计算土力学
主讲教师：张爱军
第 4章 有限单元法
? 有限元法同差分法一样，也是一种数值
近似方法，用于求解在给定定解条件下
的偏微分方程。
? 1960年 R.W Clough正式提出“有限单元
法” FEM这个概念,1967年 O.C Zienkiewicz
和 Y.K Cheung(张佑启 )写出了第一本有
限元专著，标志着有限单元法正式走向
实用。
? 有限元法在岩土工程中有较为广泛的应
用，主要有以下几个方面：
?稳定分析（强度折减法分析边坡稳定
性）
?固结分析（ 2,3维）
?总应力变形、应力分析（ 2,3维）
?动力分析（地震、振动、爆破冲击）
?渗流分析（ 2,3维）
?动力固结分析（难）
? 本章主要讲解有限元的基本方法与思路，
具体有限格式的构造，在其他章节中详
细叙述。
§ 4.1 概述
? 有限单元法的实质
有限单元法是求解连续区域内的边值问题和初
值问题的数值方法。其实质是将分析区连续的
域 V和边界 S离散成为有限个 只在结点连接的 子
域 Ve和面域 Se（每个子域称为一个有限单元，
各个子域连接的点称为结点），用全部有限单
元的集合等价于连续域的近似分析方法。计算
中只求结点上的 待定函数 （即：要求的函数）
值，用结点上的待定函数值反映整个域待定函
数的分布和变化规律。
如：位移, 流势, 浓度,
温度等等
有限单元内部的待定函数值则近似地用若
干个 形函数 叠加而成。形函数表示待定函数在
单元内的分布形态和规律，形函数确定后，就
可以由单元结点处的待定函数值表示单元内部
任意点的待定函数值。因此形函数的选择是有
限元分析的关键。一般形函数为一个由结点上
待定函数值组成的多项式，即,1
i
N
n
ii
i
i
u u N a
u
u
a
?
?? ?
其中：,待定函数的真值
：为待定函数的近似值
：为形函数
：为结点上待定函数的值
? 有限单元法的分析步骤
? 连续体的离散
? 选择形函数
? 单元特性分析
? 总体特性分析（单刚－总刚）
? 引入边界条件
? 求解线性方程组，得到求解函数值。
V
S V
e
u分布有函数
1
u
n
ii
i
u N a
?
?? ?
? 这就需要解决以下几个问题：
?这样作能够逼近真解的道理在那？
?形函数如何选择？在形函数中选择待
定函数的那个量（位移、应力等）？
?如何具体分析？
? 有限单元法建立的方法
?变分法
?加权残量法（或称加权残数法）
这两种方法就是分析有限元法能够逼近真解
的数学原理。也就是如何将确定的偏微分方
程和定解条件（初始条件、边界条件）转化
为有限元格式的方法。
其中：变分法有严格的数学证明，而加权残
数法尚未有严格的数学证明，但是对于我们
要解的问题证明是可行的，但是不是对任何
一个问题均被证明是有效的。在计算土力学
中，对于有效应力分析方法用加权残数法，
总应力法用变分法（也就是最小势能和最小
余能原理）。
? 根据形函数的类型将有限元法分为：
? 线性单元：三节点三角形单元
? 高次单元：等参元
? 协调元
? 非协调元（壳单元）
? 粱单元
? 杆单元
? 板壳单元
? 实体单元
? 锚索单元等等－－如何选择结合分析讲
? 根据待定函数选择分为：
? 位移有限元（协调元） —— 基于最小势能原
理
认为位移是独立的场变量，其它如：应力、
应变与位移建立关系，最后将位移作为待定
未知函数，求之，用位移值再推求应力、应
变等。该方法是基于最小势能原理的，求出
的数值解为真实解的下限（比真解小）。原
因是求解的基础是刚度矩阵 [D]，固体经过
单元划分后，原来是无数自由度的场变成为
有限自由度的场，并且忽略了三个方向的转
动自由度，较原来 硬 了，因此位移值变小。
硬 !
