第五讲 随机变量及其分布
（一）
在前一章，我们学习了随机试验和随机事件概率大
小的计算。随机现象大量存在，基本结果的描述也
千变万化，
如
{正面, 反面 }； {男孩, 女孩 }；
{红球，白球，黑球 }； {1,2,3,4,5,6}.
但从概率的定义和前面的实例来看，计算概率
时我们并不关心具体基本结果的描述，而更多
的是一种数量关系。
另外，在许多随机试验中，除试验结果之外，往往
有另一个量与每个结果相关联，如赌博时投掷硬币，
人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了
多少钱； 再如，摸球中奖活动，人们摸中红球、白
球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起
来。 这样，就自然建立了一个对应关系。
实际上，给随机试验的每个结果都赋予一个数值，
在样本空间 和实数值建立一种对应关系，是我们
应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验
规律的基础。
?
随机变量概念的提出和研究在概率论史经历了一
个相当长的过程，并引起过不少争议。让我们从
离散型随机变量开始。
1,离散型随机变量
( 1 ) X ( 正面 ) = 1,X ( 反面 ) = 0 ;
( 2 ) X ( 红球 ) = 5,X ( 白球 ) = 2, X ( 黑球 ) = 1 ;
(3 ) 考虑向一单位园圃上投掷飞标，落点位置所组成的
样本空间
22
{ (,), 1 }x y x y? ? ? ?,假如需要根据落点
是否靠近圆心评分，定义如下,
当
22
1 / 8xy ?? 时,获 10 分； 当
22
1 / 8 1 / 4xy? ? ?
时，获 8 分； 当
22
1 / 4 1 / 2xy? ? ?
时，获 6 分； 其余
情形，获 5 分。
概括起来，所谓离散型随机变量，就是样本空间
到实数值上的一个对应关系，并且 最多取可数个
不同的值 。
具体地说，用,XR ?? 表示对应关系，所有可能的
取值记为 12{,,,,}nx x x,
当然，每个基本结果的出现具有随机性，因此 X 取每
个值也具有随机性（严格来讲，要求 X 取每个值构成
事件，即,{, ( ) }nXxww = F ） 。 当给定一个概率
空间 ( ?,F,P ) 时,我们可以计算 X 取每个值的概率大
小。,
如,
(1 ) 假 设 硬 币 是 均 匀 的, 那 么 ( 1 ) 1 / 2PX ??,
( 0) 1 / 2PX ?? ；
假设硬币不均匀，出现正面的概率为 3 / 5,出现反面的
概率为 2 /5,那么 ( 1 ) 3 / 5PX ??, ( 0 ) 2 / 5PX ?? ；
( 2 ) 假设摸到每个球的可能性相同，那么
( 5 ) 1 / 3PX ??, ( 2) 1 / 3PX ??,
( 1 ) 1 / 3PX ?? ；
(3 ) 假设随意投掷飞标，即落在每个点是等可能
的，那么
( 10 ) 1 / 64,( 8 ) 3 / 64,
( 6 ) 3 / 16,( 5 ) 3 / 4.
P X P X
P X P X
? ? ? ?
? ? ? ?
一般地,
(, ( ) )
ii
p P X x????
并称
12
12
,,,,
,,,,
n
n
x x x
p p p
??
??
??
为
X
的 分布列 。
1,
1
1
i
i
p
?
?
??
从前一章有关概率的性质可得：
2,0
i
p ?
对任意集合 B, 我们可由下式来计算概率
:
(, ( ) )
i
i
i x B
P X B p??
?
?? ?
特别地，对任何 x?? ? ? ?,
:
( ) ( )
i
i
i x x
F x P X x p??
?
? ? ? ?,()
称 ()Fx 为 X 的 分布函数
不难看出 ()Fx 具有下列性质,
2, ()Fx 单调增加
1, 0 ( ) 1Fx??, l i m ( ) 0
x
Fx
? ? ?
?, l i m ( ) 1
x
Fx
?? ?
?
