计算土力学
(3,4课 )
主讲教师：张爱军
? 总体控制方程的组成
?土体平衡（运动）方程
?几何方程
?有效应力原理
?土体物理（或本构）方程
?孔隙流体（水）平衡方程
?连续方程
§ 2.3 土体有效应力原理
? 有效应力原理描述总应力、有效应力、
孔隙水压力和孔隙气压力的关系
? 由太沙基（ Terzaghi） 1925年提出，即：
对于饱和土而言，土体内部任一点的总
应力等于有效应力与孔隙水压力之和。
表达式为, p 为孔隙水压力
'
'
'
xx
yy
zz
p
p
p
?
?
?
?
?
?
??
??
??
注意：剪应力中总应力与有效应力是一致的。
?本构方程是描述土体 骨架 应力（即：
有效应力）与应变之间的关系，其
一般式为：
其中：
0''{ } ( { }) { } [ ] ( { } { })fD? ? ? ? ?? ? ?或
' ' '',,,,,{ } [ ] Tx y z x y y z z x???? ? ? ??
,,,,,{ } [ ] Tx y z x y y z z x? ???? ? ??
？
§ 2.4 物理（或本构）方程建立
? 本构方程的分类
物体的性质可以分为以下几类：
? 弹性
?各向同性弹性体
?横观各向同性弹性体：水平向与垂直向弹
性参数不同
?各向异性弹性体：如复合材料
Z
ζ
ε
加载
卸载
各向同性弹性体
ζ
ε横观各向同
性弹性体
水平向
垂直向
ζ
ε各向异
性弹性体
X
YE
?非线性弹性
?理想弹塑性
?弹塑性
ζ
ε
ε
ζ
ε
ζ
ε
ζ
? 各向同性弹性体的物理方程
?广义虎克（ Hooke）定理
' ' '
' ' '
' ' '
1
[ ( )]
1
[ ( )]
1
[ ( )]
x y z
y x z
z x y
xy
xy
yz
yz
zx
zx
x
y
z
E
E
E
G
G
G
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
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?
?
?
'
z
E
?
'
x
E
??
'z?
'x?
x
z
? 几个概念与需要说明的问题
?弹性模量 E （也称杨氏 Young模量）,各
向同性体的弹性模量，单轴无侧限拉压试
验测得。
压缩模量 Es,侧限 情况下的弹性模量
变形模量 E：弹塑性体的综合模量，在一
定条件下，可以近似按弹性模量用
它们之间的关系：
? 压缩模量与弹性模量的关系：
(1 ) (1 2 )
1 sEE
??
?
??
??
? 变形模量与弹性模量关系
?剪切模量 G：剪应力与相应剪应变之比，
与弹性模量的关系为：
剪切模量与弹性模量只要测出一个，另一
个就可以计算出来。
ζ
ε
E 变形模量
ζ
ε
E 弹性模量
2 (1 )
EG
???
?泊松比（ Poisson）,表示侧向应变
与正向应变的比值，用于计算侧向
应变值。对于各向同性的弹性材料
而言，其值是固定的。
?在以上广义 Hooke定理中，需要通过
试验测定的独立参数有两个,E,μ
，注意试验测定时必须用排水试验。
?在形成广义虎克定理时，应用了应
力叠加定理
?体积模量 K，表示在三向等压 p作用
下,p与体积应变 εv之比
有时用 K,G代替 E,μ更方便。
1
()
3
3 ( 1 2 )
v x y z
x y z
v
p
E
pK
K
? ? ? ?
? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
其中：
体积模量与弹性模量的关系为：
?将虎克方程写成以下矩阵形式为：
其中,[D] 为弹性矩阵，即：
'' 0{ } [ ] { } { } [ ] ( { } { } )DD? ? ? ? ?? ? ?或
1
21
2 2 1
3
3
3
[]
000
0 0 0 0
0 0 0 0 0
d
dd
ddd
D
d
d
d
??
??
??
?
??
??
??
