随机现象,
⒈某人射击一次,考察命中情况 ;
⒉ 某人射击一次,考察命中环数 ;
⒊ 掷一枚硬币,观察向上的面 ;
⒋ 从一批产品中抽取一件,考察其质量 ;
……
确定性现象,
⒈抛一石块,观察结局 ;
⒉ 导体通电,考察温度 ;
⒊ 异性电菏放置一起,观察其关系 ;
……
第 1.1节 引言
第一章 概率论的基本概念
? 随机现象
在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不
出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准
确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。
? 随机现象的统计规律性
在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结
果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统
计规律性。
? 概率统计的研究对象
概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随
机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。
第 1.2节 概率的统计定义 (频率 )
1.随机试验（ E） —— 对随机现象进行的实验与观察,
它具有三个特点,重复性,明确性,随机性,
2.随机试验的样本点 —— 随机试验的每一个可能结果,
3.随机试验的样本空间（ Ω或 S） —— 随机试验的所
有样本点构成的集合,
4.基本事件 —— Ω的单元素子集，即每个样本点构成
的集合,
5.随机事件 —— Ω的子集，常用 A,B,C… 表示,
6.必然事件 （ Ω）
7.不可能事件 （ Φ）
课 堂 练 习
写出下列各个试验的样本空间
1 掷一枚均匀硬币，观察正面（ H）反
面（ T）出现的情况；
2.将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现
的情况；
3.某袋子中装有 5 个球，其中 3 个红球,
编号 A,B,C，有 2 个黄球，编号 D,
F，现从中任取一个球，观察颜色。
若是观察编号呢？
4.袋中有编号为 1,2,3,…, n 的球,从
中任取一个，观察球的号码；
5.从自然数 1,2,3,…, N（ N≥ 3）中
接连随意取三个,每取一个还原后再 取
下一个。若是不还原呢？若是一次就取
三个呢？
6.接连进行 n次射击,记录命中次数,若是记
录 n次射击中命中的总环数呢？
7.观察某条交通干线中某天交通事故的次
数。
定义 (概率的统计定义 )
在一定条件下,重复做 次实验,为 次实
验中事件 A发生的次数,如果随着 n逐渐增大,频率
逐渐稳定在某一数值 p附近,则数值 p称为事件 A在
该条件下发生的概率,记作,
n An n
n
nA
pAP ?)(
注, (1) 频率具有稳定性
(2) 当试验次数 n较大时,经常用频率代替概率
第 1.3节 概率的古典定义 (比率 )
1.古典概型（古典试验）
设 Ω为试验 E的样本空间，若 ① （ 有限性 ） Ω只含有
限个样本点,② （ 等概性 ）每个基本事件出现的可能性相
等，则称 E为 古典概型 （或等可能概型）。
2.古典概率的定义
设 E为古典概型,Ω为 E的样本空间,A为任意一个事
件，定义事件 A的概率
P(A)=有利于 A的基本事件数 /试验的基本事件总数
( 或 =事件 A包含的基本结果数 /试验的基本结果数）
注
意
,
㈠
古
典
概
型
的
判
断
方
法
,
㈡
古
典
概
率
的
计
算
步
骤
,
①
弄
清
试
验
与
样
本
点
②
数
清
样
本
空
间
与
随
机
事
件
中
的
样
本
点
数
③
列
出
比
式
进
行
计
算
。
二,加法原理,
完成某件事情有 n类办法,在第一类方法中有 m1种方法,在
第二类办法中有 m2种方法,依次类推,在第 n类办法中有 mn种方
法,则完成这件事共有 N = m1+m2+…+m n种不同的方法,其中各
类办法彼此独立,
三,乘法原理,
完成某件事情需先后分成 n个步骤,做第一步有 m1种方法,
第二步有 m2 种方法,依次类推,第 n步有 mn种方法,则完成这件
事共有 N=m1× m2× … × mn种不同的方法,特点是各个步骤连
续完成,
例题,
1.4.1 两批产品各 50件,其中次品各 5件,从这两批产品中各抽取 1
件,
(1) 两件都不是次品的选法有多少种?
(2) 只有一件次品的选法有多少种?
