计算土力学
(1,2课 )
主讲教师：张爱军
联系方式
Name：张爱军
Tel,87082956 13991843800
E-mail,Zaj@nwsuaf.edu.cn
课时安排
? 课程的名称：计算土力学
? 包括的主要内容：
? 岩土工程静力控制方程的建立
? 土体本构模型简介
? 有限元法理论
? 土体总应力分析方法－变形计算
? 土体有效应力分析方法－固结计算
? 差分法的应用－以渗流计算为例
? 其他分析方法简介
? 课时：总 40学时,2个学分。
? 教材与主要参考文献
? 朱百里, 沈珠江, 计算土力学, 上海科学教
育出版社, 1990
? 龚晓南, 土工计算机分析, 中国建筑工业出
版社, 2000.10
? 谢康和, 周健, 岩土工程有限元分析理论与
应用, 科学出版社, 2002
? 张爱军, 谢定义, 复合地基数值分析, 科学
出版社, 2004
? 黄文熙, 土的工程性质, 水利电力出版社,
1983
第 1章 概述
§ 1.1 计算土力学的任务
计算土力学是用 数值计算分析方法 分
析岩土工程变形、应力、强度和稳定性
的科学，无论将土作为一种地基、建筑
材料或者结构物的环境，均会因为荷载、
渗流的作用产生变形、应力和稳定性问
题，计算土力学的任务就是要通过计算
分析解决与土有关的工程问题，提出合
理而经济的解决方案。
渗透稳定？
静力荷载
渗流
动力荷载 岩土体
应力
强度丧失
结构稳定
变形
地基
建筑材料
结构物环境
实际观测
解析方法
数值计算方法
自重
地震 振动
荷重等
有限元法 应用较广
有限差分法 应用较广
无界元法 模拟无限边界
边界元
流形元 前景好
离散元 岩石节理
拉格朗日法 大变形
非连续变形分析法
半解析元法 桩基
等等
数
值
计
算
方
法
数值计算是土力学理论与计算机科学发展
产生的, 在目前应用很广, 前景广阔
? 数值计算方法的优点
? 可以解决解析方法无法解的复杂问题
? 可以模拟复杂边界条件
?可以模拟逐步加载、逐步卸载施工程序
?可以考虑土骨架与水的耦合作用
?可以分析不同加荷历史、不同应力路径对
于非线性本构关系的影响
? 缺点
?计算复杂，费用高
? 很多方法不够成熟，特别是由于土体本构
模型研究不成熟，影响计算的精度
?一般用于定性分析，也可以用于定量分析
初期坝
坝基粉质黏土
加高子坝
排水层 饱和沉积灰
Drain l ayer
Heighten dam
S edimen t fl y ash
Initial dam
C lay in dam found ation
高
程(m
)
长度 (m)
高
程(m
)
长度 )
40 60 80 10 0 120 1 40 16 0 180 2 00 22 0 240 2 60 28 0 300
70 0
72 0
74 0
76 0
78 0
40 60 80 10 0 120 1 40 16 0 180 2 00 22 0 240 2 60 28 0 300
70 0
72 0
74 0
76 0
78 0
0, 2 3 4 1, 0
计算结果举例：
灰坝二维固结计算
黑河三维渗流计算
张峰大坝应力, 变形计算
（ a） 变形等值图 （ b） 变形矢量图
§ 1.2 计算土力学作用
平衡问题 特征值问题 瞬态问题
土体形变应力问题 土坝振动的固有频率
和振型分析
饱和土与非饱和土的
渗流固结分析基础梁、板分析
桩和桩群 结构物与土体系固有频率
和振型分析
土和结构物相互作用
的时效填方和深开挖
土坡稳定性
近岸和离岸工程在风浪激
发下的动力响应
应力波在土中的传播
稳定渗流 有孔介质中的非稳定渗流
结构物与土相互作用 土体中的温度场
地下空间的形变应力 污染源的扩散与弥散
? 除了岩土工程极限分析问题以外，其他
的问题均可以归结为 Biot动力固结方程
的求解，因此可以将 Biot动力固结方程
作为岩土工程的总控制方程。
? 比奥（ Biot） 1941年建立了土骨架压缩
和渗流相互关系的三维固结方程，是土
力学中较为严格的控制方程。当时由于
求解问题没有解决，一直没有应用。随
着有限元法等数值计算方法的发展，使
其求解成为可能。
第 2章 岩土工程问题控制方程的建立
? 方程由以下几个方程组成
?土体平衡（运动）方程
?几何方程
?土体物理（或本构）方程
?有效应力原理
?孔隙流体（水）平衡方程
?连续方程
? 基本假定
? 土体为完全饱和连续的 各向同性 的 弹性 体
? 先以各向同性的弹性体讲
?对于各向异性、横观各向异性土体进一步
展开补充
?对于非线性弹性和弹塑性也进一步补充
? 土体的变形是 微小 的（小变形假定）
?小变形的意思是土体的变形不至于引起其
应变计算公式的改变
?也就是：
00
ll
l l l?