对
称
独立参数为,E,μ
1
2
3
1
( 1 ) ( 1 2 )
( 1 ) ( 1 2 ) 1
2( 1 )
s
s
d E E
E
dE
E
dG
?
??
??
? ? ?
?
?
??
??
??
? ? ?
??
?
其 中,
？
? 横观各向同性弹性体
?在 xoy平面的两个方向上，物体的模量
与泊松比相同，但是与 Z方向上的值不
一样。
?一般用横观各向同性体模拟土体较为
准确。
?横观各向同性体与各向同性体的区别
在于水平向的模量和泊松比与垂直方
向的不一致，一般表示为：
Eh,μhh,μhv ； Ev,μvh,Gh,Gv
其中,Eh,Ev, Gh,Gv 为土体水平和垂直
方向上的弹性模量和剪切模量
μhh 为土体一个水平向应力引起水平
另一方向应变的泊松比
μhv 为土体水平向应力引起垂直方向
应变的泊松比
μvh 为土体垂直向应力引起水平任一
方向应变的泊松比
以上七个参数中只有四个独立参量，即：
Eh,Ev,μhh,μvh
其他参数可以通过以上四个参数计算出来，
公式如下：
2 (1 )
2
h
h v v h
v
h
h
hh
vh
v
v h h v h
E
E
E
G
EE
G
E E E
??
?
?
?
?
?
?
??
?由广义虎克定理，横观各向同性材料
的物理方程为：
'''
' ''
'''
hh yx v h z
h h v
y hh x v h z
h h v
hv yhv x
z
v h h
x y y z zx
x y y z zx
h v v
x
y
z
E E E
E E E
E E E
G G G
??? ? ?
? ? ? ? ?
?????
?? ?
???
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? 其弹性矩阵 [D]的形式为：
11
12 11
13 13 33
44
55
55
[]
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
d
dd
d d d
D
d
d
d
??
??
??
?
??
??
??
对
称
?矩阵中的各个系数为：
2
11 332
44 55
2
12 2
13
2
( 1 )
( 1 )
1
( 1 )
12
hv
sa sa
hh
hv
hh hv
sa
hh
hv
sa
hh
v hh h
sa
hh v h v
n
d E d E
d G d G
n
dE
dE
EE
En
nE
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
其 中,
? 非线性弹性体的物理方程
?土体均是非线性弹性体，只有在简化
分析时用变形模量代替弹性模量是可
行的。
?非线性弹性体采用增量理论分析，即：
其中,δ表示增量应力与应变，在计算
中需要从初始应力开始迭代计算，每
次迭代过程的计算与线性弹性方法一
致。
'{ } [ ] { }D? ? ? ??
?经过特殊的迭代处理，也可以用非线
性弹性的方法模拟土体的弹塑性特性
—— 在邓肯－张模型中就是这样处理的
ε
ζ
? 理想弹塑性体的物理方程
一般用于强度分析（如：边坡稳定分析）
中，不能用做变形分析。
? 弹塑性体的物理方程
?基本形式
'
'
(){ } [ ] { } [ ] { } { }
{}
{}
{}
{}
[]
ep
e p e p
e
p
ep
DD
D
? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
??
??
? ? ?
其 中,
— — 弹 塑 性 矩 阵
— — 增 量 有 效 应 力
— — 总 应 变
— — 弹 性 应 变
— — 塑 性 应 变
?弹塑性矩阵的形式为：
—— 较为复杂，在本构关系中简要介绍
[ ] { }{ } [ ]
[]
{ } [ ] { }
[]
[]
T
ep
T
gf
DD
D
fg
AD
D
f
D
A
g
??
??
??
??
??
??
?
??
