X~P(λ),X~?(λ),X~N(μ,σ2)
用所获得的样本值去估计参数取值称为
参数估计,
参
数
估
计
?
点估计
区间估计
用某一数值作为
参数的近似值
?
在要求的精度范围内
指出参数所在的区间
数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体,
推断的基本内容包括两个方面,一是依据样本寻找
总体未知参数的近似值和近似范围 ;二是依据样本
对总体未知参数的某种假设作出真伪判断,本章先
介绍求近似值和近似范围的方法,
第七章 参数估计
第 7.1节 点估计
1.定义 总体 X的分布函数为 F(x;θ 1,θ 2,… θ k),θ i为未知
参数 (i=1,2,…,k),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,若以
函数值 (x1,x2,…,xn)作为 θ i的近似值,则称 为 θ i
的 估计值 (抽样后 ),也称 为 θ i
的 估计量 (抽样前 ).由于估计值 (实数 )与实数轴的点对应,
姑且又称 为 θ i的点估计 (量或值 ),
ii ?? ??? i??
)X,,X,X(?? n21ii ????
i??
即, 选择统计量
估计量 带入样本值 估计值
X分布为 F(x;θ)[θ待估 ]
2 点估计方法
( 1 ) 矩估计法
将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代,
布列方程或方程组,所得到的解,作为总体未知参数
的点估计的方法,
例 7.1.1 设总体 ),0 ( ~ ? U X,n X X X,,,2 1 ? 为取自该总体的样本,
求未知参数 ? 的矩估计量,
解 因为
2
)(
?
?XE,所以由 X?
2
?
,可解得 X2??,
故未知参数 ? 的矩估计量为 X2? ??,
矩估计法的步骤
设总体 X的分布函数为 ),,,;x(F m21 ??? ?,m21 ???,，,?
为未知参数,
1.求总体 X的 k阶原点矩
,m,,2,1k),X(E),,,(q km21k ?? ?????
2.解方程 (组 ) ? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mm21m
2m212
1m211
A,,,q
A,,,q
A,,,q
?
?????????
?
?得
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
)A,,A,A(h
)A,,A,(h
)A,,A,(h
m21mm
m2122
m2111
?
??????????
?
?
3.写出矩估计量 m,,2,1k)A,,A,A(h? m21kk ?? ???
注, ?
?
? n
1i
k
ik Xn
1A 为样本 k阶原点矩
例 7.1.2 设总体 ]b,a[U~X,求参数 a,b的矩估计量,
解,
??
?
?
? ?
??
其它0
]b,a[x
ab
1
)x(f~X
2
badx
ab
x)X(E b
a
??
?? ? )baba(31dxab x)X(E 22ba
2
2 ???
?? ?
解方程组
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
2
22
1
A
3
baba
A
2
ba
得
2121 AA3Aa ????
2121 AA3Ab ????
所求的矩估计量为
?
??
?
??
????
????????
n
1i
22
i
2
i
n
1i
2
n
1i
2
i
)XX(
n
1
3Xb?
)XX(
n
1
3XXX
n
1
3Xa?
1) 似然函数 (样本的联合密度函数 )
(1) 设总体 X为 连续型,X～ f(x;θ 1,θ 2,… θ m),θ i为待
估参数 (i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,则
Xi～ f(xi;θ 1,θ 2,… θ m),(i=1,2,…,m)
（ X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为
?
?
???????
n
1i
m21im21n21 ),...,,;x(f),...,,;x,...,x,x(L
(似然函数 )
如 X~E(λ),即
?
?
?
?
???? ??
0x0
0xe);x(f~X x则
?
?
?
?
???? ??
0x0
0xe);x(f~X
i
i
x
ii
i
?
?
???
n
1i
in21 ),x(f);x,.,.,x,x(L ?
?
?
?
?
????
? ??
??
其它0
0x,.,.,0x,0xe n21
n
1i
x i
2 最大似然估计法
似然函数 (样本的联合分布律 )
（ 2） 设总体 X为 离散型,P{X=x}=P(x;θ 1,…,θ m),θ i为待
估参数 (i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,则
P{Xi=xi}=P(xi;θ 1,θ 2,… θ m),(i=1,2,…,m)
（ X1,X2,…,Xn）的联合分布律为
?
?
???????
n
1i
m21im21n21 ),...,,;x(P),...,,;x,...,x,x(L
(似然函数 )
如 X~P(λ),即 ????? e
!m}mX{P
m
????? e
!x}xX{P
x
?
?
???
n
1i
in21 ),x(P);x,...,x,x(L
????? e
!x
);x(P
i
x
i
i
?
?
????
n
1i i
x
e!x
i
2）基本思想
甲,乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中,
可以认为,甲射击技术优于乙射击技术,
事件 A发生的概率为 0.1或 0.9,观察一次,事件 A发生了,
可以认为,事件 A发生的概率为 0.9,
实际问题 (医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量
检验等 )尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在
获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观
察结果出现的可能性最大,
最大似然估计就是通过样本值 等数求得总体的
分布参数,使得 取值为 的概率最大,
n1 X,,X ?
n1 x,,x ?
n1 x,,x ?
样本观察值出现可能性的大小跟似然函数在该样本值
处的函数值有关,L越大,样本观察值越可能出现, 所以
若似然函数 在
取到最大值,则称 分别为 的
最大似然估计,
),.,,,,;x,.,,,x,x(L m21n21 ??? m21,...,,??? ???
m21,...,,???
???
m21,...,,???
最大似然估计定义为,
3）方法与步骤
设总体的分布密度 (或概率密度 )
其中 是待估参数,
),,;x(f m1 ?? ?
m1,,?? ?
（ 1）写出似然函数 (即样本的联合密度函数 )
?
?
??????
n
1i
m1im1n1 ),,;x(f),,;x,,x(LL ???
（ 2）写出对数似然函数 (对似然函数求导 )
?
?
???
n
1i
m1i ),,;x(flnLln ?
（ 3）写出似然方程
m,2,1i,0
i
Lln ???
??
?
（ 4）求解似然方程并写出估计量 m,,3,2,1i,?
i ???
(只有一个待估参数时求 ) ?d Llnd
例 7.1.3 求参数 为 p的 0-1分布的最大似然估计,
解, P{X=0}=1-p
P{X=1}=p P{X=m}=p
m(1-p)1-m(m=0,1)
?
P{X=x}=px(1-p)1-x ?
?
??
n
1i
x1x ii )p1(p
)p1l n ()xn(pln)x(
n
1i
i
n
1i
i ??? ??
??
?
?
?
? ??
?
n
1i
i
n
1i
i xnx
)p1(p
0
p1
xn
p
x
n
1i
i
n
1i
i
?
?
?
?
??
?? 0)xn(px)p1( n
1i
i
n
1i
i ???? ??
??
?)p;x,...,x,x(L n21
?Lln
?dp Llnd
解得 ?
?
?
n
1i
iXn
1p 最大似然估计为
XXn1p
n
1i
i ?? ?
?
?
例 7.1.4.X~N(μ,σ2),求参数 μ,σ2的最大似然估计,
解,
2
2
2
)x(
2 e
2
1),,x(f ????
??
??? 2
2
2
)x(
2
e
2
1 ????
??
?
?
?
?
???
??
n
1i
2
)x(
2
2
2
i
e
2
1 ??? ),;x,...,x,x(L
2n21 ?
??
? ?
??
?
?
n
1i
2
i2 )x(2
1
n
2
e)
2
1(
?Lln ? ??
???? ?
n
1i
2
i22 )x(2
1)
2
1l n (n
? ????????
