而形成的。
1,圆球的形成
球的三个投影均
为圆，其直径与球直
径相等，但三个投影
面上的圆是不同的转
向轮廓线。
2,球的投影
三、圆球
已知 M点的水
平投影，求出其它
两个投影。
1 2
1’
m’ m”
过 m作平行于 V
面的正平圆 12。
求正平圆的正面
投影。
在辅助正平圆上
求出 m’和 m”。
o’ o”
o
球的投影及表面上的点
m
R
3、球面上取点
2
3
ⅠⅡ
Ⅲ
3
12 2"
"3
"1
2
3 11
"12"
"3
2
3
′ ′
′
圆球的投影
（ 1）圆环的形成
圆环面是由一个完整的 圆 绕轴线回转一周而形成，
轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。
四、圆环
（ 2）圆环的三视图 主、左视图是极限位
置素线（图）和内、
外环分圆的投影；
俯视图是上、下的投
影。
k’
k
k’’
（ 3）圆环表面取点
m
m'
（ n'）
（ n）
本次作业
?机械制图习题集 第 20页 4-7
?作业上请注明班级、学号、姓名。
常见的基本几何体
平面基本体 曲面基本体
立体表面是由若干面所组成。表面均
为平面的立体称为 平面立体 ；表面为曲面
或平面与曲面的立体称为 曲面立体 。
在投影图上表示一个立体，就是把
这些平面和曲面表达出来，然后根据可
见性原理判断那些线条是可见的或是不
可见的，分别用实线和虚线来表达，从
而得到 立体的投影图 。
本章内容是在研究点、线、面投影
的基础上进一步论述立体的投影作图问
题。
平面立体的 投影实质 是关于其表面上点、线、面投影的集
合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的棱边，其投影以
粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图中，当多种图线
发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。
一、棱柱
1,棱柱的组成
由 两个底面和几个侧棱
面 组成。侧棱面与侧棱面的
交线叫侧棱线,侧棱线相互
平行 。
a' d'
e'
b' c'
a b
dc
e
e"
c"
d"a"
b"
A D
C
E
BX
Z
Y
正六棱柱的投影
如图,为一正六棱柱，其顶
面、底面均为水平面，它们
的水平投影反映实形，正面
及侧面投影重影为一直线。
4.1 平面基本体
a' d'
e'
b' c'
a b
dc
e
e"
c"
d"a"
b"
A D
C
E
BX
Z
Y
正六棱柱的投影
棱柱有六各侧棱面，前后棱面为 正平面,它们
的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影重影为
一条直线。
a' d'
e'
b' c'
a b
dc
e
e"
c"
d"a"
b"
A D
C
E
BX
Z
Y
正六棱柱的投影
棱柱的其它四个侧棱面均为 铅垂面,其水平投
影均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。
a' d'
e'
b' c'
ab dc e
e"
c"
d"a"
b"
A D
C
E
BX
Z
Y
正六棱柱的投影图
a
(b)
d(c) e
a’
b’
d’
c’
e’ a”
b”
d”
c”
X
Z
YH
YW
2,棱柱的三视图
作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根
据其它投影规律画出其它的两个投影。如图 3-2所示。
棱柱具有这样的 投影特
点,一个投影反映底面实
形，而其余两投影则为矩
形或复合矩形。
画正放棱柱的投影时，一
般先画出对称中心线、对称
线，再画水平投影；然后根
据投影画正面投影和侧面投
影。
（ a） 投影特点 （ b） 绘图过程
图 2-23 棱柱的投影图
a?
a
a?
