计算土力学
主讲教师：张爱军
§ 4.4 常应变三角形单元（补充）
? 单元刚度矩阵形成
单元本身是平衡的
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
11 12 13
21 22 23
31 32 33
22 1
e
k k k
k k k
k k k
k
???
???
??
结点
结点2
结点3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 1 2 3 1 3 1
2 1 1 2 2 2 3 2 3 2
3 1 1 2 3 2 3 3 3 3
e e e e
e e e e
e e e e
k k k R
k k k R
k k k R
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ??
?
? ? ???
[k]δ:位移引起的结
点力,其中 [k]为相应
的 刚度 。
主元：结点本
身位移引起的
本结点的结点
力
辅元：结点 2
的位移引起结
点 1的结点 力
有了刚度值，就可以由位移求出 力 （非应力）
有了弹性模量值，就可以由应变求出应力
ζ
ε
p
δ
斜率为弹性模量 斜率为刚度
弹性地基粱为例一般弹性体为例
? 整体各个单元刚度矩阵分析
1
2
4
3
5 6
①
②
③
④
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
11 12 13
21 22 23
31 32 33
22 24 25
42 44 45
52 54 55
22 25 23
52 55 53
32 35 33
33 35
e
e
e
e
k k k
k k k
k k k
kkk
kkk
kkk
k k k
k k k
k k k
k k k
k
k
k
k
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?
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??
??
??
??
?
??
??
??
??
??
?
??
??
??
?
①
②
③
④
单元结点号：1,2,3
整体结点号：1,2,3
单元结点号：1,2,3
整体结点号：2,4,5
单元结点号：1,2,3
整体结点号：2,5,3
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
36
53 55 56
63 65 66
k k k
k k k
??
??
??
??
??
单元结点号：1,2,3
整体结点号：3,5,6
? 总体刚度矩阵的叠加
? ?
1
2
3
4
5
6
1
000
0
0
0
2 3 4 5 6
K
??? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ?
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??
??
??
???
① ① ①
① + ② + ③ ① + ③ ② ② + ③
① + ③ + ④ ③ + ④ ④
② ②
② + ③ + ④ ④
④
对
称
1
2
4
3
5 6
①
②
③
④
表示：整体结构
中, 整体结点编
号为 1的结点位移
引起的本身的结
点力, 相应的刚
度
表示：整体结构
中, 整体结点编
号为 2的结点位移
引起结点 1的结点
力, 相应的刚度
表示：整体结构
中, 整体结点编
号为 5的结点位移
引起结点 3的结点
力, 相应的刚度
? 整体刚度矩阵的性质
?整刚表示整体位移与力的关系
?总体刚度矩阵的行数和列数＝ 总结点
数 × 单元结点自由度数 的方阵，其排
列的顺序按照结点标号依次从小到大
排列，每个结点的按照自由度的顺序
排列。上例中总刚度矩阵排列见后，
这样排列是为了与单元结点位移向量
对应。
?结点的多少决定着整刚的大小。
? 约束处理
? 就是将整刚中相应的约束结点的约束自由度
上的行、列划去，将荷载向量中相应项划去
即可。
? 其实质是：强制使得 u＝ 0，或 v＝ 0；或 u＝ 0，
v=0
? 对于给定位移约束条件，即,u＝ c1或 v＝ c2
是将整体刚度矩阵中相应的主元乘以一个大
值 A，等效结点向量相应的值设为 A× c1或
A× c2，利用“大数吃小数”的原理，得到 u
＝ c1或 v＝ c2。在上例中，若整体结点号为 2
的水平位移 u2＝ c2，则有：
1
22
1,2 2
22
n
ii
ii
A c k
Acuc
AA
?
?
??
?
? ? ?
?
相 对于 A
很小
2
11
11
2
22
33
3
4
4
5
5
6
6
uR
vR
u
vR
uR
vR
u
v
cA
u
v
u
v
A
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????
????
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????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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???
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?? ??
??
?? ?
???? ??
对
称
3
4
4
5
5
6
6
R
R
R
R
R
R
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
????
§ 4.5 等参元
? 以上三角形单元分析中可以看出，从位移模式
到形函数的构造上面，需要解三元一次方程，
若位移模式中取得的项数进一步增加到 4～ 20
项，其形函数的构造非常麻烦，而且不能够统
一编程，因此需要找更方便的办法
? 在三角形单元中，对于等效结点荷载向量的求
解等就很复杂了，对于其他复杂单元其求解将
更加困难。
?这就引出来另外一种思路。即：先将
实际单元通过 坐标转换函数 转化成一
个 母元 （即：形状规则、简单的单
元），所有位移模式、形函数、单元
分析，等效结点荷载向量建立等均在
该母元上进行，使得求解简单化，并
便于变成。然后将求出的量再转化成
实际单元的量，求出最后的结果。这
种思路概念清楚、便于理解，并且便
于标准化。这就是 等参元 的思路。
其中：坐标转换函数＝母元的形函数时
称为等参元。
实际单元 母单元 母单元实际单元
2× 2
2× 2× 2
等参元的形函数
? 母元
?对于平面问题
?
