第二章 随机变量及其分布
第 2.1节 随机变量
例 2.1.1 (1)随机的掷一颗骰子,ω表示所有的样本点,
ω,出现 1点 出现 2点 出现 3点 出现 4点 出现 5点 出现 6点
X(ω),1 2 3 4 5 6
(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止,ω表示射
击次数，则 ω 射击 1次 射击 2次,....,射击 n次,....,
X(ω) 1 2,....,n,....,
(3) 某车站每隔 10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达
车站,ω表示该旅客的候车时间,ω 候车时间
X(ω) [0,10]
1.定义,取值具有随机性的变量称为随机变量,
它是定义在 样本空间上 的实单值函数,
随机变量一般用 X,Y,Z,或 ξ,η,ζ等表示 ?
(1)多样性
(2)随机性
非离散型 ⒉ 分类
离散型 连续型
奇异型
一,随机变量的概念,
第 2.2节、离散型随机变量的概率分布
一、定义, 只可能取有限个或至多可列个值的随机变量,
二、概率分布, 设随机变量 X一切可能值为 x1,x2,...,xn,...,则
pk=p(x=xk),k=1,2,...,n,...,称为 X的概率函数或 概率分布,
或者 X x1 x2,.,xn,.,
P p1 p2,.,pn,.,
三,3.性质,(1)pn≥0,n=1,2,..,(2)p1+p2+...+pn+…=1
(3)P{X∈ A}= ?
?
?
Ax
i
i
xxP }{
例 1(1)中 X的概率分布
为
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
设 A表示出现奇数点,则 P(A)=P{X∈ A}
=P{X=1}+P{X=3}+P{x=5}=1/3
注意,
离散型随机变量的概率分布分以下几步来求,
(1)确定随机变量的所有可能取值 ;
(2)利用古典概型计算每个取值点的概率
(3)列出随机变量的概率分布表,,
例 2.2.2.某实验成功的概率为 p,现进行一次实验,求实验结果的概率分布
解,设随机变量 X表实验结果,X=0表示实验“失败”,X=1表示实验“成
功”
P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,所以,X的概率分布为, X 0 1
P 1-p p
0-1分布
特别,
X x0 x1
P 1-p p
两点分布
注,0-1分布用于描述实验只有两
种对立结果,“成功”概率为参数
p的概率分布,
例 2.2.3 假定一个实验成功的概率为 p(0<p<1),不断重复
进行实验,直到首次成功为止,求实验次数的概率分布,
解,设 X表示实验次数,X取值为 1,2,...,n,...,
P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,...,P(X=n)=(1-p)n-1p,...,
记 q=1-p,则 X 的概率分布为, 几何分布
P{X=n}=qn-1p,(n=1,2,...)
Possion分布
定义,若随机变量 X的概率分布为 ),,n,,2,1,0m(e
!m)mX(P
m
????? ? ??
则称 X服从参数为 λ的 Possion分布,记为 X~P(λ),
例 2.2.4 某射手在相同条件下独立地进行 5次射击,每次击中目标的
概率是 0.6,求击中目标次数 X的概率分布,
解,X的可能取值为 0,1,2,3,4,5,设事件 Ai表示第 i次射中,(i=1,2,...,5),
则 Ai相互独立,
P(X=0)= )( 54321 AAAAAP =(1-0.6)5 =0.45
P(X=1)=
)AAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA(P
54321
54321543215432154321
?
???
=5× 0.6× (1-0.6)4
5005 )6.01(6.0C ????
4115 )6.01(6.0C ????类推得,
P(X=3) 233
5 )6.01(6.0C ????
P(X=4) 144
5 )6.01(6.0C ????
P(X=5) 055
5 )6.01(6.0C ????
即,
i5ii5 0, 6 )(1 0, 6 Ci)P ( X ??????
i=0,1,2,3,4,5
P(X=2) 322
5 )6.01(6.0C ????
一般地,若在一次实验中成功的概率为 p(0<p<1),独立重复进行 n次,
这 n次中实验成功的次数 X服从的分布为,
n,...,2,1,0m)p1(pC)mX(P mnmmn ???? ?
注,(1)随机变量 X所服从的分布称为 二项分布,n为实验次数 ;
(2)该实验模型称为 n次独立重复实验模型或 n重 Bernoulli实验模型 ;
(3)若 A和 Ac是 n重 Bernoulli实验的两个对立结果,“成功”可以指二
者中任意一个,p是“成功”的概率,
例如,一批产品的合格率为 0.8,有放回地抽取 4次,每次一件,取得合格
品件数 X,以及取得不合格品件数 Y服从分布为二项分布,
记为 X~B(n,p)
X对应的实验次数为 n=4,“成功”即取得合格品的概率为 p=0.8,
所以,X~B(4,0.8) 类似,Y~B(4,0.2)
(3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)
=6/56
例 2.2.5 袋内有 5个黑球,3个白球，每次抽取一 个，不 放 回,
直 到 取得黑球为至。记 X为取到白球的数目,Y为抽取次数,
求 X,Y 的概率分布及至少抽取 3次的 概率。
解,(1)X的可能取值为 0,1,2,3,
P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3× 5)/(8× 7)=15/56,类似有
P(X=2)=(3× 2× 5)/(8 × 7 × 6)=5/56,P(X=3)=1/56,
所以,X的概率分布为 X 0 1 2 3
P 5/8 15/56 5/56 1/56
(2) Y的可能取值为 1,2,3,4,
P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有
P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以 Y的概率分布为
Y 1 2 3 4
P 5/8 15/56 5/56 1/56
,,2,1i,a2}iX{P i ???? 求常数 a,
2.下面给出的数列能否成为某一随机变量的分
布列,0.1,0.2,0.3,0.4,
课堂练习,
1,
3.设随机变量 X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 a
求,(1)a的值 ; (2)P(X≤1); (3)P(1≤X<3)
4.某射手在相同条件下独立地进行 5次射击,每次击中目标
的概率是 0.6,求击中目标次数 X的概率分布,
第 2.3节 随机变量的 分布函数
1,定义,设 X是任意一个随机变量,称函数
F(x)=P{X≤x},－ ∞＜ x＜＋ ∞
为随机变量 X的分布函数,
(1) F(x)是 x的单调不减函数 ;
(2) 0≤F(x)≤1,－ ∞＜ x＜＋ ∞;1)(lim)(,0)(lim)( ????????
?????? xFFxFF xx
(3)F(x)是右连续的,即,
F(x+0)=F(x)
注,P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a);
P{X>a}=1-P{X≤a}=1-F(a);
2,分布函数的性质,
一、分布函数
例 2.3.1.设随机变量 X服从参数为 0.3的 0-1分布,即,
X 0 1
P 0.3 0.7
,求 X的分布函数,
解,(1) 当 x<0时,F(x)=P{X≤x}= ?
