第五章 大数定律与中心极限定理
一、大数定律
定义 设随机变量序列 {Xn},如果存在一个常数 a,使得对任意的
ε >0,有
? ?????? aXP nnl i m =1
则称 依概率收敛于 a,记作 aX p
n ? ??
定义 设随机变量序列 {Xn},记 Yn=1/n(X1+X2+… +Xn),如果存在一
个常数序列 an,使得对任意的 ε >0,有
? ?????? nnn aXPlim =1
则称随机变量序列 {Xn}服从大数定律
第 5.2节 大数定律
二、切比绍夫不等式
设随机 变量 X的方差存在 (这时均值也存在 ),则 对任意
正数 ε有下面不等式成立
2
)(}|)({|
?
? XDXEXP ???
2
)(1}|)({|
??
XDXEXP ????
例 5.2.1.设 X~
??
?
?
?
?
?? ?
00
0
!)(
x
xe
n
x
xf
x
n
用切贝绍夫不等式证明
1)}1(20{ ????? n
nnXP
证明, EX= dxe
n
xx xn ????
!0
=n+1 ]![
0 ndxex
xn ?? ?? ?注：
EX2= dxe
n
xx xn ????
!0
2 =(n+1)(n+2)
所以,DX=EX2-(EX)2=n+1
}1|{|)}1(20{ ??????? nEXXPnXP
2)1(
11
?
???
n
n
1?? n
n
[这里,ε=n+1]
1,设随机变量 X的方差 D(X)=0.0001,
则由切比绍夫不等式可知
P{|X-E(X)|<3× 0.01}≥( ),
2,设随机变量 X~E(1/n),用切比绍夫
不等式证明
P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3,设 P{|X-E(X)|<ε}不小于 0.9,D(X)=0.009.则用
切比绍夫不等式估计 ε的 最小值是 ( ),
课堂练习
203.0
0001.01 ?
0.3
4.(894) 设随机变量 X的数学期望为 μ,
标准差为 σ,则由切比绍夫不等式
P{|X-μ|≥3σ}≤( ),
5,设随机变量 X的分布律为
P{X=0.3}=0.2,P{X=0.6}=0.8,
用切比绍夫不等式估计
|X-E(X)|<0.2的概率,
1/9
定理（切比雪夫大数定律） 设随机变量序列 {Xn}相互独立，且
均存在有限方差，且方差 D(Xn) ≤C (n=1,2,...),其中常数 C与 n 无
关，则对任意的 ε>0,有
111lim
11
?
?
?
?
?
?
? ?? ??
????
??
n
i
i
n
i
in nXnP
三、几个常见的大数定律
定理 （ 辛钦大数定律 ） 设随机变量序列 {Xn}相互独立, 服从
同一分布, 且有相同的期望 E(Xn)=?,则对任意的 ε >0, 有
11lim
1
?
??
?
??
? ???
???
??n
i
in XnP
1lim ?
??
?
??
? ??
??
?pnnP A
n
定理 （ 贝努里利大数定律 ） 设每次实验中事件 A发生的概率
为 p,n次重复独立实验中事件 A发生的次数为 nA,则对任
意的 ε >0, 事件的频率, 有
n
nA
定理 设 X~N(μ,σ2),,
?
??? XY 则 Y~N(0,1),
所以，若 X~N(μ,σ2),则
P{X<a}= P{X>a}=
P{a<X<b}=
)( ? ??? a )(1 ? ???? a
)( ? ??? b )( ? ???? a
X~N(μ,σ2)
定义,一般地,若在一次实验中成功的概率为 p(0<p<1),独立重复
进行 n次,这 n次中实验成功的次数 X服从的分布为二项分布,
nkppCkXP knkkn,...,2,1,0)1(}{ ???? ?
X～ B(n,p)
复习
第 5.3节 中心极限定理
定义,
若相互独立随机变量序列 {Xn}的标准化和
)(
)(
1
11
?
??
?
??
?
?
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Y
使得 ? ??
??
?
?? dxexYP
x
n
2
2
2
1}{
?
则称随机变量序列 {Xn}服从中心极限定理
定理（ 列维 — 林德贝格定理 (i.i.d下中心极限定理 )）
设 X1,X2,…,X n,… 为独立同分布序列,期望 μ,方差
σ 2>0,则当 n充分大时,
),( 2
1
?? nnNX
n
i
i 近似服从?
?所以
)1,0(1 N
n
nX
n
i
i
近似服从
?
???
?
注
意
)(}{lim 1 xx
n
nX
n
i
i
n
???
??
?
?? ?
?
(1)一般地,只要 n比较大,就可应用以上定理 ;
(2)应用该定理时,需要找出独立同分布的随机变量序列以及
它们的期望和方差,再应用正态分布的有关计算方法,
例 5.3.1.用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望
值为 100克,标准差为 10克,一箱内装 200袋味精,求一箱味精净重大于
20500克的概率?
解, 设一箱味精净重为 X,箱中第 i袋味精净重为 Xi,(i=1,2,…,200)
则 X1,X2,…,X 200独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,
且 ?
