第五章 金融期权2
（五）较复杂的垂直价差交易——蝶状价差(Butterfly Spread)
定义：该策略系由投资者买进两个期权和卖出两个期权所形成。这些被买进的和被子卖出的期权属于同一个垂直系列，即它们的到期日相同，标的物相同，只是协定价格不同。
分类：多头蝶状价差、空头蝶状价差且操作对象可以同是看涨期权、也可同是看跌期权。这时我们以同是看涨期权为例对蝶状价差作一系统介绍。
多头蝶状价差：
定义：指投资者买进一个协定价格较低的看涨期权和一个协定价格较高的看涨期权，同时卖出两个协定价格介于上述两个协定价格之间的看涨期权。
盈亏状况分析
不妨设XL、 XM、 XH分别表示上述买进或卖出的看涨期权的低、介于中间、高的协定价格；CL、CM、 CH分别为相应的期权价格；为简便设XM=（XL + XH）/2；CL>CM>CH；期权到期时市价为：ST；总收益为Y。 B C A D B
当ST= XM时： XL XM XH
买进的协议价较低的看涨期权执行，收益为：ST- XL -CL
买进的协议价较高的看涨期权不执行，收益为：- CH
卖出的两只看涨期权不会被执行，收益为：2 CM
总收益为：YMAX= XM - XL -（CL+CH -2CM）
当ST≤XL 或ST≥XH时：
前者全不执行：买进的两只不执行，收益为：-CL-CH
卖出的两只不会被执行，收益为：2CM
总收益为：Y=2CM -（CL+CH ）
后者全执行： 买进的两只执行，收益为：
（ST- XL -CL）+（ST- XH –CH）
卖出的两只会被执行，收益为：
-（ST- XM –CM）*2
总收益为：Y=2CM -（CL+CH ） （条件：XM=（XL + XH）/2）
当XL <ST<XM时：
买进价较低的执行，收益为：ST- XL -CL
买进价较高的不执行，收益为：- CH
卖出的2只不会被执行，收益为：2 CM
总收益为：Y= ST- XL -（CL+CH -2CM）
平衡点：S01= XL +（CL+CH -2CM）
当XH <ST<XH时：
买进价较低的执行，收益为：ST- XL -CL
买进价较高的不执行，收益为：- CH
卖出的2只会被执行，收益为：-（ST- XM –CM）*2
总收益：Y=- ST+（2XM - XL ）-（CL+CH -2CM）
当XM=（XL + XH）/2：Y= - ST+ XH -（CL+CH -2CM）
图形（请说明：Y=2CM -（CL+CH ）一定是小于零）
XL XM XH
特点
投资者预测市场行情将会在某一区间内作幅度不大的变化，希望在这个价格区间内能获利，同时当价格波动超过这个区间时，亏损又被子限制在一定的范围内。
在多头蝶状价差交易中，投资者的最大利润和最大损失都是有限的，且是已知的。
空头蝶状价差（练习：卖出一高一低的看涨期权，同时买入两份执行价格介于上述两个执行价格之间的看涨期权。）
（六）比率价差
前述的各种垂直价差（牛市、熊市、蝶状价差）都有着这样一个共同的特点：即投资者买入的期权数与他们卖出的期权数都正好相同。比率价差（Ratio Spread）则不同。在比率价差交易中，投资者卖出的期权数将多于他们买入的期权数。仍属于垂直系列期权。
分类：看涨期权比率价差（Ratio Call Spread）；看跌期权比率价差（Ratio Put Spread）
适用于投资者预期标的物的市场价格比较稳定的场合。
下面以看涨期权比率价差为例，对这种价差交易策略作一简述。
定义：指投资者买进一定数量的较低协定价格的看涨期权（m只；XL、CL），而卖出更多数量的较高协定价格的看涨期权（n只；XL、CL）。这两种看涨期权的标的物相同，到期日也相同。（n>m，市价ST 收益为Y）
盈亏状况分析
当ST≤XL
买进价低的不执行，收益为： -CL*m
卖出价高的不会被执行，收益为：CH*n
总收益：Y=-m CL+n CH （此值末必小于零，理由自述）
当ST≥XH
买进价低的执行，（ST-XL - CL）*m
卖出价高的被执行，-（ST-XH – CH）*n
