第四讲 独立性和 Bernoulli试验
一、两个事件独立
前面我们已经看到，已知事件 B 发生，相当于提供了有关随
机试验结果的部分信息，它通常会影响我们对另一事件 A 发
生的概率大小的计算。但也经常会出现这样的情形, B 的发生
并没有改变事件 A 发生的概率，也就是
P ( A |B ) = P ( B )
这时，我们称 A 和 B 相互独立。 这是概率论中最重要的概念
之一。
例 1,口袋中有 a 只黑球,b 只白球，连摸两
次，每次一球。记 =A { 第一次摸时得黑球 },
B= { 第二次摸时得黑 球 },
试问 A 和 B 是否独立？
就两种情形加以讨论,
(1) 有放回 (2) 无放回
根据条件概率的定义，上述独立性可以写成
P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
我们注意到，上面乘积形式使用起来更方便。
特别，如果 P ( B ) =0,那么对任何事件 A,
P( A B ) = 0,因此,P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0成立。
这样,A,B 两个事件相互独立；
类似地，如果 P( B ) = 1,那么对任何事件 A,
P( A B ) = P( A )，因此,P ( A B ) = P ( A ) P ( B )，这
样,A,B 两个事件同样相互独立。
结论：,? ? 和任何事件独立。
直观上可以想象，如果 B 发生没有改变事件 A 发生的概
率，那么 cB 发生也不会改变事件 A 发生的概率。这是
因为 B 和 cB 相对于 A 来说，提供的信息是同样的。事
实上，很容易验证,如果 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ),
那么 ccP ( A B ) = P ( A ) P ( B )。
类似地,c c c cP ( A B ) = P ( A ) P ( B )。
结论：如果 A, B 相互独立，那么 A 和 cB 相互独立，
cA 和 B 相互独立,cA 和 cB 相互独立。
我们注意到，两个事件独立和两个事件不相容是
完全不同的两个概念。前者说一个事件是否发生
对另一个事件发生的概率大小没有影响；而后者
说，两个事件是不可能同时出现的。
2,多个事件两两独立和相互独立
有了两个事件的独立性,多个事件之间两两独立就
容易了,
例 2,一个均匀的正四面体，其中第一面染成红色，
第二面为白色，第三面为黑色，第四面为红白黑三
色。分别用 A,B,C 记为投一次四面体时，底面出
现红、白、黑的事件。
例, 一个家庭有两个孩子。
(1 ) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？
(2 ) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？
容易算得,
P ( A ) = 1 / 2,P ( B ) = 1 / 2,P ( C ) = 1 / 2
并且
P ( A B ) = P ( B C ) = P ( A C ) = P ( A B C ) = 1 / 4
因此
P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
P ( A C ) = P ( A ) P ( C )
P ( B C ) = P ( B ) P ( C )
即，这三个事件两两独立,
但
P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C )?
换句话说,
P ( A |B C ) P ( A )?
也就是已知,B C 同时发生的情况下,A 发生的概率
计算受到影响,A 并不和 BC 独立
现在引进一个定义。
称
A,B,C
三个事件相互独立，如果以下四个等式
成立
P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
P ( A C ) = P ( A ) P ( C )
P ( B C ) = P ( B ) P ( C )
P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C )
按此定义，上面例 2 中，
A,B,C
三个事件两两独
立,但不相互独立。
同样，我们可以定义 n 个事件相互独立。
称
1 2 n
A,A,,A? ??
相互独立，如果对任意
2 kn??,对任意 k 个事件
1 2 ki i i
A,A,,A? ??
,
1 2 k 1 2 ki i i i i i
( A A A ) ( A ) P ( A ) ( A )P P P? ? ? ? ? ? ?
事实上，我们要验证 n2 - n - 1 个等式。
结论：如果
1 2 nA,A,,A? ? ?
相 互 独 立, 那 么
1 2 n,,,? ? ?? ??
也相互独立，其中
i?
为
iA
或者 c
iA
。
假设 ( ?,F,P ) 是一个概率空间,F
1
,F
2
是两个事件
族，即 F 的子集，如果对任何
1A ?
F
1
,
2A ?
F
2
，都有
1 2 1 2( ) ( ) ( )P A A P A P A?