?
?
2 0 0
1i
iXX
由独立同分布的中心极限定理得,
X近似服从正态分布,且 EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,
所求为 P(X>20500)= 1-P(X≤20500)
)20000 2000020500(1 ???? )54.3(1 ??? =0.0002
故 一箱味精净重大于 20500的概率为 0.0002,
)()(lim xx
np q
npx
n
????
??
特别，若 X～Ｂ（ n,p）,则当 n充分大时,
推论,
即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ n,p），则对任意实数 x有
Ｘ～Ｎ（ np,npq）
注意 (1)以上定理称为 棣莫佛 ---拉普拉斯中心极限定理,它表示
当 n重 Bernoulli实验次数很大时 (n≥100,p接近于 0.5),二项分布可
用正态分布近似逼近,期望为 np,方差为 npq,
(2)P{X=m}=P{m-0.5<X≤m+0.5}
.)5.0()5.0(
n p q
npm
n p q
npm ????????
此处区间越小越精确,习
惯上取长度为 1的对称区
间
nmppCmXP mnmmn,...,2,1,0)1(}{ ???? ?
X～ B(n,p)
(1) n≤40,p≤0.4，由 Excel得 ?
?
???
x
m
mnmm
n ppCxF
0
)1()(
(2) n≤40,p>0.6,应用以下定理,
定理 若 X~B(n,p),且 Y=n-X,则 Y~B(n,q),其中 q=1-p,
(3) n≥100,p<0.1,应用 Possion定理有
n),0,1,2,(m em! ( n p )m)P(X np
m
???? ?
计算,
(4) n≥100,p 接近于 0.5,X~N(np,npq)
例 5.3.2.设每颗炮弹命中目标的概率为 0.01,求 500发炮弹中
命中 5发的概率。
解, 设 X表示命中的炮弹数,则 X~B(500,0.01)
????? 49555500 99.001.0}5{)1( CXP 0.17635
(2)np=λ=5,应用 Possion逼近,
5
5
!5
5}5{ ??? eXP =0.17547
(3)应用正态逼近, X~N(5,4.95)
P{X=5}=P{4.5<X≤5.5} )
95.4
55.4()
95.4
55.5( ?????? =0.1742
显然,本例中 Possion 逼近较正态逼近更精确,
例 5.3.3.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔
户占 20%,随机抽查 100户,利用 棣莫佛 ---拉普拉斯积分定理
求被盗索赔户不少于 14户且不多于 30户的近似值,
解,设 X表示 100户中被盗索赔户数,则 X~B(100,0.2)
由 棣莫佛 ---拉普拉斯积分定理得 X近似服从正态分布,
EX=np=20,DX=npq=16,
所以 X~N(20,16)
所求 P{14≤X≤30} )
4
3014()
4
2030( ?????? )5.1()5.2( ?????
)]5.1(1[)5.2( ????? =0.927
例 5.3.4,某人一次射击,命中环数 X的分布列为
求 100次射击中命中环数在 900环到 930环之间的概率,
X
P
10 9 8 7 6
0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
解,设 X表示 100次中命中的总环数,Xi表示第 i次命中的环数 (i=1,…,100),
则 X1,X2,…,X 100 相互独立同分布,EXi=9.62,DXi=0.82,
且 ?
?
?
1 0 0
1i
iXX EX=962,DX=82,
P{900<X<930}=
故 X~N(962,82)
)82 962900()82 962930( ????? )85.6()53.3( ?????
=0.99979
一、大数定律
定义 设随机变量序列 {Xn},如果存在一个常数 a,使得对任意的
ε >0,有
? ?????? aXP nnl i m =1
则称 依概率收敛于 a,记作 aX p
n ? ??
定义 设随机变量序列 {Xn},记 Yn=1/n(X1+X2+… +Xn),如果存在一
个常数序列 an,使得对任意的 ε >0,有
? ?????? nnn aXPlim =1
则称随机变量序列 {Xn}服从大数定律
第 5.2节 大数定律
二、切比绍夫不等式
设随机 变量 X的方差存在 (这时均值也存在 ),则 对任意
正数 ε有下面不等式成立
2
)(}|)({|
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2
)(1}|)({|
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例 5.2.1.设 X~
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证明, EX= dxe
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EX2= dxe
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所以,DX=EX2-(EX)2=n+1
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[这里,ε=n+1]
1,设随机变量 X的方差 D(X)=0.0001,
则由切比绍夫不等式可知
P{|X-E(X)|<3× 0.01}≥( ),
2,设随机变量 X~E(1/n),用切比绍夫
不等式证明
P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3,设 P{|X-E(X)|<ε}不小于 0.9,D(X)=0.009.则用
切比绍夫不等式估计 ε的 最小值是 ( ),
课堂练习
203.0
0001.01 ?
