第二讲 古典概率模型，几何概率模型
在前一讲中,我们介绍了有关随机现象的
一些基本概念，并说明了概率的含义和统计计算
方法。 回忆一下,代表随机现象的样本空间，
A为所关心或感兴趣的事件,P(A)为其发生的概
率大小。
在本讲,我们将介绍两个简单，但非常有
用的概率模型。
一,古典概率模型
模型特点,
1,只有有限多个基本结果,
12{,,,}n? ? ?? ? ? ? ?
2,每个结果出现的可能性都相同,
1( { } ) ( { } )nPP ?? ? ? ? ? ?
根据规范性,我们推出
1
1
( { } ) ( { } )
n
PP
n
?? ? ? ? ? ? ?
并且对任何事件 A,
||
()
A
PA
n
?
其中,||A 表示 A 所包含的基本结果的个数。
1,( ) 0P ??, 1P ??（） ( 规范性 ) ；
2,01 PA?? （） ( 非负性 ) ；
3,如果 A, B 不相交，那么 P A B P A P B? ? ?（ ） （ ） （ ） ( 可加性 ) ；
4,如果 AB ?,那么 ( ) ( )P A P B? ( 单调性 ) 。
容易知道 P ( A ) 的有如下基本性质,
模型尽管看上去很简单，但却有着广泛的应
用，并富有很强的趣味性。一旦确定可以 用古
典概率模型来描述，问题的关键在于计算 基本
结果的总数 n 和 A 所包含的基本结果个数。这需
要一些技巧和方法，我们希望通过例子来说
明。
1,有 n 个球,N 个格子 ()nN ?, 球和格子都是可以区
分的，每个球落在各个格子内的概率相同。求
(1) 指定的 n 个格子中各有一球的概率？
(2) 有 n 个格子中各有一球的概率？
2,口袋中有 a 只白球,b 只黑球，现随机地一只一只
摸 ( 不放回 ),求第 k 次时摸得白球的概率？
3,某人在口袋中放着 两盒牙签，每盒 n 根，使用时随
机取一盒，并从中随机取一根。求当他发现取出的一
盒已经用完时，另一盒恰好有 m 根牙签的概率？
注,对于上述离散概率模型，计算 事件概率的原理很
简单，只要计算样本空间所包含的基本结果的总数和事
件所包含的基本结果的个数。但这两者的计算并不容
易，需要用到组合和排列的知识，有时技巧性也很强，
需要多练习。
二、几何概率模型
在前面我们介绍了古典概率模型，也称离散概率模型，
一个特点就是只有有限多个基本结果，每个事件所包含
的结果个数也是有限的。
下面我们将讨论另一种模型，它含有不可数多个基本
结果,如
1,向单位圆上任意掷一点，落点的位置
2,从 [0, 1] 中任意取一个数
这时,样本空间中基本结果都是不可数的。
1,
22{ (,), 1 }x y x y? ? ? ?
2,
{, 0 1 }xx? ? ? ?
尽管每个点出现仍是等可能的，但可能性是 0 。
因此，我们需要选择另一种方式来刻画该随机现象的
规律。 例如,
1,落点在半径为 1/ 2 的园内的可能性为多少？
2,所取的数比 1/ 3 大的可能性为多少？
记 A 为我们所关心的事件,( )?PA ?
受离散情形的启发,我们可以认为
( ) ( { } )
xA
P A P x
?
? ?
但一个基本的数学问题出现了：这是一个不可数项和，
同时每个和项为 0 。
这时,我们定义 ()PA 为 A 的面积与单位圆面积的比
率。
对一般的 A,我们怎么定义 ()PA 呢？这里，我们需要考虑下
列问题,
(1 ) A 形状
(2 ) A 的位置
(3 ) A 的大小
定义：当 A 可求面积时，定义
||()
||
A
PA ?
?
我们不考虑不可求面积的 A 。 注意,这样的 A 确实存在。
将上述概括起来,假设 ? 是 dR, 1d ? 上的一个具有
正测度（即长度，面 积，或体积） 的区域,F 为
Bore l 域，当 A ? F 时,定义
||
()
||
A
PA ?
?
这样我们得到几何概率模型 ( ?,F,P ),
根据实分析我们可以获得有关 P 的一些基本性质（当
运算有意义时）,
1.