? 平衡元 —— 基于最小余能原理
认为力是独立的变量，给出的数值解是真值
的上限（比真值大）。因为计算依据于柔度
矩阵，原来是整体平衡方程，划分后还要求
各单元也要平衡，这样就造成划分后的结构
较原来的结构软，计算得到的值较真值大。
? 混合有限元 —— 基于广义变分原理（多变量
变分），形函数可以是位移、应力和应变，
一般指同时以应力和位移为差值函数。其计
算得到的值介于平衡元和位移元之间，得到
的解的精度较平衡元和位移元高
? 杂交元：以混合变分原理为基础，在单元内
部假设平衡应力场，在单元边界假设连续的
位移场，精度较高。
? 杂交－混合元
? 变刚度有限元：西安理工大学党发宁教授，
对于存在病态矩阵的力学问题精度高，适合
于求解应力集中问题。
—— 平常我们接触的均为位移有限元，直观，
简单
平衡元
位移元
混合元
解
单元个数 n
真解
§ 4.2 有限元格式的建立方法
? 变分法
?基本原理
找到待定函数的泛函（函数的函数），
使得该泛函的变分（即：对变分进行
求导）等于 0时形成的方程反映待定函
数的微分方程和定解条件，将求解微
分方程转化为求解泛函的变分问题，
从而得到求解。
? 总应力法中方程的变分原理就是最小势
能原理或着是最小余能原理
?可以证明：对于总应力法其待求函数
的泛函是物体形变能和外力势能的和,UH
U
H
? ? ?
?其 中,, 为 泛 函, 也 是 实 际 可 能 存 在 的 位 移 的 总 势 能 值
,为 物 体 的 形 变 能
,为 外 力 的 势 能
（ 等 于 外 力 在 实 际 位 移 上 所 做 的 功 冠 以 负 号 ）
?按照能量的观点推导得到,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
1
2
,
T
T
V V S
d V p d V q d S
pq
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ?
T
其 中,, 物 体 的 总 势 能 值
,,,分 别 为 物 体 内 部 任 意 点 的 应 力,
应 变 和 可 能 位 移 向 量
,为 体 积 力 和 面 力 向 量
?我们将区域 V和边界 S划分称 m个子域，
也就是划分成 m个单元，这时泛函可
以写成由集合体所有单元的泛函之和：
1
,
i
e
??
??
?
? ? ??
m
ee（ ） （ ）
其 中, 为 任 意 一 点 和 单 元 结 点 位 移 向 量
根据最小势能原理：在给定的外力下，
在满足位移边界条件的所有位移中，实
际存在的位移应该使总势能的变分为 0。
从而得到：
??
?
?
??
?
UH（ ＋ ）
其 中,, 就 是 对 总 势 能 求 导
,是 变 分 的 意 思, 也 就 是 对 总 势 能 求 导
?设单元 e内任意点的位移值向量 {δ}可以
由形函数 [N]于单元结点位移 {δe}来描
述，即：
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
[ ],
e
N
N
??
?
?
?
e
其 中,, 为 单 元 内 部 任 一 点 的 位 移 向 量
,为 单 元 结 点 上 的 位 移 向 量
为 形 函 数, 也 是 插 值 函 数
那么：根据几何方程得到，单元内部的
应变与结点位移的函数关系为：
{ } [ ] { }
{ } {,,,,,,}
{ } {,,}
[]
T
x y z x y y z x z
T
Bu
u u v w
B
?
? ? ? ? ? ? ?
?
其 中, — — 为 应 变 矩 阵 等 于
— — 为 位 移 矩 阵 等 于
— — 为 几 何 矩 阵, 等 于,
00
00
00
[]
0
0
0
x
y
z
B
yx
zy
zx
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????
原来几何方程
其中,Ni为形函数
在结点 i上的
值
{ } [ ] { } eB???得 到,
12
[ ] [,.,]
00
00
00
[]
0
0
0
m
i
i
i
i
ii
ii
ii
B B B B
N
x
N
y
N
z
B
NN
yx
NN
zy
NN
zx
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?
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??
????
表示成结点位移的
几何方程：
同时：由物理方程得到：
{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { }eeD D B S? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1()
2
,
e e e
Te e Te
V V S
ee
dV p dV q dS
VS
? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?T
ee其 中,, 为 单 元 的 体 积 和 单 元 受 有 面 力 时 的 表 面 积
那么：单元的势能可以写成,
将几何方程和物理方程当作约束条件代
入得到,
根据势能最小定理得到：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
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1
()
2
1
[ ] [ ] [ ] [ ]
2
[]
e e e
ee
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Te e T
e
V V S
eTee
TT
VV
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S
d V p d V q d S
B D B d V N p d V
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T
T
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( [ ] [ ] [ ] ) [ ] [ ]
[ ] { } { }
0
e e e
e
e
e
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V V S
e e e
B D B d V N p d V N q d S
KR
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得到：
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[ ] [ ] [ ] [ ]
{ } [ ] [ ]
e
eT
e T T
S
K B D B d V
R N p d V N q d S?