4,()Fx 是一个阶梯型的函数，在每个 ix 处
有跳跃，跳跃高度恰好为 ip
3, ()Fx 左极限存在，右连续
注：对于离散型随机变量，我们更多地使用分
布列，因为它常常更简洁、更具有特色。
以上我们根据具体概率模型,构造一个随机变
量，并得到该随机变量的分布列。 但实际上，
在今后大量研究中，我们并不指出具体的随机
试验，而直接指明随机变量和其分布；有时甚
至不指明随机变量而仅仅给出分布，直接研究
分布的性质
这样，我们称
12
12
,,,,
,,,,
n
n
x x x
p p p
??
??
??
为 分布列,如果它满足
1,
1
1
i
i
p
?
?
?? 2,
0
i
p ?
有时，为了明确起见，我们假定每个 0ip ?,
或者说，我们省略 0ip ? 的列
离散随机变量的例子：
(1),常数随机变量
最简单的随机变量是常数，它在整个样本空间上
仅取一个值
如
Xc ?
这时
( ) 1P X c??
(2),两点分布
一个随机变量 X 仅取两个值，如 0,1 并且
( 1 ),( 0) 1 -P X p P X p? ? ? ?
1 0
1 -pp
??
??
??
(3),Bernoulli 二项分布
回忆前面学过的 n 重 - B er n o u ll i 试验。对每个
样本点 ?, 用 X 表示 ? 中出现 1 的次数，
那么 X 可取 0,1,2,,n, 并且
(, ( ) ) ( 1 )k n k
n
P X k p p
k
?? ?
??
? ? ???
??
,(,; )b k n p?
二项分布是概率论中最重要的分布之一，也成为研究
其他分布的基础。 它有下列重要性质：
1,注意到每个试验只有两个结果, 成功和失败，既
然 X 表示成功的次数，那么 nX ? 就是失败的次
数，也同样取值为 0,1,2,,n 。令 Y n X??,
那么 Y 也服从二项分布。 由于二项分布应用广泛，人们已经准备了二项分
布表，以备查。 但表只限于 0, 5p ?,如果
0, 5p ?,那么 1 0.5p?? 我们考虑失败次数概率
(,; ) ( -,;1 - )b k n p b n k n p? 即可。
固定,np, 既然
(,; ) ( 1 )
1
( 1,; ) ( 1 )
b k n p n p k
b k n p k p
??
??
??
2,单调性与最可能成功次数
因此，当 ( 1 )k n p?? 时,(,; )b k n p 单调增加；
当 ( 1 )k n p?? 时,(,; )b k n p 单调减少。
如果 ( 1 )np? 不是整数，那么最可能成功次数为
[ ( 1 ) ]np? 。
进一步，如果 ( 1 )np? 是 整 数, 那 么
(,; ) ( - 1,; )b k n p b k n p?,并且达到最大值，我们
称 ( 1 ),( 1 ) - 1n p n p?? 为最可能成功次数
3,Poisson定理
如果 nnp ??, 那么
(,; )
!
k
n
e
b k n p
k
?
?
?
?
证：
该定理可用于近似计算,当 n 很大,np ?? 不
太大时,
(,; )
!
ke
b k n p
k
? ??
?
例, 某人每次射击时击中目标的概率为 0.001，射击
5000次，求击中两弹或两弹以上的概率,
解,
(4),Poisson分布
( ),0,1,2,
!
k
P X k e k
k
? ??? ? ?
如果一个随机变量 X 取非负整数 0,1,2,，并
且具有下列分布
那么，我们称 X 为 P o is s o n 随机变量或 称 X 服从
P o is s o n 分布，其中 ? 为其参数。
Poisson分布同样是一个重要的分布, 有着广泛的应
用, 它也是 Poisson过程的基础 。 今后, 将介绍更多
背景知识 。
例, 通过某交叉路口的汽车流可看成普阿松过程，
若在一分钟内没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2分
钟内有多于一辆汽车通过的概率,
解：
(5),几何分布
考虑一个随机试验 E 它只有两个结果，如成功和失
败，概率为 p,1 p? 。 现将试验独立重复进行，直
至出现成功为止。
用 X 表示所需的试验次数。 显然,X 只取正整数
1,2,3,。 另外,X 取每个值的概率为
1( ) ( 1 ) kP X k p p ?? ? ?