?
1
??单元各个结点局部坐标：（, ）
点坐标（- 1,- 1 ）,2 点坐标（- 1,1 ）
3 点坐标（1,1 ）,4 点坐标（1,- 1 ）
0
1
2 3
41? ??
1???
2
1
2 3
45
6
7
8
1
? ? ?各个结点的局部坐标：（,, ）
点坐标（- 1,- 1,- 1 ）,2 点坐标（- 1,1,- 1 ）
3 点坐标（1,1,- 1 ）,4 点坐标（1,- 1,- 1 ）
5 点坐标（- 1,- 1,1 ）,6 点坐标（- 1,1,1 ）
7 点坐标（1,1,1 ）,8 点坐标（1,- 1,1 ）
?
?
?
1
2 3
4
6 7
85
空间 8结点等参元母元
空间 20结点等参元母元
? 母元位移模式与形函数的构造
?位移模式的待定参数的个数应该与结
点个数一致，才能保证待定参数可以
解出来。对于 4边形单元，位移模式取
为（在局部坐标中分析）：
22
3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
1
xy
x x y y
x x y x y y
x x y x y x y y
1 2 3 4u a a a a? ? ? ?? ? ? ?
44个结点，个待定参数
?将母元各个结点的局部坐标值代入位
移模式中，得到：
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
u a a a a
u a a a a
u a a a a
u a a a a
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 3
1 2 3 4 4
a a a a u
a a a a u
a a a a u
a a a a u
? ? ??
?
? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
＝
＝
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
1
()
4
1
()
4
1
()
4
1
()
4
a u u u u
a u u u u
a u u u u
a u u u u
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
1 2 3 4
1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
4 4 4 4u u u u u? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 3 4
1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
4 4 4 4v v v v v? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
以上公式就是平面 4结点等参元的形函数
? ?
4
1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
1 2 4
1
1
3
4
0 0 0 0
0 0 0 0
ii
i
ii
i
u N u N u N u N u
v N v N v N v N u
N N N N
N
N N N N
Nu
Nv
?
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
?
?
??
? ??
??
?
?
1,,4
1 ( 1 ) ( 1 )
4
(,)
i i i
ii
iN ? ? ? ?
??
?? ? ?
i为结点 的局部坐标值
?对于空间 8结点
得到其形函数为：
1,,8
1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
8
(,,)
i i i i
i i i
iN ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?? ? ? ?
i为结点 的局部坐标值
2 2 2
2 2 2 3 3 3
1
x y z
x y y z x z x y z
x y z x y y z z x x y z
1 2 3 4
5 6 7 8
u a a a a
a a a a
???
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
有些专著中还提出 8－ 20结点单元的通用
形函数公式。
? 坐标转换函数的建立
?坐标转换函数的作用在于将几何形状
不规则的真实单元转换成为标准单元
（数学上称为映射），等参元是将坐
标转换函数与形函数一致，即：
4
1
4
1
ii
i
ii
i
u N u
v N v
?
?
?
??
?
?
? ?
??
?
?
4
1
4
1
ii
i
ii
i
y M y
z M z
?
?
?
??
?
?
? ?
??
?
?
?
形函数 N 坐标转换函数 M
等参元中,Ni＝ Mi
?我们分析一下形函数的性质：
1,,4
1 ( 1 ) ( 1 )
4
(,)
i i i
ii
iN ? ? ? ?
??
?? ? ?
i为结点 的局部坐标值
4
1
1,,4
1
0
1
i
i
i
iN
N
?
?
?
? ?
?
??
在结点处
非结点处
即,i结点的形函
数 Ni在 j结点处为
0
4
1 1 2 2 3 3 1 1
1
3 2 3 2 3 2
1
11
[ ( 1 ) ( 1 ) ] [ ( ) ( ) ]
22
ii
i
u N u N u N u N u N u
u u u u u u ?
?
??