总收益：Y=（m-n）ST+（nXH +n CH -m XL - mCL）（其中m-n小于零）
XL <ST< XH
买进低的执行，收益为：（ST-XL - CL）*m
卖出高的不被执行，收益为：CH*n
总收益为：Y=mST+（n CH -m XL - mCL）
图形（不妨设Y=-m CL+n CH 小于零）
Y Ymax
XL XH
ST
0
4、适用于市场价较稳定的情况，投资者预测市场行情在今后只有一定程度的上升，但不会升得太多，也不会暴跌。
看跌期权比率价差见课本P237
（七）水平价差
指这样一种期权组合：投资者以相同的执行价格买进一定数量的到期日较近的期权，同时又卖出相同的但到期日较远的期权，或者以相同的执行价格买进一定数量的到期日较远的期权，同时又卖出数量相同，但到期日较近的期权。这种期权组合是利用期权的时间价值随其离到期日的远近变化的特点，以期获取价差收益。
由于期权价格与时间系非线性关系，损益分析相当复杂，此处从略。
（八）期权的对敲策略
前述价差交易策略中，投资者所买进的期权与卖出的期都属于同一个期类型，即要么都是看涨期权、要么都是看跌期权，现在讨论看涨与看跌混合操作的交易策略。即：投资者同时买进或卖出看涨和看跌期权。
买进对敲-----同时买进看涨和看跌
卖出对敲-----同时卖出看涨和看跌
同价对敲-----买进或卖出到期日协定价都相同的看涨和看跌期权
异价对敲-----买进或卖出到期日相同但协定价不同的看涨和看跌
期权
同价对敲
等量同价对敲（买入同价对敲、卖出同价对敲）
不等量同价对敲（买入同价对敲、卖出同价对敲）
异价对敲
等量异价对敲（买入异价对敲、卖出异价对敲）
不等量异价对敲（买入异价对敲、卖出异价对敲）
期货与期权的组合交易
合成买入看涨期权（Synthetic Long Call）
定义：指投资者在买进期货的同时买进看跌期权。（期货做多，担心平仓时期货价格下跌而受损失，故买看跌期权以达到保底之目的。）
目的：平仓时市价若下跌，则执行期权；若价格未跌则按市价平仓，至多损失一个期权费。
盈亏分析：
设买入1份期货：价格为：X1
买入1份看跌期权：协议价为：X2；期权价为：C
平仓时期货市价为：ST；单位资产收益为：Y
当ST>X2时：
期货：收益为：ST-X1
买入的看跌期权：不执行，收益为：-C
Y= ST-X1-C（盈利无限；平衡点：X1+C）
当ST<X2时：
买入的看跌期权：执行，收益为：X2-ST-C
期货：收益为：ST-X1
Y=（X2-ST-C）+（ST-X1 ）=（X2-X1）-C（最大损失有限）
图形：
Y
X2
ST
综上：合成买入看涨期权具有以下一些特征：
潜在的利润：无限（当市场价格上升时）
潜在的最大风险：期货价格与看跌期权协定价格的差加上支付的期权费（当市场价格下跌时），即有限。
盈亏平衡点：期货价格加上支付的期权费。
其盈亏特点与买进看涨期权相同。
合成买入看跌期权（期货：做空；期权：买进看涨）
合成卖出看跌期权（期货：做多；期权：卖出看涨。预期市场较稳或略有上升）
四、合成卖出看涨期权（期货：做空；期权：卖出看跌。预期市场较稳或略有下跌）
期权价格的定价模型
综上：金融期权交易乃是一种权利的交易，在这种交易中，期权购买者为获得期权合约所赋予的权利，就必须向期权出售者支付一定的费用。这一费用就是期权费或期权价格。自1973年以来，许多学者和专家纷纷提出各自的期权定价模型，以说明期权价格的决定和变动。在这些模型中，最著明的模型有如下两个：一个是布莱克---斯科尔斯模型（Black—Scholes Model）；另一个则是二项式模型（The Binomial Model）。下面分别予以介绍。
金融期权价格的构成
尽管现实中的金融期权交易中，期权价格受多种因素的复杂的影响，但从理论上说，它是由两部分构成的：一是内在价值；二是时间价值。
（一）内在价值（intrinsic value）或履约价值（exercise value）