( ) 0P ??
,1P ??（） ( 规范性 ) ；
2,01 PA?? （） ( 非负性 ) ；
3,如果 A, B 不相交，那么 P A B P A P B? ? ?（ ） （ ） （ ）
( 可加性 ) ；
4,如果 AB?,那么 ( ) ( )P A P B? ( 单调性 ) 。
例
1,约会问题, 两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到
者等候另一人 20 分钟，过时离去, 求两人会面的概
率,
注：蒲丰投针问题在概率史上非常著名。既然可以通
过反复试验和计数的方法来估计概率大小
p
，那么我
们得
21
ap
? ?
这给出了计算圆周率的另一种方法。
2,蒲丰投针, 平面上画很多平行线，间距为 a, 向此平
面投掷长为 l ( l < a ) 的针,求此针与任一平行线相交的
概率,
以上我们根据实际 问题的特点给出了两个常见的概率
模型。一般说来,建立概率模型是我们研究随机现象
的基础，但是建立 一个恰当的模型需要大量的背景知
识和实际经验，因此,我们将不学习如何建立模型。
本课程的重点是在 给定概率模型的前提下，学习如何
分析模型的性质和 特点，如何由简单事件的概率推算
出较为复杂事件的 概率，学习如何应用数学方法处理
模型的理论和技巧。
一、概率的公理化定义
模型特点,
1,只有有限多个基本结果,
12{,,,}n? ? ?? ? ? ? ?
2,每个结果出现的可能性都相同,
1( { } ) ( { } )nPP ?? ? ? ? ? ?
1,定义,概率空间 ( ?,F,P ) 的三要素 - - - 样本空间 ? 所
关心的事件类 F,每个事件发生的概率大小 P 。
F 满足以下条件,( σ - 代数或 σ - 域 )
F 1,? ∈ F ；
F 2,若 A ∈ F,则 A ∈ F ；
F 3,若
1,,,nAA
∈ F,则
1
n
n
A
?
?
∈ F,
?, 样本点 ω 的全体,
P, F ? [0,1 ] 满足以下条件 ( 公理 ),
P 1,（ 非负性 ）对任一 A ? F,P (A ) ≥ 0;
P 2,（ 规范性 ） ( ) 1P ?? ;
P 3,（ 可列可加性 ）若
1,,,nAA
是 F 中两两互不
相容的事件，则
11
( ) ( )
nn
nn
P A P A
??
??
???
,
用测度论的话说，概率是定义在 σ - 代数上的规范化的
测度,
三元体 ( ?,F,)P 就构成一个 概率空间 (pr oba bi l i t y
s pa c e )
为说明这三要素，我们可分析一下离散概率模型和几
何概率模型。
2,性质
在前面我们已经给 出过一些概率性质，但或多或少都
与具体的概率定义 有关，这里我们仅从概率空间定义
出发，给出一些基本性质。值得注意的是,
有限可加性,
11
( ) ( )
nn
ii
ii
P A P A
??
???
多还少补原理,
1
11
1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( 1 ) ( )
n
n
i i i j
i
i i j n
n
n
i j k i
i j k n i
P A P A P A A
P A A A P A
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
??
?
例, 匹配问题
某班有 n 个士兵，各有一支枪。这些枪外形完全一样，
现紧急集合，每人随机取一支枪，求至少有一人拿对
自己枪的概率？
概率的连续性定理
我们知道概率 P 实际上是事件域到 [0,1 ] 上的一个函数，
与普通函数类似，也可以定义极限。具体地说，给定一
概率空间 ( ?,F,P ),,假设
12
,,AA ???
是一列单调增加
的事件，即
12 n
A A A? ? ? ? ? ? ? ? ?
令
1
n
n
AA
?
?
?
，称 A 为
n
A
的极限。 由定义可以看出,A
仍是一个事件，其概率大小为
( ) l im ( )
n
n
P A P A
??
?
证明,
类似地，假设
12,,AA ???
是一列单调减少的事件，即
12 nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ?
令
1
n
n
AA
?
?
?
，称 A 为
nA
的极限。 A 仍是一个事件，
其概率大小为
( ) l im ( )
n
n
P A P A
??
?
例, 独立地投一枚均匀硬币无穷多次，证明一次正面
都没有出现正面的可能性为 0 。
证明,令
n
A
表示前 n 次投掷中至少出现一次正面，
那么，
1nn
AA
?