解, (1) 用乘法原理，结果为
2145145 45,?CC
(2) 结合加法原理和乘法原理，得选法为,
4 5 04552.,1514514515 ????? CCCC
例 题
例 1.4.2（产 品 的 随机 抽 样 问 题）
例 1 箱 中 有 6 个 灯泡，其 中 2 个 次 品 4 个 正 品，有 放 回地
从 中 任 取 两 次,每 次 取 一个，试求下 列 事 件 的 概率,
（ 1） 取 到 的 两 个 都 是 次 品,（ 2）取到的两个中正、次品
各一个,（ 3）取到的两个中至少有一个正品,
解：设 A = { 取 到 的 两 个 都 是 次 品 },B={取到的两个中正、次品各一个 },C={取到的两个中至少有一个正品 },
（ 1） 基本事件总数为 62，有利于事件 A的基本事件数为 22,
所以 P（ A） =4/36=1/9
（ 2） 有利于事件 B的基本事件数为 4× 2+2× 4=16,
所以 P（ B） =16/36=4/9
（ 3） 有利于事件 C的基本事件数为 62-2× 2=32,
P（ C） =32/36=8/9
注意 ① 若改为无放回地抽取两次呢? ② 若改为一次抽取两个呢？
第 1.5节 事件的关系与运算、加法公理
? 称在一次试验中事件 A出现（发生）当且
仅当此次试验出现了 A中的样本点,
? 注意,
? 1.在一次试验中，某个事件可能出现也可
能不出现；
? 2.在一次试验中，有且仅有一个基本事件
出现,
事件的关系与运算
? 事件之间的关系与运算完全和集合之间
的关系与运算一致，只是术语不同而已。
比如：概率论中的必然事件（样本空间）
在集合论中是全集，概率论中的不可能
事件在集合论中是空集，概率论中的事
件在集合论中是子集，概率论中的逆事
件、和事件、积事件、差事件在集合论
中分别是余集、并集、交集、差集，等。
记 号 概 率 论 集 合 论
S(Ω) 样本空间,必然事件 空间,全集
φ 不可能事件 空集
ω 样本点 元素
A 事件 集合
A
BA
BA
BA
AB
BA
BA
?
?
?
?
?
?
?
A是 B的子事件 A是 B的子集
A与 B是相等事件 A与 B是相等集合
A与 B互斥 (互不相容 ) A与 B无相同元素
A与 B的和 (并 )事件 A与 B的并集
A与 B的积 (交 )事件 A与 B的交集
A与 B的差事件 A与 B的差集
A的对立事件 (逆事件 ) A的余 (补 )集
课堂练习
1.设有事件 A,B，用它们将必然事件 Ω 与和
事件 A+B表示为若干个互斥事件的和。
2.若 A是 B的子事件，则 A+B=( ),AB=( )
3.设当事件 A与 B同时出现时 C也出现,则 ( )
① A+B是 C的子事件；
② C是 A+B的子事件；
③ AB是 C的子事件；
④ C是 AB的子事件。
4.设事件 A={甲种产品畅销，乙种产品滞销 },
则 A的对立事件为（ ）
①甲种产品滞销，乙种产品畅销；
②甲、乙两种产品均畅销；
③甲种产品滞销；
④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。
5.设 x表示一个沿数轴做随机运动的质点位
置，试说明下列各对事件间的关系
① A={|x-a|＜ σ},B={x-a＜ σ}（ σ＞ 0）
② A={x＞ 20},B={x≤20}
③ A={x＞ 22},B={x＜ 19}
6,设 A,B,C为任意三个事件,试用
它们表示下列事件,
① A出现,B,C不出现；
② A,B出现,C不出现；
③ A,B,C都出现；
④ A,B,C都不出现；
⑤ A,B,C中恰有一个出现；
⑥ A,B,C中至少有一个出现；
⑦ A,B,C中至多有一个出现；
⑧ A,B,C中不多于一个出现；
⑨ A,B,C中至少有两个出现；
⑩ A,B,C中最多有两个出现,
7.接连进行三次射击，设事件
Ai={第 i次射击命中 } i=1,2,3,
Bj={三次射击恰好命中 j次 } j=0,1,2,3,
Cr={三次射击至少击中 r次 } r=0,1,2,3,
①用 Ai（ i=1,2,3）表示 Bj, Cr
（ j,r=0,1,2,3）
②用 Bj （ j=0,1,2,3）表示 Cr
（ r=0,1,2,3）
概率的主要性质
? (1)P(φ)=0,P(Ω)=1，逆不一定成立,
? (2)加法公式
? 若 AB=φ,则 P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互
斥 事件的情形,即,若 A1,A2,…,A n两两互斥,则
? P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)
? (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A),
? 若 A是 B的子事件,则 P(B-A)=P(B)-P(A)；
P(A)≤P(B);
? (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),
? P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC) -
P(BC)+P(ABC)
? 可推广到有 限个事件的情形 (多退少补原则 )。
A
得,P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2,
例题
? 1.5.1 AB=φ,P(A)=0.6,P(A+B)=0.8，求 B的
逆事件的概率。
所以,P( )=1-0.2=0.8 B
解：由 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)
思考：在以上条件下,P(A-B)=？
1.5.2,设事件 A发生的概率是 0.6,A与 B都发生的概率是 0.1,A
与 B 都 不发生 的概率为 0.15,求 A发生 B不发生的概率； B 发生
A不发生的概率及 P(A+B),
解,由已知得,P（ A） =0.6,P（ AB） =0.1,P（ ） =0.15,BA
则 P（ A-B） =P（ A-AB） =P（ A） -P（ AB） =0.5
P（ B-A） =P（ B） -P（ AB）
P（ A+B） =1-P（ ） =1-P（ ） =0.85 BA? BA
又因为 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） -P（ AB），所以,
P（ B） =P（ A+B） -P（ A） +P（ AB） =0.85-0.6+0.1=0.35
从而,P（ B-A） =0.35-0.1=0.25
课堂练习
? (901) P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=0.6,求 P(A-B),
? (915)P(A)=0.7,P(A-B)=0.3，求 P(?-AB)
? (921) P(A) =P(B) = P(C) =1/4,P(AB)=0，
P(AC)=P(BC)=1/6，求 A,B,C都不出现的概率。
? (941) A,B都出现的概率与 A,B 都不出现的概率相
等,P(A)=p，求 P(B),
解,(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,所以 P(A-B)=P(A)-(AB)=0.3
(2)P(? -AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-0.7+0.3=0.6
(3)P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12 CBA CBA ??
