第五章
讲解内容
1,图像恢复的概念、模型与方法
2,图像几何校正和几何变换
3.图像重建
目的
1,熟悉位移不变系统图像退化模型，掌握频
率域逆滤波恢复方法；
2,熟悉图像几何校正和几何变换的方法与基
本步骤，掌握图像灰度内插方法及其特点
3.了解图像重建的基本概念与方法
第五章 图像复原与重建
5.1 图像退化模型
5.1.1 图像的退化
图像的退化 是指图像在形成、传输和记录过程中，由于
成像系统、传输介质和设备的不完善，使图像的质量变坏。
图像复原 就是要尽可能恢复退化图像的本来面目，它是
沿图像退化的逆过程进行处理。
典型的图像复原是根据图像退化的先验知识建立一个退
化模型，以此模型为基础，采用各种逆退化处理方法进行恢
复，得到质量改善的图像。图像复原过程如下,
找退化原因 → 建立退化模型 → 反向推演 → 恢复图像
可见，图像复原主要取决于对图像退化过程的先验知识
所掌握的精确程度，体现在建立的退化模型是否合适。
图像复原和图像增强的区别,
图像增强不考虑图像是如何退化的，而是试图采用各种
技术来增强图像的视觉效果。因此，图像增强可以不顾增强
后的图像是否失真，只要看得舒服就行。
而图像复原就完全不同，需知道图像退化的机制和过程
等先验知识，据此找出一种相应的逆处理方法，从而得到复
原的图像。
如果图像已退化，应先作复原处理，再作增强处理。
二者的目的都是为了改善图像的质量。
5.1.2 系统的描述
点源的概念
事实上，一幅图像可以看成由无穷多极小的像素所组成，
每一个像素都可以看作为一个点源成像，因此，一幅图像也
可以看成由无穷多点源形成的。
在数学上，点源可以用狄拉克 δ 函数来表示。 二
维 δ 函数可定义为
且满足
它的一个重要特性就是采样特性。即
当 α =β =0时
?
?
? ????
其它0
0,0
),(
yx
yx?
? ? ? ? 1,,??
?
?
??
???? d x d yyxd x d yyx ??
?
?
),(),(),( ????? fd x d yyxyxf ???
?
??
??
d x d yyxyxff ),(),()0,0( ?
?
??
???
它的另一个重要特性就是 位移性 。
用卷积符号 * 表示为
因此还有
二维线性位移不变系统
如果对二维函数施加运算 T[·], 满足
⑴
⑵
? ???? ??? ??? ??????? ddyxfyxf ),(),(),(
),(),(),( yxyxfyxf ???
),(),(),( ????? ?????? yxyxfyxf
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?yxfTyxfTyxfyxfT,,,,2121 ???
? ?? ? ? ?? ?yxfaTyxafT,,?
则称该运算为二维线性运算。由它描述的系统,称为二维线
性系统 。
当输入为单位脉冲 δ (x, y)时，系统的输出便称为脉冲
响应，用 h (x, y)表示。在图像处理中，它便是对点源的响
应，称为点扩散函数。用图表示为
当输入的单位脉冲函数延迟了 α, β 单位，即当输入为
δ （ x –α,y –β） 时，如果输出为 h（ x –α,y –β）,则称此
系统为位移不变系统。
对于一个二维线性位移不变系统，如果输入为 f（ x, y）,
输出为 g (x, y),系统加于输入的线性运算为 T[ ? ],则有
简记为
上式表明,线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系
统脉冲响应（点扩散函数）的卷积。
? ? ?
?
?
?
?
? ???? ?
??
?? ??????? ddyxfTyxfTyxg ),(),(),(),(
? ?? ? ??????? ddyxTf ???
?
??
??,),(
线性
? ? ? ? ?????? ddyxhf ???
?
??
??,,移不变
),(),(),( yxhyxfyxg ??