?
，记
1
n
n
AA
?
?
?
表示正面一定会出
现。
由概率的连续性
1
( ) l im ( ) l im [ 1 ( ) ] 1
2
n
n
nn
P A P A
? ? ? ?
? ? ? ?
在前一讲中,我们介绍了有关随机现象的
一些基本概念，并说明了概率的含义和统计计算
方法。 回忆一下,代表随机现象的样本空间，
A为所关心或感兴趣的事件,P(A)为其发生的概
率大小。
在本讲,我们将介绍两个简单，但非常有
用的概率模型。
一,古典概率模型
模型特点,
1,只有有限多个基本结果,
12{,,,}n? ? ?? ? ? ? ?
2,每个结果出现的可能性都相同,
1( { } ) ( { } )nPP ?? ? ? ? ? ?
根据规范性,我们推出
1
1
( { } ) ( { } )
n
PP
n
?? ? ? ? ? ? ?
并且对任何事件 A,
||
()
A
PA
n
?
其中,||A 表示 A 所包含的基本结果的个数。
1,( ) 0P ??, 1P ??（） ( 规范性 ) ；
2,01 PA?? （） ( 非负性 ) ；
3,如果 A, B 不相交，那么 P A B P A P B? ? ?（ ） （ ） （ ） ( 可加性 ) ；
4,如果 AB ?,那么 ( ) ( )P A P B? ( 单调性 ) 。
容易知道 P ( A ) 的有如下基本性质,
模型尽管看上去很简单，但却有着广泛的应
用，并富有很强的趣味性。一旦确定可以 用古
典概率模型来描述，问题的关键在于计算 基本
结果的总数 n 和 A 所包含的基本结果个数。这需
要一些技巧和方法，我们希望通过例子来说
明。
1,有 n 个球,N 个格子 ()nN ?, 球和格子都是可以区
分的，每个球落在各个格子内的概率相同。求
(1) 指定的 n 个格子中各有一球的概率？
(2) 有 n 个格子中各有一球的概率？
2,口袋中有 a 只白球,b 只黑球，现随机地一只一只
摸 ( 不放回 ),求第 k 次时摸得白球的概率？
3,某人在口袋中放着 两盒牙签，每盒 n 根，使用时随
机取一盒，并从中随机取一根。求当他发现取出的一
盒已经用完时，另一盒恰好有 m 根牙签的概率？
注,对于上述离散概率模型，计算 事件概率的原理很
简单，只要计算样本空间所包含的基本结果的总数和事
件所包含的基本结果的个数。但这两者的计算并不容
易，需要用到组合和排列的知识，有时技巧性也很强，
需要多练习。
二、几何概率模型
在前面我们介绍了古典概率模型，也称离散概率模型，
一个特点就是只有有限多个基本结果，每个事件所包含
的结果个数也是有限的。
下面我们将讨论另一种模型，它含有不可数多个基本
结果,如
1,向单位圆上任意掷一点，落点的位置
2,从 [0, 1] 中任意取一个数
这时,样本空间中基本结果都是不可数的。
1,
22{ (,), 1 }x y x y? ? ? ?
2,
{, 0 1 }xx? ? ? ?
尽管每个点出现仍是等可能的，但可能性是 0 。
因此，我们需要选择另一种方式来刻画该随机现象的
规律。 例如,
1,落点在半径为 1/ 2 的园内的可能性为多少？
2,所取的数比 1/ 3 大的可能性为多少？
记 A 为我们所关心的事件,( )?PA ?
受离散情形的启发,我们可以认为
( ) ( { } )
xA
P A P x
?
? ?
但一个基本的数学问题出现了：这是一个不可数项和，
同时每个和项为 0 。
这时,我们定义 ()PA 为 A 的面积与单位圆面积的比
率。
对一般的 A,我们怎么定义 ()PA 呢？这里，我们需要考虑下
列问题,
(1 ) A 形状
(2 ) A 的位置
(3 ) A 的大小
定义：当 A 可求面积时，定义
||()
||
A
PA ?
?
我们不考虑不可求面积的 A 。 注意,这样的 A 确实存在。
将上述概括起来,假设 ? 是 dR, 1d ? 上的一个具有
正测度（即长度，面 积，或体积） 的区域,F 为
Bore l 域，当 A ? F 时,定义
||
()
||
A
PA ?