?
n
1i
2
i2
2 )x(
2
12ln
2
n
0)x(1
n
1i
2
i2 ????? ?
?
0)x(2 12 n
n
1i
2
i42 ??????? ?
?
?
???? Lln
???? 2Lln ?
XXn1
n
1i
i ??? ?
?
?
??
??
??????
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2 )Xx(
n
1)x(
n
1?
例 7.1.5.设 X服从 [0,λ]区间上的均匀分布,参数
λ>0,求 λ的最大似然估计,
解,由题意得,
??
?
?
? ???
???
其它0
x0
1
);x(f~X
?? );x,...,x,x(L n21
??
?
?
? ???
?
其它0
x,...,x,x0
1
n21n
??d Llnd 0n 1n ?
?? ?
无解, 基本方法失效,
考虑 L的取值,要使 L取值最大,λ应最小,??? n21 x,...,x,x0
取 )x,...,x,xm a x ( n21?? 此时,L取值最大,
所以,所求最大似然估计为 )x,...,x,xm a x (
n21??
?
应用最大似然估计基本思想, L越大,样本观察值越可能出现,
例 7.1.6设总体 X～
?
?
? ???????
?
?
其他,0
1,1x0,x)1()x(f
其中 是未知参数, 是来自总体的一个容量为 n
的 s.r.s,求 的最大似然估计,
? n1 X,,X ?
?
解,由题意得,
?? );x,...,x,x(L n21
当 时,)n,.,,,2,1i(1x0
i ???
?Lln ]x[)1l n (
n
1i
i
n ?
?
??? ?
?
?????
n
1i
ixln)1l n (n
??d Llnd 0xln
1
n n
1i
i ???? ?
?
所求最大似然估计为 ?
?
???? n
1i
iXln
n1?
?
?
?
?
?
??????
?
?
其它0
n,.,,,2,1i,1x0x)1( i
n
1i
i
同一个未知参数的矩估计量和
最大似然估计量不一定一样 (如正态分布的
完全一样,而均匀分布的就不一样 ),
注意,
2.(991) 设总体的概率密度为
是取自总体的 s.r.s 。求 的矩估计量、
矩估计量的方差及最大似然估计量。
?
?
? ?????
? ?
其他,0
x0),x(
)x(f
3
x6
n1 X,,X ? ?
1.(971) 设总体的概率密度为
其中 是未知参数, 是来自总体的一个
容量为 n 的 s.r.s,求 的矩估计量及极大似然
估计量,
?
?
? ???????
?
?
其他,0
1,1x0,x)1(
)x(f
? n1 X,,X ?
?
练
习,
3,顺序统计量法
直观解释,用样本中位数 Me估计总体中位数,
用样本极差 R估计总体标准差,
注,当总体为连续型且分布密度为对称时,总体中位数即
是总体的数学期望,
定理, 设 X1,X2,…,X n是来自正态总体 N(?,?2)的样本,Me
是样本中位数,则有
)n()1,0(N)Me(n2 2 ???????
可以看出,当 n充分大时 )n2,(N~M 2e ???
因此,可取
eM? ??
例 7.1.7.设某种灯泡寿命 X~N(μ,σ2),随机抽取 7只灯泡测得
寿命为 (单位,小时 )
1575,1503,1346,1630,1575,1453,1950
(1) 用顺序统计量法估计 μ 用顺序统计量法估计
(2) 用矩法及最大似然估计法估计 μ
解, (1) 顺序统计量 )X,,X,X( )n()2()1( ?的观测值分别为
1346,1453,1503,1575,1575,1630,1950
所以 1 5 7 5xMe? )4( ????
(2) 由前知 1576x
7
1x? 7
1i
i ???? ?
?
注, )10n(XXR?
)1()n( ????? (极差估计法 )
第 7.2节 估计量的评价标准
容易明白,对同一个未知参数,采用不同的方法
找到的点估计可能不同,那么,自然要问,究竟是
用哪一个更“好”些呢?这里介绍三个评价标
准,
无偏性 标准一,
设 为 θ的一个点估计,若
则称 为 θ的一个 无偏估计,
??
??
,)?(E ???
注意,无偏估计不是唯一存在,
标准二, 有效性 (方差最小性 )
设 和 是 的两个无偏估计,若
则称 比 更 有效
?2??
)?(D)?(D 21 ??? 1??
1??
2??
如果 ???)?(E ???)?(E ??
若
??? )?(Elim ??
,那么 称为 的偏差,
则称 是 θ的 渐进 无偏估计,
例 7.2.1验证, 是总体 X方差的
一个无偏估计 ; 不是方差的无偏估计, ?? ???
n
1i
2
i
2 )XX(
1n
1S
?
?
??
n
1i
2
i
2
0 )XX(n
1S
解,
)]X(nE)X(E[1n 1ES 2
n
1i
2
i
2 ?
?? ??
?
?
?
n
1i
2
i )XX( ??
???
n
1i
2
i
2
i )XXX2X(
2
n
1i
i
n
1i
2
i XnXX2X ??? ??
??
2
n
1i
2
i Xn?? ?
?
)X(E1n nEX1n n 22 ????
])XE(XD)EX(DX[1n n 22 ?????
]XDDX[1n n ??? ]nDXDX[1n n ??? =DX
所以,S2为 DX的无偏估计量,
ES2=DX,,S
n
1nS 22
0
??
故
22
0 ESn
1nES ??
DXn 1n ??
所以,不是 DX的无偏估计量, 20S
例 7.2.2.设 X1,X2,X3为来自总体 X的简单随机样
本,EX=μ,DX=σ2,验证下列统计量哪个更有效,
32133212211 X3
1X
3
2X
2
1?,X
3
1X
3
1X
3
1?,X
2
1X
2
1? ???????????
解,
]X21X21[E?E 211 ???
??????? 65EX65EX31EX32EX21?E 3213
,EXEX31EX31EX31?E 3212 ???????
21 EX2
1EX
2
1 ?? =EX=μ
]X21X21[D?D 211 ??? 21 DX41DX41 ?? =DX/2=σ2/2
同理
,3/DX91DX91DX91?D 23212 ??????
21,??
?? 为无偏估计量,,DD
21 ???
??
2?
? 更有效,
是来自 X的 s.r.s,试证, 为
的无偏估计,且 比 更有效,
)nk(,X?,X?
k
1i
ik
1
21 ????? ?
?
??)X(E 1?? 2??
n1 X,,X ?
例 7.2.3 设总体 X 的方差存在
证明, ?
?
???
n
1i
i1 )Xn
1(EXEE ?
in E Xn
1? ??
?
?
??
k
1i
i2 )Xk
1(EE ?
ik E Xk
1? ??
?
?
???
n
1i
i1 )Xn
1(DXDD ?
i2 n Xn
1?
n
2?
?
?
?
??
k
1i
i2 )Xk
1(DD ?
i2 DXkk
1?
k
2?
?
,21 DD ??? ??
样本
容量
越大,
样本
均值
估计
值越
精确,
标准三, 相合性 (一致性 )
设统计量 是未知参数 的点估
计量,样本容量为 n,若对任意
,则称 为 的相合
估计,又称一致估计,
?? ?
? ? 1?Plimn ????????
,0??
?? ?
相合性表明,当样本容量充分大时,事件
“相合估计量充分接近被估计未知参数的概率”
接近于 1,换言之,当样本容量充分大时,事件
,相合估计量与被估未知参数偏离较大”的概
率接近于零,以后,将概率很小的事件被称为小
概率事件,
在实际中,常常以样本均值作为总体均值的
点估计,以样本方差作为总体方差的点估计,
3.期望和方差的点估计
期望的点估计,
选择估计量 ?