下图表示二维线性位移不变系统的输入、输出和运算关系
f（ x,y） g（ x,y） = f（ x,y） * h（ x,y）
5.1.2 图像退化的数学模型
假定成像系统是线性位移不变系统,则获取的图像 g(x,y)
表示为
g（ x,y） = f（ x,y） * h（ x,y）
f(x,y)表示理想的、没有退化的图像,g(x,y)是退化（所
观察到）的图像。
若受加性噪声 n(x,y)的干扰，则退化图像可表示为
g（ x,y） = f（ x,y） * h（ x,y） + n(x,y)
这就是线性位移不变系统的退化模型。退化模型如图所示
h(x,y)
采用线性位移不变系统模型的原由,
1）由于许多种退化都可以用线性位移不变模型来近似，
这样线性系统中的许多数学工具如线性代数，能用于
求解图像复原问题，从而使运算方法简捷和快速。
2）当退化不太严重时，一般用线性位移不变系统模型来
复原图像，在很多应用中有较好的复原结果，且计算
大为简化。
3）尽管实际非线性和位移可变的情况能更加准确而普遍
地反映图像复原问题的本质，但在数学上求解困难。
只有在要求很精确的情况下才用位移可变的模型去求
解，其求解也常以位移不变的解法为基础加以修改而
成。
5.3 频率域恢复方法
5.3.1 逆滤波恢复法
对于线性移不变系统而言
对上式两边进行傅立叶变换得
H(u,v)称为系统的传递函数。从频率域角度看，它使图像
退化，因而反映了成像系统的性能。
? ?
?
??
???? ),(),(),(),( yxnddyxhfyxg ??????
),(),(),( yxnyxhyxf ???
),(),(),(),( vuNvuHvuFvuG ??
通常在无噪声的理想情况下, 上式可简化为
则
进行反傅立叶变换可得到 f(x,y) 。 以上就是逆滤波复原的
基本原理 。 1/H(u,v)称为逆滤波器 。
),(),(),( vuHvuFvuG ?
),(/),(),( vuHvuGvuF ?
逆滤波复原过程可归纳如下,
(1)对退化图像 g(x,y)作二维离散傅立叶变换，得到 G(u,v)；
(2)计算系统点扩散函数 h(x,y)的二维傅立叶变换，得到
H(u,v);
(3)逆滤波计算
(4)计算 的逆傅立叶变换，求得 。
),( yxf),( vuF
),(/),(),( vuHvuGvuF ?
),(? vuF
若噪声为零，则采用逆滤波恢复法能完全再现原图像。
若噪声存在，而且 H(u,v） 很小或为零时，则噪声被放
大。这意味着退化图像中小噪声的干扰在 H(u,v)较小时，会
对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，有可能使恢复的图
像和 f(x,y)相差很大，甚至面目全非。
但实际获取的影像都有噪声，因而只能求 F(u,v)的估
计值 。
再作傅立叶逆变换得
),(
),(),(),(?
vuH
vuNvuFvuF ??
? ?? ??
? ?
???? dudvevuHvuNyxfyxf vyuxj )(21 ),(),(),(),(? ?
为此改进的方法有,
① 在 H(u,v） =0及其附近，人为地仔细设置 H-1(u,v)的值，使
N(u,v)*H-1(u,v)不会对 F（ u,v） 产生太大影响。
下图给出了 H(u,v),H--1(u,v)同改进的滤波特性 HI(u,v)的
一维波形，从中可看出与正常的滤波的差别。
②使 H-1(u,v)具有低通滤波性质。即使
??
??
?
?
?
??
0
01
DD 0
DD ),( 1
),( vuHvuH
5.4 图像的几何校正
几何失真
图像在获取过程中，由于成像系统本身具有非线性、
拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像产生几何失真。
几何失真 系统失真
非系统失真。
系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真则是随
机的。
当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精
确的几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失
真的图像），以免影响定量分析的精度。
几何校正方法
图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型；
其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行
几何校正。 通常分两步,
①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列
号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系，
解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图
像各个像素坐标进行校正；
②确定各像素的灰度值（灰度内插）。
5.4.1 空间坐标变换
实际工作中常以一幅图像为基准，去校正另一幅几何
失真图像。通常设基准图像 f(x,y)是利用没畸变或畸变较小
的摄像系统获得的，而有较大几何畸变的图像用 g(x′,y′)表
示，下图是一种畸变情形。
设两幅图像几何畸变的关系能用解析式
来描述 。
),(1 yxhx ??
),(2 yxhy ??
通常 h1(x,y)和 h2(x,y)可用多项式来近似
当 n=1时，畸变关系为线性变换,
上述式子中包含 a00,a10,a01, b00,b10,b016个未知数，
至少需要 3个已知点来建立方程式，解求未知数。
? ?
?
?
?
??
n
i
in
j
ji
ij yxax
0 0
? ?
?
?
?
??
n
i
in
j
ji
ij yxby
0 0
yaxaax 011000 ????
ybxbby 011000 ????
当 n=2时，畸变关系式为
包含 12个未知数，至少需要 6个已知点来建立关系式，
解求未知数。
几何校正方法可分为直接法和间接法两种。
20211220011000 yaxyaxayaxaax ???????