其 中, — — 弹 性 矩 阵
— — 与 硬 化 规 律 有 关 的 参 数
— — 塑 性 势 函 数
— — 屈 服 面 函 数
? 在土体平衡方程中，将土体与孔隙水看成一个
整体考虑，建立孔隙水平衡方程时，将孔隙水
单独考虑。设土体的孔隙率为 n，则，土体微
单元的受力为：
§ 2.5 孔隙流体平衡方程的建立
P,为孔隙压力
fz,为渗透阻力
ρw：为水的密度
：为垂直方向
的位移加速度
w
p
pdzzp ???
wng?
zf
wwn?
y
x
z
dx
dz
dy
p
？
那么：在忽略孔隙流体的惯性力的时，
孔隙水受的力有：
孔隙压力，重力，土骨架对 孔隙水 施
加的渗透阻力（与渗流方向相反），
土骨架的运动引起的 孔隙水 的惯性力。
由 Z方向的力平衡 得：0zF ??
0[ ( ) ] z w wp d z d x d y d z w d x d y d z g d x d y d zzp p d x d y f ??? ? ? ??? ? ?
0[ ( ) ] z w wp d z d x d y d z w d x d y d z g d x d y d zzp p d x d y f ??? ? ? ??? ? ?
0z w wp wgz f ??? ? ? ? ??
同理由 x,y方向的平衡条件可以求出相
应两个方向的平衡方程，这样整体孔隙
水平衡方程为：
又：根据达西（ Darcy）定理：
其中,Vwx等 为孔隙水渗流 标称 速度，非实际速度
0
0
0
xw
yw
z w w
p
u
x
p
v
y
p
wg
z
f
f
f
?
?
??
?
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?
?
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?
,,wyw x w zx w x w y w z w
h h v
vvvf g i g f g f g
k k k? ? ? ?? ? ? ?
水重度
水力坡降
？
？
? 这样：孔隙水的平衡方程为：
若水平和垂直方向渗透系数相同时，则
0
0
0
wx
ww
h
wy
ww
h
wz
w w w
v
vp
gu
xk
vp
gv
yk
vp
g w g
zk
??
??
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?
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?
?
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?
?
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?
0
0
0
wx
ww
wy
ww
wz
w w w
vp
gu
xk
vp
gv
yk
vp
g w g
zk
??
??
? ? ?
?
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?
?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
§ 2.6 孔隙渗流连续方程的建立
? 渗流连续方程是通过同一时间内流出土
微单元的水量等于该微单元 体积的变化
量 这一连续条件建立的。
zq
zz q dzzq ???
y
x
z
dx
dz
dy
xq x
x
q dxxq ???
yy q dyyq ???
yq
? 又：
Δt时间内从微单元流出的（净）水量 ΔQ为：
而：同一时间微单元体积变化为 ΔV：
x wx
y wy
z wz
q v dy dz
q v dzdx
q v dx dy
?
?
?
()v u v wV d x d y d z d x d y d zx y z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?
[ ( ) ( ) ( ) ]
()
()
yx z
x x y y z z
yx z
wywx wz
qq q
Q q d x q q d y q q d z q t
x y z
qq q
d x d y d z t
x y z
vvv
d x d y d z t
x y z
?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?? ?
? ? ? ?
? ? ?
???
? ? ? ? ?
? ? ?
渗流标称
速度
根据连续条件 ΔQ＝ ΔV得到：
这就是渗流的连续性方程。它建立了渗流
标称速度与土骨架变形之间的关系。
至此,Biot三维动力固结方程的所有方程
全给出了，剩余的工作就是如何统一到大方程
里边，如何确定边界条件，并求解的问题。
()wyw x w zvvv u v wx y z t x y z??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
？
? 各向同性体 Biot动力固结方程的一般形式：
? 其中：参数 d1,2,3为弹性矩阵中的参数
§ 2.7 Biot动力固结方程的一般形式
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
22
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(
u u u v w p
d d d d u
x y z x y x z x
v v v u w p
d d d d v
y x z y x y z y
w w w u v p
d d d d g w
z x y z x z y z
pp
k
xy
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??
2
22
) ( ) ( ) 0
ww
p u v w u v w
gk
z t x y z x y x
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? 各向同性体静力 Biot固结方程：
? 注意：方程中仍然存在时间量，只是没有了
振动加速度。
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
222
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
()
u u u v w p
d d d d
x y z x y x z x
v v v u w p
d d d d
y x z y x y z y
w w w u v p
d d d d g
z x y z x z y z
ppp
k
x y z
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
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? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
???