(4)P(AB)=P( )=P( )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),
所以,P(B)=1-P(A)=1-p
BA BA?
一、条件概率
1、定义 对于两个事件 A,B，若 P（ A）＞ 0，
则称 P（ B|A） =P（ AB） /P（ A）为事件 A出现
的条件下，事件 B出现的条件概率。
注意,区别 P（ B|A）与 P（ AB）,
例 有 10个人,其中色盲者 3人,从这 10人中每次任取
一人,共取两次。
设 A＝｛第一次取出色盲｝
Ｂ＝ ｛第二次取出色盲｝ 则
P(B|A)＝２ /９ Ｐ (AＢ )=1/15 P(Ａ )=3/10
第 1.6节 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式
例 1.６,1 在 10个产品中有 7个正品,3个次品，
按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求
①两次都取到次品的概率； ②第二次才取到次
品的概率； ③已知第一次取到次品，第二次又
取到次品的概率。
若改为有放回抽样呢？
（ 2） P（ ） =(7× 3)/(10 × 9)=7/30 BA （ 3） P（ B|A） =2/9=P（ AB） /P（ A)= (1/15)/(3/10)
解：设 A={第一次取到次品 },B={第二次取到次品 },
（ 1） P（ AB） =(3× 2)/(10× 9) =1/15
例 1.６,2（ 964）已知 0＜ P（ B）＜ 1，且
P{(A1+A2)|B}=P(A1|B)+P(A2|B)
记 C=Ω-B,则下列选项成立的是（ ）
① P{(A1+A2)|C}=P(A1|C)+P(A2|C)
② P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)
③ P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)
④ P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
例 1.６,3（ 965）设事件 A是 B的子事件 1> P(B)＞ 0,
则下列选项必然成立的是（ ）
① P(A)<P(A|B) ② P(A)≤P(A|B)
③ P(A)>P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B)
）（ 2
)1(
例 1.６,4 P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P((? -B)|A)=0.4,则
P(B)=( ),6.0
2、乘法公式
对于两个事件 A与 B,
若 P(A)>0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A),
若 P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B),
若 P(A)>0,P(B)>0,则有
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 推广情形
对 于 n 个 事 件 A1,A2,…,A n,若 P ( A1A2…A n-1 ) > 0，
则 有 P ( A1A2…A n)
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1)
特别,对事件 A,B,C，若 P（ AB）＞ 0，则有
P（ ABC） =P（ A） P（ B|A） P（ C|AB）
注意：乘法法则一般用于计算几个事件同时发生的概率
B=B1+B2,P（ B1） =0.2,P（ A| ） =0.3,P（ B2| ） =0.4,
所以,P（ A） =P（ A） =P（ ） P（ A| ） =0.8× 0.3=0.24,
1B AB1
1B 1B 1B
例 1.6.5 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是
0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为 0.3；若甲机亦
未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是 0.4，分别计算这几个回
合中甲、乙被击落的概率。
解：设 A={甲机被击落 },B={乙机被击落 },B1={乙第一次被击落 },
B2={乙机第二次被击落 }，由题意得,B1.B2互斥,
,BABA,B 211 ??
P（ B2） =P（ B2） = P（ ） P（ | ） P（ B2| ） AB1 AB11B A 1B
=0.8× 0.7× 0.4=0.224
P（ B） =P（ B1） +P（ B2） =0.2+0.224=0.424
二,全概率公式和 Bayes公式
1、全概率公式 A1,A2,…,A n是两两互斥的正概率事件,
且 事件 A1+A2+…+A n=?,则 对于任何一个事件 B,有
P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(A n)P(B|An)
注意,
（ 1）全概率公式中的事件组是完备事件组；
（ 2）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发,
而这些原因又构成完备事件组；
（ 3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。
例 1.6.6（ 935）设 10件产品中有 4件不合格品，从
中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品
的概 率为多少？
解：设 A={第一次取得不合格品 },B={第二次取得
不 合格品 },
事件 A和 A的对立 事件构成完备事件组，由全概
率公式得,
)|()()|()()( ABPAPABPAPBP ??
=（ 4/10） × （ 3/9） +（ 6/10） × （ 4/9）
= 6/15
例 1.6.7 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为,甲
厂家是乙厂家的 2倍,乙,丙两个厂家相等,且各厂产品的次品
率为 2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率,
(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂
生产的概率?
解：设 Ai表示取到第 i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,
由题意 得,P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
由全概率公式得,
)|()()(
3
1
i
i
i ABPAPBP ?
?
? =0.025
分析,所求为条件概率 P(A1|B)=P(A1B)/P(B).这也就是下面的
Bayes公式,
设正概率事件 A1,A2,...,An构成完备事件组,对于任何一个正
概率事件 B,有
),.,,,2,1(
)|()(
)|()(
1
nj
ABPAP
ABPAP
n
i
ii
jj ??
?
?