?
?
xx
i
i
xXP }{ =0
(2)当 0≤x<1时,F(x)=P{X≤x}= ?
?
?
xx
i
i
xXP }{ =P{x=0}=0.3
(3)当 1≤x时,F(x)=P{X≤x}= ?
?
?
xx
i
i
xXP }{
=P{X=0}+P{X=1}=1
分布函数图形如下
x
F(x)
1
1
0.3
0
3.离散型随机变量 X的分布函数的性质
(1)分布函数是分段函数,分段区间是由 X的取值点划分成的
左闭右开区间 ;
(2)函数值从 0到 1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增 ;
(3)函数值跳跃高度是 x取值区间中新增加点的对应概率值 ;
(4)分布函数是右连续的 ;
(5) P{X=xi}=F(xi)-F(xi-0)
例 2.3.2(914).设 X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
x
x
x
x
xF
21
218.0
104.0
00
)(
求 X的概率分布,
对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2
解,X的取值为 X 0 1 2
0.3
x
F(x)
1
1
0
例 2.3.3 设 10件产品中恰好有 3件次品，现在接连进行非还原
抽样,每次抽一件,直至抽到正品为至,求 ①抽取次数 X的概率分布,
② X的分布函数,③ P{ X=3.5},P{ X>-2},P{ 1<X<3},P{1<X≤3}
解,(1) X 1 2 3 4
P 7/10 7/30 7/120 1/120
(2)F(x)=
?
7/10
7/10+7/30
7/10+7/30+7/120
x<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x
0
1
(3) P{X=3.5}=0
P{X>-2}=1-P{X≤-2}
=1-F(-2)=1
或 P{X>-2}=P{X=1}+
P{X=2}+P{X=3}+
P{X=4}=1
P{1<X<3}=P{X=2} =7/30
P{1<X≤3}=F(3)-F(1)
=7/30+7/120
第 2.4节、连续型随机变量的概率分布
⒈ 定义,对于随机变量 X,若存在一个非负可积函数 f(x),－ ∞ <x <＋ ∞,
使对于任意实数 x都有
dttfxF x?
??? )()(
则称 X为连续型随机变量，称 f(x)为 X的概率密度函数，简称密度
函数、密度或概率密度。简记为 X~f(x),
2.性质,(1) f(x)≥0,－ ∞<x<＋ ∞;
(2) ? ??
?? ? 1)( dxxf
注
意
满足性质 (1) (2)的函数都可
以看为某个连续型随机变量
的概率密度,
例如,
??
? ??
其他0
]2/,0[s i n)( ?xxxf 满足 (1)f(x)≥0;
10 2/c o ss i n)( 2
0
????? ???
??
?? xxdxdxxf(2)
所以 f（ x）是一个概率密度函数。
RxdttfxXPxF
x
???? ?
??
,)(}{)(
(7) P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)-F(a),
3,连续型随机变量的若干结论
(1)
(2) 0≤F(x)≤1,－ ∞＜ x＜＋ ∞,
(3) F(x)是 x的单调不减函数 ;
(4) ;1)(lim)(,0)(lim)( ????????
?????? xFFxFF xx
(5) F(x)是 (-∞,+∞)上的连续函数 ;
(6) P{X=x}=0;由此可得
(8) f(x)= (在 f(x)连续点处 ) )(xF?
据变上限的定积分公式 ? ?x
a xfdttfdx
d )()(
(2) 指数分布
称 r.v.X服从参数为 λ的指数分布,记为 X~P(λ) (λ>0),
?
?
?
?
?
?
?
00
0
)(~
x
xe
xfX
x??若
4.几种重要的分布
(1) 均匀分布
??
?
?
? ?
??
其它0
],[1
)(
bax
abxf
是一个概率密度函数,记为
X~U[a,b]
均匀分布
称 随机变量 X服从参数为 μ,σ2的正态分布,σ>0,
μ是任意实数，若
RxexfX
x
??
??
,)(~ 22
2)(
2
1 ?
?
??
(3) 正态分布
定义,
性质, (1)
????? ? 1)( dxxf
? ?? ? ?0 2( 可得）由 ?dxe x
(2)概率密度图形是以 x=μ为对称轴的 R上的连续函数,
f(x)
x 0 μ
在 x=μ点 f(x)取得最大值 ;
(3)若 σ固定,μ改变,密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变 ;
若 μ 固定,σ改变,σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峭,
σ
小
σ大
一般正态分布 X ~N(μ,σ2)
例 2.4.1 设随机变量 X~
??
?
?
?
?
?
??
1||0
1||
1)( 2
x
x
x
A
xf 求 (1)A;
(2)P{-1/2<X<1/2};
(3)P{-3<X<2} 解,(1)由性质 2得,
? ????? ? ??? 1 1 2 11)( dxxAdxxf
即 ?
? 1
1ar c s in xA Aπ=1,所以 A=1/π
(2)P{-1/2<X<1/2}= ?
? ?
2/1
2/1 )( dxxf ?? ?
2/1
2/1 21
1 dx
x? 2/1
2/1ar c s i n1
?? x?
=1/π(π/6+π/6)=1/3
(3)P{-3<X<2}= ?
?
2
3 )( dxxf ?? ?
? 1
1 21
1 dx
x?
=1
思考, P{-1/2<X<2}=?
??
?
?
?
?
?
?
?
00
0
)(
2
2
x
xe
xf
a
x
a
x
是某一个随机变量 X的密度函数。
1,证明
课堂练习
2.设随机变量 X~
?
?
?
?
?
???
??
?
其它0
21
10
)( xbax
xx
xf
且 P{1<X<3/2}=3/8,求 (1)a,b;
(2)P{1/2<X<3/2}
(a>0)
a=-1,b=2
例 2.4.2 设随机变量 X服从 [-1,2]区间上的均匀分布,求 X的分布函数,
解,X~
??
??? ???
其它0
]2,1[31)( xxf
如图,
-1 2
31
分析, F(-2)=
???? 2 )( dttf =0 -2 1 3
F(1)= ?
??
1 )( dttf ?
??
1
1 3
1 dt =2/3
F(3)= ?
??
3 )( dttf ?
??
2
1 3
1 dt =1
F(1)
x
f(x)
F(3)
所以,(1)x<-1时,F(x)= ? ?
?? ???
x x dtdttf 0)( =0
(2)-1≤x<2时,F(x)= ? ?
?? ?