?
?
n
1i
iXn
1X
?
(1)无偏性
(2)样本容量越大,估计值 越有效
方差的点估计,
选择估计量 ?
?
???
n
1i
2
i
2 )XX(
1n
1S (无偏估计量 )
标准差的点估计,
选择估计量 ?
?
???
n
1i
2
i )XX(1n
1S
(非无偏估计量 )
注意, ?
?
??
n
1i
2
i
2
0 )XX(n
1S (非无偏估计量 )
点估计有使用方便、直观等优点,但他
并没有提供关于估计精度的任何信息,为此
提出了未知参数的区间估计法,
如,对明年小麦的亩产量作出估计为,
即, 若设 X表示明年亩产量,则估计结果为
P{800≤X≤1000}=80%
明年小麦亩产量八成为 800-1000斤,
区间估计
第 7, 3 节 区间估计
1,区间估计的定义
设总体分布中含有未知参数,根据来自该总体的 s.r.s,
如果能够找到两个统计量,使得随机区间
包含 达到一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参
数的 区间估计,即
当 成立时,
称概率 为 置信度或置信水平 ;
称区间 是 的置信度为 的 置信区间 ;
分别称为 置信下限 和 置信上限,
?
21,?? ),( 21 ??
?
,1}{P 21 ???????? )10( ???
??1
),( 21 ?? ? ??1
21,??
注意,点估计给出的是未知参数的一个近似值 ;
区间估计给出的是未知参数的一个近似范围,
并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度,
例 7.3.1 总体均值 的 95%置信区间
的意义是 ( )
?
① 这个区间平均含总体的 95%的值②
这个区间平均含样本的 95%的值③这
个区间有 95%的机会含 的真值④这
个区间有 95%的机会含样本均值,
?
3
例 7.3.2 总体分布中未知参数 的 置信区间
为,则在下列说法中,正确的说法有 ( )个
?
),( 21 ??
??1
① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5
说法 1,以概率 包含 ;
说法 2,以概率 落入 ;
说法 3,不包含 的概率为 ;
说法 4,以 的概率落在 之外 ;
说法 5,以 估计 所在范围时,所犯错误
的概率为
),( 21 ?? ??1 ?
? ),( 21 ????1
),( 21 ?? ? ?
? ? ),( 21 ??
),( 21 ?? ?
?
2
例 7.3.3.设总体 X~N(μ,σ2),其中 σ2已知,
X1,X2,…,X n为 X 的 一个样本,求一个区间,使之以 1-α的 概
率 包含 μ的真值,
解 (1)选择包含 μ的分布已知函数,
n/
XU
?
???
(2)构造 U的 一个 1-α区间,
不妨设 P{|U|<λ}=1-α,则
21
u ????
]21)u([
21
????
??
λ为 U的 100(1-α/2)% 分位
数
?
即 ????
?
????
???? 1}un/
Xu{P
2121
)1,0(N~
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
?????????? ?
???
1)nuXnuX{P
2121
所求 1-α置信区间为 )
nuX,nuX( 2121
????
????
α/2 α/2
X
φ(x)
1-α
=z1-α/2 λ -λ
P{|U|<λ}=1-α
置信区间不是唯一的,对于同一个置信度,
可以有不同的置信区间,置信度相同时,当然置信
区间越短越好,一般来说,置信区间取成对称区间
或概率对称区间,
注意,
2,求置信区间的方法与步骤,
第一步 构造一个含未知参数的分布
已知的随机变量 (样本的函数 )U,U中除待估
参数外不含其它任何未知参数,一般是从未
知参数的点估计着手,再进行 "加工 "来构造 ;
第二步 对给定的置信度,根据 U的
分布定出满足 的 a,b(叫 分
位数 或 临界点 );
??1
????? 1}bUa{P
第三步 利用不等式变形,求出未知参
数的 置信区间, ??1
1.单一正态总体均值与方差的区间估计,
(1)选择包含 μ的分布已知函数,
(2)构造 U的 一个 1-α区间,
????
?
????
???? 1)un/
Xu{P
2
1
2
1
n/
XU
?
??? )1,0(N~
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
)
n
uX,
n
uX(
2
1
2
1
????
????
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本,
1） σ2已知,求 μ的置信度为 1-α的置信区间
]
2
1)u([
2
1
????
??
第 7.4节 正态总体均值与方差的区间估计
例 7.4.1.设总体 X~N(μ,0.92),X1,X2,…,X 9为来自
总体的简单随机样本，样本均值为 5，求 μ的置信
度为 95%的置信区间。
解,由题意得,,5.0,9.0,5X 22 ?????
这是方差已知的总体均值的区间估计，结果为
)
n
uX,
n
uX(
2121
????
????
其中
?
n=9
9 7 5.0)u(
21
?? ?
?
u0.975=1.96,代入得
??? ?
? n
uX
21
4.412,???
?? nuX
21
5.588,
所求置信区间为 (4.412,5.588)
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本,
2） σ2未知,求 μ的置信度为 1-α置信区间,
(1)选择包含 μ的分布已知函数,
(2)构造 T的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
n/S
X~T ?? )1n(t~ ?
)1n(t 2/1 ??? X
f(x)
α/2 α/2 ????? ?? 1)}1n(t|T{|P 2/1
?????
?????
??
??
1}
n
S
)1n(tX
n
S
)1n(tX{
2/1
2/1
)nS)1n(tX,nS)1n(tX( 2/12/1 ???? ????
1-α
例 7.4.2用某种仪器间接测量温度, 重复测量 5次得温度数
据如下 （ 单位：摄氏度 ） 1250,1265,1245,1260，
1275。 假设仪器无系统误差, 测量值 X服从正态分布,
试以 95%的置信度估计温度真值的置信区间 。
解：用统计量
n/S
X~T ??
%5,5n ??? 查 t分布表得 7 7 6.2)4(t)1n(t 975.0
2
a1 ????
经计算 1259)1275124512651250(51x ?????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.142]1259127512591260125912451259126512591250[41s 222222 ???????????
置信下限为 18.1 2 44
5
5.142776.21 2 59
n
s)1n(tx
2
a1 ?????? ?
置信上限为 82.1 2 7 35 5.142776.21 2 5 9ns)1n(tx
2
a1 ?????? ?
所求置信区间为（ 1244.18,1273.82）
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本,
3）求 σ2置信度为 1-α的置信区间,
( 1 ) 总体均值 ? 已知
2? 的无偏估计为 ?
?
????
n
1i
2
in
12 )X(?,且 )n(~
?n 2
2
2
2 ?
?
?
??,
对 给定的 ?,由于
???????? ?? ? 1)}n()n({P 2122
22,
解 不等式 )n()n( 2122
22
?? ??????,可得
2? 的置信度为 ??1 的
置 信区间是,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
??
?
?
?
)n(
)X(
,
)n(
)X(
2
n
1i
2
i
2
1
n
1i
2
i
22
X
f(x)
(a)选择包含 σ2的分布已知函数,
(c)变形得到 σ2的 1-α置信区间,
2
2
2 S)1n(
?
??? )1n(~ 2 ??
???????? 1}{P 221
α/2 α/2
λ1 λ2
)1n(2 2/1 ?? ??)1n(2 2/ ???
??????
?
?
???
??
?
1)}1n(
S)1n(
)1n({P
2
2/1
2
2
2
2/
)
)1n(
S)1n(,
)1n(
S)1n((
2
2/
2
2
2/1
2
??
?
??
?
???
( 2 ) 总体均值 ? 未知
(b)构造 的 一个 1-α区间, 2?