是指期权合约本身所具有的价值，也就是期权购买者如果立即执行该期权所能获得的收益。
例如：某股票的市场价格为每股60美元，以这种股票为标的物的看涨期权的协议价格为每股50美元。则它的购买者只要执行此期权即可获利10美元的收益。这10美元的收益就是这一看涨期权的内在价值或履约价值。
显然：一种期权有无内在价值及其内在价值的大小取决于该期权的协定价格与其市场价格的关系。
实值期权：内在价值为正。
虚值期权：内在价值为负。
平价期权：内在价值为零。
一种期权之所以被执行，是因为该期权具有内在价值，必须注意的是：虽执行但总体上未必有经济收益。
对看涨期权而言：协议价格：X；市场价格：S；期权合约的交易单位。
当S>X时：（S-X）*m
当S≤X时：0
对看跌期权而言：
S≥X时：0
S<X时：（X-S）*m
（二）时间价值（time value）或外在价值（extrinsic value）
指期权购买者为购买期权而实际付出的期权费超过该期权之内在价值的那部分价值。期权购买者之所以乐于支付那部分额外的期权费，是因为他希望随着时间的推移和市场价格的变动，该期权的内在价值得以增加，从而使虚值期权或平价期权变为实值期权，或使实值期权的内在价值进一步增加。
与内在价值不同，时间价值通常不易计算。但可用实际的期权价格减去该期权的内在价值而求得。如：
某债券的现行价格为105，以该债券为标的物协议价为100的看涨期权以6.50价成交，则该看涨期权的内在价值为5美元（105-100），而它的时间价值为1.50(6.50-5.00)
（三）二项式模型
鉴于布莱克---斯科尔斯公式的推导涉及较多的数学知识及应用的复杂性，1979年考克斯、罗斯、鲁宾斯旦（Cox、Ross、Rubinstein）等人用十分浅显的方法推导了期权的定价模型。
一期间模型
设某标的物的现行价格为S，离期权到期日尚有一期（如半年），在期权到期日，标的物价格上涨到原来的u倍、下跌到原来的d倍的可能性分别为p、1-p（概率） p uS
S
1-p dS
若目前的看涨期权价值为C，协定价格为X，标的物价格上涨和下跌后的看涨期权价值分别为Cu ，Cd
则： p Cu
C
1-p Cd
Cu=Max{（uS-X），0} Cd=Max{（dS-X），0}
当前的看涨期权价值C尚是一个未知数，现用二项式定价模型求出C。（以期货看涨期权为例）
假定投资者组合由多头h单位标的物和空头看涨期权（标的物相同）组成，即投资者在卖出一个看涨期权的同时，买进h单位的标的物（h为套期保值比率，它保证投资者在建立上述合成部位后，无论标的物价格是上涨（up）还是下跌（down），其损益均保持相等）。因而有下列等式：
h（us-s）+c(1+r)- Cu= h(ds-s)+c(1+r)- Cd
第一项：现货收益
第二项：卖出看涨期权收取的期权费并投资于无风险资产收益，r为单一期间
的利率。
第三项：期权到期日因期权价值变动而对投资者收益的影响，因期权处于空
头部位，故其价值的变动对投资者的收益具有负的影响（Cu为期权
的多头部位投资者所得）。
说明：上式右边系价格上涨时的收益；左边系价格下跌时的收益。
h=（Cu- Cd）/（u-d）s （1）
在无套利机会的条件下：上式等于零。则有：
h（us-s）+c（1+r）- Cu=0
c=（Cu-hus+hs）/（1+r） （2），将（1）式（2）式并整理得：c=[P Cu+（1-P）Cd]/（1+r）（*）
其中：P=（1-d）/（u-d），（1-P）=（u-1）/（u-d）
练习：推导上式
若现金流可视为连续分布，上式可表示为：
c=[P Cu+（1-P）Cd]е-rt （**）
其中：P=（еrT - d）/（u-d）
由此可知：目前看涨期权的期权价格系到期日看涨期权价值的加权平均数的现值；权重为预期标的物价格涨跌的概率；贴现率系此期间的无风险利率r。
举例：某股票的现行价格为20元，三个月后有可能分别为22，18；协议价为21元（设该期权为3个月的欧式看涨期权）。 22 Cu=1
当3个月后价格为22元时，Cu=1元 20