?
??
e
e
V
V
式 中, ＝ 为 单 元 刚 度 矩 阵
＋ 等 效 结 点 荷 载 向 量
[ ] { } { }e e eKR? ?
这就是单元平衡方程。根据下式，可以
得到总体平衡方程：
1
,
i
e
??
??
?
? ? ??
m
ee（ ） （ ）
其 中, 为 任 意 一 点 和 单 元 结 点 位 移 向 量
其中未知量为单元结点位移值向量，以上方程
是一个线性代数方程可以求解。
? 分析以上各个过程可以看出，我们通过最小
势能原理，并将几何、物理方程作为约束条
件，得到了整体平衡方程，说明泛函变分后
可以等效变换成我们给定的微分方程，并通
过引入形函数使问题得到求解，这就是用变
分法形成有限元格式的过程。
[ ]{ } { }KR? ?e
?以上分析的未知量为结点位移向量，
可以说明以上有限元为位移有限元
（协调元）
?若引入最小余能原理时，其未知量就
变成了结点的应力向量，这是形成的
有限元格式为平衡元，对于某些问题
可能采用这种方法更好一点。但是一
般情况下由于位移向量自由度少，便
于计算，常用之。
?如果找到其他符合微分方程的泛函还
可以构造二类场变量、三类场变量的
有限元格式，即：其未知数可以是结
点位移和结点应力两个参数，或其他
参数，这是构造的有限元格式就是杂
交元、杂交－混合元、变刚度有限元
等等，其精度会更高，可以解决比如：
应力集中等特殊问题，但是比较复杂。
?符合我们构造的微分方程的泛函的寻
找是困难的，大部分是找不到的，虽
然钱伟长、胡海昌等人提出了构造泛
函的“拉氏乘子识别法”，但是还是
很难找到一个微分方程的泛函，有时
实际上是“碰”上的，因此，虽然变
分法有严格的数学证明，但是其应用
受到极大的限制。计算土力学中用的
最多的是加权残量法。
? 加权残量法
? 加权残量法是一种直接从微分方程中得到近
似解的数学方法，其基本思想与解题思路为：
?假定一个试函数（含试函数项和待定系数）
作为微分方程的近似解；
?将近似解代入微分方程和定解条件中，形
成残量方程；
?引入权函数，将其与残量相乘，并在求解
域和边界上积分以消除残量，从而得到一
系列含有待定系数的方程组；
?求解该方程组，获得试函数中的待定系数，
从而得到近似解。
如：某系统在域 V和边界 S上的控制方程
和边界条件为：
0 ( )
0 ( )
f
g
FQ
GQ
??
??
V
S
在 域 上
在 边 界 上
其中,Q 为待定函数
F,G 为微分算子
f,g 为不含变量 Q的项
用加权残量法分析的步骤是：先设一个
试函数（即：未知函数的近似解）
将试函数代入到控制微分方程和边界方
程中，由于试函数为近似解，因此等式
右端就不再为 0，形成残量 Ri,RB
1
n
ii
i
ii
CT
CT
QQ
?
? ?
其 中, 为 待 定 系 数 ； 为 形 式 已 经 确 定 的 试 函 数 项
＝
0 ( )
0 ( )
f
I
g
B
R FQ
R GQ
??
??
?
?
V
S
在 域 上
在 边 界 上
残量 Ri,RB分别称为内部残量和边界残
量，上式也称为内部残量方程和边界参
数方程
显然，要消除残量，则得到的近似解就
是精确解。为此引入内部权函数和边界
权函数 Wi,WB，得到消除残量的方程：
( ) 0 ( )
( ) 0 ( )
I I IVV
B B BSS
W R dV W f dV
W R dS W g dS
FQ
GQ
??
??
???
???
V
S
在 域 上
在 边 界 上
将上两式进行合并为：
( ) ( ) 0IBVSW f d V W g d SF Q G Q? ? ? ???