注意,
1,A1,A2,...,An可以看作是导致事件 B发生的原因 ;
2,P(Aj|B)是在事件 B发生的条件下,某个原因 Aj发生的概率,称为
, 后验概率, ;Bayes公式又称为,后验概率公式,或,逆概公
式, ;
3,P(Aj)对应可以称为,先验概率,,
2、贝叶斯（ Bayes） 公式
P ( Aj| B )= P(Aj B)/P(B)=P ( Aj) P( B | Aj ) / P（ B）
例 1.6.8 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为,
甲厂家是乙厂家的 2倍,乙,丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率
为 2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率,
(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂
生产的概率?
解,(2)设 Ai表示取到第 i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,
由题意得, P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
由 Bayes公式得,
?
?
? 3
1
11
1
)|()(
)|()()|(
i
ii ABPAP
ABPAPBAP
=0.4
第 1.7节、事件的独立性
定义 若事件 A与 B满足 P(AB)=P(A)P(B),
则称 A与 B相互独立，简称 A与 B独立。
推论 1 A,B为两个事件，若 P(A)>0,则
A与 B独立等价于 P(B|A)=P(B),
证明,A.B独立 <=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)
<=>P(B|A)=P(B)
证明, 不妨设 A.B独立,则
)()())(1)((
)()()()()()()(
BPAPBPAP
BPAPAPABPAPBAPBAP
???
??????
其他类似可证
推论 2 在 A 与 B,与 B,A 与, 与 这四对
事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立 。
BA A B
说明,推论 3提供了一种判断两事件独立性
的直观方法,即对于两事件,若其中任何
一个事件出现的概率不受另一个事件出现与
否的影响，则可判断这两事件是独立的。
推论 3 设 0<P(A)<1,0<P(B)<1 则下面四个等式
等价,
P(B|A)=P(B),P(B| )=P(B)
P(A|B)=P(A),P(A| )=P(A) B
A
推广 1（ n个事件的相互独立性）,设有 n个事件
A1,A2,…,An,若它们中任何一个事件的发生都不受其它
事件的影响,则称这 n个事件相互独立,
性质,若 n个事件相互独立，则
①它们积事件的概率等于每个事件概率的积；反之不
一定成立。
②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件
后，所得的 n个事件也是相互独立的。
推广 2 设 A1,A2,…, An… 为随机事件序列，若它们中
的任何有限个事件都是相互独立的,则称该随机事件
序列是相互独立的。
注意,
1,对 于 有 放 回 抽 样，各 次 抽 取 是 相 互 独 立 的 。
2,区 别 互 斥 事 件 （ 互 不 相 容 事 件）、对 立 事 件,
独 立 事 件 。
3,当 A, B 独 立 时,计 算 P(AB),P(A+ B),P(A-B),
P(A1+A2+…+A n)
P(C) =
P(A1A2…A n)
当 A1 A2 … A n 独 立 时
当 A1 A2 … A n 不独立时
当 A1 A2 …A n互斥时
当 A1 A2 …A n独立时
一 般 情 形
P(AB)=P(A)P(B);P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B);
P(A-B)=P(A)-P(A)P(B) (有限可加性 )
(广义加法 )
(乘法法则 )
例 1.7.1 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次
为 0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是
多少?
解, 设 A1,A2,A3分别表示第 1,2,3个元件断电,A表示电路断电,
则 A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,
P(A)=P(A1+A2+A3)= )(1
321 AAAP ???
)()()(1
321 APAPAP??
=1-0.168=0.832
例 1.7.2（ 891）甲、乙两人独立地对同一目标射
击一 次，其命中率分别为 0.6和 0.5，现已知目标
被击中，则它 是甲击中的概 率为 ( )
解,(1)设 A=甲中,B=乙中,C=目标被击中,所求
P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)-P(A)P(B)]
=0.6/0.8=3/4
例 1.7.3（ 944）设 0 < P ( A ) < 1,0 < P ( B ) < 1,
P ( A | B ) + P ( | ) = 1,则（ ）
① A和 B互不相容 ② A和 B互相对立
③ A和 B互不独立 ④ A和 B相互独立
BA
(2)P(A|B)=1-P( | )=P(A| ),
所以 A,B相互独立,
A B B
第 1.8节 独立试验序列
假若一串试验满足如下三条,
1、每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为
“失 败”,P{成功 }= p,P{失败 }=1-p=q;
2、成功的概率 p在每次试验中保持不变；
3、试验与试验之间是相互独立的。
考察两种事件的概率,
(1) n 次试验中恰有 k次“成功”的概率为
(2) 第 k次试验首次“成功”的概率为
),,1,0( nkqpC knkkn ???