????
??
? 土颗粒与水是 不可压缩 的
指土颗粒和水本身在三向等压力作用下，
不产生变形，土体的变形是由于土颗粒之
间的移动产生的，另外水不能承受剪切力
的作用。
? 孔隙水相对于土骨架的渗流运动服从
Darcy定律，其 惯性力 是可以忽略不计
? Darcy定律：
? Zienkiewicz（ 1985）研究表明在高频
振动中，忽略该惯性力是可以的。
p
lv k i k
?
???
? 应力与应变的符号与弹性力学的 相反,体力
与惯性力符号规定与弹性力学相同，位移符
号规定与弹性力学相同
?规定坐标系为符合右手螺旋定则的笛卡儿
坐标系,Z轴方向与重力方向相同
?位移 符号规定：方向与坐标轴方向相同为
正，否则为负
?孔隙水压力没有方向性，无正负
?体力与惯性力符号规定：方向与坐标轴方
向相同为正，否则为负
－弹性力学的规定－
1.面力
正面 正 方向
负面 负 方向
2.体力与惯性力
与坐标轴相同
为正
－计算土力学的规定－
1.面力
正面 负 方向
负面 正 方向
2.体力与惯性力
与坐标轴相同
为正
n
x
y
z
n
z?
zx?
zy?
z?
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负
面
正
面
n
x
y
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zx?
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负
面
正
面
g?
？
?面力、应力符号规定：
弹性力学 计算土力学
正应变 伸长为正 缩短为正
缩短为负 伸长为负
剪应变 直角减少为正 直角增大为正
直角增大为负 直角减少为负
正应变与剪应变都是无因次的量
?应变的符号规定：
,,x y z? ? ?
,,xy xz yz? ? ?
§ 2.1 平衡方程的建立
? 饱和土由土颗粒（固相）和孔隙水（液相）
两相组成。土颗粒通过接触和胶结两种形式
或其中之一形成土骨架，孔隙水在土骨架之
间的孔隙中。在荷载的作用下，土骨架发生
位移或运动,而孔隙水产生 孔隙压力,并伴
随着骨架的运动的同时还相对于骨架发生 渗
流运动 。
? 饱和土的定义：其饱和度 ≥ 80％
? 土体内部孔隙充满孔隙水
? 土体中少量存在的气体处于封闭状态，不
连通，不起控制作用
? 土体微单元 dxdydz
? 设,u,v,w为土骨架 x,y,z正方向的位移，
即为 x,y,z方向运动加速度
? 微单元受力为：
?体力为,其方向与 Z轴正向一致
? 惯性力为：
其方向与位移方向相反
?总应力有六个分量分别为：
?孔隙水相对于土骨架的渗流运动惯性力按
照假定可以忽略不计。
2 2 2
2 2 2,,
u v wu v wt t t? ? ?? ? ?? ? ?
,,u d x d y d z v d x d y d z w d x d y d z? ? ?
,,,,,x y z x y y z z x? ? ? ? ? ?
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Z
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微单元
Y
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X
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zxzx dx
x
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?
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w
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微单元 Z方向应力示意图
( ) ( )
()
[ ] [ ]
[ ] 0
yzz
z z y z y z
xz
x z x z
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zy
dx
x
d x d y d x d z
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? 由 z方向力平衡方程,有：0zF ??
( ) ( )
()
[ ] [ ]
[ ] 0
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z z y z y z
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x z x z
d z d y
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x
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2
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? 同理由 及,可得：
? 土体平衡方程：
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0yxx zxx y z u??? ???? ?? ? ?? ? ?