以上就是用加权残量法求解微分方程的
基本方程。选取适当的权函数进行积分
就得到方程中的待定系数，即可求解出
给定微分方程的近似解。
视权函数的不同，可以有不同的方法，
如：最小二乘法、配点法、子域法和伽
辽金法，在这里用的较多的是 伽辽金法 。
11
( ) ( ) 0
nn
I i i B i iVS
ii
W C T f dV W C T g dSFG
??
? ? ? ?????
?伽辽金法
若选取试函数中的试函数项作为权函
数，就是伽辽金法，即：
11
( ) ( ) 0
nn
i i i i i iVS
ii
T C T f dV T C T g dSFG
??
? ? ? ?????
伽辽金法可以得到对称的刚度矩阵，
求解方便，常用之。另外试函数又是
与有限元中的形函数一致，因此在有
限元中用的很多。许多复杂问题有限
元格式的形成由该法进行。我们结合
有效应力法求解讲之。
? 用总应力法说明之
? 形函数也叫位移函数、位移模式（注意
在等参元中与坐标转换函数区别）是表
征单元内部任意一点的位移与结点位移
之间关系的函数。其选择是有限元计算
的关键。
? 形函数是一个多项式，因为多项式可以
无限逼近任意连续函数
§ 4.3 形函数的选择
1 2 2
3 4 5
u a a x a y
v a a x a y
? ? ?
? ? ?
? 形函数必须具备协调性和完备性
? 协调性是指除了满足相邻单元的公共结点、
边或公共面上的连续性条件外，有时甚至要
满足一阶或二阶导数的连续性。只有这样才
能保证当单元尺寸无限小时近似解无限逼近
真解。 0阶精度,1阶精度,2阶精度。一般 0
阶精度可以满足实体单元计算要求。
? 完备性指为了保证当有限单元产生位移时，
仍然具有几何同性。形函数一定是一个多项
式，那么要保证完备性只要保证以下几点就
可以了：
?包含常数项，反映刚体位移
?包括常应变项，即
?位移在单元内部连续，在边界上协调，相
邻单元在边界上不开裂也不重叠
?满足几何对称性，即：在各个方向上均形
式一样，只是参数不同
1 2 2
3 4 5
u a a x a y
v a a x a y
? ? ?
? ? ?
也就是满足帕斯卡三角形：
1
x y
x2 xy y2
x3 x2y xy2 y3
x4 x3y x2y2 xy3 y4
Any questions？
主讲教师：张爱军
第 4章 有限单元法
? 有限元法同差分法一样，也是一种数值
近似方法，用于求解在给定定解条件下
的偏微分方程。
? 1960年 R.W Clough正式提出“有限单元
法” FEM这个概念,1967年 O.C Zienkiewicz
和 Y.K Cheung(张佑启 )写出了第一本有
限元专著，标志着有限单元法正式走向
实用。
? 有限元法在岩土工程中有较为广泛的应
用，主要有以下几个方面：
?稳定分析（强度折减法分析边坡稳定
性）
?固结分析（ 2,3维）
?总应力变形、应力分析（ 2,3维）
?动力分析（地震、振动、爆破冲击）
?渗流分析（ 2,3维）
?动力固结分析（难）
? 本章主要讲解有限元的基本方法与思路，
具体有限格式的构造，在其他章节中详
细叙述。
§ 4.1 概述
? 有限单元法的实质
有限单元法是求解连续区域内的边值问题和初
值问题的数值方法。其实质是将分析区连续的
域 V和边界 S离散成为有限个 只在结点连接的 子
域 Ve和面域 Se（每个子域称为一个有限单元，
各个子域连接的点称为结点），用全部有限单
元的集合等价于连续域的近似分析方法。计算
中只求结点上的 待定函数 （即：要求的函数）
值，用结点上的待定函数值反映整个域待定函
数的分布和变化规律。
如：位移, 流势, 浓度,
温度等等
有限单元内部的待定函数值则近似地用若
干个 形函数 叠加而成。形函数表示待定函数在
单元内的分布形态和规律，形函数确定后，就
可以由单元结点处的待定函数值表示单元内部
任意点的待定函数值。因此形函数的选择是有
限元分析的关键。一般形函数为一个由结点上
待定函数值组成的多项式，即,1
i
N
n
ii
i
i
u u N a
u
u
a
?
?? ?