??
? ? ?
( ) 0
w
u v w
g
t x y z
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? 横观各向同性体 Biot动力固结方程：
?其中,d11,33,44,12,55,13等参数与 [D]
同
2 2 2 2 2
1 1 4 4 5 5 1 2 4 4 1 3 5 52 2 2
2 2 2 2 2
4 4 1 1 5 5 1 2 4 4 1 3 5 52 2 2
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 1 3 5 5 1 3 52 2 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
u u u v w p
d d d d d d d u
x y z x y x z x
v v v u w p
d d d d d d d v
x y z y x y z y
w w w u
d d d d d d d
x y z z x
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
2
5
)
( ) ( ) [ ( ) ] ( )
[ ( ) ( ) ( ) ] 0
h h v w w
w h h v
vp
gw
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p p p u v w
k k k g g
x x y y z z t x y z
k u k v k w
x y z
??
??
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??
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? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? 横观各向同性体 Biot静力固结方程：
2 2 2 2 2
11 44 55 12 44 13 552 2 2
2 2 2 2 2
44 11 55 12 44 13 552 2 2
2 2 2 2 2
55 55 33 13 55 13 552 2 2
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) ( )
u u u v w p
d d d d d d d
x y z x y x z x
v v v u w p
d d d d d d d
x y z y x y z y
w w w u v
d d d d d d d
x y z z x
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
0
( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 0
h h v w w
p
g
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p p p u v w
k k k g g
x x y y z z t x y z
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??
?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 方程讨论
?以上方程由四个微分方程组成，所含
有的未知数也只有四个，即,u,v,w,p
故一旦根据实际情况确定求解条件
（边界条件和初始条件），就可以求
出相应的解。但是其求解非常困难，
需要数值解法才能解得。
?对于弹塑性问题，其方程参数是不同
的，更复杂一点。
?若将土体骨架变形为 0，总水头为：
得到：
就得到稳定渗流问题的控制方程。
?本课程只讲授静力固结问题，动力固
结问题目前极不成熟，属于, 土动力
学中, 讲授的范围。
w
pHz
g?? ? ?
( ) ( ) ( ) 0h h vH H Hk k kx x y y z z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
Any questions？
(3,4课 )
主讲教师：张爱军
? 总体控制方程的组成
?土体平衡（运动）方程
?几何方程
?有效应力原理
?土体物理（或本构）方程
?孔隙流体（水）平衡方程
?连续方程
§ 2.3 土体有效应力原理
? 有效应力原理描述总应力、有效应力、
孔隙水压力和孔隙气压力的关系
? 由太沙基（ Terzaghi） 1925年提出，即：
对于饱和土而言，土体内部任一点的总
应力等于有效应力与孔隙水压力之和。
表达式为, p 为孔隙水压力
'
'
'
xx
yy
zz
p
p
p
?
?
?
?
?
?
??
??
??
注意：剪应力中总应力与有效应力是一致的。
?本构方程是描述土体 骨架 应力（即：
有效应力）与应变之间的关系，其
一般式为：
其中：
0''{ } ( { }) { } [ ] ( { } { })fD? ? ? ? ?? ? ?或
' ' '',,,,,{ } [ ] Tx y z x y y z z x???? ? ? ??
,,,,,{ } [ ] Tx y z x y y z z x? ???? ? ??
？
§ 2.4 物理（或本构）方程建立
? 本构方程的分类
物体的性质可以分为以下几类：
? 弹性
?各向同性弹性体
?横观各向同性弹性体：水平向与垂直向弹
性参数不同
?各向异性弹性体：如复合材料
Z
ζ
ε
加载
卸载
各向同性弹性体
ζ
ε横观各向同
性弹性体
水平向
垂直向
ζ
ε各向异
性弹性体
X
YE
?非线性弹性
?理想弹塑性
?弹塑性
ζ
ε
ε
ζ
ε
ζ
ε
ζ
? 各向同性弹性体的物理方程
?广义虎克（ Hooke）定理
' ' '
' ' '
' ' '
1
[ ( )]
1
[ ( )]
1
[ ( )]
x y z
y x z
z x y
xy
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z
E
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x
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'z?