棱柱表面上取点
(b’)
b
b’’
C
C’ C’’
1,棱锥的组成
由 一个底面和几个
侧棱面 组成。 侧棱线交
于有限远的一点 —— 锥
顶 。
二、棱锥
S
A
B
C
W
V
a'
s'
b'
s"
a
b
c b"
a"
c"
s
X
Y
Z
正三棱锥的投影
如图 4-3所示为一正
三棱锥，锥顶为 S，其
底面为△ ABC，呈水平
位置，水平投影△ abc
反映实形。
棱面△ SAB,△ SBC
是一般位置平面，它们
的各个投影均为类似形。
棱面△ SAC为侧垂面，
其侧面投影 s”a”c”重影
为一直线。
2,棱锥的三视图投影
棱锥处于图示位置时，其底面
ABC是水平面，在俯视图上反映
实形。侧棱面 SAC为侧垂面，另
两个侧棱面为一般位置平。
底边 AB,BC
为水平线,AC为
侧垂线，棱线 SB为
侧平线,SA,SC为
一般位置直线，它
们的投影可根据不
同位置直线的投影
特性进行分析。
S
A
B
C
W
V
a'
s'
b'
s"
a
b
c b"
a"
c"
s
X
Y
Z
正三棱锥的投影
作图时，先画出底面△ ABC的各个投影，再作出
锥顶 S的各个投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥
的三面投影。如图所示。
s’
s
a b
c
a’ c’ b’ a”(b”) c”
s”
正三棱锥的三面投影图
X
YH
Z
YWO
S
A B
C
W
V
a'
s'
b'
s"
a
b
c b"
a"c"
s
X
Y
Z
作图步骤如下：
连接 s’m’并延长，
与 a’c’交于 2’，
2’
m2
在投影 ac上求出
Ⅱ 点的水平投影 2。
连接 s2，即求出
直线 SⅡ 的水平投影。
根据在直线上的
点的投影规律，求出
M点的水平投影 m。
再根据知二求三
的方法，求出 m”。
m”a’
s
b
c
正三棱锥的三面投影图
s’
a
c’ b’ a”(b”) c”
s”
m’
X
Y H
Z
YW
3、三棱锥表面上取点 1
作业时，请不要使
用 45。 辅助线作图。
作图步骤如下：
1’
1
m
过 m’作 m’1’ ∥a ’c’，
交 s’a’于 1’。
求出 Ⅰ 点的水平投
影 1。
过 1作 1m ∥ac,再
根据点在直线上的几
何条件，求出 m 。
再根据知二求三的
方法，求出 m”。（具
体步骤略 )
s
c’ b’
正三棱锥的三面投影图
s’
a b
c
a’ a”(b”) c”
s”
m’
s
(b?)
s?
a?
B
a
c?b? c?
c
s?
b C
A
S
a?
2?
2?
2
Ⅱ
3
s
(b?)
s?
a?
B
a
c?b? c?
c
s?
b C
A
S
a? Ⅲ
(3?) 3?
4.2 回转体的投影及其表面取点、线
回转体（面）的形成
工程中常见的曲面立体是 回转体,主要有圆柱、圆锥、
球、环等。回转体是一动线（直线、圆弧或其它曲线）绕
一定线（直线）回转一周形成的曲面。
O
O
顶圆
素线
赤道圆
喉圆
纬圆
底圆
母线轴线
回转面的术语
回转面用 转向轮廓
线 表示。转向轮廓线是
与曲面相切的投射线与
投影面的交点所组成的
线段。
在投影图上表示回转
体，就是把组成立体的
回转面 或 平面 表示出来，
然后判断可见性。如图
所示。
转向轮廓线
转向轮廓线
X
Z
Y
圆柱的三面投影图
V Wa’
a’
b’c’d’
c’d’
a c
d bA
A
C
D B
C
d”
c”
d”
c”
a”b”
a”b”
1、圆柱的投影
圆柱表面由 圆柱面 和 顶面、底面 所组成。圆柱面是
由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。
如图所示，圆柱的
轴线垂直于 H面，其上
下底圆为 水平面,水
平投影反映实形，其
正面和侧面投影重影
为一直线。而圆柱面
则用曲面投影的 转向
轮廓线 表示。
一个投影为圆，其余二投影
均为矩形。规定：回转体对
某投影面的 转向轮廓线,只
能在该投影面上画出，而在
其它投影面上则不再画出。
一、圆柱
X
Z
Y
W
a’
a’
b’c’d’
c’d’
a c
d bA
A
C
D B
C
d”
c”
d”
c”
a”b”
a”b”
V
a b
a’
a’
b’
b’ a”(b”)
a”(b”)
c’(d’)
c’(d’)
c
d
d’
d’
c’
c’
圆柱的投影
圆柱投影图的绘制,（ 1） 先绘出圆柱的对