0y x y y zx y z v? ? ? ?? ? ???? ? ???
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? 当惯性力为零，即转化为静力平衡方程：
—— 也就是纳维叶（ Novie）方程
0yxx zxx y z??????? ? ?? ? ?
0y x y y zx y z? ? ?? ? ??? ? ???
zyzx z
x y z g
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§ 2.2 几何方程的建立
? 几何方程是表示形变分量与位移的关系
式，也就是应变与位移的关系
P
P'
A
A'
B'
B
α
βuu dxx+ ??
v
u
dxxv+ v??
dyyu+ u??
dyyv+ v??
()
x
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ux
d x x
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???
??? ? ?
?
()xy vuxy? ? ? ??? ? ? ? ???
? 几何方程为（柯西方程）：
? 讨论：
? 位移确定后，应变完全确定
? 应变确定后，位移不完全确定：
?刚体平移
?刚体转动
()
()
()
x x y
y y z
z zx
u v u
x x y
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y y z
w u w
z z x
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当应变为
零时
? 几何方程可以表现为以下的矩阵形式
{ } [ ] { }
{ } {,,,,,,}
{ } {,,}
[]
T
x y z x y y z x z
T
Bu
u u v w
B
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? ? ? ? ? ? ?
??
其 中, — — 为 应 变 矩 阵 等 于
— — 为 位 移 矩 阵 等 于
— — 为 几 何 矩 阵, 等 于,
00
00
00
[]
0
0
0
x
y
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B
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此矩阵应该记
住
总 结
? 土体平衡方程与几何方程的推导均基于
微单元体的受力分析
?弹性力学的方法
?基于对于应力、位移的泰勒（ Taylor）
展开式：
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n
n
n
fx
f x f x f x x x x x
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x x R
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? 符号规定与弹性力学中相反或相同 —— 有些
相反，有些相同，其原因在于土体经常是受
压的。
? 小变形假定。即：,假定物体受力以后，所
有点的位移都远远小于物体原来的尺寸，应
变远远小于 1。在建立物体变形以后的平衡
方程时，就可以用变形前的尺寸代替变形后
的尺寸, —— 徐芝 纶（ 1980） 。
? 平衡方程建立了土体外力（体积力 —— 重力与
惯性力,面力）与内力（总应力）之间的关系
? 几何方程建立了位移与应变的关系。位移确定，
应变确定；应变确定，位移不确定（ 刚体平移
与转动）
谢谢各位！
(1,2课 )
主讲教师：张爱军
联系方式
Name：张爱军
Tel,87082956 13991843800
E-mail,Zaj@nwsuaf.edu.cn
课时安排
? 课程的名称：计算土力学
? 包括的主要内容：
? 岩土工程静力控制方程的建立
? 土体本构模型简介
? 有限元法理论
? 土体总应力分析方法－变形计算
? 土体有效应力分析方法－固结计算
? 差分法的应用－以渗流计算为例
? 其他分析方法简介
? 课时：总 40学时,2个学分。
? 教材与主要参考文献
? 朱百里, 沈珠江, 计算土力学, 上海科学教
育出版社, 1990
? 龚晓南, 土工计算机分析, 中国建筑工业出
版社, 2000.10
? 谢康和, 周健, 岩土工程有限元分析理论与
应用, 科学出版社, 2002
? 张爱军, 谢定义, 复合地基数值分析, 科学
出版社, 2004
? 黄文熙, 土的工程性质, 水利电力出版社,
1983
第 1章 概述
§ 1.1 计算土力学的任务
计算土力学是用 数值计算分析方法 分
析岩土工程变形、应力、强度和稳定性
的科学，无论将土作为一种地基、建筑
材料或者结构物的环境，均会因为荷载、
渗流的作用产生变形、应力和稳定性问
题，计算土力学的任务就是要通过计算
分析解决与土有关的工程问题，提出合
理而经济的解决方案。
渗透稳定？
静力荷载
渗流
动力荷载 岩土体
应力