),2,1,0(1 ??? kpq k
第 1.9节、几何概率和概率的数学定义
? 描述性定义 —— 刻划某事件在一次试验
中出现的可能性大小的指标称为该事件
的概率。它是界于 0与 1之间的一个实数。
? 统计定义 —— 某事件在同一试验的大量
重复下出现的频率的稳定值称为该事件
的概率。
? 古典定义 —— 具有有限性、等可能性。
? 几何概率 —— 具有无限性、等可能性。
? 公理化定义 —— 把满足 非负性、规范性、
可列可加性的事件的函数称为概率。
⒈某人射击一次,考察命中情况 ;
⒉ 某人射击一次,考察命中环数 ;
⒊ 掷一枚硬币,观察向上的面 ;
⒋ 从一批产品中抽取一件,考察其质量 ;
……
确定性现象,
⒈抛一石块,观察结局 ;
⒉ 导体通电,考察温度 ;
⒊ 异性电菏放置一起,观察其关系 ;
……
第 1.1节 引言
第一章 概率论的基本概念
? 随机现象
在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不
出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准
确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。
? 随机现象的统计规律性
在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结
果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统
计规律性。
? 概率统计的研究对象
概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随
机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。
第 1.2节 概率的统计定义 (频率 )
1.随机试验（ E） —— 对随机现象进行的实验与观察,
它具有三个特点,重复性,明确性,随机性,
2.随机试验的样本点 —— 随机试验的每一个可能结果,
3.随机试验的样本空间（ Ω或 S） —— 随机试验的所
有样本点构成的集合,
4.基本事件 —— Ω的单元素子集，即每个样本点构成
的集合,
5.随机事件 —— Ω的子集，常用 A,B,C… 表示,
6.必然事件 （ Ω）
7.不可能事件 （ Φ）
课 堂 练 习
写出下列各个试验的样本空间
1 掷一枚均匀硬币，观察正面（ H）反
面（ T）出现的情况；
2.将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现
的情况；
3.某袋子中装有 5 个球，其中 3 个红球,
编号 A,B,C，有 2 个黄球，编号 D,
F，现从中任取一个球，观察颜色。
若是观察编号呢？
4.袋中有编号为 1,2,3,…, n 的球,从
中任取一个，观察球的号码；
5.从自然数 1,2,3,…, N（ N≥ 3）中
接连随意取三个,每取一个还原后再 取
下一个。若是不还原呢？若是一次就取
三个呢？
6.接连进行 n次射击,记录命中次数,若是记
录 n次射击中命中的总环数呢？
7.观察某条交通干线中某天交通事故的次
数。
定义 (概率的统计定义 )
在一定条件下,重复做 次实验,为 次实
验中事件 A发生的次数,如果随着 n逐渐增大,频率
逐渐稳定在某一数值 p附近,则数值 p称为事件 A在
该条件下发生的概率,记作,
n An n
n
nA
pAP ?)(
注, (1) 频率具有稳定性
(2) 当试验次数 n较大时,经常用频率代替概率
第 1.3节 概率的古典定义 (比率 )
1.古典概型（古典试验）
设 Ω为试验 E的样本空间，若 ① （ 有限性 ） Ω只含有
限个样本点,② （ 等概性 ）每个基本事件出现的可能性相
等，则称 E为 古典概型 （或等可能概型）。
2.古典概率的定义
设 E为古典概型,Ω为 E的样本空间,A为任意一个事
件，定义事件 A的概率
P(A)=有利于 A的基本事件数 /试验的基本事件总数
( 或 =事件 A包含的基本结果数 /试验的基本结果数）
注
意
,
㈠
古
典
概
型
的
判
断
方
法
,
㈡
古
典
概
率
的
计
算
步
骤
,
①
弄
清
试
验
与
样
本
点
②
数
清
样
本
空
间
与
随
机
事
件
中
的
样
本
点
数
③
列
出
比
式
进
行
计
算
。
二,加法原理,
完成某件事情有 n类办法,在第一类方法中有 m1种方法,在
第二类办法中有 m2种方法,依次类推,在第 n类办法中有 mn种方
法,则完成这件事共有 N = m1+m2+…+m n种不同的方法,其中各
类办法彼此独立,
三,乘法原理,
完成某件事情需先后分成 n个步骤,做第一步有 m1种方法,
第二步有 m2 种方法,依次类推,第 n步有 mn种方法,则完成这件
事共有 N=m1× m2× … × mn种不同的方法,特点是各个步骤连
续完成,
例题,
1.4.1 两批产品各 50件,其中次品各 5件,从这两批产品中各抽取 1
件,
(1) 两件都不是次品的选法有多少种?
(2) 只有一件次品的选法有多少种?
解, (1) 用乘法原理，结果为
2145145 45,?CC
(2) 结合加法原理和乘法原理，得选法为,
4 5 04552.,1514514515 ????? CCCC
例 题
例 1.4.2（产 品 的 随机 抽 样 问 题）
例 1 箱 中 有 6 个 灯泡，其 中 2 个 次 品 4 个 正 品，有 放 回地
从 中 任 取 两 次,每 次 取 一个，试求下 列 事 件 的 概率,
（ 1） 取 到 的 两 个 都 是 次 品,（ 2）取到的两个中正、次品
各一个,（ 3）取到的两个中至少有一个正品,
解：设 A = { 取 到 的 两 个 都 是 次 品 },B={取到的两个中正、次品各一个 },C={取到的两个中至少有一个正品 },
（ 1） 基本事件总数为 62，有利于事件 A的基本事件数为 22,
所以 P（ A） =4/36=1/9
（ 2） 有利于事件 B的基本事件数为 4× 2+2× 4=16,
所以 P（ B） =16/36=4/9
（ 3） 有利于事件 C的基本事件数为 62-2× 2=32,
P（ C） =32/36=8/9
注意 ① 若改为无放回地抽取两次呢? ② 若改为一次抽取两个呢？
第 1.5节 事件的关系与运算、加法公理
? 称在一次试验中事件 A出现（发生）当且
仅当此次试验出现了 A中的样本点,
? 注意,
? 1.在一次试验中，某个事件可能出现也可
能不出现；
? 2.在一次试验中，有且仅有一个基本事件
出现,
事件的关系与运算
? 事件之间的关系与运算完全和集合之间
的关系与运算一致，只是术语不同而已。
比如：概率论中的必然事件（样本空间）
在集合论中是全集，概率论中的不可能
事件在集合论中是空集，概率论中的事
件在集合论中是子集，概率论中的逆事
件、和事件、积事件、差事件在集合论
中分别是余集、并集、交集、差集，等。
记 号 概 率 论 集 合 论
S(Ω) 样本空间,必然事件 空间,全集
φ 不可能事件 空集
ω 样本点 元素
A 事件 集合
A
BA
BA
BA
AB
BA
BA
?