20211220011000 ybxybxbybxbby ???????
一、直接法
利用若干已知点坐标，根据
解求未知参数；然后从畸变图像出发，根据上述关系依次
计算每个像素的校正坐标，同时把像素灰度值赋予对应像
素，这样生成一幅校正图像。
但该图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏
密不均等现象，不能满足要求。因此最后还需对不规则图
像通过灰度内插生成规则的栅格图像。
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
n
i
in
j
ji
ij
n
i
in
j
ji
ij
yxbyxhy
yxayxhx
0 0
2
0 0
1
),(
),(
二、间接法
设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交
叉点，从网格交叉点的坐标（ x,y） 出发，若干已知点，
解求未知数。根据
推算出各格网点在已知畸变图像上的坐标 (x‘,y’)。 由于 (x
(x‘,y’)一般不为整数，不会位于畸变图像像素中心，因而
不能直接确定该点的灰度值，而只能在畸变图像上，由
该像点周围的像素灰度值通过内插，求出该像素的灰度
值，作为对应格网点的灰度，据此获得校正图像。
?
?
?
?
?
?
?
???
???
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
n
i
in
j
ji
ij
n
i
in
j
ji
ij
yxbyxhy
yxayxhx
0 0
2
0 0
1
),(
),(
由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行
几何纠正。
5.4.2 像素灰度内插方法
常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法
和三次内插法三种。
1．最近邻元法
在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素
灰度赋给该待求点。
该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯
齿状，即存在灰度不连续性。
2．双线性内插法
双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在两个方
向上作线性内插。如图，下面推导待求像素灰度值的计算式。
对于 (i,j+v)有
f(i,j+v)=[f(i,j+1)-f(i,j)]v
+f(i,j)
对于 (i+1,j+v)有
f(i+1,j+v)=[f(i+1,j+1)-
f(i+1,j)]v+f(i+1,j)
对于 (i+u,j+v)有
f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v)
= )1,1(),1()1()1,()1(),()1)(1( ??????????? jiu v fjifvujivfujifvu
该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰
度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性
质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。
(i-1,j-1) (i-1,j+2)
(i+2,j-1) (i+2,j+2)
(x,y)
u
v
3,三次内插法
该方法利用三次多项式 S(x)来逼近理论上的最佳插值
函数 sin(x)/x。 其数学表达式为,
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
2||0
2||1||||5||84
1||0||||21
)( 32
32
x
xxxx
xxx
xS
其中
A=[s(1+v) s(v) s(1-v) s(2-v)]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???
???????
?
)2,2()1,2(),2()1,2(
)2,1()1,1(),1()1,1(
)2,()1,(),()1,(
)2,1()1,1(),1()1,1(
jifjifjifjif
jifjifjifjif
jifjifjifjif
jifjifjifjif
B
c=[s(1+u) s(u) s(1-u) s(2-u)]T
该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高。
待求像素 (x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权
内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下,
f(x,y)=A?B ? C
原始影像灰度表面 最近邻内插法
双线性内插法 三次内插法
像素灰度内插法效果比较
5.5 图像的几何变换
图像处理时，往往会遇到需要对图
像进行放大、缩小、旋转等操作。
5.5.1 图像的缩小
一, 图像的尺寸减半
2M*2N的图像缩小为,M*N的图像 。
处理方法是,
取偶数行和偶数列构成新的图像 。
图像的减半缩小效果
二、依比例的缩小,
M*N大小的图像缩小为,L*S大小。
其中,M/N=L/S=k,
1.计算 c= L / M
2.设旧图像是 F(x,y),新图像是 I (x‘,y’)
则,I (x‘,y’) =F(int(c*x),int(c*y))
84? 63?
取,2,3,4,6,7,8列； 2,3,4行
图像的按比例缩小效果
三、不依比例缩小
这种操作一定带来图像的几何畸变。
M*N大小的图像缩小为,L*S大小。
其中,M/L=k1,N/S=k2,
1.计算 c1=1/k1,c2=1/k2
2.设旧图像是 F(x,y),新图像是 I (x‘,y’)
则,I (x‘,y’) =F(int(c1*x),int(c2*y))
64? 42?