其中：,待定函数的真值
：为待定函数的近似值
：为形函数
：为结点上待定函数的值
? 有限单元法的分析步骤
? 连续体的离散
? 选择形函数
? 单元特性分析
? 总体特性分析（单刚－总刚）
? 引入边界条件
? 求解线性方程组，得到求解函数值。
V
S V
e
u分布有函数
1
u
n
ii
i
u N a
?
?? ?
? 这就需要解决以下几个问题：
?这样作能够逼近真解的道理在那？
?形函数如何选择？在形函数中选择待
定函数的那个量（位移、应力等）？
?如何具体分析？
? 有限单元法建立的方法
?变分法
?加权残量法（或称加权残数法）
这两种方法就是分析有限元法能够逼近真解
的数学原理。也就是如何将确定的偏微分方
程和定解条件（初始条件、边界条件）转化
为有限元格式的方法。
其中：变分法有严格的数学证明，而加权残
数法尚未有严格的数学证明，但是对于我们
要解的问题证明是可行的，但是不是对任何
一个问题均被证明是有效的。在计算土力学
中，对于有效应力分析方法用加权残数法，
总应力法用变分法（也就是最小势能和最小
余能原理）。
? 根据形函数的类型将有限元法分为：
? 线性单元：三节点三角形单元
? 高次单元：等参元
? 协调元
? 非协调元（壳单元）
? 粱单元
? 杆单元
? 板壳单元
? 实体单元
? 锚索单元等等－－如何选择结合分析讲
? 根据待定函数选择分为：
? 位移有限元（协调元） —— 基于最小势能原
理
认为位移是独立的场变量，其它如：应力、
应变与位移建立关系，最后将位移作为待定
未知函数，求之，用位移值再推求应力、应
变等。该方法是基于最小势能原理的，求出
的数值解为真实解的下限（比真解小）。原
因是求解的基础是刚度矩阵 [D]，固体经过
单元划分后，原来是无数自由度的场变成为
有限自由度的场，并且忽略了三个方向的转
动自由度，较原来 硬 了，因此位移值变小。
硬 !
? 平衡元 —— 基于最小余能原理
认为力是独立的变量，给出的数值解是真值
的上限（比真值大）。因为计算依据于柔度
矩阵，原来是整体平衡方程，划分后还要求
各单元也要平衡，这样就造成划分后的结构
较原来的结构软，计算得到的值较真值大。
? 混合有限元 —— 基于广义变分原理（多变量
变分），形函数可以是位移、应力和应变，
一般指同时以应力和位移为差值函数。其计
算得到的值介于平衡元和位移元之间，得到
的解的精度较平衡元和位移元高
? 杂交元：以混合变分原理为基础，在单元内
部假设平衡应力场，在单元边界假设连续的
位移场，精度较高。
? 杂交－混合元
? 变刚度有限元：西安理工大学党发宁教授，
对于存在病态矩阵的力学问题精度高，适合
于求解应力集中问题。
—— 平常我们接触的均为位移有限元，直观，
简单
平衡元
位移元
混合元
解
单元个数 n
真解
§ 4.2 有限元格式的建立方法
? 变分法
?基本原理
找到待定函数的泛函（函数的函数），
使得该泛函的变分（即：对变分进行
求导）等于 0时形成的方程反映待定函
数的微分方程和定解条件，将求解微
分方程转化为求解泛函的变分问题，
从而得到求解。
? 总应力法中方程的变分原理就是最小势
能原理或着是最小余能原理
?可以证明：对于总应力法其待求函数
的泛函是物体形变能和外力势能的和,UH
U
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?其 中,, 为 泛 函, 也 是 实 际 可 能 存 在 的 位 移 的 总 势 能 值
,为 物 体 的 形 变 能
,为 外 力 的 势 能
（ 等 于 外 力 在 实 际 位 移 上 所 做 的 功 冠 以 负 号 ）
?按照能量的观点推导得到,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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其 中,, 物 体 的 总 势 能 值
,,,分 别 为 物 体 内 部 任 意 点 的 应 力,
应 变 和 可 能 位 移 向 量
,为 体 积 力 和 面 力 向 量
?我们将区域 V和边界 S划分称 m个子域，
也就是划分成 m个单元，这时泛函可
以写成由集合体所有单元的泛函之和：
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,
i
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其 中, 为 任 意 一 点 和 单 元 结 点 位 移 向 量
根据最小势能原理：在给定的外力下，
在满足位移边界条件的所有位移中，实
际存在的位移应该使总势能的变分为 0。
从而得到：
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其 中,, 就 是 对 总 势 能 求 导
,是 变 分 的 意 思, 也 就 是 对 总 势 能 求 导
?设单元 e内任意点的位移值向量 {δ}可以
由形函数 [N]于单元结点位移 {δe}来描
述，即：
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其 中,, 为 单 元 内 部 任 一 点 的 位 移 向 量
,为 单 元 结 点 上 的 位 移 向 量
为 形 函 数, 也 是 插 值 函 数
那么：根据几何方程得到，单元内部的
应变与结点位移的函数关系为：
{ } [ ] { }
{ } {,,,,,,}
{ } {,,}
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其 中, — — 为 应 变 矩 阵 等 于
— — 为 位 移 矩 阵 等 于
— — 为 几 何 矩 阵, 等 于,
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????