?x x dtdttf
1 3
1)(
3
1?? x
(3)2≤x时,F(x)= ? ?
?? ?
?x dtdttf 2
1 3
1)( =1
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
x
x
x
x
xF
21
21
3
1
10
)(
所以,分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
x
x
x
x
xF
21
21
3
1
10
)(
x
F(x)
-1 1 2
1
0
可见,(1)F(x)为从 0到 1单调递增的连续函数 ;
(2)F(x)为分段函数,区间划分同 f(x)的划分,区间划分点可以
属于该点左右的任何一个区间,
两种类型的比较,
连续型
1.概率密度 X~f(x),
P{a<X<b}= ?b
a dxxf )(
?
??
???
x
dttfxXPxF )(}{)(2,
4.P{a<X≤b}=P{a<X<b}
=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}
=F(b)-F(a)= ?b
a dxxf )(
离散型
1.概率分布,pn=P{X=xn} (n=1,2,...)
2.F(x)=P{X ≤x}= ?
?
?
xx
i
i
xXP }{
3.P{a<X≤b}=F(b)-F(a); P{X>a}=1-F(a); P{X=a}=F(a)-F(a-0)
?
?
?
Ax
i
i
xXP }{4.P{X∈ A}=
5.F(x)有可列个间断点,且右连续 5.F(x)连续,且 f(x)= )( xF?
P{X=a}=0
例 2.4.3 设连续型随机变量 X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
??
?
?
x
xAx
x
xF
11
10
00
)( 2
求,(1)A; (2)P{0.3<X<0.7};
(3)X的概率密度 f(x)
解,(1)F(x)在 x=1点连续,由左连续性得, )1(f)x(flim
1x
??
?
即, 1)1(lim 2
1 ???? fAxx
所以,A=1
(2)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)= 0.72-0.32=0.4
(3)f(x)= )( xF?
?
=
0 x<0
2x 0≤x<1
0 1≤x
即,
?
?
? ???
其它0
102)( xxxf
课堂练习
1.设 X~
??
?
?
? ??
?
其它0
10
2
1
)(
x
xxf,求 F(x),
2.设 X~
?
?
?
?
?
???
??
?
其它0
212
10
)( xx
xx
xf,求 (1)P{-2<X<3/2};(2)F(x),
3.X的分布函数为
??
?
?
??? ?
00
01)(
x
xexF x求 (1)P{X>3},P{X≤2}
(3)f(x)
4.已知连续型随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx,
求,(1)A,B; (2)X的概率密度 f(x),
5.（ 934）设 X~f(x)，且 f(-x)=f(x),F(x)是 X的分布 函数，则对
任意实数 a，有 ( )
① F(-a)=1- ② F(-a)=
③ F(-a)=F(a) ④ F(-a)=2F(a)-1
?
a
dxxf
0
)( ??
a
dxxf
0
2
1 )(
6.(895）设 r.v X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
??
?
?
2
2
,1
0,s i n
0,0
)(
?
?
x
xx
x
xF
则 P{|X|<π/6}=（ ）
7.设 X~
?
?
?
?
??
2
2
,0
,c o s)(
?
?
x
xxAxf 求 (1)A,(2)F(x),(3)P{0<X<π/4},
8.(901)设 X ~ Rxexf x ?? ?,)(
21
求 X的分布函数,
定义, 若 μ=0,σ2=1,即
RxexX x ?? ?,)(~ 2 221 ??
称 X服从 标准正态分布,
X~N(0,1)
性质,
f(x)
x 0 (1)?(x)以 y轴为对称轴 ;
(2)分布函数为,
Rxdtex x
t
??? ?
??
?,)(
2
2
2
1
?
(3),
2
1)0( ?? 1)()( ????? xx
x -x
)( x?? )( x??
)(x?
(1).标准正态分布
思考,对一般正态分布
(3)成立吗?
5、正态分布的分布函数及其计算
计算 (1)x≥0时,查标准正态分布分布函数表,
dtex x
t?
??
???
2
2
2
1)(
?
(2)若 x<0,应用 ),(1)( xx ????? 转化为 (1)的计算方法,
一般地,若 X~N(0,1),则
(1)P{X=a}=0;
(2)P{X≤a}=P{X<a}=Φ(a);
(3)P{X>a}=P{X≥a}=1-Φ(a);
(4)P{a<X<b}=Φ(b)-Φ(a);
(5)P{|X|<a}=P{-a<X<a}
= Φ(a)-Φ(-a)
= Φ(a)-(1-Φ(a))
=2 Φ(a)-1
例 2.4.4 设 X~N(0,1),求
P{X>-1.96} P{|X|<1.96}
=1-Φ(-1.96)
=1-(1-Φ(1.96))
=0.9750
=2Φ(1.96)-1
=0.95
= Φ(1.96)
解, P{X>-1.96}
P{|X|<1.96}
例 2.4.5 设 X~N(0,1),P{X≤a}=0.9515,P{X≤b}=0.0495,
求 a,b,
解,Φ(a)=0.9515>1/2,
所以,a>0,
反查表得,
Φ(1.66)=0.9515,
故 a=1.66
而 Φ(b)=0.0495<1/2,
所以,b<0,
Φ(-b)=1- Φ(b)=1-0.0495
=0.9505,
-b>0,反查表得,
Φ(1.65)=0.9505,
即,-b=1.65,
故,b=-1.65
(2).一般正态分布与标准正态分布的关系
结论, 设 X~N(μ,σ2),,? ??? XY 则 Y~N(0,1),(自证 )
推论, 若 X~N(μ,σ2),则 )()(
?
???? xxF
证明,
F(x)=P{X≤x}= }{ ? ?? ? ??? xXP )( ? ???? x?
??? XY
Y~N(0,1) }{ ?
??? xYP
所以,若 X~N(μ,σ2),则
P{X<a}=
P{X>a}=
P{a<X<b}=
)( ? ??? a
)(1 ? ???? a
)( ? ??? b )( ? ???? a
例 2.4.6 设 X~N(10,4),求 P{10<X<13},
P{|X-10|<2},
解, P{10<X<13}= )2 1013( ?? )2 1010( ???
=Φ(1.5)-Φ(0)= 0.4332
P{|X-10|<2}= P{8<X<12} 或
}22 |10|{ ??? XP
=2Φ(2)-1 =0.9544
例 2.4.7 设 X~N(μ,σ2),P{X≤-1.6}=0.036,P{X≤5.9}=0.758,
求 μ及 σ,
解, P{X≤-1.6}=,036.0)6.1( ????
?
?,06.1 ???
?
?