取,2,3,5,6列； 2,4行
图像的不按比例任意缩小
5.5.2 图像的放大
图像的缩小操作中，是从现有的信息里如何挑
选所需要的有用信息。
图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多出
来的空格填入适当的值，这是信息的估计问题，所
以较图像的缩小要难一些。
一,图像的成倍放大
常用的方法是：原来的一个点的值填到一个 2*2
的小块中去。
图像的成倍放大效果
二、图像的按比例放大方法,
方法一,
将一点的值用一个小块来代替。即,
方法二,
M*N大小的图像放大为,L*S大小。
其中,M/N=L/S=k,
1.计算 c= L / M
2.设旧图像是 F(x,y),新图像是 I (x‘,y’)
则,I (x‘,y’) =F(int(c*x),int(c*y))
图像大比例放大时的马赛克效应
放大 10倍
思考,如果比例太大，两种方法都会出现 马赛克
效应。你有没有办法解决？
三,任意不依比例放大
这种操作一定带来图像的几何畸变。
M*N大小的图像放大为,L*S大小。
其中,L / M =k1,S / N =k2,
1.计算 c1=k1,c2=k2
2.设旧图像是 F(x,y),新图像是 I (x‘,y’)
则,I (x‘,y’) =F(int(c1*x),int(c2*y))
图像不按比例放大
5.5.3 图像的旋转
? 图像的旋转实际上是坐标系的旋转，
下图给出了图像旋转的原理示意图。
θ
5.5.3 图像的旋转
? 为了尽量不扩大画布，所以是以画面的
中心点为坐标原点进行旋转的。所以有,
? 设图像大小为 M*N,作新图像的画布为
M1*N1,
MM 21 ? NN 21 ?
2/1s i n)2/(c o s)2/( MNyMxX ????? ??
2/1c o s)2/(s i n)2/( NNyMxY ?????? ??
5.5.3 图像的旋转
? 因为像素的坐标都是整数，所以当用前面
的方法旋转时，会出现画面上有许多的空
点，（即白点）这就影响了旋转图像的效
果。为此我们还需要进行图像的空点的插
值。
图像的旋转效果
5.5.3 图像的旋转
? 最简单的方法是行插值或是列插值方法,
1,找出当前行的最小和最大的非白点的坐
标，记作,(i,k1),(i,k2)。
2,在 (k1,k2)范围内进行插值，插值的方法
是：空点的像素值等于前一点的像素值。
3,同样的操作重复 M1行。
5.5.3 图像的旋转
插值处理示意图,
图像旋转中的插值处理效果
5.6 图像重建
线、电子射线及光线和热辐射的情况下，它们都遵从一
定的吸收规则。
发射模型 可用来确定物体的位置。这种方法已经广
泛用于正电子检测,通过在相反的方向分解散射的两束
伽马射线,则这两束射线的渡越时间可用来确定物体的
位置。
反射模型 可以用来测定物体的表面特征，例如光线、
电子束、激光或超声波等都可以用来进行这种测定。
这三种模型是无损检测中常用的数据获取方法。
如图给出了图像重建的三种
模型，即透射模型、发射模型和
反射模型。
透射模型 建立于能量通过物
体后有一部分能量会被吸收的基
础之上，透射模型经常用于 X射
5.6.1 计算机断层扫描的二维重建
计算机断层扫描的基本原理，如图所示，从线性
并排着的 X线源发射一定强度的 X线，把通过身体的 X线
用与 X线源平行排列的 X线检测器接收。然后把 X线源和
检测器组以体轴为中心一点一点的旋转，反复进行同
样的操作。 利用这样求得的在各个角度上的投影数据，
就得到了垂直于体轴的断面图像。
从多个投影数据重建图像有多种方法，这里介绍最基
本的傅立叶变换法。
图像 f(x,y)的傅立叶变换为
而 f(x,y)对 x轴的投影为
对其进行傅立叶变换得
? ?
?
??
??? d x d yeyxfvuF yvxuj )(2),(),( ?
? ???? dyyxfxP y ),()(
)0,(
),(
)()(
2
2
uF
d x d yeyxf
dxexPuP
uxj
uxj
yy
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??
?
?
??
?
?
?
