1
综合问题分析
平面 －－综合问题分析
2
平面 －－综合问题分析
一, 平面的表示
不在同一直线上的三点
一直线和直线外的一个点
相交二直线
任意平面图形
平行二直线
3
平面 －－综合问题分析
二, 平面的分类
投影面的垂直面
投影面的平行面
投影面的倾斜面
铅垂面
正垂面
侧垂面
水平面
正平面
侧平面
在所垂直的投影面上，投影重影为一直线；
与其他两个投影面倾斜。
在所平行的投影面上，投影反映实形；与
其他两个投影面垂直，有重影性。
与三个投影面都倾斜。
4
平面 －－综合问题分析
三, 平面上的点和直线
1,一直线经过平面上的两个点，则此直线一定在该平面上。
2,一直线经过平面上一个点，且平行于平面上另一直线，则此直线一
定在该平面上。
3,若点在平面上的任一直线上，则点一定在该平面上。
4,平面上的投影面平行线，其对投影面的倾角为 0。
5,平面上的对投影面的最大斜度线，其对投影面的倾角最大。
5
平面 －－综合问题分析
四, 平行问题
1,平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平
行。
2,一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，
则此两平面平行。
3,两个平面垂直于某一投影面，在所垂直的投影面上的投影平行，则
此两平面平行。
6
平面 －－综合问题分析
五, 相交问题
1,重影性法,
两相交几何元素 (直线或平面 )之一处于投影面的特殊位置（垂直或
平行），在投影面上的投影具有重影性。
2,辅助平面法,
两相交几何元素 (直线或平面 )都投影面的倾斜线。
直线与平面相交 ?过直线作一辅助平面 (辅助平面一般垂直于某一投
影面 )
直线与平面相交 ?线面交点法 (方法同上 )
7
平面 －－综合问题分析
六, 垂直问题
1,若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。
2,直线垂直于平面上任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
3,若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该
平面。
4,两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作
的垂线必属于第一个平面。
5,直线投影定理,
当相交两直线互相垂直，且其中一条直线为投影面的平行线，则两
直线在该投影面上的投影必定互相垂直。
8
综合问题分析
—— 定位问题
平面 －－综合问题分析
9
平面 －－综合问题分析
例 1：已知三条直线 CD,EF,GH，要求作一直线 AB平行于 CD，且与 EF,GH
相交。
10
平面 －－综合问题分析
C
D E
F
G
H
∵ AB∥ CD
∴ AB必在平行于 CD的平面上。
B
A
例 1：已知三条直线 CD,EF,GH，要求作一直线 AB平行于 CD，且与 EF,GH
相交。
∵ AB和 EF相交
∴ AB和 EF必组成一个平面。
11
平面 －－综合问题分析
例 1：已知三条直线 CD,EF,GH，要求作一直线 AB平行于 CD，且与 EF,GH
相交。
1,过 EF作一平面平行于
CD(该平面为相交两直线
EF,EK构成 )。
即过 E作 EK∥ CD
2,求平面 EKF和直线 GH的
交点 A。
过 g’h’作辅助平面 Pv。
3,过 A作 AB∥ CD。
4,直线 AB即为所求直线。
12
平面 －－综合问题分析
例 2：求两交叉直线 AB和 CD的公垂线。
13
平面 －－综合问题分析
例 2：求两交叉直线 AB和 CD的公垂线。
C
A
B
M
F K
E
D
G
H
Q
公垂线,即直线 MK⊥ CD MK⊥ AB
即求垂足 M点和 K点
为求垂足 M点和 K点,
1,作平面 Q∥ 直线 AB；
2,过 A点作直线 AH ⊥ 平面 Q，垂足
为 E点；
3,过 E点作直线 EF ∥ AB，交直线
CD于 K点；
4,过 K点作 KM ∥ AE，交直线 AB于
M点。
5,直线 KM即为所求的直线。
14
平面 －－综合问题分析
例 1：已知三条直线 CD,EF,GH，要求作一直线 AB平行于 CD，且与 EF,GH
相交。
1,过 D作 d’g’ ∥ a’b’,dg ∥
ab (即平面 GDC ∥ 直线
AB)。
2,过 G点分别作,
水平线 GⅠ
正平线 GⅡ
过 A点作 a’h’⊥ g’2’，
ah⊥ g1。
3,用辅助平面法求直线 AH
与平面 GDC的交点 E点。
4,过 E点作 EF ∥ AB,EF交
CD于 K点。
5,由 K点作 KM∥ AE，直线
KM交直线 AB于 M点。
6:直线 KM就是所求的直线。
15
平面 －－综合问题分析
例 4：求直线 EF和平面 ABCD的夹角 θ。
16
平面 －－综合问题分析
例 2：求两交叉直线 AB和 CD的公垂线。
1,在直线上 AB上任取点 E；
过 E点作 EG⊥ 平面 ABCD；
2,EF与平面 ABCD夹角为 θ ；
EG与 EF的夹角为 γ ；
3,θ=90° - γ ；
4,求 γ角的大小，可归纳为求△ FEG
的实形；
G
A
F
B
C
D
E
θ
γ
N K
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综合问题分析
—— 度量问题
平面 －－综合问题分析
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平面 －－综合问题分析
例 4：求直线 EF和平面 ABCD的夹角 θ。
综合问题分析
平面 －－综合问题分析
2
平面 －－综合问题分析
一, 平面的表示
不在同一直线上的三点
一直线和直线外的一个点
相交二直线
任意平面图形
平行二直线
3
平面 －－综合问题分析
二, 平面的分类
投影面的垂直面
投影面的平行面
投影面的倾斜面
铅垂面
正垂面
侧垂面
水平面
正平面
侧平面
在所垂直的投影面上，投影重影为一直线；
与其他两个投影面倾斜。
在所平行的投影面上，投影反映实形；与