几何分布具有一个很有趣的性质，即 无记忆性, 即
使前 m 次试验都已失败，但直到成功所需的试验次
数 X 仍为几何分布。
(|P X k? 前 m 次试验都已失败 )
-1( 1 - ) kpp?
证：
(6),负二项分布
继续上面的例子,给定正整数 r,用 rX 表示首次获
得 r 次 成 功 所 需 的 试 验 次 数 。 那么 rX 取值
,1,2,r r r??, 并且
11( ) ( 1 )
1
kkP X k p p
r
????? ? ?
?? ?
??
(7),超几何分布
考虑 产品抽检 问题。 假定 N 件产品中有 M 件
次品，现在随意不放回抽检 n 件，用 X 表示其
中所含次品的个数。 那么
()
M n M
k n k
P X k
n
k
?? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ?
??
??
??
??
0,1,2,,m i n (,)k n M?
既然
m in (,)
0
( ) 1
nM
k
P X k
?
???
我们实际上证明了
0
n
k
M n M N
k n k n?
?? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ??
若,nk 不变,N,/M N p?,则
( 1 )
k n k
M n M
nk n k
pp
n k
k
?
?? ? ? ?
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? ??? ? ? ?
????
?? ??
??
??
当 N 很大时，超几何分布可以用二项分布来近似计
算 （不放回抽样可用放回抽样近似）
（一）
在前一章，我们学习了随机试验和随机事件概率大
小的计算。随机现象大量存在，基本结果的描述也
千变万化，
如
{正面, 反面 }； {男孩, 女孩 }；
{红球，白球，黑球 }； {1,2,3,4,5,6}.
但从概率的定义和前面的实例来看，计算概率
时我们并不关心具体基本结果的描述，而更多
的是一种数量关系。
另外，在许多随机试验中，除试验结果之外，往往
有另一个量与每个结果相关联，如赌博时投掷硬币，
人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了
多少钱； 再如，摸球中奖活动，人们摸中红球、白
球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起
来。 这样，就自然建立了一个对应关系。
实际上，给随机试验的每个结果都赋予一个数值，
在样本空间 和实数值建立一种对应关系，是我们
应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验
规律的基础。
?
随机变量概念的提出和研究在概率论史经历了一
个相当长的过程，并引起过不少争议。让我们从
离散型随机变量开始。
1,离散型随机变量
( 1 ) X ( 正面 ) = 1,X ( 反面 ) = 0 ;
( 2 ) X ( 红球 ) = 5,X ( 白球 ) = 2, X ( 黑球 ) = 1 ;
(3 ) 考虑向一单位园圃上投掷飞标，落点位置所组成的
样本空间
22
{ (,), 1 }x y x y? ? ? ?,假如需要根据落点
是否靠近圆心评分，定义如下,
当
22
1 / 8xy ?? 时,获 10 分； 当
22
1 / 8 1 / 4xy? ? ?
时，获 8 分； 当
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时，获 6 分； 其余
情形，获 5 分。
概括起来，所谓离散型随机变量，就是样本空间
到实数值上的一个对应关系，并且 最多取可数个
不同的值 。
具体地说，用,XR ?? 表示对应关系，所有可能的
取值记为 12{,,,,}nx x x,
当然，每个基本结果的出现具有随机性，因此 X 取每
个值也具有随机性（严格来讲，要求 X 取每个值构成
事件，即,{, ( ) }nXxww = F ） 。 当给定一个概率
空间 ( ?,F,P ) 时,我们可以计算 X 取每个值的概率大
小。,
如,
(1 ) 假 设 硬 币 是 均 匀 的, 那 么 ( 1 ) 1 / 2PX ??,
( 0) 1 / 2PX ?? ；
假设硬币不均匀，出现正面的概率为 3 / 5,出现反面的
概率为 2 /5,那么 ( 1 ) 3 / 5PX ??, ( 0 ) 2 / 5PX ?? ；
( 2 ) 假设摸到每个球的可能性相同，那么
( 5 ) 1 / 3PX ??, ( 2) 1 / 3PX ??,
( 1 ) 1 / 3PX ?? ；
(3 ) 假设随意投掷飞标，即落在每个点是等可能
的，那么
( 10 ) 1 / 64,( 8 ) 3 / 64,
( 6 ) 3 / 16,( 5 ) 3 / 4.