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
在 ＝ 边上：
在单元边界上位
移是局部坐标的
一次函数, 线性
的 。
?坐标转换函数形式：
4 4 4
1 1 1
4 4 4
1 1 1
( 1 ) ( 1 )
4
( 1 ) ( 1 )
4
i
i i i i i i
i i i
i
i i i i i i
i i i
y
y M y N y
z
z M z N z
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
正是由于形函数有以上的性质才能够
使得其可以将不规则的 4边形转换成
为一个 2× 2的正方形。
我们不妨验证一下：对于母元而言，
其 3－ 4边的表示方程为 η=1。
将 η=1（ 3-4边）代入到坐标转换方程：
4 4 4
1 1 1
4 4 4
1 1 1
( 1 ) ( 1 )
4
( 1 ) ( 1 )
4
i
i i i i i i
i i i
i
i i i i i i
i i i
y
y M y N y
z
z M z N z
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
得到：
34
34
11
0 0 ( 1 ) ( 1 )
22
11
0 0 ( 1 ) ( 1 )
22
y y y
z z z
??
??
?
? ? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ? ? ?
??
注：3 点局部坐标为（1,1 ）,4 点局部坐标为（1,- 1 ）
化解得到：
3 4 3 4
3 4 3 4
11
( ) ( )
22
11
( ) ( )
22
y y y y y
z z z z z
?
?
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
??
将联立方程中 ζ消去得到：
34
3 4 3 4
34
3 4 4
3 4 3 4
34
3 4 3 4
3 4 3 4 4
3 4 3 4
34
44
34
34
44
34
2 ( )
2 ( ) ( )
2 ( 2 )
2 ( ) ( )
2 ( ) 2 ( ) 2
2 2 2 ( )
()
y y y
z z z z z
yy
y y y y
z z z z z
yy
z z z z
z z z y z z y
y y y y
zz
z z y y
yy
zz
zy
y
zy
y
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?
? ? ?
? ? ? ?
?
??
? ? ? ? ? ?
??
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
直线方程
34
44
34
()zzzyyyzy?????
已知两点坐标, 求
连接两点直线的方程
这是连接（ y3,z3）和（ y4,z4）两点的
直线。
—— 这说明母元 3－ 4边的方程 η=1，经
过坐标转换函数转换以后，得到在实
际坐标下连接 3－ 4点的直线方程。同
理也可以证明实际坐标的直线边，可
以转化成母元的边。从而验证了坐标
转换函数可以实现将实际不规则单元
转换为母元的功能。
雅克比矩阵 (Jacobi) [J]
? 就是真实坐标对母元局部坐标的导数矩
阵
? 对于平面问题：
? ?
44
11
44
11
ii
ii
ii
ii
ii
ii
NNyz
yz
J
yz NN
yz
? ? ? ?
?? ??
??
??
???? ????
????? ? ? ?
????
???? ????
????
???? ??
??
??
? 对于空间问题：
? ?
8 8 8
1 1 1
8 8 8
1 1 1
8 8 8
1 1 1
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
N N Nx y z
x y z
N N Nx y z
J x y z
x y z N N N
x y z
? ? ????
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??? ? ???? ? ?
????
? ? ????
??
???? ? ? ?? ? ?
????
? ? ? ? ? ?
????
??? ? ? ? ? ?
????
??? ? ? ??? ??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
单元类型不同，其 Jacobi矩阵由于坐标转
换函数不同而不同。
? Jacobi矩阵地意义
12
22
(,,) ; (,,)
(,,) ; (,,)
i
i i i i
i i i i
i i i i
N f f x y z
f x y z f x y z
N N N Nx y z
x y z
N N N Nx y z
x y z
N N N Nx y z
x y z
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
?
? ? ? ?? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
得到：
? ?
i
ii
i i i
i i i
N x y z NN
xx
N N Nx y z
J
yy
N x y z N N
zz
? ???
? ? ? ?
????
?? ??? ? ? ? ? ? ? ???
?? ?? ? ? ? ?
? ??? ??
?? ?? ? ? ? ?
?? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
???? ? ?? ? ? ?????
[J]表示坐标转换函数对局部坐标的导数与
坐标转换函数对整体坐标的导数的关系
矩阵
那么：
? ?
1
i
i
ii
ii
NN
x
NN
J
y
NN
z
?
?
?
?
??????
????
??
????
??????
?? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
???? ??
Jacobi 矩阵的逆阵就表示：坐标转换函
数对整体坐标的导数与坐标转换函数对
局部坐标的导数的关系矩阵。
在计算 [B]阵时要用到 Jacobi矩阵。
可以求得的确定
值 。
[J]阵通过以下公式求得：
? ?
8 8 8
1 1 1
8 8 8
1 1 1
8 8 8
1 1 1
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
N N Nx y z
x y z
N N Nx y z
J x y z
x y z N N N
x y z
? ? ????