?
?
?
?
?
?
A是 B的子事件 A是 B的子集
A与 B是相等事件 A与 B是相等集合
A与 B互斥 (互不相容 ) A与 B无相同元素
A与 B的和 (并 )事件 A与 B的并集
A与 B的积 (交 )事件 A与 B的交集
A与 B的差事件 A与 B的差集
A的对立事件 (逆事件 ) A的余 (补 )集
课堂练习
1.设有事件 A,B，用它们将必然事件 Ω 与和
事件 A+B表示为若干个互斥事件的和。
2.若 A是 B的子事件，则 A+B=( ),AB=( )
3.设当事件 A与 B同时出现时 C也出现,则 ( )
① A+B是 C的子事件；
② C是 A+B的子事件；
③ AB是 C的子事件；
④ C是 AB的子事件。
4.设事件 A={甲种产品畅销，乙种产品滞销 },
则 A的对立事件为（ ）
①甲种产品滞销，乙种产品畅销；
②甲、乙两种产品均畅销；
③甲种产品滞销；
④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。
5.设 x表示一个沿数轴做随机运动的质点位
置，试说明下列各对事件间的关系
① A={|x-a|＜ σ},B={x-a＜ σ}（ σ＞ 0）
② A={x＞ 20},B={x≤20}
③ A={x＞ 22},B={x＜ 19}
6,设 A,B,C为任意三个事件,试用
它们表示下列事件,
① A出现,B,C不出现；
② A,B出现,C不出现；
③ A,B,C都出现；
④ A,B,C都不出现；
⑤ A,B,C中恰有一个出现；
⑥ A,B,C中至少有一个出现；
⑦ A,B,C中至多有一个出现；
⑧ A,B,C中不多于一个出现；
⑨ A,B,C中至少有两个出现；
⑩ A,B,C中最多有两个出现,
7.接连进行三次射击，设事件
Ai={第 i次射击命中 } i=1,2,3,
Bj={三次射击恰好命中 j次 } j=0,1,2,3,
Cr={三次射击至少击中 r次 } r=0,1,2,3,
①用 Ai（ i=1,2,3）表示 Bj, Cr
（ j,r=0,1,2,3）
②用 Bj （ j=0,1,2,3）表示 Cr
（ r=0,1,2,3）
概率的主要性质
? (1)P(φ)=0,P(Ω)=1，逆不一定成立,
? (2)加法公式
? 若 AB=φ,则 P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互
斥 事件的情形,即,若 A1,A2,…,A n两两互斥,则
? P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)
? (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A),
? 若 A是 B的子事件,则 P(B-A)=P(B)-P(A)；
P(A)≤P(B);
? (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),
? P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC) -
P(BC)+P(ABC)
? 可推广到有 限个事件的情形 (多退少补原则 )。
A
得,P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2,
例题
? 1.5.1 AB=φ,P(A)=0.6,P(A+B)=0.8，求 B的
逆事件的概率。
所以,P( )=1-0.2=0.8 B
解：由 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)
思考：在以上条件下,P(A-B)=？
1.5.2,设事件 A发生的概率是 0.6,A与 B都发生的概率是 0.1,A
与 B 都 不发生 的概率为 0.15,求 A发生 B不发生的概率； B 发生
A不发生的概率及 P(A+B),
解,由已知得,P（ A） =0.6,P（ AB） =0.1,P（ ） =0.15,BA
则 P（ A-B） =P（ A-AB） =P（ A） -P（ AB） =0.5
P（ B-A） =P（ B） -P（ AB）
P（ A+B） =1-P（ ） =1-P（ ） =0.85 BA? BA
又因为 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） -P（ AB），所以,
P（ B） =P（ A+B） -P（ A） +P（ AB） =0.85-0.6+0.1=0.35
从而,P（ B-A） =0.35-0.1=0.25
课堂练习
? (901) P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=0.6,求 P(A-B),
? (915)P(A)=0.7,P(A-B)=0.3，求 P(?-AB)
? (921) P(A) =P(B) = P(C) =1/4,P(AB)=0，
P(AC)=P(BC)=1/6，求 A,B,C都不出现的概率。
? (941) A,B都出现的概率与 A,B 都不出现的概率相
等,P(A)=p，求 P(B),
解,(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,所以 P(A-B)=P(A)-(AB)=0.3
(2)P(? -AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-0.7+0.3=0.6
(3)P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12 CBA CBA ??