即
1A
,
2A
相互独立，那么称 F
1
,F
2
相互独立。
3,两个事件族相互独立
从定义很容易看出，如果
1A
,
2A
相互独立，记
A
1
= {
1A
,
1
cA }, A
2
= {
2A
,
2
cA } 。那么 A
1
,A
2
相互
独立。
我们定义一个新的概率空间如下,
3,两个事件族相互独立
1 2 1 2 1 1 2 2{,}? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ）:,
F ? F
1
? F
2
?
1 2 1{:A A A? ??
F
1
,
2A ?
F
2
}
其中
()? ?
表示由所有形如
12AA ?
的事件生成的最小
? 域。
1 2 1 2( ) ( ) ( )P A A P A P A??
称 ( ?,F,P ) 为乘积概率空间。
例
我们可以将上述定义推广到 n 个概率空间的情形。
假设 E 是一个随机试验，令 A 是一个事件，
发生的概率为
p
。现在独立重复这一试验 n 次,
每一次试验中,A 或者 cA 发生。 n 次试验之
后，会出现象 (,,,)A A A??? 或 (,,,)ccA A A ???
之类结果，共有 2 n 个。
5,重 Bernoulli试验
现在构造一个新的概率空间，令
11
{ (,,,),
ni
A? ? ? ?? ? ?
or
}
c
A
赋予每一个结果一个概率,令
12
( { (,,,) } ) ( 1 )
k n k
n
P p p? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
其中 k 为
12
(,,,)
n
? ? ????
中 A 的个数。
注意，这样定义的 P 确实为 ? 上的概率,
0
( { }) ( 1 ) 1
n
k n k
k
n
P p p
k
?
?
?
? ? ?
??
? ? ?
??
??
??
我们称
(,)P?
为 n 重 Be rnou l l i 试验概率模型，有时
用 nE ? 来表示，是以后讨论 Be rnou l l i 分布的基
础。
上述公式中
iB
应该是整个基本结果的分类,而
() iPB 比较容易计算；在给定 iB 时,A 是否发
生，在什么条件下会发生也比较清楚。
我们希望通过实例来体会如何应用该定理。
一、两个事件独立
前面我们已经看到，已知事件 B 发生，相当于提供了有关随
机试验结果的部分信息，它通常会影响我们对另一事件 A 发
生的概率大小的计算。但也经常会出现这样的情形, B 的发生
并没有改变事件 A 发生的概率，也就是
P ( A |B ) = P ( B )
这时，我们称 A 和 B 相互独立。 这是概率论中最重要的概念
之一。
例 1,口袋中有 a 只黑球,b 只白球，连摸两
次，每次一球。记 =A { 第一次摸时得黑球 },
B= { 第二次摸时得黑 球 },
试问 A 和 B 是否独立？
就两种情形加以讨论,
(1) 有放回 (2) 无放回
根据条件概率的定义，上述独立性可以写成
P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
我们注意到，上面乘积形式使用起来更方便。
特别，如果 P ( B ) =0,那么对任何事件 A,
P( A B ) = 0,因此,P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0成立。
这样,A,B 两个事件相互独立；
类似地，如果 P( B ) = 1,那么对任何事件 A,
P( A B ) = P( A )，因此,P ( A B ) = P ( A ) P ( B )，这
样,A,B 两个事件同样相互独立。
结论：,? ? 和任何事件独立。
直观上可以想象，如果 B 发生没有改变事件 A 发生的概
率，那么 cB 发生也不会改变事件 A 发生的概率。这是
因为 B 和 cB 相对于 A 来说，提供的信息是同样的。事
实上，很容易验证,如果 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ),
那么 ccP ( A B ) = P ( A ) P ( B )。
类似地,c c c cP ( A B ) = P ( A ) P ( B )。
结论：如果 A, B 相互独立，那么 A 和 cB 相互独立，
cA 和 B 相互独立,cA 和 cB 相互独立。
我们注意到，两个事件独立和两个事件不相容是
完全不同的两个概念。前者说一个事件是否发生
对另一个事件发生的概率大小没有影响；而后者
说，两个事件是不可能同时出现的。
2,多个事件两两独立和相互独立
有了两个事件的独立性,多个事件之间两两独立就
容易了,
例 2,一个均匀的正四面体，其中第一面染成红色，
第二面为白色，第三面为黑色，第四面为红白黑三
色。分别用 A,B,C 记为投一次四面体时，底面出
现红、白、黑的事件。
例, 一个家庭有两个孩子。
(1 ) 已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？
(2 ) 已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？
容易算得,
P ( A ) = 1 / 2,P ( B ) = 1 / 2,P ( C ) = 1 / 2
并且
P ( A B ) = P ( B C ) = P ( A C ) = P ( A B C ) = 1 / 4
因此
P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
P ( A C ) = P ( A ) P ( C )
P ( B C ) = P ( B ) P ( C )
即，这三个事件两两独立,
但
P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C )?