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??? ? ???? ? ?
????
? ? ????
??
???? ? ? ?? ? ?
????
? ? ? ? ? ?
????
??? ? ? ? ? ?
????
??? ? ? ??? ??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
8
1
8
1
8
1
ii
i
ii
i
ii
i
x N x
y N y
z N z
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
其逆阵求法同矩阵运算
其行列式求法也同矩阵运
算法则 。
? ?1J?
J
微元的面积 dS和微元的体积 dV
? 在有限元计算中，对于三维问题，等效
荷载向量的计算中我们要用到面积积分，
而形成单元刚度矩阵时要用到体积积分，
这里讲授微元面积与微元体积的计算问
题。为形成 {R},{k}准备。
? ? ? ?
[ ] [ ] [ ] [ ]
{ } [ ] [ ]
e
eT
e T T
S
K B D B d V
R N p d V N q d S?
?
??
e
e
V
V
＝
＋
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
eT
T
K B D B dV
B D B dx dy dz?
?
???
e
e
V
V
＝
? ?{ } [ ]
e
eTq
SR N q d S? ?
不是对于局部坐标的,
而是对于整体坐标的,
需要转换 。
是沿着一个空间曲面
进行积分, 也需要转
换成局部坐标 。
? ?{ } [ ]
e
eT
p
V
R N p d x d y d z? ???
? 预备知识
?设空间上矢量 a,b，其表示成为分量
的形式为：
,,
x y z
x y z
i j k
a a i a j a k
b b i b j b k
? ? ?
? ? ?
其中,为沿着x,y,z
方向的单位矢量
?a,b两个矢量的标量乘积（点乘）为：
x x y y z zc a b a b a b a b? ? ? ?
该标量乘积为一个标量，表示矢量 a在
b上的投影长度（也叫模）与矢量 b长
度的乘积。
?a,b两个矢量的向量乘积，即所谓叉乘：
( ) ( ) ( )x y z y z z y z x x z x y y x
x y z
i j k
d a b a a a a b a b i a b a b j a b a b k
b b b
? ? ? ? ? ? ? ? ?
该乘积为另一个矢量 d，其意义为,d
的模为有矢量 a,b，围成的平行四边形
的面积，其方向垂直于 a,b构成的平面，
指向符合右手螺旋定则。
?行列式的值：
1 2 3
2 3 1 3 12
1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 12
1 2 3
a a a
b b b b bb
b b b a a a
c c c c cc
c c c
? ? ?
?下面就对 dS,dV进行转换
?设 η,ζ为平面上的曲线坐标,dη是与
曲线 η＝ 1相切的矢量,dζ是与曲线 ζ＝
1相切的矢量，如图示：
d?
d?
1??
1??
z
y
实际上, dη,dζ表示的两个方向就是母元的局
部坐标 η,ζ在整体坐标系上的方向 。
则有：
yz
d i d j d
yz
d i d j d
? ? ?
??
? ? ?
??
??
??
??
??
??
??
微元的面积就是 dη,dζ两个矢量叉乘的
模，即：
0
0
i j k y z
yz
c d d d d d d k
yz
yz
dd
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
??
??
????
? ? ? ?
????
????
??
得到平面问题的微元面积计算公式：
yz
d S c d d J d d
yz
??
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??
??
??
? ? ?
??
??
?对于空间问题：
Jacobi矩阵
d?
d?
1??
1??
z
y
x
得到：
x y z
d i d j d k d
y z z
d i d j d k d
? ? ? ?
? ? ?
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? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
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微元的面积就是 dξ,dζ两个矢量叉乘的
模，即,i j k
x y z
c d d d d k
x y z
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???
???
? ? ?
???
???
? ? ?
???
得到对于空间曲面微元的秘面积为：
22
1
2 2
[ ( ) ( )
( ) ]
d S c A d d
x y x y y z y z
A
z x z x
??
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??
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? ? ? ?
??
? ? ? ?
其中：
? 微元的体积计算
? 同样设在空间上的曲线坐标为,ξηζ,ξηζ=1
为三个曲面，沿着 η＝ 1 和 ζ=1 曲面的交线作
dξ，沿 ξ＝ 1 和 ζ=1 曲面交线作矢量 dη，沿 ξ
＝ 1 和 η＝ 1交线设矢量 dζ，如图所示：
d?
d?
1??
1??
z
y
x
d?
?微元体的体积就是：
( ) ( )
()
x y z
dV d d d i j d
i j k y z z x x y
x y z x y z
d d d d d
y z z x x y
x y z
x y z
x y z
d d d J d d d
x y z
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???