,964.0036.01)6.1( ??????? ? ?反查表得, 8.16.1 ??? ?
又 P{X≤5.9}=,758.0)9.5( ???
?
? 反查表得, 7.09.5 ??
?
?
联立解方程组得, μ=3,σ=3.8
特别,Φ(0)=0.5 ;Φ(1.28)=0.90 ; Φ(1.64)=0.95 ;
Φ(1.96)=0.975 ;Φ(2.33)=0.99,
(2),设 X~N(2,4),Y=a X+b~N(0,1),求 a,b,
Y=aX+b= 1
2
1
2
2 ????? XXX
?
?
所以,a=1/2,b=-1
(1).设 X~N(μ,σ2),P{X≤-5}=0.045,P{X≤3}=0.618,求 μ及 σ,
课堂练习,
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
3.0
3
69.1
5
?
?
?
?
μ=1.76
σ=4 ?
解,(1)
(2)
例 2.4.8（ 894）设 r.v X~U(2,5).现在对 X进行三次
独立观测，试求至少有两次观测值大于 3的概率。
解,由题意得,
??
?
?
? ??
?
其它0
52
3
1
)(~
x
xfX
记 A={X>3},则 P(A)=P{X>3}= ? ?5
3 3
1 dx 2/3
设 Y表示三次独立观测中 A出现的次数,则 Y~B(3,2/3)
所求为 P{Y≥2}= P{Y=2}+P{Y=3}
033
3
22
3 )3
1()
3
2()
3
1()
3
2( CC ?? =20/27
例 2.4.9（ 904）某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百
分制）近似 服从 正态分布，平均成绩为 72分,96分 以上
的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 80
分之间的概率。
解,设 X为考生的外语成绩,则 X~N(72,σ2),由题意得,
P{X>96}=0.023 =1-Φ[(96-72)/σ]= 1-Φ(24/σ)
所以,Φ(24/σ)=1-0.023=0.977 反查表得,
24/σ=2,故, σ=12
所求 P{60<X<84}= )
12
7260()
12
7284( ????? )1()1( ?????
=0.682
1)1(2
)1
||
(
???
?
?
?
?
?X
P
例 1 已知 X~N(3,22),且 P{X>C}=P{X≤C}
则 C=（ ）。
例 2（ 935）设 X~N(μ,42),Y~N(μ,52),
记 p1=P{X≤μ-4},p2=P{Y≥μ+5}则 ( )
① 对任意实数 μ，都有 p1=p2
② 对任意实数 μ，都有 p1<p2
③ 只对 μ的个别值，才有 p1=p2
④ 对任意实数 μ，都有 p1>p2
例 3（ 954）设 X~N(μ,σ2),则随 σ的增大，概
率 P{|X-μ|<σ} （ ）
① 单调增大 ②单调减少
③保持不变 ④增减不定
图示 3
①
)1()44(1 ??????? ??p
)1(1
)
5
5
(12
???
??
???
??
p
③
强化练习
?
图示, f(x)
x 0 μ
?P{X≤μ} P{X≥μ}
例 4.(881)设 X ~ N（ 10,0.0004),Φ（ 2.5） =0.9938,则 X
落 在区间（ 9.95,10.05）内的概率为 ( ),
例 5(911) 设 X ~ N（ 2,σ2),且 P{2<X<4}=0.3,则 P{X<0}
=( ),
0.9876
0.2
第 2.5节、随机变量函数的分布
一、离散型随机变量函数 的分布
设 X是一个随机变量,y=g(x)是一实函数，一般地说 X
的函数 Y=g(X)仍为一个随机变量，下考虑由 X的分布去确
定 Y的分布
步骤,1、确定 Y的取值 y1,y2,…y i…
2、求概率 P{Y=yi}=?pj
这里 yi=g(xj),P{X=xi}= pj
3、列出概率分布表
例 2.5.1 设 X~B(2,0.3),求下列随机变量的分布律
1,Y1=X2 2,Y2= X2-2X 3,Y3=3X- X2
解,X的概率分布为 P{X=k}= 0.3k0.72-k k=0,1,2
列表如下,
kC2
X 0 1 2
X2 0 1 4
X2-2X 0 -1 0
3X- X2 0 2 2
概率 0.49 0.42 0.09
Y1 0 1 4
P 0.49 0.42 0.09
Y2 -1 0
P 0.42 0.58
Y3 0 2
P 0.49 0.51
则有 Y1, Y2, Y3的分布律分别为
二、连续型随机变量函数 的分布
步骤,1、求 Y=g(X)的分布函数
FY(y)=P{Y?y}=P{g(X) ?y}=P{X?G}
= fX(x)dx
这里 G={x|g(x) ?y}
2、求导数得 Y=g(X)的概率密度为
fY(y)=F'Y(y)
?
G
注：要考虑 y的不同取值范围
例 2.5.2 设随机变量 X的概率密度函数为
?
?
?
?
?? ?
00
0)(
x
xexf x
求随机变量 Y=X2的概率密度函数。
解：先求 Y的分布函数 FY(y)=P{Y ?y}=P{X2 ?y}
当 y<0时,{Y ?y}为不可能事件，此时 FY(y)=0
当 y?0时,FY(y)= P{X2 ?y}=P{ }
yXy ???
? ?? ??? y y y x dxedxxf 0)(
ye ??? 1
所以 Y的概率密度函数为
??
?
?
?
?
?
?
?
00
0
2
1
)(
y
ye
yxf
y
对随机变量 X的线性函数有以下定理,
定理 1 设连续型随机变量 X~FX(x),Y=kX+b(k≠0),则 Y的概率密度为
)(|| 1)( k byfkyf XY ??
例如,设 X为连续型随机变量,X~FX(x),Y= -4X+3,则 Y的密度函数为
)4 3(41)( ??? yfyf XY
进一步可以推广得到以下定理,
定理 2 设 X~fX(x),y=g(x)是 x的单调可导函数,其导数不为 0,值域为
(a,b),-∞<a<b<+∞,记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数,则 Y=g(X)的概密为,
??
? ?????
其它0
|)(|)]([)( byayhyhfyf X
Y
例 2.5.3设随机变量 X~
)1(
1)(
2xxf X ?? ?
,Y=eX,求 Y的概率密度,
解,y=ex 单调可导,,0??? xey 且其值域为 y>0,
反函数为 x=h(y)=lny,所以,y>0时,
|)(|)]([)( yhyhfyf XY ???
yyh
1)( ??
= |1|][ ln
yyf X ? = )ln1(
1
2 yy ??
所以,
??
?
?
? ?
??
其它0
0
)ln1(
1
)( 2
y
yyyf Y ?