例 7.4.3 设炮弹速度服从正态分布，现抽 9发炮弹做试
验，得样本方差 s2=11(m/s)2,分别求炮弹速度方差 ?2和
标准差 ?的置信度为 90%的置信区间。
解：由题意知 %901,9n ????
查表得 5 0 7.15)8(,7 3 3.2)8( 2
21
2
2
???? ???
所以 ?2的置信下限为 6 75.55 07.15 11)19()1n(x s)1n(
2
a1
2
??????
?
?2的置信下限为 1 9 9.327 3 3.2 11)19()1n(x s)1n( 2
2
a
2
??????
故 ?2的置信区间是（ 5.675,32.199)
?的置信区间是（ 2.38,5.67)
2.两个正态总体均值差的区间估计,
设原总体 X~N(μ1,σ12),改变后的总体 Y~ N(μ2,σ22),X,Y相互独
立,从中分别抽取容量为 n1,n2的样本,样本均值和样本方差分
别记为,,;,2
221 SYSX
1) σ12,σ22已知,μ1- μ2的 1-α置信区间,
)1,0(N~
n/n/
)()YX(U
2
2
21
2
1
21
???
??????
(1)选择包含 μ1- μ2的分布已知函数,
(2)构造 Z的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ1- μ2的 1-α置信区间,
?????? ???? 1)uUu{P
2121
)
nn
u)YX(,
nn
u)YX((
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
??????????
????
]21)u([
21
????
??
例 7.4.4 为考察工艺改革前后所纺线纱的断裂强度的变
化大小，分别从改革前后所纺线纱中抽取容量为 80和
70的样本进行测试，算得样本均值和样本方差分别为
5.32和 5.76。假定改革前后线纱断裂强度分别服从正
态分布，其方差分别为 21.82和 1.762，试求改革前后线
纱平均断裂强度之差的置信度为 95%的置信区间。
解,由题意知
222221 76.1,18.2,76.5y,32.5x ??????
%5%,951,70n,80n 21 ???????
差正态分布表得
96.1uu 9 7 5.02/1 ????
置信下限为
2
2
2
1
2
1
21 nn
uyx ????? ?
?
07.17076.1802, 1 81, 9 6-5, 7 6-5, 3 2
22
?????
置信上限为
2
2
2
1
2
1
21 nn
uyx ????? ?
?
19.07076.1802, 1 81, 9 65, 7 6-5, 3 2
22
?????
所以，所求的置信区间为
)19.0,07.1( ?
2) σ12=σ22=σ2,σ2未知,μ1- μ2的 1-α置信区间,
)2nn(t~
n/1n/1S
)()YX(T
21
21w
21 ??
?
??????
(1)选择包含 μ1- μ2的分布已知的函数,
(2)构造 T的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ1- μ2的 1-α置信区间,
)
n
1
n
1
S)2nn(t)YX(
,
n
1
n
1
S)2nn(t)YX((
21
w212/1
21
w212/1
?????
?????
??
??
?????? ?? 1)}2nn(t|T{|P 212/1
例 7.4.5 为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，现
选 20块条件大致相同的地块。 10块不施磷肥，另外 10
块施磷肥，得亩产量（单位,500克）如下,
不施磷肥亩产
560 590 560 570 580 570 600 550 570 550
施磷肥亩产
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产都服从正态分布，且
方差相同，取置信度为 0.95，试对施磷肥平均亩产
和不施磷肥平均亩产之差作区间估计。
解,设不施磷肥亩产 ),(N~X
21 ??
施磷肥亩产 ),(N~Y 22 ??
计算得
2 4 0 0)xx(s)1n(570x
10
1i
2
i
2
11 ????? ?
?
，
6400)yy(s)1n(600y 10
1i
2
i
2
22 ????? ?
?
,2221010
6 4 0 02 4 0 0s
w ???
??
查表得 1 0 0 9.2)18(t
21
???
12 ??? 的置信下限为
9
10
1
10
1
221 0 09.2570600
n
1
n
1
s)2nn(txy
21
21
2
a
1
???????
????? ?
?
12 ??? 的置信上限为
51
10
1
10
1
221 0 09.2570600
n
1
n
1
s)2nn(txy
21
21
2
a
1
???????
????? ?
?
所求的置信区间是（ 9.51）
例 7.4.6 某工厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱,
分别从两条流水线上抽取随机样本, 12 2 1,,,X X X ?
和 17 2 1,,,Y Y Y ?,计算出 6, 10 ? X ( 克 ),5, 9 ? Y ( 克 ),
7, 4,4, 2 2 2 2 1 ? ? S S, 假设这两条流水线上听装番茄酱
的重量都服从正态分布,其总体均值分别为 1 ?,2 ?,
且有相同的总体方差, 试求总体均值差 1 ? - 2 ? 的
区间估计,置信系数为 0.95,
3.两个正态总体方差比 σ12/σ22的 1-α置信区间,
(1)选择包含 σ12/σ22 的分布已知函数,
(2)构造 F的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 σ12/σ22 的 1-α置信区间,
)1n,1n(F~
/S
/S
122
1
2
1
2
2
2
2 ??
?
?
)1n,1n(F 12
2
???
X
f(x)
α/2 α/2
)1n,1n(F 12
21
????
λ1 λ2
1-α
P{λ1<F< λ2}=1-α
)1n,1n(F
1
212/1 ????
)
S
S
)1n,1n(F
1
,
S
S
)1n,1n(F
1
( 2
2
2
1
21
2
2
2
2
1
21
2
1
???? ??
?
???
?
???
? ????
??? 2
2
2
1
12
21
2
2
2
1
12
2 S
S)1n,1n(F,
S
S)1n,1n(F
例 7.4.7 两名化验员甲，乙独立地对某种聚合物的含氯
量用相同的方法各作了 10次测定，其测定值的样本方
差分别为 0.5419,0.6065，设两总体均服从正态分布，
求总体方差之比的置信度为 95%的置信区间。
解,设甲，乙两人对应总体的方差分别为 2221,??
由题意知 6 0 6 5.0s5 4 1 9.0s 2221 ??
查表得 03.4)9,9(F)1n,1n(F
975.0212/1 ??????
2
2
2
1
?
? 的置信下限为 222.0
03.4
1
6 0 65.0
5 4 19.0
)1n,1n(F
1
s
s
21
21
2
2
2
1 ???
???
?
2
2
2
1
?
? 的置信上限为
601.303.46065.0 5419.0)1n,1n(F 1ss
21
2
2
2
2
1 ???
???
所求置信区间为 (0.222,3.601)
例 7.4.8 为了比较用两种不同方法生产的某种产品的寿命
而进行一项试验, 试验中抽选了由方法一生产的 16 个产品
组成一随机样本,其方差为 1200 小时 ; 又抽选了由方法二
生产的 21 个产品组成另一随机样本,得出的方差为 800
小时, 试以 95% 的可靠性估计两总体方差之比的置信区间,
解 设方法一生产的产品的寿命为 ),(~ 211 ??NX,
方法二生产的产品的寿命 ),(~
2
22 ??NY,现在
要求
2
2
2
1 / ?? 的置信度为 9 5 % 的置信区间,
实际操作起来,依据样本,按照第三步 求 出的 置
信区间,查 出分位数,算 得上下限,最后 写 出数值区间
??1
单正态总体参
数的区间估计
双正态总体
区间估计
小结,
?
期望的区间估计
方差的区间估计
?
σ2已知
σ2未知
U
T
?
均值差的区间估计
方差比的区间估计
?
两个方差都已知
两个方差未知但相等
U
T
F
2?