换句话说,
P ( A |B C ) P ( A )?
也就是已知,B C 同时发生的情况下,A 发生的概率
计算受到影响,A 并不和 BC 独立
现在引进一个定义。
称
A,B,C
三个事件相互独立，如果以下四个等式
成立
P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
P ( A C ) = P ( A ) P ( C )
P ( B C ) = P ( B ) P ( C )
P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C )
按此定义，上面例 2 中，
A,B,C
三个事件两两独
立,但不相互独立。
同样，我们可以定义 n 个事件相互独立。
称
1 2 n
A,A,,A? ??
相互独立，如果对任意
2 kn??,对任意 k 个事件
1 2 ki i i
A,A,,A? ??
,
1 2 k 1 2 ki i i i i i
( A A A ) ( A ) P ( A ) ( A )P P P? ? ? ? ? ? ?
事实上，我们要验证 n2 - n - 1 个等式。
结论：如果
1 2 nA,A,,A? ? ?
相 互 独 立, 那 么
1 2 n,,,? ? ?? ??
也相互独立，其中
i?
为
iA
或者 c
iA
。
假设 ( ?,F,P ) 是一个概率空间,F
1
,F
2
是两个事件
族，即 F 的子集，如果对任何
1A ?
F
1
,
2A ?
F
2
，都有
1 2 1 2( ) ( ) ( )P A A P A P A?
即
1A
,
2A
相互独立，那么称 F
1
,F
2
相互独立。
3,两个事件族相互独立
从定义很容易看出，如果
1A
,
2A
相互独立，记
A
1
= {
1A
,
1
cA }, A
2
= {
2A
,
2
cA } 。那么 A
1
,A
2
相互
独立。
我们定义一个新的概率空间如下,
3,两个事件族相互独立
1 2 1 2 1 1 2 2{,}? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ）:,
F ? F
1
? F
2
?
1 2 1{:A A A? ??
F
1
,
2A ?
F
2
}
其中
()? ?
表示由所有形如
12AA ?
的事件生成的最小
? 域。
1 2 1 2( ) ( ) ( )P A A P A P A??
称 ( ?,F,P ) 为乘积概率空间。
例
我们可以将上述定义推广到 n 个概率空间的情形。
假设 E 是一个随机试验，令 A 是一个事件，
发生的概率为
p
。现在独立重复这一试验 n 次,
每一次试验中,A 或者 cA 发生。 n 次试验之
后，会出现象 (,,,)A A A??? 或 (,,,)ccA A A ???
之类结果，共有 2 n 个。
5,重 Bernoulli试验
现在构造一个新的概率空间，令
11
{ (,,,),
ni
A? ? ? ?? ? ?
or
}
c
A
赋予每一个结果一个概率,令
12
( { (,,,) } ) ( 1 )
k n k
n
P p p? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
其中 k 为
12
(,,,)
n
? ? ????
中 A 的个数。
注意，这样定义的 P 确实为 ? 上的概率,
0
( { }) ( 1 ) 1
n
k n k
k
n
P p p
k
?
?
?
? ? ?
??
? ? ?
??
??
??
我们称
(,)P?
为 n 重 Be rnou l l i 试验概率模型，有时
用 nE ? 来表示，是以后讨论 Be rnou l l i 分布的基
础。
上述公式中
iB
应该是整个基本结果的分类,而
() iPB 比较容易计算；在给定 iB 时,A 是否发
生，在什么条件下会发生也比较清楚。
我们希望通过实例来体会如何应用该定理。