第 2.1节 随机变量
例 2.1.1 (1)随机的掷一颗骰子,ω表示所有的样本点,
ω,出现 1点 出现 2点 出现 3点 出现 4点 出现 5点 出现 6点
X(ω),1 2 3 4 5 6
(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止,ω表示射
击次数，则 ω 射击 1次 射击 2次,....,射击 n次,....,
X(ω) 1 2,....,n,....,
(3) 某车站每隔 10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达
车站,ω表示该旅客的候车时间,ω 候车时间
X(ω) [0,10]
1.定义,取值具有随机性的变量称为随机变量,
它是定义在 样本空间上 的实单值函数,
随机变量一般用 X,Y,Z,或 ξ,η,ζ等表示 ?
(1)多样性
(2)随机性
非离散型 ⒉ 分类
离散型 连续型
奇异型
一,随机变量的概念,
第 2.2节、离散型随机变量的概率分布
一、定义, 只可能取有限个或至多可列个值的随机变量,
二、概率分布, 设随机变量 X一切可能值为 x1,x2,...,xn,...,则
pk=p(x=xk),k=1,2,...,n,...,称为 X的概率函数或 概率分布,
或者 X x1 x2,.,xn,.,
P p1 p2,.,pn,.,
三,3.性质,(1)pn≥0,n=1,2,..,(2)p1+p2+...+pn+…=1
(3)P{X∈ A}= ?
?
?
Ax
i
i
xxP }{
例 1(1)中 X的概率分布
为
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
设 A表示出现奇数点,则 P(A)=P{X∈ A}
=P{X=1}+P{X=3}+P{x=5}=1/3
注意,
离散型随机变量的概率分布分以下几步来求,
(1)确定随机变量的所有可能取值 ;
(2)利用古典概型计算每个取值点的概率
(3)列出随机变量的概率分布表,,
例 2.2.2.某实验成功的概率为 p,现进行一次实验,求实验结果的概率分布
解,设随机变量 X表实验结果,X=0表示实验“失败”,X=1表示实验“成
功”
P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,所以,X的概率分布为, X 0 1
P 1-p p
0-1分布
特别,
X x0 x1
P 1-p p
两点分布
注,0-1分布用于描述实验只有两
种对立结果,“成功”概率为参数
p的概率分布,
例 2.2.3 假定一个实验成功的概率为 p(0<p<1),不断重复
进行实验,直到首次成功为止,求实验次数的概率分布,
解,设 X表示实验次数,X取值为 1,2,...,n,...,
P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,...,P(X=n)=(1-p)n-1p,...,
记 q=1-p,则 X 的概率分布为, 几何分布
P{X=n}=qn-1p,(n=1,2,...)
Possion分布
定义,若随机变量 X的概率分布为 ),,n,,2,1,0m(e
!m)mX(P
m
????? ? ??
则称 X服从参数为 λ的 Possion分布,记为 X~P(λ),
例 2.2.4 某射手在相同条件下独立地进行 5次射击,每次击中目标的
概率是 0.6,求击中目标次数 X的概率分布,
解,X的可能取值为 0,1,2,3,4,5,设事件 Ai表示第 i次射中,(i=1,2,...,5),
则 Ai相互独立,
P(X=0)= )( 54321 AAAAAP =(1-0.6)5 =0.45
P(X=1)=
)AAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA(P
54321
54321543215432154321
?
???
=5× 0.6× (1-0.6)4
5005 )6.01(6.0C ????
4115 )6.01(6.0C ????类推得,
P(X=3) 233
5 )6.01(6.0C ????
P(X=4) 144
5 )6.01(6.0C ????
P(X=5) 055
5 )6.01(6.0C ????
即,
i5ii5 0, 6 )(1 0, 6 Ci)P ( X ??????
i=0,1,2,3,4,5
P(X=2) 322
5 )6.01(6.0C ????
一般地,若在一次实验中成功的概率为 p(0<p<1),独立重复进行 n次,
这 n次中实验成功的次数 X服从的分布为,
n,...,2,1,0m)p1(pC)mX(P mnmmn ???? ?
注,(1)随机变量 X所服从的分布称为 二项分布,n为实验次数 ;
(2)该实验模型称为 n次独立重复实验模型或 n重 Bernoulli实验模型 ;
(3)若 A和 Ac是 n重 Bernoulli实验的两个对立结果,“成功”可以指二
者中任意一个,p是“成功”的概率,
例如,一批产品的合格率为 0.8,有放回地抽取 4次,每次一件,取得合格
品件数 X,以及取得不合格品件数 Y服从分布为二项分布,
记为 X~B(n,p)
X对应的实验次数为 n=4,“成功”即取得合格品的概率为 p=0.8,
所以,X~B(4,0.8) 类似,Y~B(4,0.2)
(3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)
=6/56
例 2.2.5 袋内有 5个黑球,3个白球，每次抽取一 个，不 放 回,
直 到 取得黑球为至。记 X为取到白球的数目,Y为抽取次数,
求 X,Y 的概率分布及至少抽取 3次的 概率。
解,(1)X的可能取值为 0,1,2,3,
P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3× 5)/(8× 7)=15/56,类似有
P(X=2)=(3× 2× 5)/(8 × 7 × 6)=5/56,P(X=3)=1/56,
所以,X的概率分布为 X 0 1 2 3
P 5/8 15/56 5/56 1/56
(2) Y的可能取值为 1,2,3,4,
P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有
P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以 Y的概率分布为
Y 1 2 3 4
P 5/8 15/56 5/56 1/56
,,2,1i,a2}iX{P i ???? 求常数 a,
2.下面给出的数列能否成为某一随机变量的分
布列,0.1,0.2,0.3,0.4,
课堂练习,
1,
3.设随机变量 X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 1/8 3/8 3/8 a
求,(1)a的值 ; (2)P(X≤1); (3)P(1≤X<3)
4.某射手在相同条件下独立地进行 5次射击,每次击中目标
的概率是 0.6,求击中目标次数 X的概率分布,
第 2.3节 随机变量的 分布函数
1,定义,设 X是任意一个随机变量,称函数
F(x)=P{X≤x},－ ∞＜ x＜＋ ∞
为随机变量 X的分布函数,
(1) F(x)是 x的单调不减函数 ;
(2) 0≤F(x)≤1,－ ∞＜ x＜＋ ∞;1)(lim)(,0)(lim)( ????????
?????? xFFxFF xx
(3)F(x)是右连续的,即,
F(x+0)=F(x)
注,P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a);
P{X>a}=1-P{X≤a}=1-F(a);
2,分布函数的性质,
一、分布函数
例 2.3.1.设随机变量 X服从参数为 0.3的 0-1分布,即,
X 0 1
P 0.3 0.7
,求 X的分布函数,
解,(1) 当 x<0时,F(x)=P{X≤x}= ?