用所获得的样本值去估计参数取值称为
参数估计,
参
数
估
计
?
点估计
区间估计
用某一数值作为
参数的近似值
?
在要求的精度范围内
指出参数所在的区间
数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体,
推断的基本内容包括两个方面,一是依据样本寻找
总体未知参数的近似值和近似范围 ;二是依据样本
对总体未知参数的某种假设作出真伪判断,本章先
介绍求近似值和近似范围的方法,
第七章 参数估计
第 7.1节 点估计
1.定义 总体 X的分布函数为 F(x;θ 1,θ 2,… θ k),θ i为未知
参数 (i=1,2,…,k),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,若以
函数值 (x1,x2,…,xn)作为 θ i的近似值,则称 为 θ i
的 估计值 (抽样后 ),也称 为 θ i
的 估计量 (抽样前 ).由于估计值 (实数 )与实数轴的点对应,
姑且又称 为 θ i的点估计 (量或值 ),
ii ?? ??? i??
)X,,X,X(?? n21ii ????
i??
即, 选择统计量
估计量 带入样本值 估计值
X分布为 F(x;θ)[θ待估 ]
2 点估计方法
( 1 ) 矩估计法
将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代,
布列方程或方程组,所得到的解,作为总体未知参数
的点估计的方法,
例 7.1.1 设总体 ),0 ( ~ ? U X,n X X X,,,2 1 ? 为取自该总体的样本,
求未知参数 ? 的矩估计量,
解 因为
2
)(
?
?XE,所以由 X?
2
?
,可解得 X2??,
故未知参数 ? 的矩估计量为 X2? ??,
矩估计法的步骤
设总体 X的分布函数为 ),,,;x(F m21 ??? ?,m21 ???,，,?
为未知参数,
1.求总体 X的 k阶原点矩
,m,,2,1k),X(E),,,(q km21k ?? ?????
2.解方程 (组 ) ? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mm21m
2m212
1m211
A,,,q
A,,,q
A,,,q
?
?????????
?
?得
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
)A,,A,A(h
)A,,A,(h
)A,,A,(h
m21mm
m2122
m2111
?
??????????
?
?
3.写出矩估计量 m,,2,1k)A,,A,A(h? m21kk ?? ???
注, ?
?
? n
1i
k
ik Xn
1A 为样本 k阶原点矩
例 7.1.2 设总体 ]b,a[U~X,求参数 a,b的矩估计量,
解,
??
?
?
? ?
??
其它0
]b,a[x
ab
1
)x(f~X
2
badx
ab
x)X(E b
a
??
?? ? )baba(31dxab x)X(E 22ba
2
2 ???
?? ?
解方程组
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
2
22
1
A
3
baba
A
2
ba
得
2121 AA3Aa ????
2121 AA3Ab ????
所求的矩估计量为
?
??
?
??
????
????????
n
1i
22
i
2
i
n
1i
2
n
1i
2
i
)XX(
n
1
3Xb?
)XX(
n
1
3XXX
n
1
3Xa?
1) 似然函数 (样本的联合密度函数 )
(1) 设总体 X为 连续型,X～ f(x;θ 1,θ 2,… θ m),θ i为待
估参数 (i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,则
Xi～ f(xi;θ 1,θ 2,… θ m),(i=1,2,…,m)
（ X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为
?
?
???????
n
1i
m21im21n21 ),...,,;x(f),...,,;x,...,x,x(L
(似然函数 )
如 X~E(λ),即
?
?
?
?
???? ??
0x0
0xe);x(f~X x则
?
?
?
?
???? ??
0x0
0xe);x(f~X
i
i
x
ii
i
?
?
???
n
1i
in21 ),x(f);x,.,.,x,x(L ?
?
?
?
?
????
? ??
??
其它0
0x,.,.,0x,0xe n21
n
1i
x i
2 最大似然估计法
似然函数 (样本的联合分布律 )
（ 2） 设总体 X为 离散型,P{X=x}=P(x;θ 1,…,θ m),θ i为待
估参数 (i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,则
P{Xi=xi}=P(xi;θ 1,θ 2,… θ m),(i=1,2,…,m)
（ X1,X2,…,Xn）的联合分布律为
?
?
???????
n
1i
m21im21n21 ),...,,;x(P),...,,;x,...,x,x(L
(似然函数 )
如 X~P(λ),即 ????? e
!m}mX{P
m
????? e
!x}xX{P
x
?
?
???
n
1i
in21 ),x(P);x,...,x,x(L
????? e
!x
);x(P
i
x
i
i
?
?
????
n
1i i
x
e!x
i
2）基本思想
甲,乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中,
可以认为,甲射击技术优于乙射击技术,
事件 A发生的概率为 0.1或 0.9,观察一次,事件 A发生了,
可以认为,事件 A发生的概率为 0.9,
实际问题 (医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量
检验等 )尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在
获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观
察结果出现的可能性最大,
最大似然估计就是通过样本值 等数求得总体的
分布参数,使得 取值为 的概率最大,
n1 X,,X ?
n1 x,,x ?
n1 x,,x ?
样本观察值出现可能性的大小跟似然函数在该样本值
处的函数值有关,L越大,样本观察值越可能出现, 所以
若似然函数 在
取到最大值,则称 分别为 的
最大似然估计,
),.,,,,;x,.,,,x,x(L m21n21 ??? m21,...,,??? ???
m21,...,,???
???
m21,...,,???
最大似然估计定义为,
3）方法与步骤
设总体的分布密度 (或概率密度 )
其中 是待估参数,
),,;x(f m1 ?? ?
m1,,?? ?
（ 1）写出似然函数 (即样本的联合密度函数 )
?
?
??????
n
1i
m1im1n1 ),,;x(f),,;x,,x(LL ???
（ 2）写出对数似然函数 (对似然函数求导 )
?
?
???
n
1i
m1i ),,;x(flnLln ?
（ 3）写出似然方程
m,2,1i,0
i
Lln ???
??
?
（ 4）求解似然方程并写出估计量 m,,3,2,1i,?
i ???
(只有一个待估参数时求 ) ?d Llnd
例 7.1.3 求参数 为 p的 0-1分布的最大似然估计,
解, P{X=0}=1-p
P{X=1}=p P{X=m}=p
m(1-p)1-m(m=0,1)
?
P{X=x}=px(1-p)1-x ?
?
??
n
1i
x1x ii )p1(p
)p1l n ()xn(pln)x(
n
1i
i
n
1i
i ??? ??
??
?
?
?
? ??
?
n
1i
i
n
1i
i xnx
)p1(p
0
p1
xn
p
x
n
1i
i
n
1i
i
?
?
?
?
??
?? 0)xn(px)p1( n
1i
i
n
1i
i ???? ??
??
?)p;x,...,x,x(L n21
?Lln
?dp Llnd
解得 ?
?
?
n
1i
iXn
1p 最大似然估计为
XXn1p
n
1i
i ?? ?
?
?
例 7.1.4.X~N(μ,σ2),求参数 μ,σ2的最大似然估计,
解,
2
2
2
)x(
2 e
2
1),,x(f ????
??
??? 2
2
2
)x(
2
e
2
1 ????
??
?
?
?
?
???
??
n
1i
2
)x(
2
2
2
i
e
2
1 ??? ),;x,...,x,x(L
2n21 ?
??
? ?
??
?
?
n
1i
2
i2 )x(2
1
n
2
e)
2
1(
?Lln ? ??
???? ?
n
1i
2
i22 )x(2
1)
2
1l n (n
? ????????