原来几何方程
其中,Ni为形函数
在结点 i上的
值
{ } [ ] { } eB???得 到,
12
[ ] [,.,]
00
00
00
[]
0
0
0
m
i
i
i
i
ii
ii
ii
B B B B
N
x
N
y
N
z
B
NN
yx
NN
zy
NN
zx
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????
表示成结点位移的
几何方程：
同时：由物理方程得到：
{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { }eeD D B S? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1()
2
,
e e e
Te e Te
V V S
ee
dV p dV q dS
VS
? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?T
ee其 中,, 为 单 元 的 体 积 和 单 元 受 有 面 力 时 的 表 面 积
那么：单元的势能可以写成,
将几何方程和物理方程当作约束条件代
入得到,
根据势能最小定理得到：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
1
()
2
1
[ ] [ ] [ ] [ ]
2
[]
e e e
ee
e
Te e T
e
V V S
eTee
TT
VV
eT T
S
d V p d V q d S
B D B d V N p d V
N q d S
? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
??
?
? ? ?
??
?
T
T
? ?
? ? ? ? ? ?
()
()
( [ ] [ ] [ ] ) [ ] [ ]
[ ] { } { }
0
e e e
e
e
e
eT T T
V V S
e e e
B D B d V N p d V N q d S
KR
?
??
?
?
?
??
??
?
? ? ?
??
?
? ? ?
得到：
? ? ? ?
[ ] [ ] [ ] [ ]
{ } [ ] [ ]
e
eT
e T T
S
K B D B d V
R N p d V N q d S?
?
??
e
e
V
V
式 中, ＝ 为 单 元 刚 度 矩 阵
＋ 等 效 结 点 荷 载 向 量
[ ] { } { }e e eKR? ?
这就是单元平衡方程。根据下式，可以
得到总体平衡方程：
1
,
i
e
??
??
?
? ? ??
m
ee（ ） （ ）
其 中, 为 任 意 一 点 和 单 元 结 点 位 移 向 量
其中未知量为单元结点位移值向量，以上方程
是一个线性代数方程可以求解。
? 分析以上各个过程可以看出，我们通过最小
势能原理，并将几何、物理方程作为约束条
件，得到了整体平衡方程，说明泛函变分后
可以等效变换成我们给定的微分方程，并通
过引入形函数使问题得到求解，这就是用变
分法形成有限元格式的过程。
[ ]{ } { }KR? ?e
?以上分析的未知量为结点位移向量，
可以说明以上有限元为位移有限元
（协调元）
?若引入最小余能原理时，其未知量就
变成了结点的应力向量，这是形成的
有限元格式为平衡元，对于某些问题
可能采用这种方法更好一点。但是一
般情况下由于位移向量自由度少，便
于计算，常用之。
?如果找到其他符合微分方程的泛函还
可以构造二类场变量、三类场变量的
有限元格式，即：其未知数可以是结
点位移和结点应力两个参数，或其他
参数，这是构造的有限元格式就是杂
交元、杂交－混合元、变刚度有限元
等等，其精度会更高，可以解决比如：
应力集中等特殊问题，但是比较复杂。
?符合我们构造的微分方程的泛函的寻
找是困难的，大部分是找不到的，虽
然钱伟长、胡海昌等人提出了构造泛
函的“拉氏乘子识别法”，但是还是
很难找到一个微分方程的泛函，有时
实际上是“碰”上的，因此，虽然变
分法有严格的数学证明，但是其应用
受到极大的限制。计算土力学中用的
最多的是加权残量法。
? 加权残量法
? 加权残量法是一种直接从微分方程中得到近
似解的数学方法，其基本思想与解题思路为：
?假定一个试函数（含试函数项和待定系数）
作为微分方程的近似解；
?将近似解代入微分方程和定解条件中，形
成残量方程；
?引入权函数，将其与残量相乘，并在求解
域和边界上积分以消除残量，从而得到一
系列含有待定系数的方程组；
?求解该方程组，获得试函数中的待定系数，
从而得到近似解。
如：某系统在域 V和边界 S上的控制方程
和边界条件为：
0 ( )
0 ( )
f
g
FQ
GQ
??