'x?
x
z
? 几个概念与需要说明的问题
?弹性模量 E （也称杨氏 Young模量）,各
向同性体的弹性模量，单轴无侧限拉压试
验测得。
压缩模量 Es,侧限 情况下的弹性模量
变形模量 E：弹塑性体的综合模量，在一
定条件下，可以近似按弹性模量用
它们之间的关系：
? 压缩模量与弹性模量的关系：
(1 ) (1 2 )
1 sEE
??
?
??
??
? 变形模量与弹性模量关系
?剪切模量 G：剪应力与相应剪应变之比，
与弹性模量的关系为：
剪切模量与弹性模量只要测出一个，另一
个就可以计算出来。
ζ
ε
E 变形模量
ζ
ε
E 弹性模量
2 (1 )
EG
???
?泊松比（ Poisson）,表示侧向应变
与正向应变的比值，用于计算侧向
应变值。对于各向同性的弹性材料
而言，其值是固定的。
?在以上广义 Hooke定理中，需要通过
试验测定的独立参数有两个,E,μ
，注意试验测定时必须用排水试验。
?在形成广义虎克定理时，应用了应
力叠加定理
?体积模量 K，表示在三向等压 p作用
下,p与体积应变 εv之比
有时用 K,G代替 E,μ更方便。
1
()
3
3 ( 1 2 )
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其中：
体积模量与弹性模量的关系为：
?将虎克方程写成以下矩阵形式为：
其中,[D] 为弹性矩阵，即：
'' 0{ } [ ] { } { } [ ] ( { } { } )DD? ? ? ? ?? ? ?或
1
21
2 2 1
3
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称
独立参数为,E,μ
1
2
3
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( 1 ) ( 1 2 )
( 1 ) ( 1 2 ) 1
2( 1 )
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其 中,
？
? 横观各向同性弹性体
?在 xoy平面的两个方向上，物体的模量
与泊松比相同，但是与 Z方向上的值不
一样。
?一般用横观各向同性体模拟土体较为
准确。
?横观各向同性体与各向同性体的区别
在于水平向的模量和泊松比与垂直方
向的不一致，一般表示为：
Eh,μhh,μhv ； Ev,μvh,Gh,Gv
其中,Eh,Ev, Gh,Gv 为土体水平和垂直
方向上的弹性模量和剪切模量
μhh 为土体一个水平向应力引起水平
另一方向应变的泊松比
μhv 为土体水平向应力引起垂直方向
应变的泊松比
μvh 为土体垂直向应力引起水平任一
方向应变的泊松比
以上七个参数中只有四个独立参量，即：
Eh,Ev,μhh,μvh
其他参数可以通过以上四个参数计算出来，
公式如下：
2 (1 )
2
h
h v v h
v
h
h
hh
vh
v
v h h v h
E
E
E
G
EE
G
E E E
??
?
?
?
?
?
?
??
?由广义虎克定理，横观各向同性材料
的物理方程为：
'''
' ''
'''
hh yx v h z
h h v
y hh x v h z
h h v
hv yhv x
z
v h h
x y y z zx
x y y z zx
h v v
x
y
z
E E E
E E E
E E E
G G G
??? ? ?
? ? ? ? ?
?????
?? ?
???
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? 其弹性矩阵 [D]的形式为：
11
12 11
13 13 33
44
55
55
[]
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
d
dd
d d d
D
d
d
d
??
??
??
?
??
??
??
对
称
?矩阵中的各个系数为：
2
11 332
44 55
2
12 2
13
2
( 1 )
( 1 )
1
( 1 )
12
hv
sa sa
hh
hv
hh hv
sa
hh
hv
sa
hh
v hh h
sa
hh v h v
n
d E d E
d G d G
n
dE
dE
EE
En
nE
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
其 中,
? 非线性弹性体的物理方程
?土体均是非线性弹性体，只有在简化
分析时用变形模量代替弹性模量是可
行的。
?非线性弹性体采用增量理论分析，即：
其中,δ表示增量应力与应变，在计算
中需要从初始应力开始迭代计算，每
次迭代过程的计算与线性弹性方法一
致。
'{ } [ ] { }D? ? ? ??
