第三章
讲解内容
1,图像变换的目的、要求和应用
2,傅立叶级数,频谱分析概念及其意义
3.一维、二维连续、离散傅立叶变换定义,
性质及其应用
目的
1,熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用；
2,掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法
第三章 图像变换
图像变换的目的在于,① 使图像处理问题简化； ②
有利于图像特征提取； ③ 有助于从概念上增强对图像信
息的理解 。
图像变换通常是一种二维正交变换 。 一般要求,①
正交变换必须是可逆的； ② 正变换和反变换的算法不能
太复杂； ③ 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集
中分布在低频率成分上, 边缘, 线状信息反映在高频率
成分上, 有利于图像处理 。
因此正交变换广泛应用在图像增强, 图像恢复, 特
征提取, 图像压缩编码和形状分析等方面 。
在此讨论常用的傅立叶变换 。
3.2傅立叶变换
在学习傅立叶级数的时候，一个周期为 T的函数 f(t)在 [-
T/2,T/2]上满足狄利克雷（ Dirichlet)条件，则在 [-T/2,T/2]
可以展成傅立叶级数
其复数形式为
其中
可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成
及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理 。
)s i nc o s(2)(
1
0 n w tbn w taatf
n
n
nT ??? ?
?
?
?
?
???? n
j n w t
nT ectf )(
?? ?? 2 2 )(1 T T dtetfTc j n w tTn
3.2.1 连续函数的傅立叶变换
1,一维连续函数的傅立叶变换
令 f(x)为实变量 x的连续函数, f(x) 的 傅立叶 变换用
F(u)表示, 则定义式为
若已知 F(u),则 傅立叶 反变换为
式（ 3.2-1）和（ 3.2-2）称为 傅立叶 变换对。
)12.3()()( 2 ?? ? ??? ? dxexfuF uxj ?
)22.3()()( 2 ?? ? ??? dueuFxf uxj ?
这里 f(x)是实函数, 它的傅立叶变换 F(u)通常是复函
数 。 F(u)的实部, 虚部, 振幅, 能量和相位分别表示如
下,
? ?32.3)2c o s ()()( ???
? ?? dxuxxfuR ?实部
)42.3()2s i n ()()( ? ??? ? ?? dxuxxfuI ?虚部
)52.3()](2)(2[)( 2
1
??? uIuRuF振幅
)62.3()()()()( 222 ???? uIuRuFuE能量
)72.3(])( )([t a n)( 1 ?? ? uR uIu?相位
)82.3(2s i n2c o s2 ???? uxjuxe uxj ???
傅立叶变换中出现的变量 u 通常称为频率变量。
2,二维连续函数的傅立叶变换
傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果 f(x,y)是连
续和可积的，且 F(u,v)是可积的，则二维傅立叶变换对为
? ???
? ???
?
??
?
?
??
??
)102.3(),(),(
)92.3(),(),(
)(2
)(2
dudvevuFyxf
d x d yeyxfvuF
vyuxj
vyuxj
?
?
二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为
|F(u,v)∣ =[R2(u,v)+I2 (u,v)]1/2 (3.2— 11)
φ(u,v)=tan-1 [I(u,v)／ R(u,v)] (3.2— 12)
E(u,v)=R2(u,v)+I2(u,v) (3.2— 13)
3.2.2 离散函数的傅立叶变换
1.一维离散函数的傅立叶变换
假定取间隔△ x单位的抽样方法将一个连续函数 f(x)离散化为一个
序列 {f(x0),f(x0+△ x),…, f[x0+(N-1)△ x]}，如图 3.2.3所示。
将序列表示成
f(x)=f(x0+x△ x) (3.2— 16)
即用序列 {f(0),f(1),f(2),…, f(N-1)}代替 {f(x0),f(x0+△ x),…
,f[x0+(N-1)△ x]}。
被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为
F(u)=
式中 u=0,1,2,…, N﹣ 1。 反变换为
f(x)=
式中 x=0,1,2,…, N-1。
?
?
?
?
1
0
/21 )(
N
x
Nuxj
N exf
?
?
?
?
1
0
/2)(
N
x
NuxjeuF ?
例如：对一维信号 f(x)=[1 0 1 0]进行傅立叶变换。
由
得 u=0时,
u=1时,
?? ?
?
?1
0
/21 )()( N
x
Nuxj
N exfuF
?
2/1
)3((
)2(
)1(
)0(
]1111[)()()0(
4
1
3
0
4
1
3
0
4/02
4
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??
??
f
f
f
f
xfexfF
xx
πx
0
)3((
)2(
)1(
)0(
]11[)()1(
4
12/
3
0
4
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
?
f
f
f
f
jjexfF j ππ
x
2/1
)3((
)2(
)1(
)0(
]1111[)()2(
4
1
3
0
4
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
?
f
f
f
f
exfF j ππ
x
u=2时,
u=3时,
在 N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为
F(u)= =Af(x)
0
)3((
)2(
)1(
)0(
]11[)()3( 412/3
3
0
4
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
?
f
f
f
f
jjexfF πxj
x
x
y
1 -1
j
-j
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
0
1
0
1
11
1111
11
1111
4
1
jj
jj
2.二维离散函数的傅立叶变换
在二维离散的情况下, 傅立叶变换对表示为
F(u,v)= (3.2— 20)
式中 u=0,1,2,…, M-1； v=0,1,2,…, N-1。
f(x,y)= (3.2— 21)
式中 x=0,1,2,…, M-1； y=0,1,2,…, N-1。
一维和二维离散函数的傅立叶谱, 相位和能量谱也分别
由前面式子给出, 唯一的差别在于独立变量是离散的 。
一般来说, 对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大, 不
直接利用以上公式计算 。 现在都采用傅立叶变换快速算法,
这样可大大减少计算量 。 为提高傅立叶变换算法的速度, 从
软件角度来讲, 要不断 改进算法；另一种途径为硬件化, 它
不但体积小且速度快 。
? ??
?
?
?
??1
0
1
0
)//(21 ),(M
x
N
y
NvyMuxj
MN eyxf
?
? ??
?
?
?
?1
0
1
0
)//(2),(M
u
N
v
NvyMuxjevuF ?
原图 离散傅立叶变换后的频域图
例如 数字图像的傅立叶变换
3.2.3二维离散傅立叶变换的若干性质
离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转
换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其
转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性
质。
1,周期性和共轭对称性
若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为 N,则有
F(u,v)=F(u+N,v)=F(u,v+N)=F(u+N,v+N) （ 3.2-26)
傅立叶变换存在共轭对称性
F(u,v)=F*(-u,-v) (3.2— 27)
这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来
很大益处 。
2.分离性
一个二维 傅立叶 变换可由连续两次一维 傅立叶 变换来实现。
例如式 (3.2-14)可分成下面两式,
? ????? ?
?
1
0
)292.3(1.,,10]/2e x p [),(1),( N
y
NvNvyjyxfNvxF,，，?
? ????? ?? 10 302.31,.,,,1,0,]/2e x p [),(1),( Nx NvuNuxjvxFNvuF ）（?
x
y
x
v
x
v
? ?,F u v
1-D离散傅
立叶变换
4.旋转性质
平面直角坐标改写成极坐标形式,
?
?
?
?
?
?
?
s in
c o s
ry
rx
?
?
?
?
?
??
??
s in
c o s
v
u
做代换有,? ? ? ? ? ????,,,Frfyxf ??
如果 被旋转,则 被旋转同一角度 。 即有傅立叶变换
对,
? ?yxf,0? ? ?,F u v
? ? ? ?00,,????? ??? Frf
7.卷积定理