?
?
xx
i
i
xXP }{ =0
(2)当 0≤x<1时,F(x)=P{X≤x}= ?
?
?
xx
i
i
xXP }{ =P{x=0}=0.3
(3)当 1≤x时,F(x)=P{X≤x}= ?
?
?
xx
i
i
xXP }{
=P{X=0}+P{X=1}=1
分布函数图形如下
x
F(x)
1
1
0.3
0
3.离散型随机变量 X的分布函数的性质
(1)分布函数是分段函数,分段区间是由 X的取值点划分成的
左闭右开区间 ;
(2)函数值从 0到 1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增 ;
(3)函数值跳跃高度是 x取值区间中新增加点的对应概率值 ;
(4)分布函数是右连续的 ;
(5) P{X=xi}=F(xi)-F(xi-0)
例 2.3.2(914).设 X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
x
x
x
x
xF
21
218.0
104.0
00
)(
求 X的概率分布,
对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2
解,X的取值为 X 0 1 2
0.3
x
F(x)
1
1
0
例 2.3.3 设 10件产品中恰好有 3件次品，现在接连进行非还原
抽样,每次抽一件,直至抽到正品为至,求 ①抽取次数 X的概率分布,
② X的分布函数,③ P{ X=3.5},P{ X>-2},P{ 1<X<3},P{1<X≤3}
解,(1) X 1 2 3 4
P 7/10 7/30 7/120 1/120
(2)F(x)=
?
7/10
7/10+7/30
7/10+7/30+7/120
x<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x
0
1
(3) P{X=3.5}=0
P{X>-2}=1-P{X≤-2}
=1-F(-2)=1
或 P{X>-2}=P{X=1}+
P{X=2}+P{X=3}+
P{X=4}=1
P{1<X<3}=P{X=2} =7/30
P{1<X≤3}=F(3)-F(1)
=7/30+7/120
第 2.4节、连续型随机变量的概率分布
⒈ 定义,对于随机变量 X,若存在一个非负可积函数 f(x),－ ∞ <x <＋ ∞,
使对于任意实数 x都有
dttfxF x?
??? )()(
则称 X为连续型随机变量，称 f(x)为 X的概率密度函数，简称密度
函数、密度或概率密度。简记为 X~f(x),
2.性质,(1) f(x)≥0,－ ∞<x<＋ ∞;
(2) ? ??
?? ? 1)( dxxf
注
意
满足性质 (1) (2)的函数都可
以看为某个连续型随机变量
的概率密度,
例如,
??
? ??
其他0
]2/,0[s i n)( ?xxxf 满足 (1)f(x)≥0;
10 2/c o ss i n)( 2
0
????? ???
??
?? xxdxdxxf(2)
所以 f（ x）是一个概率密度函数。
RxdttfxXPxF
x
???? ?
??
,)(}{)(
(7) P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)-F(a),
3,连续型随机变量的若干结论
(1)
(2) 0≤F(x)≤1,－ ∞＜ x＜＋ ∞,
(3) F(x)是 x的单调不减函数 ;
(4) ;1)(lim)(,0)(lim)( ????????
?????? xFFxFF xx
(5) F(x)是 (-∞,+∞)上的连续函数 ;
(6) P{X=x}=0;由此可得
(8) f(x)= (在 f(x)连续点处 ) )(xF?
据变上限的定积分公式 ? ?x
a xfdttfdx
d )()(
(2) 指数分布
称 r.v.X服从参数为 λ的指数分布,记为 X~P(λ) (λ>0),
?
?
?
?
?
?
?
00
0
)(~
x
xe
xfX
x??若
4.几种重要的分布
(1) 均匀分布
??
?
?
? ?
??
其它0
],[1
)(
bax
abxf
是一个概率密度函数,记为
X~U[a,b]
均匀分布
称 随机变量 X服从参数为 μ,σ2的正态分布,σ>0,
μ是任意实数，若
RxexfX
x
??
??
,)(~ 22
2)(
2
1 ?
?
??
(3) 正态分布
定义,
性质, (1)
????? ? 1)( dxxf
? ?? ? ?0 2( 可得）由 ?dxe x
(2)概率密度图形是以 x=μ为对称轴的 R上的连续函数,
f(x)
x 0 μ
在 x=μ点 f(x)取得最大值 ;
(3)若 σ固定,μ改变,密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变 ;
若 μ 固定,σ改变,σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峭,
σ
小
σ大
一般正态分布 X ~N(μ,σ2)
例 2.4.1 设随机变量 X~
??
?
?
?
?
?
??
1||0
1||
1)( 2
x
x
x
A
xf 求 (1)A;
(2)P{-1/2<X<1/2};
(3)P{-3<X<2} 解,(1)由性质 2得,
? ????? ? ??? 1 1 2 11)( dxxAdxxf
即 ?
? 1
1ar c s in xA Aπ=1,所以 A=1/π
(2)P{-1/2<X<1/2}= ?
? ?
2/1
2/1 )( dxxf ?? ?
2/1
2/1 21
1 dx
x? 2/1
2/1ar c s i n1
?? x?
=1/π(π/6+π/6)=1/3
(3)P{-3<X<2}= ?
?
2
3 )( dxxf ?? ?
? 1
1 21
1 dx
x?
=1
思考, P{-1/2<X<2}=?
??
?
?
?
?
?
?
?
00
0
)(
2
2
x
xe
xf
a
x
a
x
是某一个随机变量 X的密度函数。
1,证明
课堂练习
2.设随机变量 X~
?
?
?
?
?
???
??
?
其它0
21
10
)( xbax
xx
xf
且 P{1<X<3/2}=3/8,求 (1)a,b;
(2)P{1/2<X<3/2}
(a>0)
a=-1,b=2
例 2.4.2 设随机变量 X服从 [-1,2]区间上的均匀分布,求 X的分布函数,
解,X~
??
??? ???
其它0
]2,1[31)( xxf
如图,
-1 2
31
分析, F(-2)=
???? 2 )( dttf =0 -2 1 3
F(1)= ?
??
1 )( dttf ?
??
1
1 3
1 dt =2/3
F(3)= ?
??
3 )( dttf ?
??
2
1 3
1 dt =1
F(1)
x
f(x)
F(3)
所以,(1)x<-1时,F(x)= ? ?
?? ???
x x dtdttf 0)( =0
(2)-1≤x<2时,F(x)= ? ?
?? ?