??
V
S
在 域 上
在 边 界 上
其中,Q 为待定函数
F,G 为微分算子
f,g 为不含变量 Q的项
用加权残量法分析的步骤是：先设一个
试函数（即：未知函数的近似解）
将试函数代入到控制微分方程和边界方
程中，由于试函数为近似解，因此等式
右端就不再为 0，形成残量 Ri,RB
1
n
ii
i
ii
CT
CT
?
? ?
其 中, 为 待 定 系 数 ； 为 形 式 已 经 确 定 的 试 函 数 项
＝
0 ( )
0 ( )
f
I
g
B
R FQ
R GQ
??
??
?
?
V
S
在 域 上
在 边 界 上
残量 Ri,RB分别称为内部残量和边界残
量，上式也称为内部残量方程和边界参
数方程
显然，要消除残量，则得到的近似解就
是精确解。为此引入内部权函数和边界
权函数 Wi,WB，得到消除残量的方程：
( ) 0 ( )
( ) 0 ( )
I I IVV
B B BSS
W R dV W f dV
W R dS W g dS
FQ
GQ
??
??
???
???
V
S
在 域 上
在 边 界 上
将上两式进行合并为：
( ) ( ) 0IBVSW f d V W g d SF Q G Q? ? ? ???
以上就是用加权残量法求解微分方程的
基本方程。选取适当的权函数进行积分
就得到方程中的待定系数，即可求解出
给定微分方程的近似解。
视权函数的不同，可以有不同的方法，
如：最小二乘法、配点法、子域法和伽
辽金法，在这里用的较多的是 伽辽金法 。
11
( ) ( ) 0
nn
I i i B i iVS
ii
W C T f dV W C T g dSFG
??
? ? ? ?????
?伽辽金法
若选取试函数中的试函数项作为权函
数，就是伽辽金法，即：
11
( ) ( ) 0
nn
i i i i i iVS
ii
T C T f dV T C T g dSFG
??
? ? ? ?????
伽辽金法可以得到对称的刚度矩阵，
求解方便，常用之。另外试函数又是
与有限元中的形函数一致，因此在有
限元中用的很多。许多复杂问题有限
元格式的形成由该法进行。我们结合
有效应力法求解讲之。
? 用总应力法说明之
? 形函数也叫位移函数、位移模式（注意
在等参元中与坐标转换函数区别）是表
征单元内部任意一点的位移与结点位移
之间关系的函数。其选择是有限元计算
的关键。
? 形函数是一个多项式，因为多项式可以
无限逼近任意连续函数
§ 4.3 形函数的选择
1 2 2
3 4 5
u a a x a y
v a a x a y
? ? ?
? ? ?
? 形函数必须具备协调性和完备性
? 协调性是指除了满足相邻单元的公共结点、
边或公共面上的连续性条件外，有时甚至要
满足一阶或二阶导数的连续性。只有这样才
能保证当单元尺寸无限小时近似解无限逼近
真解。 0阶精度,1阶精度,2阶精度。一般 0
阶精度可以满足实体单元计算要求。
? 完备性指为了保证当有限单元产生位移时，
仍然具有几何同性。形函数一定是一个多项
式，那么要保证完备性只要保证以下几点就
可以了：
?包含常数项，反映刚体位移
?包括常应变项，即
?位移在单元内部连续，在边界上协调，相
邻单元在边界上不开裂也不重叠
?满足几何对称性，即：在各个方向上均形
式一样，只是参数不同
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u a a x a y
v a a x a y
? ? ?
? ? ?
也就是满足帕斯卡三角形：
1
x y
x2 xy y2
x3 x2y xy2 y3
x4 x3y x2y2 xy3 y4
Any questions？