?
n
1i
2
i2
2 )x(
2
12ln
2
n
0)x(1
n
1i
2
i2 ????? ?
?
0)x(2 12 n
n
1i
2
i42 ??????? ?
?
?
???? Lln
???? 2Lln ?
XXn1
n
1i
i ??? ?
?
?
??
??
??????
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2 )Xx(
n
1)x(
n
1?
例 7.1.5.设 X服从 [0,λ]区间上的均匀分布,参数
λ>0,求 λ的最大似然估计,
解,由题意得,
??
?
?
? ???
???
其它0
x0
1
);x(f~X
?? );x,...,x,x(L n21
??
?
?
? ???
?
其它0
x,...,x,x0
1
n21n
??d Llnd 0n 1n ?
?? ?
无解, 基本方法失效,
考虑 L的取值,要使 L取值最大,λ应最小,??? n21 x,...,x,x0
取 )x,...,x,xm a x ( n21?? 此时,L取值最大,
所以,所求最大似然估计为 )x,...,x,xm a x (
n21??
?
应用最大似然估计基本思想, L越大,样本观察值越可能出现,
例 7.1.6设总体 X～
?
?
? ???????
?
?
其他,0
1,1x0,x)1()x(f
其中 是未知参数, 是来自总体的一个容量为 n
的 s.r.s,求 的最大似然估计,
? n1 X,,X ?
?
解,由题意得,
?? );x,...,x,x(L n21
当 时,)n,.,,,2,1i(1x0
i ???
?Lln ]x[)1l n (
n
1i
i
n ?
?
??? ?
?
?????
n
1i
ixln)1l n (n
??d Llnd 0xln
1
n n
1i
i ???? ?
?
所求最大似然估计为 ?
?
???? n
1i
iXln
n1?
?
?
?
?
?
??????
?
?
其它0
n,.,,,2,1i,1x0x)1( i
n
1i
i
同一个未知参数的矩估计量和
最大似然估计量不一定一样 (如正态分布的
完全一样,而均匀分布的就不一样 ),
注意,
2.(991) 设总体的概率密度为
是取自总体的 s.r.s 。求 的矩估计量、
矩估计量的方差及最大似然估计量。
?
?
? ?????
? ?
其他,0
x0),x(
)x(f
3
x6
n1 X,,X ? ?
1.(971) 设总体的概率密度为
其中 是未知参数, 是来自总体的一个
容量为 n 的 s.r.s,求 的矩估计量及极大似然
估计量,
?
?
? ???????
?
?
其他,0
1,1x0,x)1(
)x(f
? n1 X,,X ?
?
练
习,
3,顺序统计量法
直观解释,用样本中位数 Me估计总体中位数,
用样本极差 R估计总体标准差,
注,当总体为连续型且分布密度为对称时,总体中位数即
是总体的数学期望,
定理, 设 X1,X2,…,X n是来自正态总体 N(?,?2)的样本,Me
是样本中位数,则有
)n()1,0(N)Me(n2 2 ???????
可以看出,当 n充分大时 )n2,(N~M 2e ???
因此,可取
eM? ??
例 7.1.7.设某种灯泡寿命 X~N(μ,σ2),随机抽取 7只灯泡测得
寿命为 (单位,小时 )
1575,1503,1346,1630,1575,1453,1950
(1) 用顺序统计量法估计 μ 用顺序统计量法估计
(2) 用矩法及最大似然估计法估计 μ
解, (1) 顺序统计量 )X,,X,X( )n()2()1( ?的观测值分别为
1346,1453,1503,1575,1575,1630,1950
所以 1 5 7 5xMe? )4( ????
(2) 由前知 1576x
7
1x? 7
1i
i ???? ?
?
注, )10n(XXR?
)1()n( ????? (极差估计法 )
第 7.2节 估计量的评价标准
容易明白,对同一个未知参数,采用不同的方法
找到的点估计可能不同,那么,自然要问,究竟是
用哪一个更“好”些呢?这里介绍三个评价标
准,
无偏性 标准一,
设 为 θ的一个点估计,若
则称 为 θ的一个 无偏估计,
??
??
,)?(E ???
注意,无偏估计不是唯一存在,
标准二, 有效性 (方差最小性 )
设 和 是 的两个无偏估计,若
则称 比 更 有效
?2??
)?(D)?(D 21 ??? 1??
1??
2??
如果 ???)?(E ???)?(E ??
若
??? )?(Elim ??
,那么 称为 的偏差,
则称 是 θ的 渐进 无偏估计,
例 7.2.1验证, 是总体 X方差的
一个无偏估计 ; 不是方差的无偏估计, ?? ???
n
1i
2
i
2 )XX(
1n
1S
?
?
??
n
1i
2
i
2
0 )XX(n
1S
解,
)]X(nE)X(E[1n 1ES 2
n
1i
2
i
2 ?
?? ??
?
?
?
n
1i
2
i )XX( ??
???
n
1i
2
i
2
i )XXX2X(
2
n
1i
i
n
1i
2
i XnXX2X ??? ??
??
2
n
1i
2
i Xn?? ?
?
)X(E1n nEX1n n 22 ????
])XE(XD)EX(DX[1n n 22 ?????
]XDDX[1n n ??? ]nDXDX[1n n ??? =DX
所以,S2为 DX的无偏估计量,
ES2=DX,,S
n
1nS 22
0
??
故
22
0 ESn
1nES ??
DXn 1n ??
所以,不是 DX的无偏估计量, 20S
例 7.2.2.设 X1,X2,X3为来自总体 X的简单随机样
本,EX=μ,DX=σ2,验证下列统计量哪个更有效,
32133212211 X3
1X
3
2X
2
1?,X
3
1X
3
1X
3
1?,X
2
1X
2
1? ???????????
解,
]X21X21[E?E 211 ???
??????? 65EX65EX31EX32EX21?E 3213
,EXEX31EX31EX31?E 3212 ???????
21 EX2
1EX
2
1 ?? =EX=μ
]X21X21[D?D 211 ??? 21 DX41DX41 ?? =DX/2=σ2/2
同理
,3/DX91DX91DX91?D 23212 ??????
21,??
?? 为无偏估计量,,DD
21 ???
??
2?
? 更有效,
是来自 X的 s.r.s,试证, 为
的无偏估计,且 比 更有效,
)nk(,X?,X?
k
1i
ik
1
21 ????? ?
?
??)X(E 1?? 2??
n1 X,,X ?
例 7.2.3 设总体 X 的方差存在
证明, ?
?
???
n
1i
i1 )Xn
1(EXEE ?
in E Xn
1? ??
?
?
??
k
1i
i2 )Xk
1(EE ?
ik E Xk
1? ??
?
?
???
n
1i
i1 )Xn
1(DXDD ?
i2 n Xn
1?
n
2?
?
?
?
??
k
1i
i2 )Xk
1(DD ?
i2 DXkk
1?
k
2?
?
,21 DD ??? ??
样本
容量
越大,
样本
均值
估计
值越
精确,
标准三, 相合性 (一致性 )
设统计量 是未知参数 的点估
计量,样本容量为 n,若对任意
,则称 为 的相合
估计,又称一致估计,
?? ?
? ? 1?Plimn ????????
,0??
?? ?
相合性表明,当样本容量充分大时,事件
“相合估计量充分接近被估计未知参数的概率”
接近于 1,换言之,当样本容量充分大时,事件
,相合估计量与被估未知参数偏离较大”的概
率接近于零,以后,将概率很小的事件被称为小
概率事件,
在实际中,常常以样本均值作为总体均值的
点估计,以样本方差作为总体方差的点估计,
3.期望和方差的点估计
期望的点估计,
选择估计量 ?