当3个月后价格为18元时，Cd=0元 18 Cd=0
（A） 用定义来求C：
若不支付红利，h（22-20）-1=h（18-20）-0，h=0.25
故无风资产组合为：现货多头：0.25股
期权空头：1份期权
如果股票价格上涨至22元时，资产组合的价值为：
22*0.25-1=4.5(下跌至18元时:18*0.25=4.5)，
现值：4.5е-0.12*0.25 =4.367；成本：20*0.25-C=5-C
故有：5-C=4.367 C=0.633
用公式（**）来求C：
22 u=1.1
20
18 d=0.9 协议价为21 所以Cu=1 Cd=0 T=0.25 无风险利率r=0.12 P=（е0.03 – 0.9）/（1.1-0.9）=0.6523
c=[ 0.6523*1+（1-0.6523）*0]е-0.03=0.633
用公式（*）来求C：
需要指出的是公式（*）一般只适用于标的物为金融期货，而标的物为金融现货时，常取P=（1+r-d）/（u-d）
P=[u-（1+r）]/（u-d）
其中：d<1+r<u
如上例：一期的无风险利率：r=(0.12*3/12)=0.03
P=（1+0.03-0.9）/(1.1-0.9)=0.65 1-P=0.35
C=(0.65*1+0.35*0)/(1+0.03)=0.6311
而直接用公式(*)时:P=(1-0.9)/(1.1-0.9)=0.5
C=[0.5*1+(1-0.5)*0]/（1+0.03）=0.4854
这是因为:短期利率对金融现货价格的影响较大,而对金融期货影响较小。
B、多期间模型
只需将上面一期模型中的标的物价格变动的期间增加到二个或二个以上，即得“二期间”或“多期间”模型（即定的期权期间分割越来越多的小期间，即在期权权利期间价格波动的次数越来越多）。为简单起见，下面以二期间为例。
每一期间上涨到原来的u倍，或下跌到原来的d倍，其上涨和下跌的概率分别为P和1-P。
u2S
uS
S udS
dS
d2S
Cuu
Cu
C Cud
Cd
Cdd
类似于前面的方法，可得：
C=[P2 Cuu +2P（1-P）Cud+（1-P）2 Cdd]/（1+r）2
具体求法：用前面一期公式先求出Cu Cd ；再用前面一期公式求C。（C=[P Cu +（1-P）Cd ]/（1+r））
n期间时：设k为标的物价格上涨的次数，（n-k）为标的物价格下跌的次数。则：
n
C=[1/（1+r）n ∑[n！/k！（n-k）！]Pk（1-P）n-kMax[0，（uk dn-kS-X）]
k=0
据中心极限定理：当n→+无穷大时，二项分布将逼近正态分布，所以二项式模型也将逼近布莱克—斯科尔斯模型的结果，故只要参数u，d，P选择得当，二者的结果可互相转化。
练习：设某标的物的期货的现价为105，以此为标的物的看涨期权的协定价格为150，设该期权离到期日尚有两期。
u=1.06 d=0.96 r=4%(为一期利率)
则易求:P=0.4 1-P=0.6
168.54 Cuu =18.54
159 Cud =2.64
150 152.64 Cdd =0
144
138.24
代入上面公式可得：C=3.9142
练习：依次求出Cu 、Cd 后再求C 提示：
Cuu
Cu
C Cud
Cd
Cdd
练习：三期，现货价300，协议价300，u=1.08 d=0.96 r=2%
各期价格均匀变动，期权为看涨期权。
（四）布莱克---斯科尔斯模型（Black—Scholes）（1973）的
简明描述
注意：公式的详细推导请见：
刘金宝 主编 《金融工程核心工具——期权》 文汇出版社
第五章、第六章两大章
布莱克---斯科尔斯模型的历史回顾
A、最早可以追溯到1900年，有个巴彻利尔的学者在其博士论文The Theory of Speculation 中首资给出了欧式买权的定价公式（个股期权---认股权证）。但其模型的前提假设有误。
设标的股票价格服从正态分布。
认为在离到期日足够远的时候，买权的价值可能
