第一讲 基本概念
一、引 言
一、随机现象和事件
确定性现象
1,圆 的 面 积 2Sr ?? ；
2,自由落体运动 ；
3,水的沸点摄氏 1 0 0 度 。
必然事件
随机现象
例 1,抛掷硬币，出现正 面还是 反 面？
例 2, 车站等车人数 。
例 3,抽 样 检 验 。
随机 事 件
概概 率率 论论 是是 揭揭 示示 和和 研研 究究 自自 然然 界界 和和 人人 类类 社社
会会 中中 随随 机机 现现 象象 数数 量量 规规 律律 性性 的的 一一 门门 学学 科科 。。
与与 数数 学学 其其 他他 学学 科科 相相 比比 较较,,概概 率率 论论 有有 着着 独独
特特 的的 研研 究究 对对 象象 和和 研研 究究 方方 法法 。。
( 1 ) 不确定性
在该现象发生之前，人们无法知道将会出现那
一种结果；
随机 事件的特性
注 1：可能发生的事件的全体是确定的。
注 2：试验（观察）是可重复的。
( 2 ) 统计规律性
每一个可能结果出现的可能性的大小是确定的。
广泛的应用
经济、金融、保险；
管理决策；
生物医药；
工业（工艺方案等）；
农业（试验设计等）；
渗透到各学科，建立新的学科分支。
二、概率的统计定义
如何描述事件 A出现的可能性的大小？
大量重复试验（观察）Ｎ次，Ａ 出现
An
次
频率 —— An
N
蒲丰曾投掷硬币 4 0 4 0 次,得正面 2 0 4 8 次
皮尔逊曾投掷硬币 1 2 0 0 0 次,得正面 6 0 1 9 次； 2 4 0 0 0
次,得正面 1 2 0 1 2 次。
例子
稳定中心 —— 数 P (A )
模拟试验
概率的统计性定义
事件 A 发生的频率的稳定中心 P (A ) 称 为事件 A 发生 的
概率 。
例, 英文字母的出现频率。
注 1：频率与试验有关，但概率是该事件的客观属性。
注 2：稳定中心不是极限。
注 3,给出了一个求概率的方法。
注 4：理论依据。
( 统计 ) 概率 的性质,
1, 非负性, PA ?（）0 ；
3, 可加性, 若 A 与 B 是两个不会同时发生的事
件，以 A + B 表示 A 或 B 至少出现其一这个事
件，则 P A B P A P B? ? ?（ ） （ ） （ ）,
2, 规范性, 记 ? 为必然事件，则 1P ??（） ；
随机现象的所有可能的结果是已知的，记 ? 表示所有
可能的结果，并称为该随机现象的 样本空间,它是我
们研究的基础。不同的 样本空间 意味着不同的随机现
象。
因此，在以后的讨论中,我们通常只给出 样本空间,
而不再强调 可重复性 和 不确定性
二、事件及其运算
举例说明样本空间的描述
1,抛掷硬币,{,}?? 正面 反面
2,掷色子,{ 1,2,3,4,5,6 }??
3,向单位圆盘上掷点，考虑所落点位置,
22{ (,), 1 }x y x y? ? ? ?
样本点,事件,事件 的发生
样本点,随机现象的每个基本结果，或 ? 中的元
事件,具有某种属性的基本结果的全体，或 ? 中的子
集 。 ? 是 必 然 事 件, ? 是 不 可 能 事 件 。
事件的发生,观察到的结果如果具有事件所描述的性
质，就称该事件发生了，或点属于集合
这些是概率论学科所喜欢的术语，希望 在与随机现象
有关的场合尽量使用。
事件的运算,
事件 A 包含 B （ B 包含于 A ） ; 记作 AB ? （或
BA? ）。也就是事件 A 发生必然导致事件 B 发生。
例如, …
事件 A 与 B 相等 ；记作 A = B,表示 AB ? 并且
BA ?, 例如, …
事件 A 与 B 的 和事件 ；记作 A ∪ B,也称为 A
与 B 的 并,表示 A 与 B 至少一个发生, 例如, …
事件 A 与 B 的 积事件 ；记作 A ∩ B, ( 也记作
A B),表示事件 A 发生并且事件 B 也发生，即 A
与 B 两事件都发生, 例如, …
事件 A 与 B 的 差事件 ；记作 AB?,表示 A 发
生而 B 不发生,显然 A B A B??, 例如, …
如果 A 与 B 两事件不可能都发生，即 A ∩ B= ?,就
称 A 与 B 互不相容, 在这种情形，有时以 A + B 代 A ∪ B,
例如, …
如果事件 A 与 B 不可能都发生，并且 A 与 B 至少发
生一个，即 A ∩ B= ? 且 A ∪ B= ?,就说 B 是 A 的 逆事
件 （或 对立事件, 余事件 ）；记作 B= A ( 或 c? ) ；此时
A 也是 B 的 逆 事件, 例如, …
事件的关系与运算满足集合论中有关集合运算的一切
性质，例如
交换律,A ∪ B =B ∪ A, A B= BA ；
结合律,（ A ∪ B ）∪ C= A ∪（ B ∪ C ）,
（ AB ） C= A （ BC ）；
分配律,（ A ∪ B ）∩ C= A C ∪ BC,
（ A ∩ B ）∪ C= （ A ∪ C ）∩（ B ∪ C ）；
德莫根（ D e M org a n ）律,
? ? ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ? ?;
对于几个事件，甚至对于无限可列个事件，德莫根律
也成立,
注,与集合及集合运算作比较
由（统计）概率的三个基本性质，可
得概率的一些进一步的性质,
1,( ) 0P ?? ；
2,如果 AB ?,那么 ( ) ( )P A P B? ( 单调性 ) ；
3,01 PA??（） ；
4,如果
AB ?
,
P B A P B P A??（ ） （ ） - （ ）
。
给出 2 或 3 个随机现象的例子，说明它们
既有偶然性的一面又有必然性（规律性）
的一面。
思考题