???
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???
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???
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???
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???
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???
Jacobi矩阵
Any questions？
主讲教师：张爱军
§ 4.4 常应变三角形单元（补充）
? 单元刚度矩阵形成
单元本身是平衡的
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
11 12 13
21 22 23
31 32 33
22 1
e
k k k
k k k
k k k
k
???
???
??
结点
结点2
结点3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 1 2 3 1 3 1
2 1 1 2 2 2 3 2 3 2
3 1 1 2 3 2 3 3 3 3
e e e e
e e e e
e e e e
k k k R
k k k R
k k k R
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ??
?
? ? ???
[k]δ:位移引起的结
点力,其中 [k]为相应
的 刚度 。
主元：结点本
身位移引起的
本结点的结点
力
辅元：结点 2
的位移引起结
点 1的结点 力
有了刚度值，就可以由位移求出 力 （非应力）
有了弹性模量值，就可以由应变求出应力
ζ
ε
p
δ
斜率为弹性模量 斜率为刚度
弹性地基粱为例一般弹性体为例
? 整体各个单元刚度矩阵分析
1
2
4
3
5 6
①
②
③
④
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
11 12 13
21 22 23
31 32 33
22 24 25
42 44 45
52 54 55
22 25 23
52 55 53
32 35 33
33 35
e
e
e
e
k k k
k k k
k k k
kkk
kkk
kkk
k k k
k k k
k k k
k k k
k
k
k
k
??
??
?
??
??
??
??
??
?
??
??
??
??
??
?
??
??
??
?
①
②
③
④
单元结点号：1,2,3
整体结点号：1,2,3
单元结点号：1,2,3
整体结点号：2,4,5
单元结点号：1,2,3
整体结点号：2,5,3
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
36
53 55 56
63 65 66
k k k
k k k
??
??
??
??
??
单元结点号：1,2,3
整体结点号：3,5,6
? 总体刚度矩阵的叠加
? ?
1
2
3
4
5
6
1
000
0
0
0
2 3 4 5 6
K
??? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ?
? ??
??
??
??
???
① ① ①
① + ② + ③ ① + ③ ② ② + ③
① + ③ + ④ ③ + ④ ④
② ②
② + ③ + ④ ④
④
对
称
1
2
4
3
5 6
①
②
③
④
表示：整体结构
中, 整体结点编
号为 1的结点位移
引起的本身的结
点力, 相应的刚
度
表示：整体结构
中, 整体结点编
号为 2的结点位移
引起结点 1的结点
力, 相应的刚度
表示：整体结构
中, 整体结点编
号为 5的结点位移
引起结点 3的结点
力, 相应的刚度
? 整体刚度矩阵的性质
?整刚表示整体位移与力的关系
?总体刚度矩阵的行数和列数＝ 总结点
数 × 单元结点自由度数 的方阵，其排
列的顺序按照结点标号依次从小到大
排列，每个结点的按照自由度的顺序
排列。上例中总刚度矩阵排列见后，
这样排列是为了与单元结点位移向量
对应。
?结点的多少决定着整刚的大小。
? 约束处理
? 就是将整刚中相应的约束结点的约束自由度
上的行、列划去，将荷载向量中相应项划去
即可。
? 其实质是：强制使得 u＝ 0，或 v＝ 0；或 u＝ 0，
v=0
? 对于给定位移约束条件，即,u＝ c1或 v＝ c2
是将整体刚度矩阵中相应的主元乘以一个大
值 A，等效结点向量相应的值设为 A× c1或
A× c2，利用“大数吃小数”的原理，得到 u
＝ c1或 v＝ c2。在上例中，若整体结点号为 2
的水平位移 u2＝ c2，则有：
1
22
1,2 2
22
n
ii
ii
A c k
Acuc
AA
?
?
??
?
? ? ?
?
相 对于 A
很小
2
11
11
2
22
33
3
4
4
5
5
6
6
uR
vR
u
vR
uR
vR
u
v
cA
u
v
u
v
A
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????
????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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???????
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????
??
??
??
???
??
??
?? ??
??
?? ?
???? ??
对
称
3
4
4
5
5
6
6
R
R
R
R
R
R
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
????