?
这样我们得到几何概率模型 ( ?,F,P ),
根据实分析我们可以获得有关 P 的一些基本性质（当
运算有意义时）,
1.
( ) 0P ??
,1P ??（） ( 规范性 ) ；
2,01 PA?? （） ( 非负性 ) ；
3,如果 A, B 不相交，那么 P A B P A P B? ? ?（ ） （ ） （ ）
( 可加性 ) ；
4,如果 AB?,那么 ( ) ( )P A P B? ( 单调性 ) 。
例
1,约会问题, 两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到
者等候另一人 20 分钟，过时离去, 求两人会面的概
率,
注：蒲丰投针问题在概率史上非常著名。既然可以通
过反复试验和计数的方法来估计概率大小
p
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们得
21
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这给出了计算圆周率的另一种方法。
2,蒲丰投针, 平面上画很多平行线，间距为 a, 向此平
面投掷长为 l ( l < a ) 的针,求此针与任一平行线相交的
概率,
以上我们根据实际 问题的特点给出了两个常见的概率
模型。一般说来,建立概率模型是我们研究随机现象
的基础，但是建立 一个恰当的模型需要大量的背景知
识和实际经验，因此,我们将不学习如何建立模型。
本课程的重点是在 给定概率模型的前提下，学习如何
分析模型的性质和 特点，如何由简单事件的概率推算
出较为复杂事件的 概率，学习如何应用数学方法处理
模型的理论和技巧。
一、概率的公理化定义
模型特点,
1,只有有限多个基本结果,
12{,,,}n? ? ?? ? ? ? ?
2,每个结果出现的可能性都相同,
1( { } ) ( { } )nPP ?? ? ? ? ? ?
1,定义,概率空间 ( ?,F,P ) 的三要素 - - - 样本空间 ? 所
关心的事件类 F,每个事件发生的概率大小 P 。
F 满足以下条件,( σ - 代数或 σ - 域 )
F 1,? ∈ F ；
F 2,若 A ∈ F,则 A ∈ F ；
F 3,若
1,,,nAA
∈ F,则
1
n
n
A
?
?
∈ F,
?, 样本点 ω 的全体,
P, F ? [0,1 ] 满足以下条件 ( 公理 ),
P 1,（ 非负性 ）对任一 A ? F,P (A ) ≥ 0;
P 2,（ 规范性 ） ( ) 1P ?? ;
P 3,（ 可列可加性 ）若
1,,,nAA
是 F 中两两互不
相容的事件，则
11
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nn
P A P A
??
??
???
,
用测度论的话说，概率是定义在 σ - 代数上的规范化的
测度,
三元体 ( ?,F,)P 就构成一个 概率空间 (pr oba bi l i t y
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为说明这三要素，我们可分析一下离散概率模型和几
何概率模型。
2,性质
在前面我们已经给 出过一些概率性质，但或多或少都
与具体的概率定义 有关，这里我们仅从概率空间定义
出发，给出一些基本性质。值得注意的是,
有限可加性,
11
( ) ( )
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多还少补原理,
1
11
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例, 匹配问题
某班有 n 个士兵，各有一支枪。这些枪外形完全一样，
现紧急集合，每人随机取一支枪，求至少有一人拿对
自己枪的概率？
概率的连续性定理
我们知道概率 P 实际上是事件域到 [0,1 ] 上的一个函数，
与普通函数类似，也可以定义极限。具体地说，给定一
概率空间 ( ?,F,P ),,假设
12
,,AA ???
是一列单调增加
的事件，即
12 n
A A A? ? ? ? ? ? ? ? ?
令
1
n
n
AA
?
?
?
，称 A 为
n
A
的极限。 由定义可以看出,A
仍是一个事件，其概率大小为
( ) l im ( )
n
n
P A P A
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?
证明,
类似地，假设
12,,AA ???
是一列单调减少的事件，即
12 nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ?
令
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，称 A 为
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的极限。 A 仍是一个事件，
其概率大小为
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例, 独立地投一枚均匀硬币无穷多次，证明一次正面
都没有出现正面的可能性为 0 。
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那么，
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由概率的连续性
1
( ) l im ( ) l im [ 1 ( ) ] 1
2
n
n
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