?
?
n
1i
iXn
1X
?
(1)无偏性
(2)样本容量越大,估计值 越有效
方差的点估计,
选择估计量 ?
?
???
n
1i
2
i
2 )XX(
1n
1S (无偏估计量 )
标准差的点估计,
选择估计量 ?
?
???
n
1i
2
i )XX(1n
1S
(非无偏估计量 )
注意, ?
?
??
n
1i
2
i
2
0 )XX(n
1S (非无偏估计量 )
点估计有使用方便、直观等优点,但他
并没有提供关于估计精度的任何信息,为此
提出了未知参数的区间估计法,
如,对明年小麦的亩产量作出估计为,
即, 若设 X表示明年亩产量,则估计结果为
P{800≤X≤1000}=80%
明年小麦亩产量八成为 800-1000斤,
区间估计
第 7, 3 节 区间估计
1,区间估计的定义
设总体分布中含有未知参数,根据来自该总体的 s.r.s,
如果能够找到两个统计量,使得随机区间
包含 达到一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参
数的 区间估计,即
当 成立时,
称概率 为 置信度或置信水平 ;
称区间 是 的置信度为 的 置信区间 ;
分别称为 置信下限 和 置信上限,
?
21,?? ),( 21 ??
?
,1}{P 21 ???????? )10( ???
??1
),( 21 ?? ? ??1
21,??
注意,点估计给出的是未知参数的一个近似值 ;
区间估计给出的是未知参数的一个近似范围,
并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度,
例 7.3.1 总体均值 的 95%置信区间
的意义是 ( )
?
① 这个区间平均含总体的 95%的值②
这个区间平均含样本的 95%的值③这
个区间有 95%的机会含 的真值④这
个区间有 95%的机会含样本均值,
?
3
例 7.3.2 总体分布中未知参数 的 置信区间
为,则在下列说法中,正确的说法有 ( )个
?
),( 21 ??
??1
① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5
说法 1,以概率 包含 ;
说法 2,以概率 落入 ;
说法 3,不包含 的概率为 ;
说法 4,以 的概率落在 之外 ;
说法 5,以 估计 所在范围时,所犯错误
的概率为
),( 21 ?? ??1 ?
? ),( 21 ????1
),( 21 ?? ? ?
? ? ),( 21 ??
),( 21 ?? ?
?
2
例 7.3.3.设总体 X~N(μ,σ2),其中 σ2已知,
X1,X2,…,X n为 X 的 一个样本,求一个区间,使之以 1-α的 概
率 包含 μ的真值,
解 (1)选择包含 μ的分布已知函数,
n/
XU
?
???
(2)构造 U的 一个 1-α区间,
不妨设 P{|U|<λ}=1-α,则
21
u ????
]21)u([
21
????
??
λ为 U的 100(1-α/2)% 分位
数
?
即 ????
?
????
???? 1}un/
Xu{P
2121
)1,0(N~
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
?????????? ?
???
1)nuXnuX{P
2121
所求 1-α置信区间为 )
nuX,nuX( 2121
????
????
α/2 α/2
X
φ(x)
1-α
=z1-α/2 λ -λ
P{|U|<λ}=1-α
置信区间不是唯一的,对于同一个置信度,
可以有不同的置信区间,置信度相同时,当然置信
区间越短越好,一般来说,置信区间取成对称区间
或概率对称区间,
注意,
2,求置信区间的方法与步骤,
第一步 构造一个含未知参数的分布
已知的随机变量 (样本的函数 )U,U中除待估
参数外不含其它任何未知参数,一般是从未
知参数的点估计着手,再进行 "加工 "来构造 ;
第二步 对给定的置信度,根据 U的
分布定出满足 的 a,b(叫 分
位数 或 临界点 );
??1
????? 1}bUa{P
第三步 利用不等式变形,求出未知参
数的 置信区间, ??1
1.单一正态总体均值与方差的区间估计,
(1)选择包含 μ的分布已知函数,
(2)构造 U的 一个 1-α区间,
????
?
????
???? 1)un/
Xu{P
2
1
2
1
n/
XU
?
??? )1,0(N~
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
)
n
uX,
n
uX(
2
1
2
1
????
????
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本,
1） σ2已知,求 μ的置信度为 1-α的置信区间
]
2
1)u([
2
1
????
??
第 7.4节 正态总体均值与方差的区间估计
例 7.4.1.设总体 X~N(μ,0.92),X1,X2,…,X 9为来自
总体的简单随机样本，样本均值为 5，求 μ的置信
度为 95%的置信区间。
解,由题意得,,5.0,9.0,5X 22 ?????
这是方差已知的总体均值的区间估计，结果为
)
n
uX,
n
uX(
2121
????
????
其中
?
n=9
9 7 5.0)u(
21
?? ?
?
u0.975=1.96,代入得
??? ?
? n
uX
21
4.412,???
?? nuX
21
5.588,
所求置信区间为 (4.412,5.588)
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本,
2） σ2未知,求 μ的置信度为 1-α置信区间,
(1)选择包含 μ的分布已知函数,
(2)构造 T的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
n/S
X~T ?? )1n(t~ ?
)1n(t 2/1 ??? X
f(x)
α/2 α/2 ????? ?? 1)}1n(t|T{|P 2/1
?????
?????
??
??
1}
n
S
)1n(tX
n
S
)1n(tX{
2/1
2/1
)nS)1n(tX,nS)1n(tX( 2/12/1 ???? ????
1-α
例 7.4.2用某种仪器间接测量温度, 重复测量 5次得温度数
据如下 （ 单位：摄氏度 ） 1250,1265,1245,1260，
1275。 假设仪器无系统误差, 测量值 X服从正态分布,
试以 95%的置信度估计温度真值的置信区间 。
解：用统计量
n/S
X~T ??
%5,5n ??? 查 t分布表得 7 7 6.2)4(t)1n(t 975.0
2
a1 ????
经计算 1259)1275124512651250(51x ?????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.142]1259127512591260125912451259126512591250[41s 222222 ???????????
置信下限为 18.1 2 44
5
5.142776.21 2 59
n
s)1n(tx
2
a1 ?????? ?
置信上限为 82.1 2 7 35 5.142776.21 2 5 9ns)1n(tx
2
a1 ?????? ?
所求置信区间为（ 1244.18,1273.82）
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本,
3）求 σ2置信度为 1-α的置信区间,
( 1 ) 总体均值 ? 已知
2? 的无偏估计为 ?
?
????
n
1i
2
in
12 )X(?,且 )n(~
?n 2
2
2
2 ?
?
?
??,
对 给定的 ?,由于
???????? ?? ? 1)}n()n({P 2122
22,
解 不等式 )n()n( 2122
22
?? ??????,可得
2? 的置信度为 ??1 的
置 信区间是,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
??
?
?
?
)n(
)X(
,
)n(
)X(
2
n
1i
2
i
2
1
n
1i
2
i
22
X
f(x)
(a)选择包含 σ2的分布已知函数,
(c)变形得到 σ2的 1-α置信区间,
2
2
2 S)1n(
?
??? )1n(~ 2 ??
???????? 1}{P 221
α/2 α/2
λ1 λ2
)1n(2 2/1 ?? ??)1n(2 2/ ???
??????
?
?
???
??
?
1)}1n(
S)1n(
)1n({P
2
2/1
2
2
2
2/
)
)1n(
S)1n(,
)1n(
S)1n((
2
2/
2
2
2/1
2
??
?
??
?
???
( 2 ) 总体均值 ? 未知
(b)构造 的 一个 1-α区间, 2?