§ 4.5 等参元
? 以上三角形单元分析中可以看出，从位移模式
到形函数的构造上面，需要解三元一次方程，
若位移模式中取得的项数进一步增加到 4～ 20
项，其形函数的构造非常麻烦，而且不能够统
一编程，因此需要找更方便的办法
? 在三角形单元中，对于等效结点荷载向量的求
解等就很复杂了，对于其他复杂单元其求解将
更加困难。
?这就引出来另外一种思路。即：先将
实际单元通过 坐标转换函数 转化成一
个 母元 （即：形状规则、简单的单
元），所有位移模式、形函数、单元
分析，等效结点荷载向量建立等均在
该母元上进行，使得求解简单化，并
便于变成。然后将求出的量再转化成
实际单元的量，求出最后的结果。这
种思路概念清楚、便于理解，并且便
于标准化。这就是 等参元 的思路。
其中：坐标转换函数＝母元的形函数时
称为等参元。
实际单元 母单元 母单元实际单元
2× 2
2× 2× 2
等参元的形函数
? 母元
?对于平面问题
?
?
1
??单元各个结点局部坐标：（, ）
点坐标（- 1,- 1 ）,2 点坐标（- 1,1 ）
3 点坐标（1,1 ）,4 点坐标（1,- 1 ）
0
1
2 3
41? ??
1???
2
1
2 3
45
6
7
8
1
? ? ?各个结点的局部坐标：（,, ）
点坐标（- 1,- 1,- 1 ）,2 点坐标（- 1,1,- 1 ）
3 点坐标（1,1,- 1 ）,4 点坐标（1,- 1,- 1 ）
5 点坐标（- 1,- 1,1 ）,6 点坐标（- 1,1,1 ）
7 点坐标（1,1,1 ）,8 点坐标（1,- 1,1 ）
?
?
?
1
2 3
4
6 7
85
空间 8结点等参元母元
空间 20结点等参元母元
? 母元位移模式与形函数的构造
?位移模式的待定参数的个数应该与结
点个数一致，才能保证待定参数可以
解出来。对于 4边形单元，位移模式取
为（在局部坐标中分析）：
22
3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
1
xy
x x y y
x x y x y y
x x y x y x y y
1 2 3 4u a a a a? ? ? ?? ? ? ?
44个结点，个待定参数
?将母元各个结点的局部坐标值代入位
移模式中，得到：
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
u a a a a
u a a a a
u a a a a
u a a a a
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 3 4 3
1 2 3 4 4
a a a a u
a a a a u
a a a a u
a a a a u
? ? ??
?
? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
＝
＝
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
1
()
4
1
()
4
1
()
4
1
()
4
a u u u u
a u u u u
a u u u u
a u u u u
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
1 2 3 4
1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
4 4 4 4u u u u u? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 3 4
1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
4 4 4 4v v v v v? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
以上公式就是平面 4结点等参元的形函数
? ?
4
1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
1 2 4
1
1
3
4
0 0 0 0
0 0 0 0
ii
i
ii
i
u N u N u N u N u
v N v N v N v N u
N N N N
N
N N N N
Nu
Nv
?
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
?
?
??
? ??
??
?
?
1,,4
1 ( 1 ) ( 1 )
4
(,)
i i i
ii
iN ? ? ? ?
??
?? ? ?
i为结点 的局部坐标值
?对于空间 8结点
得到其形函数为：
1,,8
1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
8
(,,)
i i i i
i i i
iN ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?? ? ? ?
i为结点 的局部坐标值
2 2 2
2 2 2 3 3 3
1
x y z
x y y z x z x y z
x y z x y y z z x x y z
1 2 3 4
5 6 7 8
u a a a a
a a a a
???
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
有些专著中还提出 8－ 20结点单元的通用
形函数公式。
? 坐标转换函数的建立
?坐标转换函数的作用在于将几何形状
不规则的真实单元转换成为标准单元
（数学上称为映射），等参元是将坐
标转换函数与形函数一致，即：
4
1
4
1
ii
i
ii
i
u N u
v N v
?
?
?
??
?
?
? ?
??
?
?
4
1
4
1
ii
i
ii
i
y M y
z M z
?
?
?
??
?
?
? ?
??
?
?
?
形函数 N 坐标转换函数 M
等参元中,Ni＝ Mi
?我们分析一下形函数的性质：
1,,4
1 ( 1 ) ( 1 )
4
(,)
i i i
ii
iN ? ? ? ?
??
?? ? ?
i为结点 的局部坐标值
4
1
1,,4
1
0
1
i
i
i
iN
N
?
?
?
? ?
?
??
在结点处
非结点处
即,i结点的形函
数 Ni在 j结点处为
0
4
1 1 2 2 3 3 1 1
1
3 2 3 2 3 2
1
11
[ ( 1 ) ( 1 ) ] [ ( ) ( ) ]
22
ii
i
u N u N u N u N u N u
u u u u u u ?
?
??