大于标的价值。
设股票的期望报酬（即股价的平均值）为零。
尽管如此，但它提出的效率市场的概念为后人的研究指出了方向。
B、1964年，斯普兰克尔提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性，同年，博内斯将货币时间价值的概念引入期权定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差异。1965年，著名经济学家萨缪尔森把上述成果统一在一个模型中。但由于假设较多，几乎没有实用价值。
20世纪60年代末，布莱克在哈佛大学数学系取得博士学位后，到波士顿的一家管理咨询公司----Arthur Little公司工作。从此认识了MIT斯隆管理学院的年轻教师斯科尔斯，两人开始合作研究期权的定价问题。其最核心的工作：a、构造了一个由标的股票和无风险债券的适当组合---无套利定价原则；b、描述了期权价格变化的随机偏微分方程---B—S方程且其形式与描述热传导过程的微分方程完全相同，从而很快得到其解。1972年两人将研究成果写成论文，向学术刊物投稿。但这篇反映了20世纪经济学和金融学最重要的成果之一的论文，竟然先后被两家著名的刊物拒绝接受。直到1973年才得以在《政治经济学杂志》（Journal of Political Economics）上发表。
该模型有五个参数：期权的执行价格X，距到期日的时间T-t，无风险利率r，标的资产当前价格St和价格变动波动率σ。（前4个数据均可以直接通过市场获得，而σ也可以通过市场数据进行估计，因而此模型具有较强的实用性。）
2、布莱克—斯科尔斯模型
第六节 利率期权
国际金融市场同业惯用的利率期权主要有利率上限、利率下限、利率上下限三种。现分别介绍如下：
利率上限（Interest Rate Cap）：指买卖双方就未来某一段时间内，商定一个固定利率作为上限，如果协议规定的市场利率（通常是LIBOR）超过上限利率，则由卖方将市场利率与上限利率的差额支付给买方，反之，期权的买方放弃期权。但买方在协议签约时，必须支付卖方一定的费用。
适用对象：有浮动利率债务的人或有固定利率存款的人。其作用：防止利率上升可能产生的损失。
前者担心利率上升造成损失；而后者则奥恼利率上升
时，自已享受不到其收益。同时他们又不能100%地断
定利率上升。
例如：
X公司具有3年的浮动利率款，为了避免利率上升的风险，决定在1987年1月1日购买3年期利率9.5%的利率上限，费用是1.35%，需要避免风险的借款金额为1000万美元，使用的市场利率是6个月伦敦银行同业拆放利率（LIBOR）。其保值效果（利率上限购买者的付款现金流量）可用下表表示。
X公司购买利率上限后的实际付息表（美元）
利率期限
天数
市场利率
利率差额
买方实际付息（原付息-得到差额）
1987 1 3
1987 7 3
1988 1 3
1988 7 3
1989 1 3
1989 7 3
1990 1 3
181
184
182
184
181
184
8%
9%
10%
10.75%
10%
10.5%
5%
25%
0.5%
1%
402222.22-0
460000.00-0
505555.56-25277.77
=480277.79
549444.44-63888.88
=485555.56
502777.78-25138.88
=477638.90
536666.67-51111.11
=485555.56
X公司购买利率上限支付的费用 1.35%*10000000=135000
3年中获得补偿是165416.64,其现值为133680.2,与支出的利率上限费用135000相比虽有亏损,但好处是购买者固定了成本(不管往后市场利率如何变化),考虑到1.35%的费用,相当于在利率上限9.5%上增加0.55%,即无论以后市场利率如何变化,X公司的最高借款成本不会超过10.05%.实际上据上表的现金流量,用计算内部收益率的方法,得到X公司的实际成本是10.036%.