P X P X
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特别地，对任何 x?? ? ? ?,
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称 ()Fx 为 X 的 分布函数
不难看出 ()Fx 具有下列性质,
2, ()Fx 单调增加
1, 0 ( ) 1Fx??, l i m ( ) 0
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?
4,()Fx 是一个阶梯型的函数，在每个 ix 处
有跳跃，跳跃高度恰好为 ip
3, ()Fx 左极限存在，右连续
注：对于离散型随机变量，我们更多地使用分
布列，因为它常常更简洁、更具有特色。
以上我们根据具体概率模型,构造一个随机变
量，并得到该随机变量的分布列。 但实际上，
在今后大量研究中，我们并不指出具体的随机
试验，而直接指明随机变量和其分布；有时甚
至不指明随机变量而仅仅给出分布，直接研究
分布的性质
这样，我们称
12
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有时，为了明确起见，我们假定每个 0ip ?,
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离散随机变量的例子：
(1),常数随机变量
最简单的随机变量是常数，它在整个样本空间上
仅取一个值
如
Xc ?
这时
( ) 1P X c??
(2),两点分布
一个随机变量 X 仅取两个值，如 0,1 并且
( 1 ),( 0) 1 -P X p P X p? ? ? ?
1 0
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(3),Bernoulli 二项分布
回忆前面学过的 n 重 - B er n o u ll i 试验。对每个
样本点 ?, 用 X 表示 ? 中出现 1 的次数，
那么 X 可取 0,1,2,,n, 并且
(, ( ) ) ( 1 )k n k
n
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二项分布是概率论中最重要的分布之一，也成为研究
其他分布的基础。 它有下列重要性质：
1,注意到每个试验只有两个结果, 成功和失败，既
然 X 表示成功的次数，那么 nX ? 就是失败的次
数，也同样取值为 0,1,2,,n 。令 Y n X??,
那么 Y 也服从二项分布。 由于二项分布应用广泛，人们已经准备了二项分
布表，以备查。 但表只限于 0, 5p ?,如果
0, 5p ?,那么 1 0.5p?? 我们考虑失败次数概率
(,; ) ( -,;1 - )b k n p b n k n p? 即可。
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(,; ) ( 1 )
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2,单调性与最可能成功次数
因此，当 ( 1 )k n p?? 时,(,; )b k n p 单调增加；
当 ( 1 )k n p?? 时,(,; )b k n p 单调减少。
如果 ( 1 )np? 不是整数，那么最可能成功次数为
[ ( 1 ) ]np? 。
进一步，如果 ( 1 )np? 是 整 数, 那 么
(,; ) ( - 1,; )b k n p b k n p?,并且达到最大值，我们
称 ( 1 ),( 1 ) - 1n p n p?? 为最可能成功次数
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如果一个随机变量 X 取非负整数 0,1,2,，并
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那么，我们称 X 为 P o is s o n 随机变量或 称 X 服从
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Poisson分布同样是一个重要的分布, 有着广泛的应
用, 它也是 Poisson过程的基础 。 今后, 将介绍更多
背景知识 。
例, 通过某交叉路口的汽车流可看成普阿松过程，
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考虑一个随机试验 E 它只有两个结果，如成功和失
败，概率为 p,1 p? 。 现将试验独立重复进行，直
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用 X 表示所需的试验次数。 显然,X 只取正整数
1,2,3,。 另外,X 取每个值的概率为
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几何分布具有一个很有趣的性质，即 无记忆性, 即
使前 m 次试验都已失败，但直到成功所需的试验次
数 X 仍为几何分布。
(|P X k? 前 m 次试验都已失败 )
-1( 1 - ) kpp?
证：
(6),负二项分布
继续上面的例子,给定正整数 r,用 rX 表示首次获
得 r 次 成 功 所 需 的 试 验 次 数 。 那么 rX 取值
,1,2,r r r??, 并且
11( ) ( 1 )
1
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(7),超几何分布
考虑 产品抽检 问题。 假定 N 件产品中有 M 件
次品，现在随意不放回抽检 n 件，用 X 表示其
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