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
在 ＝ 边上：
在单元边界上位
移是局部坐标的
一次函数, 线性
的 。
?坐标转换函数形式：
4 4 4
1 1 1
4 4 4
1 1 1
( 1 ) ( 1 )
4
( 1 ) ( 1 )
4
i
i i i i i i
i i i
i
i i i i i i
i i i
y
y M y N y
z
z M z N z
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
正是由于形函数有以上的性质才能够
使得其可以将不规则的 4边形转换成
为一个 2× 2的正方形。
我们不妨验证一下：对于母元而言，
其 3－ 4边的表示方程为 η=1。
将 η=1（ 3-4边）代入到坐标转换方程：
4 4 4
1 1 1
4 4 4
1 1 1
( 1 ) ( 1 )
4
( 1 ) ( 1 )
4
i
i i i i i i
i i i
i
i i i i i i
i i i
y
y M y N y
z
z M z N z
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? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
得到：
34
34
11
0 0 ( 1 ) ( 1 )
22
11
0 0 ( 1 ) ( 1 )
22
y y y
z z z
??
??
?
? ? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ? ? ?
??
注：3 点局部坐标为（1,1 ）,4 点局部坐标为（1,- 1 ）
化解得到：
3 4 3 4
3 4 3 4
11
( ) ( )
22
11
( ) ( )
22
y y y y y
z z z z z
?
?
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
??
将联立方程中 ζ消去得到：
34
3 4 3 4
34
3 4 4
3 4 3 4
34
3 4 3 4
3 4 3 4 4
3 4 3 4
34
44
34
34
44
34
2 ( )
2 ( ) ( )
2 ( 2 )
2 ( ) ( )
2 ( ) 2 ( ) 2
2 2 2 ( )
()
y y y
z z z z z
yy
y y y y
z z z z z
yy
z z z z
z z z y z z y
y y y y
zz
z z y y
yy
zz
zy
y
zy
y
??
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?
? ? ?
? ? ? ?
?
??
? ? ? ? ? ?
??
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
直线方程
34
44
34
()zzzyyyzy?????
已知两点坐标, 求
连接两点直线的方程
这是连接（ y3,z3）和（ y4,z4）两点的
直线。
—— 这说明母元 3－ 4边的方程 η=1，经
过坐标转换函数转换以后，得到在实
际坐标下连接 3－ 4点的直线方程。同
理也可以证明实际坐标的直线边，可
以转化成母元的边。从而验证了坐标
转换函数可以实现将实际不规则单元
转换为母元的功能。
雅克比矩阵 (Jacobi) [J]
? 就是真实坐标对母元局部坐标的导数矩
阵
? 对于平面问题：
? ?
44
11
44
11
ii
ii
ii
ii
ii
ii
NNyz
yz
J
yz NN
yz
? ? ? ?
?? ??
??
??
???? ????
????? ? ? ?
????
???? ????
????
???? ??
??
??
? 对于空间问题：
? ?
8 8 8
1 1 1
8 8 8
1 1 1
8 8 8
1 1 1
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
N N Nx y z
x y z
N N Nx y z
J x y z
x y z N N N
x y z
? ? ????
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??? ? ???? ? ?
????
? ? ????
??
???? ? ? ?? ? ?
????
? ? ? ? ? ?
????
??? ? ? ? ? ?
????
??? ? ? ??? ??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
单元类型不同，其 Jacobi矩阵由于坐标转
换函数不同而不同。
? Jacobi矩阵地意义
12
22
(,,) ; (,,)
(,,) ; (,,)
i
i i i i
i i i i
i i i i
N f f x y z
f x y z f x y z
N N N Nx y z
x y z
N N N Nx y z
x y z
N N N Nx y z
x y z
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
?
? ? ? ?? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
得到：
? ?
i
ii
i i i
i i i
N x y z NN
xx
N N Nx y z
J
yy
N x y z N N
zz
? ???
? ? ? ?
????
?? ??? ? ? ? ? ? ? ???
?? ?? ? ? ? ?
? ??? ??
?? ?? ? ? ? ?
?? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
???? ? ?? ? ? ?????
[J]表示坐标转换函数对局部坐标的导数与
坐标转换函数对整体坐标的导数的关系
矩阵
那么：
? ?
1
i
i
ii
ii
NN
x
NN
J
y
NN
z
?
?
?
?
??????
????
??
????
??????
?? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
???? ??
Jacobi 矩阵的逆阵就表示：坐标转换函
数对整体坐标的导数与坐标转换函数对
局部坐标的导数的关系矩阵。
在计算 [B]阵时要用到 Jacobi矩阵。
可以求得的确定
值 。
[J]阵通过以下公式求得：
? ?