(4)P(AB)=P( )=P( )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),
所以,P(B)=1-P(A)=1-p
BA BA?
一、条件概率
1、定义 对于两个事件 A,B，若 P（ A）＞ 0，
则称 P（ B|A） =P（ AB） /P（ A）为事件 A出现
的条件下，事件 B出现的条件概率。
注意,区别 P（ B|A）与 P（ AB）,
例 有 10个人,其中色盲者 3人,从这 10人中每次任取
一人,共取两次。
设 A＝｛第一次取出色盲｝
Ｂ＝ ｛第二次取出色盲｝ 则
P(B|A)＝２ /９ Ｐ (AＢ )=1/15 P(Ａ )=3/10
第 1.6节 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式
例 1.６,1 在 10个产品中有 7个正品,3个次品，
按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求
①两次都取到次品的概率； ②第二次才取到次
品的概率； ③已知第一次取到次品，第二次又
取到次品的概率。
若改为有放回抽样呢？
（ 2） P（ ） =(7× 3)/(10 × 9)=7/30 BA （ 3） P（ B|A） =2/9=P（ AB） /P（ A)= (1/15)/(3/10)
解：设 A={第一次取到次品 },B={第二次取到次品 },
（ 1） P（ AB） =(3× 2)/(10× 9) =1/15
例 1.６,2（ 964）已知 0＜ P（ B）＜ 1，且
P{(A1+A2)|B}=P(A1|B)+P(A2|B)
记 C=Ω-B,则下列选项成立的是（ ）
① P{(A1+A2)|C}=P(A1|C)+P(A2|C)
② P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)
③ P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)
④ P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
例 1.６,3（ 965）设事件 A是 B的子事件 1> P(B)＞ 0,
则下列选项必然成立的是（ ）
① P(A)<P(A|B) ② P(A)≤P(A|B)
③ P(A)>P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B)
）（ 2
)1(
例 1.６,4 P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P((? -B)|A)=0.4,则
P(B)=( ),6.0
2、乘法公式
对于两个事件 A与 B,
若 P(A)>0,则有 P(AB)=P(A)P(B|A),
若 P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B),
若 P(A)>0,P(B)>0,则有
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 推广情形
对 于 n 个 事 件 A1,A2,…,A n,若 P ( A1A2…A n-1 ) > 0，
则 有 P ( A1A2…A n)
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1)
特别,对事件 A,B,C，若 P（ AB）＞ 0，则有
P（ ABC） =P（ A） P（ B|A） P（ C|AB）
注意：乘法法则一般用于计算几个事件同时发生的概率
B=B1+B2,P（ B1） =0.2,P（ A| ） =0.3,P（ B2| ） =0.4,
所以,P（ A） =P（ A） =P（ ） P（ A| ） =0.8× 0.3=0.24,
1B AB1
1B 1B 1B
例 1.6.5 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是
0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为 0.3；若甲机亦
未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是 0.4，分别计算这几个回
合中甲、乙被击落的概率。
解：设 A={甲机被击落 },B={乙机被击落 },B1={乙第一次被击落 },
B2={乙机第二次被击落 }，由题意得,B1.B2互斥,
,BABA,B 211 ??
P（ B2） =P（ B2） = P（ ） P（ | ） P（ B2| ） AB1 AB11B A 1B
=0.8× 0.7× 0.4=0.224
P（ B） =P（ B1） +P（ B2） =0.2+0.224=0.424
二,全概率公式和 Bayes公式
1、全概率公式 A1,A2,…,A n是两两互斥的正概率事件,
且 事件 A1+A2+…+A n=?,则 对于任何一个事件 B,有
P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(A n)P(B|An)
注意,
（ 1）全概率公式中的事件组是完备事件组；
（ 2）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发,
而这些原因又构成完备事件组；
（ 3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。
例 1.6.6（ 935）设 10件产品中有 4件不合格品，从
中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品
的概 率为多少？
解：设 A={第一次取得不合格品 },B={第二次取得
不 合格品 },
事件 A和 A的对立 事件构成完备事件组，由全概
率公式得,
)|()()|()()( ABPAPABPAPBP ??
=（ 4/10） × （ 3/9） +（ 6/10） × （ 4/9）
= 6/15
例 1.6.7 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为,甲
厂家是乙厂家的 2倍,乙,丙两个厂家相等,且各厂产品的次品
率为 2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率,
(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂
生产的概率?
解：设 Ai表示取到第 i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,
由题意 得,P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
由全概率公式得,
)|()()(
3
1
i
i
i ABPAPBP ?
?
? =0.025
分析,所求为条件概率 P(A1|B)=P(A1B)/P(B).这也就是下面的
Bayes公式,
设正概率事件 A1,A2,...,An构成完备事件组,对于任何一个正
概率事件 B,有
),.,,,2,1(
)|()(
)|()(
1
nj
ABPAP
ABPAP
n
i
ii
jj ??
?
?