小结:购买者支付一定费用后,固定了筹资成本
出售者接受最初的费用后,不需要考虑购买者的信誉,
这里没有信用风险.
利率下限（Interest Rate Floor）：指买卖双方就未来某一段时间内，商定一个固定利率下限。如果协议规定的市场利率（通常是LIBOR）低于利率下限，则由卖方将市场利率与下限利率的差额支付给买方，反之，期权的买方放弃期权。但买方在协议签约时，必须支付卖方一定的费用。
适用对象：有大量存款的公司，担心利率下调而造成损失，
通过购买利率下限来保证获得最小的收益。
作用：保证获得最小的收益。
例如：
A保险公司为了避免利率下降带来的风险，对1000万美元的贷款金额购买了3年期利率为9%的利率下限，一次性费用为1.45%。使用的市场利率是6个月LIBOR。据3年的市场利率，利率下限的购买者A保险公司的收益现金流量如下表所示。
A保险公司购买利率下限后的现金流量表（美元）
利率期限
天
数
LIBOR
利率
差额
得到的
差额
按LIBOR
收益
A保险公司
现金流量
1986 3 4
1986 9 4
1987 3 4 1987 9 4
1988 3 4
1988 9 4
1989 3 4
184
181
184
182
184
181
8.5%
8.75%
9.00%
9.75%
8.75%
8.50%
0.5%
0.25%
0.25%
0.50%
25556
12569
0
0
12778
25139
434444
439930
460000
492917
44722
427361
-10145000(本金费用)460000
452499
460000
492917
460000
10452500(本息)
费用1.45%相当于每年年0.57%,也就是X公司购买了利率下限后,不管市场利率如何变动,至少可以获得收益率是8.43%,据上面的A公司的现金流量,用内部收益率的计算方法,得到A保险公司的实际收益是8.7%.
利率上下限（Interest Rate Collar）：指买入一个利率上限的同时，出售一个利率下限，是利率上限和利率下限两种交易的组合。通过出售利率下限，可以获得一定的费用，从而可以降低购买利率上限的成本（甚至可能降为零）。通过购买利率上下限，零成本利率上下限组合对浮动利率的债务人尤其具有吸引力。借款人既可以规避利率上升带来的利率风险，同时又能享受市场利率下降带来的好处。
例如：
某大型外向型A企业于2001年1月从某银行获得一笔1000万美元的3年期的贷款，用于设备进口，贷款使用浮动利率 （LIBOR）计息，每半年一次。当时的LIBOR为6.2%
企业认为其可负担的最高贷款成本为6.5%,因此买入一项协议利率为6.5%的利率上限;同时其预测6个月LIBOR跌到5%以下的可能性相对较小,因此,卖出5.0%的利率下限;协议金额都为10000美元,期限3年,参考利率为6个月LIBOR,每半年交割一次;期权费支出与收入抵消,不妨设其为零.
在每个交割日,当6个月的LIBOR高于6.5%时,企业将从期权卖出方获得高出部分的利息差额,以弥补借款成本的增加,企业承担的实际借款成本最高为6.5%;当6个月LIBOR低于5%时,企业将支付给期权买入方利息差额,这部差额将从实际成本降低的收益中支付,因此企业承担的实际成本最低为5%;当6个月LIBOR在6.5%和5%之间时,期权均不执行.故企业成本锁定在这个范围内.
LIBOR
企业支付
<5%
5~6.5%
>6.5%
5%
LIBOR
6.5%
案例分析
对我国经理股票期权激励机制市场环境的思考
课本P363
蒋殿春、张新：《可转换公司债券定价问题研究》
《国际金融研究》2002 4
（期权定价理论的应用：二项式模型、Black—Scholes模型）