8 8 8
1 1 1
8 8 8
1 1 1
8 8 8
1 1 1
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
i i i
N N Nx y z
x y z
N N Nx y z
J x y z
x y z N N N
x y z
? ? ????
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??? ? ???? ? ?
????
? ? ????
??
???? ? ? ?? ? ?
????
? ? ? ? ? ?
????
??? ? ? ? ? ?
????
??? ? ? ??? ??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
8
1
8
1
8
1
ii
i
ii
i
ii
i
x N x
y N y
z N z
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
其逆阵求法同矩阵运算
其行列式求法也同矩阵运
算法则 。
? ?1J?
J
微元的面积 dS和微元的体积 dV
? 在有限元计算中，对于三维问题，等效
荷载向量的计算中我们要用到面积积分，
而形成单元刚度矩阵时要用到体积积分，
这里讲授微元面积与微元体积的计算问
题。为形成 {R},{k}准备。
? ? ? ?
[ ] [ ] [ ] [ ]
{ } [ ] [ ]
e
eT
e T T
S
K B D B d V
R N p d V N q d S?
?
??
e
e
V
V
＝
＋
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
eT
T
K B D B dV
B D B dx dy dz?
?
???
e
e
V
V
＝
? ?{ } [ ]
e
eTq
SR N q d S? ?
不是对于局部坐标的,
而是对于整体坐标的,
需要转换 。
是沿着一个空间曲面
进行积分, 也需要转
换成局部坐标 。
? ?{ } [ ]
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p
V
R N p d x d y d z? ???
? 预备知识
?设空间上矢量 a,b，其表示成为分量
的形式为：
,,
x y z
x y z
i j k
a a i a j a k
b b i b j b k
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其中,为沿着x,y,z
方向的单位矢量
?a,b两个矢量的标量乘积（点乘）为：
x x y y z zc a b a b a b a b? ? ? ?
该标量乘积为一个标量，表示矢量 a在
b上的投影长度（也叫模）与矢量 b长
度的乘积。
?a,b两个矢量的向量乘积，即所谓叉乘：
( ) ( ) ( )x y z y z z y z x x z x y y x
x y z
i j k
d a b a a a a b a b i a b a b j a b a b k
b b b
? ? ? ? ? ? ? ? ?
该乘积为另一个矢量 d，其意义为,d
的模为有矢量 a,b，围成的平行四边形
的面积，其方向垂直于 a,b构成的平面，
指向符合右手螺旋定则。
?行列式的值：
1 2 3
2 3 1 3 12
1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 12
1 2 3
a a a
b b b b bb
b b b a a a
c c c c cc
c c c
? ? ?
?下面就对 dS,dV进行转换
?设 η,ζ为平面上的曲线坐标,dη是与
曲线 η＝ 1相切的矢量,dζ是与曲线 ζ＝
1相切的矢量，如图示：
d?
d?
1??
1??
z
y
实际上, dη,dζ表示的两个方向就是母元的局
部坐标 η,ζ在整体坐标系上的方向 。
则有：
yz
d i d j d
yz
d i d j d
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微元的面积就是 dη,dζ两个矢量叉乘的
模，即：
0
0
i j k y z
yz
c d d d d d d k
yz
yz
dd
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得到平面问题的微元面积计算公式：
yz
d S c d d J d d
yz
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??
?对于空间问题：
Jacobi矩阵
d?
d?
1??
1??
z
y
x
得到：
x y z
d i d j d k d
y z z
d i d j d k d
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微元的面积就是 dξ,dζ两个矢量叉乘的
模，即,i j k
x y z
c d d d d k
x y z
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???
???
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???
???
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得到对于空间曲面微元的秘面积为：
22
1
2 2
[ ( ) ( )
( ) ]
d S c A d d
x y x y y z y z
A
z x z x
??
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??
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其中：
? 微元的体积计算
? 同样设在空间上的曲线坐标为,ξηζ,ξηζ=1
为三个曲面，沿着 η＝ 1 和 ζ=1 曲面的交线作
dξ，沿 ξ＝ 1 和 ζ=1 曲面交线作矢量 dη，沿 ξ
＝ 1 和 η＝ 1交线设矢量 dζ，如图所示：
d?
d?
1??
1??
z
y
x
d?
?微元体的体积就是：
( ) ( )
()
x y z
dV d d d i j d
i j k y z z x x y
x y z x y z
d d d d d
y z z x x y
x y z
x y z
x y z
d d d J d d d
x y z
? ? ? ?
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???
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???
Jacobi矩阵
Any questions？