强度丧失
结构稳定
变形
地基
建筑材料
结构物环境
实际观测
解析方法
数值计算方法
自重
地震 振动
荷重等
有限元法 应用较广
有限差分法 应用较广
无界元法 模拟无限边界
边界元
流形元 前景好
离散元 岩石节理
拉格朗日法 大变形
非连续变形分析法
半解析元法 桩基
等等
数
值
计
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方
法
数值计算是土力学理论与计算机科学发展
产生的, 在目前应用很广, 前景广阔
? 数值计算方法的优点
? 可以解决解析方法无法解的复杂问题
? 可以模拟复杂边界条件
?可以模拟逐步加载、逐步卸载施工程序
?可以考虑土骨架与水的耦合作用
?可以分析不同加荷历史、不同应力路径对
于非线性本构关系的影响
? 缺点
?计算复杂，费用高
? 很多方法不够成熟，特别是由于土体本构
模型研究不成熟，影响计算的精度
?一般用于定性分析，也可以用于定量分析
初期坝
坝基粉质黏土
加高子坝
排水层 饱和沉积灰
Drain l ayer
Heighten dam
S edimen t fl y ash
Initial dam
C lay in dam found ation
高
程(m
)
长度 (m)
高
程(m
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长度 )
40 60 80 10 0 120 1 40 16 0 180 2 00 22 0 240 2 60 28 0 300
70 0
72 0
74 0
76 0
78 0
40 60 80 10 0 120 1 40 16 0 180 2 00 22 0 240 2 60 28 0 300
70 0
72 0
74 0
76 0
78 0
0, 2 3 4 1, 0
计算结果举例：
灰坝二维固结计算
黑河三维渗流计算
张峰大坝应力, 变形计算
（ a） 变形等值图 （ b） 变形矢量图
§ 1.2 计算土力学作用
平衡问题 特征值问题 瞬态问题
土体形变应力问题 土坝振动的固有频率
和振型分析
饱和土与非饱和土的
渗流固结分析基础梁、板分析
桩和桩群 结构物与土体系固有频率
和振型分析
土和结构物相互作用
的时效填方和深开挖
土坡稳定性
近岸和离岸工程在风浪激
发下的动力响应
应力波在土中的传播
稳定渗流 有孔介质中的非稳定渗流
结构物与土相互作用 土体中的温度场
地下空间的形变应力 污染源的扩散与弥散
? 除了岩土工程极限分析问题以外，其他
的问题均可以归结为 Biot动力固结方程
的求解，因此可以将 Biot动力固结方程
作为岩土工程的总控制方程。
? 比奥（ Biot） 1941年建立了土骨架压缩
和渗流相互关系的三维固结方程，是土
力学中较为严格的控制方程。当时由于
求解问题没有解决，一直没有应用。随
着有限元法等数值计算方法的发展，使
其求解成为可能。
第 2章 岩土工程问题控制方程的建立
? 方程由以下几个方程组成
?土体平衡（运动）方程
?几何方程
?土体物理（或本构）方程
?有效应力原理
?孔隙流体（水）平衡方程
?连续方程
? 基本假定
? 土体为完全饱和连续的 各向同性 的 弹性 体
? 先以各向同性的弹性体讲
?对于各向异性、横观各向异性土体进一步
展开补充
?对于非线性弹性和弹塑性也进一步补充
? 土体的变形是 微小 的（小变形假定）
?小变形的意思是土体的变形不至于引起其
应变计算公式的改变
?也就是：
00
ll
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? 土颗粒与水是 不可压缩 的
指土颗粒和水本身在三向等压力作用下，
不产生变形，土体的变形是由于土颗粒之
间的移动产生的，另外水不能承受剪切力
的作用。
? 孔隙水相对于土骨架的渗流运动服从
Darcy定律，其 惯性力 是可以忽略不计
? Darcy定律：
? Zienkiewicz（ 1985）研究表明在高频
振动中，忽略该惯性力是可以的。
p
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?
???
? 应力与应变的符号与弹性力学的 相反,体力
与惯性力符号规定与弹性力学相同，位移符
号规定与弹性力学相同
?规定坐标系为符合右手螺旋定则的笛卡儿
坐标系,Z轴方向与重力方向相同
?位移 符号规定：方向与坐标轴方向相同为
正，否则为负
?孔隙水压力没有方向性，无正负
?体力与惯性力符号规定：方向与坐标轴方
向相同为正，否则为负
－弹性力学的规定－
1.面力
正面 正 方向
负面 负 方向
2.体力与惯性力
与坐标轴相同
为正
－计算土力学的规定－
1.面力
正面 负 方向
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与坐标轴相同
为正
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?面力、应力符号规定：
弹性力学 计算土力学
正应变 伸长为正 缩短为正
缩短为负 伸长为负
剪应变 直角减少为正 直角增大为正
直角增大为负 直角减少为负
正应变与剪应变都是无因次的量
?应变的符号规定：
,,x y z? ? ?