例 7.4.3 设炮弹速度服从正态分布，现抽 9发炮弹做试
验，得样本方差 s2=11(m/s)2,分别求炮弹速度方差 ?2和
标准差 ?的置信度为 90%的置信区间。
解：由题意知 %901,9n ????
查表得 5 0 7.15)8(,7 3 3.2)8( 2
21
2
2
???? ???
所以 ?2的置信下限为 6 75.55 07.15 11)19()1n(x s)1n(
2
a1
2
??????
?
?2的置信下限为 1 9 9.327 3 3.2 11)19()1n(x s)1n( 2
2
a
2
??????
故 ?2的置信区间是（ 5.675,32.199)
?的置信区间是（ 2.38,5.67)
2.两个正态总体均值差的区间估计,
设原总体 X~N(μ1,σ12),改变后的总体 Y~ N(μ2,σ22),X,Y相互独
立,从中分别抽取容量为 n1,n2的样本,样本均值和样本方差分
别记为,,;,2
221 SYSX
1) σ12,σ22已知,μ1- μ2的 1-α置信区间,
)1,0(N~
n/n/
)()YX(U
2
2
21
2
1
21
???
??????
(1)选择包含 μ1- μ2的分布已知函数,
(2)构造 Z的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ1- μ2的 1-α置信区间,
?????? ???? 1)uUu{P
2121
)
nn
u)YX(,
nn
u)YX((
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
??????????
????
]21)u([
21
????
??
例 7.4.4 为考察工艺改革前后所纺线纱的断裂强度的变
化大小，分别从改革前后所纺线纱中抽取容量为 80和
70的样本进行测试，算得样本均值和样本方差分别为
5.32和 5.76。假定改革前后线纱断裂强度分别服从正
态分布，其方差分别为 21.82和 1.762，试求改革前后线
纱平均断裂强度之差的置信度为 95%的置信区间。
解,由题意知
222221 76.1,18.2,76.5y,32.5x ??????
%5%,951,70n,80n 21 ???????
差正态分布表得
96.1uu 9 7 5.02/1 ????
置信下限为
2
2
2
1
2
1
21 nn
uyx ????? ?
?
07.17076.1802, 1 81, 9 6-5, 7 6-5, 3 2
22
?????
置信上限为
2
2
2
1
2
1
21 nn
uyx ????? ?
?
19.07076.1802, 1 81, 9 65, 7 6-5, 3 2
22
?????
所以，所求的置信区间为
)19.0,07.1( ?
2) σ12=σ22=σ2,σ2未知,μ1- μ2的 1-α置信区间,
)2nn(t~
n/1n/1S
)()YX(T
21
21w
21 ??
?
??????
(1)选择包含 μ1- μ2的分布已知的函数,
(2)构造 T的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ1- μ2的 1-α置信区间,
)
n
1
n
1
S)2nn(t)YX(
,
n
1
n
1
S)2nn(t)YX((
21
w212/1
21
w212/1
?????
?????
??
??
?????? ?? 1)}2nn(t|T{|P 212/1
例 7.4.5 为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，现
选 20块条件大致相同的地块。 10块不施磷肥，另外 10
块施磷肥，得亩产量（单位,500克）如下,
不施磷肥亩产
560 590 560 570 580 570 600 550 570 550
施磷肥亩产
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产都服从正态分布，且
方差相同，取置信度为 0.95，试对施磷肥平均亩产
和不施磷肥平均亩产之差作区间估计。
解,设不施磷肥亩产 ),(N~X
21 ??
施磷肥亩产 ),(N~Y 22 ??
计算得
2 4 0 0)xx(s)1n(570x
10
1i
2
i
2
11 ????? ?
?
，
6400)yy(s)1n(600y 10
1i
2
i
2
22 ????? ?
?
,2221010
6 4 0 02 4 0 0s
w ???
??
查表得 1 0 0 9.2)18(t
21
???
12 ??? 的置信下限为
9
10
1
10
1
221 0 09.2570600
n
1
n
1
s)2nn(txy
21
21
2
a
1
???????
????? ?
?
12 ??? 的置信上限为
51
10
1
10
1
221 0 09.2570600
n
1
n
1
s)2nn(txy
21
21
2
a
1
???????
????? ?
?
所求的置信区间是（ 9.51）
例 7.4.6 某工厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱,
分别从两条流水线上抽取随机样本, 12 2 1,,,X X X ?
和 17 2 1,,,Y Y Y ?,计算出 6, 10 ? X ( 克 ),5, 9 ? Y ( 克 ),
7, 4,4, 2 2 2 2 1 ? ? S S, 假设这两条流水线上听装番茄酱
的重量都服从正态分布,其总体均值分别为 1 ?,2 ?,
且有相同的总体方差, 试求总体均值差 1 ? - 2 ? 的
区间估计,置信系数为 0.95,
3.两个正态总体方差比 σ12/σ22的 1-α置信区间,
(1)选择包含 σ12/σ22 的分布已知函数,
(2)构造 F的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 σ12/σ22 的 1-α置信区间,
)1n,1n(F~
/S
/S
122
1
2
1
2
2
2
2 ??
?
?
)1n,1n(F 12
2
???
X
f(x)
α/2 α/2
)1n,1n(F 12
21
????
λ1 λ2
1-α
P{λ1<F< λ2}=1-α
)1n,1n(F
1
212/1 ????
)
S
S
)1n,1n(F
1
,
S
S
)1n,1n(F
1
( 2
2
2
1
21
2
2
2
2
1
21
2
1
???? ??
?
???
?
???
? ????
??? 2
2
2
1
12
21
2
2
2
1
12
2 S
S)1n,1n(F,
S
S)1n,1n(F
例 7.4.7 两名化验员甲，乙独立地对某种聚合物的含氯
量用相同的方法各作了 10次测定，其测定值的样本方
差分别为 0.5419,0.6065，设两总体均服从正态分布，
求总体方差之比的置信度为 95%的置信区间。
解,设甲，乙两人对应总体的方差分别为 2221,??
由题意知 6 0 6 5.0s5 4 1 9.0s 2221 ??
查表得 03.4)9,9(F)1n,1n(F
975.0212/1 ??????
2
2
2
1
?
? 的置信下限为 222.0
03.4
1
6 0 65.0
5 4 19.0
)1n,1n(F
1
s
s
21
21
2
2
2
1 ???
???
?
2
2
2
1
?
? 的置信上限为
601.303.46065.0 5419.0)1n,1n(F 1ss
21
2
2
2
2
1 ???
???
所求置信区间为 (0.222,3.601)
例 7.4.8 为了比较用两种不同方法生产的某种产品的寿命
而进行一项试验, 试验中抽选了由方法一生产的 16 个产品
组成一随机样本,其方差为 1200 小时 ; 又抽选了由方法二
生产的 21 个产品组成另一随机样本,得出的方差为 800
小时, 试以 95% 的可靠性估计两总体方差之比的置信区间,
解 设方法一生产的产品的寿命为 ),(~ 211 ??NX,
方法二生产的产品的寿命 ),(~
2
22 ??NY,现在
要求
2
2
2
1 / ?? 的置信度为 9 5 % 的置信区间,
实际操作起来,依据样本,按照第三步 求 出的 置
信区间,查 出分位数,算 得上下限,最后 写 出数值区间
??1
单正态总体参
数的区间估计
双正态总体
区间估计
小结,
?
期望的区间估计
方差的区间估计
?
σ2已知
σ2未知
U
T
?
均值差的区间估计
方差比的区间估计
?
两个方差都已知
两个方差未知但相等
U
T
F
2?