?经过特殊的迭代处理，也可以用非线
性弹性的方法模拟土体的弹塑性特性
—— 在邓肯－张模型中就是这样处理的
ε
ζ
? 理想弹塑性体的物理方程
一般用于强度分析（如：边坡稳定分析）
中，不能用做变形分析。
? 弹塑性体的物理方程
?基本形式
'
'
(){ } [ ] { } [ ] { } { }
{}
{}
{}
{}
[]
ep
e p e p
e
p
ep
DD
D
? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
??
??
? ? ?
其 中,
— — 弹 塑 性 矩 阵
— — 增 量 有 效 应 力
— — 总 应 变
— — 弹 性 应 变
— — 塑 性 应 变
?弹塑性矩阵的形式为：
—— 较为复杂，在本构关系中简要介绍
[ ] { }{ } [ ]
[]
{ } [ ] { }
[]
[]
T
ep
T
gf
DD
D
fg
AD
D
f
D
A
g
??
??
??
??
??
??
?
??
其 中, — — 弹 性 矩 阵
— — 与 硬 化 规 律 有 关 的 参 数
— — 塑 性 势 函 数
— — 屈 服 面 函 数
? 在土体平衡方程中，将土体与孔隙水看成一个
整体考虑，建立孔隙水平衡方程时，将孔隙水
单独考虑。设土体的孔隙率为 n，则，土体微
单元的受力为：
§ 2.5 孔隙流体平衡方程的建立
P,为孔隙压力
fz,为渗透阻力
ρw：为水的密度
：为垂直方向
的位移加速度
w
p
pdzzp ???
wng?
zf
wwn?
y
x
z
dx
dz
dy
p
？
那么：在忽略孔隙流体的惯性力的时，
孔隙水受的力有：
孔隙压力，重力，土骨架对 孔隙水 施
加的渗透阻力（与渗流方向相反），
土骨架的运动引起的 孔隙水 的惯性力。
由 Z方向的力平衡 得：0zF ??
0[ ( ) ] z w wp d z d x d y d z w d x d y d z g d x d y d zzp p d x d y f ??? ? ? ??? ? ?
0[ ( ) ] z w wp d z d x d y d z w d x d y d z g d x d y d zzp p d x d y f ??? ? ? ??? ? ?
0z w wp wgz f ??? ? ? ? ??
同理由 x,y方向的平衡条件可以求出相
应两个方向的平衡方程，这样整体孔隙
水平衡方程为：
又：根据达西（ Darcy）定理：
其中,Vwx等 为孔隙水渗流 标称 速度，非实际速度
0
0
0
xw
yw
z w w
p
u
x
p
v
y
p
wg
z
f
f
f
?
?
??
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
,,wyw x w zx w x w y w z w
h h v
vvvf g i g f g f g
k k k? ? ? ?? ? ? ?
水重度
水力坡降
？
？
? 这样：孔隙水的平衡方程为：
若水平和垂直方向渗透系数相同时，则
0
0
0
wx
ww
h
wy
ww
h
wz
w w w
v
vp
gu
xk
vp
gv
yk
vp
g w g
zk
??
??
? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
0
0
0
wx
ww
wy
ww
wz
w w w
vp
gu
xk
vp
gv
yk
vp
g w g
zk
??
??
? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
§ 2.6 孔隙渗流连续方程的建立
? 渗流连续方程是通过同一时间内流出土
微单元的水量等于该微单元 体积的变化
量 这一连续条件建立的。
zq
zz q dzzq ???
y
x
z
dx
dz
dy
xq x
x
q dxxq ???
yy q dyyq ???
yq
? 又：
Δt时间内从微单元流出的（净）水量 ΔQ为：
而：同一时间微单元体积变化为 ΔV：
x wx
y wy
z wz
q v dy dz
q v dzdx
q v dx dy
?