注意,
1,A1,A2,...,An可以看作是导致事件 B发生的原因 ;
2,P(Aj|B)是在事件 B发生的条件下,某个原因 Aj发生的概率,称为
, 后验概率, ;Bayes公式又称为,后验概率公式,或,逆概公
式, ;
3,P(Aj)对应可以称为,先验概率,,
2、贝叶斯（ Bayes） 公式
P ( Aj| B )= P(Aj B)/P(B)=P ( Aj) P( B | Aj ) / P（ B）
例 1.6.8 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为,
甲厂家是乙厂家的 2倍,乙,丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率
为 2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率,
(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂
生产的概率?
解,(2)设 Ai表示取到第 i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,
由题意得, P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
由 Bayes公式得,
?
?
? 3
1
11
1
)|()(
)|()()|(
i
ii ABPAP
ABPAPBAP
=0.4
第 1.7节、事件的独立性
定义 若事件 A与 B满足 P(AB)=P(A)P(B),
则称 A与 B相互独立，简称 A与 B独立。
推论 1 A,B为两个事件，若 P(A)>0,则
A与 B独立等价于 P(B|A)=P(B),
证明,A.B独立 <=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)
<=>P(B|A)=P(B)
证明, 不妨设 A.B独立,则
)()())(1)((
)()()()()()()(
BPAPBPAP
BPAPAPABPAPBAPBAP
???
??????
其他类似可证
推论 2 在 A 与 B,与 B,A 与, 与 这四对
事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立 。
BA A B
说明,推论 3提供了一种判断两事件独立性
的直观方法,即对于两事件,若其中任何
一个事件出现的概率不受另一个事件出现与
否的影响，则可判断这两事件是独立的。
推论 3 设 0<P(A)<1,0<P(B)<1 则下面四个等式
等价,
P(B|A)=P(B),P(B| )=P(B)
P(A|B)=P(A),P(A| )=P(A) B
A
推广 1（ n个事件的相互独立性）,设有 n个事件
A1,A2,…,An,若它们中任何一个事件的发生都不受其它
事件的影响,则称这 n个事件相互独立,
性质,若 n个事件相互独立，则
①它们积事件的概率等于每个事件概率的积；反之不
一定成立。
②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件
后，所得的 n个事件也是相互独立的。
推广 2 设 A1,A2,…, An… 为随机事件序列，若它们中
的任何有限个事件都是相互独立的,则称该随机事件
序列是相互独立的。
注意,
1,对 于 有 放 回 抽 样，各 次 抽 取 是 相 互 独 立 的 。
2,区 别 互 斥 事 件 （ 互 不 相 容 事 件）、对 立 事 件,
独 立 事 件 。
3,当 A, B 独 立 时,计 算 P(AB),P(A+ B),P(A-B),
P(A1+A2+…+A n)
P(C) =
P(A1A2…A n)
当 A1 A2 … A n 独 立 时
当 A1 A2 … A n 不独立时
当 A1 A2 …A n互斥时
当 A1 A2 …A n独立时
一 般 情 形
P(AB)=P(A)P(B);P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B);
P(A-B)=P(A)-P(A)P(B) (有限可加性 )
(广义加法 )
(乘法法则 )
例 1.7.1 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次
为 0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是
多少?
解, 设 A1,A2,A3分别表示第 1,2,3个元件断电,A表示电路断电,
则 A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,
P(A)=P(A1+A2+A3)= )(1
321 AAAP ???
)()()(1
321 APAPAP??
=1-0.168=0.832
例 1.7.2（ 891）甲、乙两人独立地对同一目标射
击一 次，其命中率分别为 0.6和 0.5，现已知目标
被击中，则它 是甲击中的概 率为 ( )
解,(1)设 A=甲中,B=乙中,C=目标被击中,所求
P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)-P(A)P(B)]
=0.6/0.8=3/4
例 1.7.3（ 944）设 0 < P ( A ) < 1,0 < P ( B ) < 1,
P ( A | B ) + P ( | ) = 1,则（ ）
① A和 B互不相容 ② A和 B互相对立
③ A和 B互不独立 ④ A和 B相互独立
BA
(2)P(A|B)=1-P( | )=P(A| ),
所以 A,B相互独立,
A B B
第 1.8节 独立试验序列
假若一串试验满足如下三条,
1、每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为
“失 败”,P{成功 }= p,P{失败 }=1-p=q;
2、成功的概率 p在每次试验中保持不变；
3、试验与试验之间是相互独立的。
考察两种事件的概率,
(1) n 次试验中恰有 k次“成功”的概率为
(2) 第 k次试验首次“成功”的概率为
),,1,0( nkqpC knkkn ???
),2,1,0(1 ??? kpq k
第 1.9节、几何概率和概率的数学定义
? 描述性定义 —— 刻划某事件在一次试验
中出现的可能性大小的指标称为该事件
的概率。它是界于 0与 1之间的一个实数。
? 统计定义 —— 某事件在同一试验的大量
重复下出现的频率的稳定值称为该事件
的概率。
? 古典定义 —— 具有有限性、等可能性。
? 几何概率 —— 具有无限性、等可能性。
? 公理化定义 —— 把满足 非负性、规范性、
可列可加性的事件的函数称为概率。