?x x dtdttf
1 3
1)(
3
1?? x
(3)2≤x时,F(x)= ? ?
?? ?
?x dtdttf 2
1 3
1)( =1
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
x
x
x
x
xF
21
21
3
1
10
)(
所以,分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
x
x
x
x
xF
21
21
3
1
10
)(
x
F(x)
-1 1 2
1
0
可见,(1)F(x)为从 0到 1单调递增的连续函数 ;
(2)F(x)为分段函数,区间划分同 f(x)的划分,区间划分点可以
属于该点左右的任何一个区间,
两种类型的比较,
连续型
1.概率密度 X~f(x),
P{a<X<b}= ?b
a dxxf )(
?
??
???
x
dttfxXPxF )(}{)(2,
4.P{a<X≤b}=P{a<X<b}
=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}
=F(b)-F(a)= ?b
a dxxf )(
离散型
1.概率分布,pn=P{X=xn} (n=1,2,...)
2.F(x)=P{X ≤x}= ?
?
?
xx
i
i
xXP }{
3.P{a<X≤b}=F(b)-F(a); P{X>a}=1-F(a); P{X=a}=F(a)-F(a-0)
?
?
?
Ax
i
i
xXP }{4.P{X∈ A}=
5.F(x)有可列个间断点,且右连续 5.F(x)连续,且 f(x)= )( xF?
P{X=a}=0
例 2.4.3 设连续型随机变量 X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
??
?
?
x
xAx
x
xF
11
10
00
)( 2
求,(1)A; (2)P{0.3<X<0.7};
(3)X的概率密度 f(x)
解,(1)F(x)在 x=1点连续,由左连续性得, )1(f)x(flim
1x
??
?
即, 1)1(lim 2
1 ???? fAxx
所以,A=1
(2)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)= 0.72-0.32=0.4
(3)f(x)= )( xF?
?
=
0 x<0
2x 0≤x<1
0 1≤x
即,
?
?
? ???
其它0
102)( xxxf
课堂练习
1.设 X~
??
?
?
? ??
?
其它0
10
2
1
)(
x
xxf,求 F(x),
2.设 X~
?
?
?
?
?
???
??
?
其它0
212
10
)( xx
xx
xf,求 (1)P{-2<X<3/2};(2)F(x),
3.X的分布函数为
??
?
?
??? ?
00
01)(
x
xexF x求 (1)P{X>3},P{X≤2}
(3)f(x)
4.已知连续型随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx,
求,(1)A,B; (2)X的概率密度 f(x),
5.（ 934）设 X~f(x)，且 f(-x)=f(x),F(x)是 X的分布 函数，则对
任意实数 a，有 ( )
① F(-a)=1- ② F(-a)=
③ F(-a)=F(a) ④ F(-a)=2F(a)-1
?
a
dxxf
0
)( ??
a
dxxf
0
2
1 )(
6.(895）设 r.v X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
??
?
?
2
2
,1
0,s i n
0,0
)(
?
?
x
xx
x
xF
则 P{|X|<π/6}=（ ）
7.设 X~
?
?
?
?
??
2
2
,0
,c o s)(
?
?
x
xxAxf 求 (1)A,(2)F(x),(3)P{0<X<π/4},
8.(901)设 X ~ Rxexf x ?? ?,)(
21
求 X的分布函数,
定义, 若 μ=0,σ2=1,即
RxexX x ?? ?,)(~ 2 221 ??
称 X服从 标准正态分布,
X~N(0,1)
性质,
f(x)
x 0 (1)?(x)以 y轴为对称轴 ;
(2)分布函数为,
Rxdtex x
t
??? ?
??
?,)(
2
2
2
1
?
(3),
2
1)0( ?? 1)()( ????? xx
x -x
)( x?? )( x??
)(x?
(1).标准正态分布
思考,对一般正态分布
(3)成立吗?
5、正态分布的分布函数及其计算
计算 (1)x≥0时,查标准正态分布分布函数表,
dtex x
t?
??
???
2
2
2
1)(
?
(2)若 x<0,应用 ),(1)( xx ????? 转化为 (1)的计算方法,
一般地,若 X~N(0,1),则
(1)P{X=a}=0;
(2)P{X≤a}=P{X<a}=Φ(a);
(3)P{X>a}=P{X≥a}=1-Φ(a);
(4)P{a<X<b}=Φ(b)-Φ(a);
(5)P{|X|<a}=P{-a<X<a}
= Φ(a)-Φ(-a)
= Φ(a)-(1-Φ(a))
=2 Φ(a)-1
例 2.4.4 设 X~N(0,1),求
P{X>-1.96} P{|X|<1.96}
=1-Φ(-1.96)
=1-(1-Φ(1.96))
=0.9750
=2Φ(1.96)-1
=0.95
= Φ(1.96)
解, P{X>-1.96}
P{|X|<1.96}
例 2.4.5 设 X~N(0,1),P{X≤a}=0.9515,P{X≤b}=0.0495,
求 a,b,
解,Φ(a)=0.9515>1/2,
所以,a>0,
反查表得,
Φ(1.66)=0.9515,
故 a=1.66
而 Φ(b)=0.0495<1/2,
所以,b<0,
Φ(-b)=1- Φ(b)=1-0.0495
=0.9505,
-b>0,反查表得,
Φ(1.65)=0.9505,
即,-b=1.65,
故,b=-1.65
(2).一般正态分布与标准正态分布的关系
结论, 设 X~N(μ,σ2),,? ??? XY 则 Y~N(0,1),(自证 )
推论, 若 X~N(μ,σ2),则 )()(
?
???? xxF
证明,
F(x)=P{X≤x}= }{ ? ?? ? ??? xXP )( ? ???? x?
??? XY
Y~N(0,1) }{ ?
??? xYP
所以,若 X~N(μ,σ2),则
P{X<a}=
P{X>a}=
P{a<X<b}=
)( ? ??? a
)(1 ? ???? a
)( ? ??? b )( ? ???? a
例 2.4.6 设 X~N(10,4),求 P{10<X<13},
P{|X-10|<2},
解, P{10<X<13}= )2 1013( ?? )2 1010( ???
=Φ(1.5)-Φ(0)= 0.4332
P{|X-10|<2}= P{8<X<12} 或
}22 |10|{ ??? XP
=2Φ(2)-1 =0.9544
例 2.4.7 设 X~N(μ,σ2),P{X≤-1.6}=0.036,P{X≤5.9}=0.758,
求 μ及 σ,
解, P{X≤-1.6}=,036.0)6.1( ????
?
?,06.1 ???
?
?