,,xy xz yz? ? ?
§ 2.1 平衡方程的建立
? 饱和土由土颗粒（固相）和孔隙水（液相）
两相组成。土颗粒通过接触和胶结两种形式
或其中之一形成土骨架，孔隙水在土骨架之
间的孔隙中。在荷载的作用下，土骨架发生
位移或运动,而孔隙水产生 孔隙压力,并伴
随着骨架的运动的同时还相对于骨架发生 渗
流运动 。
? 饱和土的定义：其饱和度 ≥ 80％
? 土体内部孔隙充满孔隙水
? 土体中少量存在的气体处于封闭状态，不
连通，不起控制作用
? 土体微单元 dxdydz
? 设,u,v,w为土骨架 x,y,z正方向的位移，
即为 x,y,z方向运动加速度
? 微单元受力为：
?体力为,其方向与 Z轴正向一致
? 惯性力为：
其方向与位移方向相反
?总应力有六个分量分别为：
?孔隙水相对于土骨架的渗流运动惯性力按
照假定可以忽略不计。
2 2 2
2 2 2,,
u v wu v wt t t? ? ?? ? ?? ? ?
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微单元 Z方向应力示意图
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? 由 z方向力平衡方程,有：0zF ??
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? 同理由 及,可得：
? 土体平衡方程：
0xF ?? 0yF ??
0y y z x yy z y v? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?
0yxx zxx y z u??? ???? ?? ? ?? ? ?
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0zyzx zx y z wg?? ? ???? ???? ? ?? ? ?
0yxx zxx y z u??? ???? ?? ? ?? ? ?
? 当惯性力为零，即转化为静力平衡方程：
—— 也就是纳维叶（ Novie）方程
0yxx zxx y z??????? ? ?? ? ?
0y x y y zx y z? ? ?? ? ??? ? ???
zyzx z
x y z g
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? ? ??
§ 2.2 几何方程的建立
? 几何方程是表示形变分量与位移的关系
式，也就是应变与位移的关系
P
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A
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B'
B
α
βuu dxx+ ??
v
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dyyu+ u??
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? 几何方程为（柯西方程）：
? 讨论：
? 位移确定后，应变完全确定
? 应变确定后，位移不完全确定：
?刚体平移
?刚体转动
()
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0
0
0
yz
zx
xz
u u z y
v v x z
w w y x
??
??
??
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? ? ?
? ? ?
当应变为
零时
? 几何方程可以表现为以下的矩阵形式
{ } [ ] { }
{ } {,,,,,,}
{ } {,,}
[]
T
x y z x y y z x z
T
Bu
u u v w
B
?
? ? ? ? ? ? ?
??
其 中, — — 为 应 变 矩 阵 等 于
— — 为 位 移 矩 阵 等 于
— — 为 几 何 矩 阵, 等 于,
00
00
00
[]
0
0
0
x
y
z
B
yx
zy
zx
???
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????
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????
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??
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??
????
此矩阵应该记
住
总 结
? 土体平衡方程与几何方程的推导均基于
微单元体的受力分析
?弹性力学的方法
?基于对于应力、位移的泰勒（ Taylor）
展开式：
''
'2 0
0 0 0 0
()
0
0
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2!
()
()
!
n
n
n
fx
f x f x f x x x x x
fx
x x R
n
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? 符号规定与弹性力学中相反或相同 —— 有些
相反，有些相同，其原因在于土体经常是受
压的。
? 小变形假定。即：,假定物体受力以后，所
有点的位移都远远小于物体原来的尺寸，应
变远远小于 1。在建立物体变形以后的平衡
方程时，就可以用变形前的尺寸代替变形后
的尺寸, —— 徐芝 纶（ 1980） 。
? 平衡方程建立了土体外力（体积力 —— 重力与
惯性力,面力）与内力（总应力）之间的关系
? 几何方程建立了位移与应变的关系。位移确定，
应变确定；应变确定，位移不确定（ 刚体平移
与转动）
谢谢各位！