0.3
4.(894) 设随机变量 X的数学期望为 μ,
标准差为 σ,则由切比绍夫不等式
P{|X-μ|≥3σ}≤( ),
5,设随机变量 X的分布律为
P{X=0.3}=0.2,P{X=0.6}=0.8,
用切比绍夫不等式估计
|X-E(X)|<0.2的概率,
1/9
定理（切比雪夫大数定律） 设随机变量序列 {Xn}相互独立，且
均存在有限方差，且方差 D(Xn) ≤C (n=1,2,...),其中常数 C与 n 无
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11
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同一分布, 且有相同的期望 E(Xn)=?,则对任意的 ε >0, 有
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为 p,n次重复独立实验中事件 A发生的次数为 nA,则对任
意的 ε >0, 事件的频率, 有
n
nA
定理 设 X~N(μ,σ2),,
?
??? XY 则 Y~N(0,1),
所以，若 X~N(μ,σ2),则
P{X<a}= P{X>a}=
P{a<X<b}=
)( ? ??? a )(1 ? ???? a
)( ? ??? b )( ? ???? a
X~N(μ,σ2)
定义,一般地,若在一次实验中成功的概率为 p(0<p<1),独立重复
进行 n次,这 n次中实验成功的次数 X服从的分布为二项分布,
nkppCkXP knkkn,...,2,1,0)1(}{ ???? ?
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复习
第 5.3节 中心极限定理
定义,
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定理（ 列维 — 林德贝格定理 (i.i.d下中心极限定理 )）
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σ 2>0,则当 n充分大时,
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(1)一般地,只要 n比较大,就可应用以上定理 ;
(2)应用该定理时,需要找出独立同分布的随机变量序列以及
它们的期望和方差,再应用正态分布的有关计算方法,
例 5.3.1.用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望
值为 100克,标准差为 10克,一箱内装 200袋味精,求一箱味精净重大于
20500克的概率?
解, 设一箱味精净重为 X,箱中第 i袋味精净重为 Xi,(i=1,2,…,200)
则 X1,X2,…,X 200独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,
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iXX
由独立同分布的中心极限定理得,
X近似服从正态分布,且 EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,
所求为 P(X>20500)= 1-P(X≤20500)
)20000 2000020500(1 ???? )54.3(1 ??? =0.0002
故 一箱味精净重大于 20500的概率为 0.0002,
)()(lim xx
np q
npx
n
????
??
特别，若 X～Ｂ（ n,p）,则当 n充分大时,
推论,
即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ n,p），则对任意实数 x有
Ｘ～Ｎ（ np,npq）
注意 (1)以上定理称为 棣莫佛 ---拉普拉斯中心极限定理,它表示
当 n重 Bernoulli实验次数很大时 (n≥100,p接近于 0.5),二项分布可
用正态分布近似逼近,期望为 np,方差为 npq,
(2)P{X=m}=P{m-0.5<X≤m+0.5}
.)5.0()5.0(
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此处区间越小越精确,习
惯上取长度为 1的对称区
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nmppCmXP mnmmn,...,2,1,0)1(}{ ???? ?
X～ B(n,p)
(1) n≤40,p≤0.4，由 Excel得 ?
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(2) n≤40,p>0.6,应用以下定理,
定理 若 X~B(n,p),且 Y=n-X,则 Y~B(n,q),其中 q=1-p,
(3) n≥100,p<0.1,应用 Possion定理有
n),0,1,2,(m em! ( n p )m)P(X np
m
???? ?
计算,
(4) n≥100,p 接近于 0.5,X~N(np,npq)
例 5.3.2.设每颗炮弹命中目标的概率为 0.01,求 500发炮弹中
命中 5发的概率。
解, 设 X表示命中的炮弹数,则 X~B(500,0.01)
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(2)np=λ=5,应用 Possion逼近,
5
5
!5
5}5{ ??? eXP =0.17547
(3)应用正态逼近, X~N(5,4.95)
P{X=5}=P{4.5<X≤5.5} )
95.4
55.4()
95.4
55.5( ?????? =0.1742
显然,本例中 Possion 逼近较正态逼近更精确,
例 5.3.3.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔
户占 20%,随机抽查 100户,利用 棣莫佛 ---拉普拉斯积分定理
求被盗索赔户不少于 14户且不多于 30户的近似值,
解,设 X表示 100户中被盗索赔户数,则 X~B(100,0.2)
由 棣莫佛 ---拉普拉斯积分定理得 X近似服从正态分布,
EX=np=20,DX=npq=16,
所以 X~N(20,16)
所求 P{14≤X≤30} )
4
3014()
4
2030( ?????? )5.1()5.2( ?????
)]5.1(1[)5.2( ????? =0.927
例 5.3.4,某人一次射击,命中环数 X的分布列为
求 100次射击中命中环数在 900环到 930环之间的概率,
X
P
10 9 8 7 6
0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
解,设 X表示 100次中命中的总环数,Xi表示第 i次命中的环数 (i=1,…,100),
则 X1,X2,…,X 100 相互独立同分布,EXi=9.62,DXi=0.82,
且 ?
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P{900<X<930}=
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=0.99979