,964.0036.01)6.1( ??????? ? ?反查表得, 8.16.1 ??? ?
又 P{X≤5.9}=,758.0)9.5( ???
?
? 反查表得, 7.09.5 ??
?
?
联立解方程组得, μ=3,σ=3.8
特别,Φ(0)=0.5 ;Φ(1.28)=0.90 ; Φ(1.64)=0.95 ;
Φ(1.96)=0.975 ;Φ(2.33)=0.99,
(2),设 X~N(2,4),Y=a X+b~N(0,1),求 a,b,
Y=aX+b= 1
2
1
2
2 ????? XXX
?
?
所以,a=1/2,b=-1
(1).设 X~N(μ,σ2),P{X≤-5}=0.045,P{X≤3}=0.618,求 μ及 σ,
课堂练习,
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
3.0
3
69.1
5
?
?
?
?
μ=1.76
σ=4 ?
解,(1)
(2)
例 2.4.8（ 894）设 r.v X~U(2,5).现在对 X进行三次
独立观测，试求至少有两次观测值大于 3的概率。
解,由题意得,
??
?
?
? ??
?
其它0
52
3
1
)(~
x
xfX
记 A={X>3},则 P(A)=P{X>3}= ? ?5
3 3
1 dx 2/3
设 Y表示三次独立观测中 A出现的次数,则 Y~B(3,2/3)
所求为 P{Y≥2}= P{Y=2}+P{Y=3}
033
3
22
3 )3
1()
3
2()
3
1()
3
2( CC ?? =20/27
例 2.4.9（ 904）某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百
分制）近似 服从 正态分布，平均成绩为 72分,96分 以上
的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 80
分之间的概率。
解,设 X为考生的外语成绩,则 X~N(72,σ2),由题意得,
P{X>96}=0.023 =1-Φ[(96-72)/σ]= 1-Φ(24/σ)
所以,Φ(24/σ)=1-0.023=0.977 反查表得,
24/σ=2,故, σ=12
所求 P{60<X<84}= )
12
7260()
12
7284( ????? )1()1( ?????
=0.682
1)1(2
)1
||
(
???
?
?
?
?
?X
P
例 1 已知 X~N(3,22),且 P{X>C}=P{X≤C}
则 C=（ ）。
例 2（ 935）设 X~N(μ,42),Y~N(μ,52),
记 p1=P{X≤μ-4},p2=P{Y≥μ+5}则 ( )
① 对任意实数 μ，都有 p1=p2
② 对任意实数 μ，都有 p1<p2
③ 只对 μ的个别值，才有 p1=p2
④ 对任意实数 μ，都有 p1>p2
例 3（ 954）设 X~N(μ,σ2),则随 σ的增大，概
率 P{|X-μ|<σ} （ ）
① 单调增大 ②单调减少
③保持不变 ④增减不定
图示 3
①
)1()44(1 ??????? ??p
)1(1
)
5
5
(12
???
??
???
??
p
③
强化练习
?
图示, f(x)
x 0 μ
?P{X≤μ} P{X≥μ}
例 4.(881)设 X ~ N（ 10,0.0004),Φ（ 2.5） =0.9938,则 X
落 在区间（ 9.95,10.05）内的概率为 ( ),
例 5(911) 设 X ~ N（ 2,σ2),且 P{2<X<4}=0.3,则 P{X<0}
=( ),
0.9876
0.2
第 2.5节、随机变量函数的分布
一、离散型随机变量函数 的分布
设 X是一个随机变量,y=g(x)是一实函数，一般地说 X
的函数 Y=g(X)仍为一个随机变量，下考虑由 X的分布去确
定 Y的分布
步骤,1、确定 Y的取值 y1,y2,…y i…
2、求概率 P{Y=yi}=?pj
这里 yi=g(xj),P{X=xi}= pj
3、列出概率分布表
例 2.5.1 设 X~B(2,0.3),求下列随机变量的分布律
1,Y1=X2 2,Y2= X2-2X 3,Y3=3X- X2
解,X的概率分布为 P{X=k}= 0.3k0.72-k k=0,1,2
列表如下,
kC2
X 0 1 2
X2 0 1 4
X2-2X 0 -1 0
3X- X2 0 2 2
概率 0.49 0.42 0.09
Y1 0 1 4
P 0.49 0.42 0.09
Y2 -1 0
P 0.42 0.58
Y3 0 2
P 0.49 0.51
则有 Y1, Y2, Y3的分布律分别为
二、连续型随机变量函数 的分布
步骤,1、求 Y=g(X)的分布函数
FY(y)=P{Y?y}=P{g(X) ?y}=P{X?G}
= fX(x)dx
这里 G={x|g(x) ?y}
2、求导数得 Y=g(X)的概率密度为
fY(y)=F'Y(y)
?
G
注：要考虑 y的不同取值范围
例 2.5.2 设随机变量 X的概率密度函数为
?
?
?
?
?? ?
00
0)(
x
xexf x
求随机变量 Y=X2的概率密度函数。
解：先求 Y的分布函数 FY(y)=P{Y ?y}=P{X2 ?y}
当 y<0时,{Y ?y}为不可能事件，此时 FY(y)=0
当 y?0时,FY(y)= P{X2 ?y}=P{ }
yXy ???
? ?? ??? y y y x dxedxxf 0)(
ye ??? 1
所以 Y的概率密度函数为
??
?
?
?
?
?
?
?
00
0
2
1
)(
y
ye
yxf
y
对随机变量 X的线性函数有以下定理,
定理 1 设连续型随机变量 X~FX(x),Y=kX+b(k≠0),则 Y的概率密度为
)(|| 1)( k byfkyf XY ??
例如,设 X为连续型随机变量,X~FX(x),Y= -4X+3,则 Y的密度函数为
)4 3(41)( ??? yfyf XY
进一步可以推广得到以下定理,
定理 2 设 X~fX(x),y=g(x)是 x的单调可导函数,其导数不为 0,值域为
(a,b),-∞<a<b<+∞,记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数,则 Y=g(X)的概密为,
??
? ?????
其它0
|)(|)]([)( byayhyhfyf X
Y
例 2.5.3设随机变量 X~
)1(
1)(
2xxf X ?? ?
,Y=eX,求 Y的概率密度,
解,y=ex 单调可导,,0??? xey 且其值域为 y>0,
反函数为 x=h(y)=lny,所以,y>0时,
|)(|)]([)( yhyhfyf XY ???
yyh
1)( ??
= |1|][ ln
yyf X ? = )ln1(
1
2 yy ??
所以,
??
?
?
? ?
??
其它0
0
)ln1(
1
)( 2
y
yyyf Y ?