?
?
()v u v wV d x d y d z d x d y d zx y z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?
[ ( ) ( ) ( ) ]
()
()
yx z
x x y y z z
yx z
wywx wz
qq q
Q q d x q q d y q q d z q t
x y z
qq q
d x d y d z t
x y z
vvv
d x d y d z t
x y z
?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?? ?
? ? ? ?
? ? ?
???
? ? ? ? ?
? ? ?
渗流标称
速度
根据连续条件 ΔQ＝ ΔV得到：
这就是渗流的连续性方程。它建立了渗流
标称速度与土骨架变形之间的关系。
至此,Biot三维动力固结方程的所有方程
全给出了，剩余的工作就是如何统一到大方程
里边，如何确定边界条件，并求解的问题。
()wyw x w zvvv u v wx y z t x y z??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
？
? 各向同性体 Biot动力固结方程的一般形式：
? 其中：参数 d1,2,3为弹性矩阵中的参数
§ 2.7 Biot动力固结方程的一般形式
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
22
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(
u u u v w p
d d d d u
x y z x y x z x
v v v u w p
d d d d v
y x z y x y z y
w w w u v p
d d d d g w
z x y z x z y z
pp
k
xy
?
?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
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? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
?
??
2
22
) ( ) ( ) 0
ww
p u v w u v w
gk
z t x y z x y x
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? 各向同性体静力 Biot固结方程：
? 注意：方程中仍然存在时间量，只是没有了
振动加速度。
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
2 2 2 2 2
1 3 2 32 2 2
222
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
()
u u u v w p
d d d d
x y z x y x z x
v v v u w p
d d d d
y x z y x y z y
w w w u v p
d d d d g
z x y z x z y z
ppp
k
x y z
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
???
??
? ? ?
( ) 0
w
u v w
g
t x y z
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? 横观各向同性体 Biot动力固结方程：
?其中,d11,33,44,12,55,13等参数与 [D]
同
2 2 2 2 2
1 1 4 4 5 5 1 2 4 4 1 3 5 52 2 2
2 2 2 2 2
4 4 1 1 5 5 1 2 4 4 1 3 5 52 2 2
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 1 3 5 5 1 3 52 2 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
u u u v w p
d d d d d d d u
x y z x y x z x
v v v u w p
d d d d d d d v
x y z y x y z y
w w w u
d d d d d d d
x y z z x
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
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? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
2
5
)
( ) ( ) [ ( ) ] ( )
[ ( ) ( ) ( ) ] 0
h h v w w
w h h v
vp
gw
z y z
p p p u v w
k k k g g
x x y y z z t x y z
k u k v k w
x y z
??
??
?
??
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? 横观各向同性体 Biot静力固结方程：
2 2 2 2 2
11 44 55 12 44 13 552 2 2
2 2 2 2 2
44 11 55 12 44 13 552 2 2
2 2 2 2 2
55 55 33 13 55 13 552 2 2
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) ( )
u u u v w p
d d d d d d d
x y z x y x z x
v v v u w p
d d d d d d d
x y z y x y z y
w w w u v
d d d d d d d
x y z z x
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
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0
( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 0
h h v w w
p
g
z y z
p p p u v w
k k k g g
x x y y z z t x y z
?
??
?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 方程讨论
?以上方程由四个微分方程组成，所含
有的未知数也只有四个，即,u,v,w,p
故一旦根据实际情况确定求解条件
（边界条件和初始条件），就可以求
出相应的解。但是其求解非常困难，
需要数值解法才能解得。
?对于弹塑性问题，其方程参数是不同
的，更复杂一点。
?若将土体骨架变形为 0，总水头为：
得到：
就得到稳定渗流问题的控制方程。
?本课程只讲授静力固结问题，动力固
结问题目前极不成熟，属于, 土动力
学中, 讲授的范围。
w
pHz
g?? ? ?
( ) ( ) ( ) 0h h vH H Hk k kx x y y z z? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
Any questions？