其他两个投影面垂直，有重影性。
与三个投影面都倾斜。
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平面 －－综合问题分析
三, 平面上的点和直线
1,一直线经过平面上的两个点，则此直线一定在该平面上。
2,一直线经过平面上一个点，且平行于平面上另一直线，则此直线一
定在该平面上。
3,若点在平面上的任一直线上，则点一定在该平面上。
4,平面上的投影面平行线，其对投影面的倾角为 0。
5,平面上的对投影面的最大斜度线，其对投影面的倾角最大。
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平面 －－综合问题分析
四, 平行问题
1,平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平
行。
2,一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，
则此两平面平行。
3,两个平面垂直于某一投影面，在所垂直的投影面上的投影平行，则
此两平面平行。
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平面 －－综合问题分析
五, 相交问题
1,重影性法,
两相交几何元素 (直线或平面 )之一处于投影面的特殊位置（垂直或
平行），在投影面上的投影具有重影性。
2,辅助平面法,
两相交几何元素 (直线或平面 )都投影面的倾斜线。
直线与平面相交 ?过直线作一辅助平面 (辅助平面一般垂直于某一投
影面 )
直线与平面相交 ?线面交点法 (方法同上 )
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平面 －－综合问题分析
六, 垂直问题
1,若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。
2,直线垂直于平面上任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
3,若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该
平面。
4,两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作
的垂线必属于第一个平面。
5,直线投影定理,
当相交两直线互相垂直，且其中一条直线为投影面的平行线，则两
直线在该投影面上的投影必定互相垂直。
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综合问题分析
—— 定位问题
平面 －－综合问题分析
9
平面 －－综合问题分析
例 1：已知三条直线 CD,EF,GH，要求作一直线 AB平行于 CD，且与 EF,GH
相交。
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平面 －－综合问题分析
C
D E
F
G
H
∵ AB∥ CD
∴ AB必在平行于 CD的平面上。
B
A
例 1：已知三条直线 CD,EF,GH，要求作一直线 AB平行于 CD，且与 EF,GH
相交。
∵ AB和 EF相交
∴ AB和 EF必组成一个平面。
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平面 －－综合问题分析
例 1：已知三条直线 CD,EF,GH，要求作一直线 AB平行于 CD，且与 EF,GH
相交。
1,过 EF作一平面平行于
CD(该平面为相交两直线
EF,EK构成 )。
即过 E作 EK∥ CD
2,求平面 EKF和直线 GH的
交点 A。
过 g’h’作辅助平面 Pv。
3,过 A作 AB∥ CD。
4,直线 AB即为所求直线。
12
平面 －－综合问题分析
例 2：求两交叉直线 AB和 CD的公垂线。
13
平面 －－综合问题分析
例 2：求两交叉直线 AB和 CD的公垂线。
C
A
B
M
F K
E
D
G
H
Q
公垂线,即直线 MK⊥ CD MK⊥ AB
即求垂足 M点和 K点
为求垂足 M点和 K点,
1,作平面 Q∥ 直线 AB；
2,过 A点作直线 AH ⊥ 平面 Q，垂足
为 E点；
3,过 E点作直线 EF ∥ AB，交直线
CD于 K点；
4,过 K点作 KM ∥ AE，交直线 AB于
M点。
5,直线 KM即为所求的直线。
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平面 －－综合问题分析
例 1：已知三条直线 CD,EF,GH，要求作一直线 AB平行于 CD，且与 EF,GH
相交。
1,过 D作 d’g’ ∥ a’b’,dg ∥
ab (即平面 GDC ∥ 直线
AB)。
2,过 G点分别作,
水平线 GⅠ
正平线 GⅡ
过 A点作 a’h’⊥ g’2’，
ah⊥ g1。
3,用辅助平面法求直线 AH
与平面 GDC的交点 E点。
4,过 E点作 EF ∥ AB,EF交
CD于 K点。
5,由 K点作 KM∥ AE，直线
KM交直线 AB于 M点。
6:直线 KM就是所求的直线。
15
平面 －－综合问题分析
例 4：求直线 EF和平面 ABCD的夹角 θ。
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平面 －－综合问题分析
例 2：求两交叉直线 AB和 CD的公垂线。
1,在直线上 AB上任取点 E；
过 E点作 EG⊥ 平面 ABCD；
2,EF与平面 ABCD夹角为 θ ；
EG与 EF的夹角为 γ ；
3,θ=90° - γ ；
4,求 γ角的大小，可归纳为求△ FEG
的实形；
G
A
F
B
C
D
E
θ
γ
N K
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综合问题分析
—— 度量问题
平面 －－综合问题分析
18
平面 －－综合问题分析
例 4：求直线 EF和平面 ABCD的夹角 θ。