称线、回转轴线。
（ 2）绘出圆柱的顶面
和底面。
（ 3）画出正面转向轮
廓线和侧面转向轮廓线。
正面转向轮廓线
侧面转向轮廓线
在圆柱表面上取点
已知圆柱表面上的点 M及 N正面投影 a’, b’, m′ 和 n′,求
它们的其余两投影。
2、圆柱表面上取点
a’ a”
a
b’ (b”)
b
X
Z
Y
图 3-11 圆锥的三面投影图
V W
a c
d bA C
B
S
a’
b’
c’d’
s’
s”
c”
d”
a”(b”)
1,圆锥的投影
圆锥表面由 圆锥面 和 底圆 组成。它是一母线绕与它相交
的轴线回转而成。
如图所示，圆锥轴
线垂直 H面,底面 为水
平面，它的水平投影
反映实形，正面和侧
面投影重影为一直线。
对于 圆锥面,要
分别画出正面和侧
面转向轮廓线。
正面转向轮廓线
侧面转向轮廓线
二、圆锥体
圆锥投影图的绘制,
s’
a’ b’
sa b
c
d
c”d”c’(d’)
s”
a’(b’)
（ 1） 先绘出圆锥的对
称线、回转轴线。
（ 2）在水平投影面上
绘出圆锥底圆，正面
投影和侧面投影积聚
为直线。
(3) 作出锥
顶的正面投
影和侧面投
影并画出正
面转向轮廓
线和侧面转
向轮廓线。
圆锥的投影 X
Z
Y
V W
a c
d bA C
B
S
a’
b’
c’d’
s’ s”
c”
d”
a”(b”)
2、圆锥表面上取点
在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一
种是辅助圆法。
方法一：素线法
过 M点及锥顶 S作
一条素线 SⅠ,先求
出素线 SⅠ 的投影,
再求出素线上的 M点。
X
Z
Y
圆锥的三面投影图
V W
a c
d bA C
B
S
a’
b’
c’d’
s’
s”
c”
d”
a”(b”)
m
m’
m”
M
已知圆锥表面的点
M的正面投影 m’,求出
M点的其它投影。
过 m’s’作圆锥表面
上的素线，延长交底
圆为 1’。
1’
1
1”
m
m”
a’(b’)
图 3-14 圆锥的投影及表面上的点
s
s”
a b
c
d
c”d”
s’
a’ b’
c’(d’)
m’
求出素线的水平投
影 s1及侧面投影 s”1”。
求出 M点的水平投
影和侧面投影。
X
Z
Y
圆锥的三面投影图
V W
a c
d b
a’
b’
c’d’
s’
s”
c”
d”
a”(b”)
A C
B
S
方法二：纬圆法（辅助圆法）
过 M点作一平行与底面
的水平辅助圆，该圆的正
面投影为过 m’且平行于
a’b’的直线 2’3’，它们的
水平投影为一直径等于
2’3’的圆,m在圆周上，
由此求出 m及 m”。
m
M
m’
m”
m’
圆锥的投影及表面上的点
s’
s
s”
a’
a
b’
b
c”d”
m
m” 以 s为中心，以 sm
为半径画圆，
已知圆锥面上 M点
的水平投影 m，求出
其 m’和 m”。
作出辅助圆的正面
投影 2’3’。
2 3
2’ 3’
求出 m’及 m”的投影。
m
m
m
n
n( )n( )
已知圆锥表面上点 M及 N
的正面投影 m′ 和 n′,求
它们的其余两投影。
在圆锥表面上定点
a’
a
(a”)
球的表面是球面。球面是一条园母线绕过圆心
且在同一平面上的轴线回转而形成的。
1,圆球的形成
球的三个投影均
为圆，其直径与球直
径相等，但三个投影
面上的圆是不同的转
向轮廓线。
2,球的投影
三、圆球
已知 M点的水
平投影，求出其它
两个投影。
1 2
1’
m’ m”
过 m作平行于 V
面的正平圆 12。
求正平圆的正面
投影。
在辅助正平圆上
求出 m’和 m”。
o’ o”
o
球的投影及表面上的点
m
R
3、球面上取点
2
3
ⅠⅡ
Ⅲ
3
12 2"
"3
"1
2
3 11
"12"
"3
2
3
′ ′
′
圆球的投影
（ 1）圆环的形成
圆环面是由一个完整的 圆 绕轴线回转一周而形成，
轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。
四、圆环
（ 2）圆环的三视图 主、左视图是极限位
置素线（图）和内、
外环分圆的投影；
俯视图是上、下的投
影。
k’
k
k’’
（ 3）圆环表面取点
m
m'
（ n'）
（ n）
本次作业
?机械制图习题集 第 20页 4-7
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