可见 f(x,y)向 x轴投影的傅立叶变换，与 f(x,y)的傅立叶
变换沿 v=0 的断面是一致的。
若对多个方向直线
上的投影数据分别进行
傅立叶变换，就可求出
沿着与这个方向相同的
直线上的 F(u,v)。
如果把由它们计算出的 F(u,v)进行傅立叶逆变换，
就得到了原始的图像 f(x,y)。
因为从投影数据的傅立叶变换得到的是极坐标形
式的 F(u,v), 因此为了求得在直角坐标系中的 F(u,v)，
就必须在 F(u,v)空间进行内插，或者按照极坐标进行
逆傅立叶变换，在图像空间进行内插。
5.6.2三维形状的复原
为了测出三维物体的形状，一方面可以一点点地移
动位置，一方面求出多个垂直于通过物体中心线的断面，
然后把它们依次连接起来，即根据一系列二维图像的位
置变化构成三维图像。
一旦这样的物体三维信
息被恢复，就可以求出关于
具有任意倾斜度平面的断面，
或者可以由三维的任意方向
来看物体，从而使对物体形
状的判读变得非常容易。
从多个断面恢复三维形状的方法有 Voxel 法（体素法）、
分块的平面近似法。
1,Voxel 法（体素法）
如果在断面间加密，让断面内的抽样间隔和断面间隔
相等，断面内的各像素就可以看成三维空间的小立方体,
如图所示 。 因此，在多个断面图像中，断面之间相当于这
个立方体高度，立方体堆积起来就可以表现物体的三维图
像。
2．分块的平面近似法
分块的平面近似法是面向表面型的表示法。
用前者求物体表面很困难，而用后者求断面困难。因
此要根据目的的不同采用合适的表示法。
从断面合成的头部三维图像
讲解内容
1,图像恢复的概念、模型与方法
2,图像几何校正和几何变换
3.图像重建
目的
1,熟悉位移不变系统图像退化模型，掌握频
率域逆滤波恢复方法；
2,熟悉图像几何校正和几何变换的方法与基
本步骤，掌握图像灰度内插方法及其特点
3.了解图像重建的基本概念与方法
第五章 图像复原与重建
5.1 图像退化模型
5.1.1 图像的退化
图像的退化 是指图像在形成、传输和记录过程中，由于
成像系统、传输介质和设备的不完善，使图像的质量变坏。
图像复原 就是要尽可能恢复退化图像的本来面目，它是
沿图像退化的逆过程进行处理。
典型的图像复原是根据图像退化的先验知识建立一个退
化模型，以此模型为基础，采用各种逆退化处理方法进行恢
复，得到质量改善的图像。图像复原过程如下,
找退化原因 → 建立退化模型 → 反向推演 → 恢复图像
可见，图像复原主要取决于对图像退化过程的先验知识
所掌握的精确程度，体现在建立的退化模型是否合适。
图像复原和图像增强的区别,
图像增强不考虑图像是如何退化的，而是试图采用各种
技术来增强图像的视觉效果。因此，图像增强可以不顾增强
后的图像是否失真，只要看得舒服就行。
而图像复原就完全不同，需知道图像退化的机制和过程
等先验知识，据此找出一种相应的逆处理方法，从而得到复
原的图像。
如果图像已退化，应先作复原处理，再作增强处理。
二者的目的都是为了改善图像的质量。
5.1.2 系统的描述
点源的概念
事实上，一幅图像可以看成由无穷多极小的像素所组成，
每一个像素都可以看作为一个点源成像，因此，一幅图像也
可以看成由无穷多点源形成的。
在数学上，点源可以用狄拉克 δ 函数来表示。 二
维 δ 函数可定义为
且满足
它的一个重要特性就是采样特性。即
当 α =β =0时
?
?
? ????
其它0
0,0
),(
yx
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它的另一个重要特性就是 位移性 。
用卷积符号 * 表示为
因此还有
二维线性位移不变系统
如果对二维函数施加运算 T[·], 满足
⑴
⑵
? ???? ??? ??? ??????? ddyxfyxf ),(),(),(
),(),(),( yxyxfyxf ???
),(),(),( ????? ?????? yxyxfyxf
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?yxfTyxfTyxfyxfT,,,,2121 ???
? ?? ? ? ?? ?yxfaTyxafT,,?
则称该运算为二维线性运算。由它描述的系统,称为二维线
性系统 。
当输入为单位脉冲 δ (x, y)时，系统的输出便称为脉冲
响应，用 h (x, y)表示。在图像处理中，它便是对点源的响
应，称为点扩散函数。用图表示为
当输入的单位脉冲函数延迟了 α, β 单位，即当输入为
δ （ x –α,y –β） 时，如果输出为 h（ x –α,y –β）,则称此
系统为位移不变系统。
对于一个二维线性位移不变系统，如果输入为 f（ x, y）,
输出为 g (x, y),系统加于输入的线性运算为 T[ ? ],则有
简记为
上式表明,线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系
统脉冲响应（点扩散函数）的卷积。
? ? ?
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线性
? ? ? ? ?????? ddyxhf ???
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??,,移不变
),(),(),( yxhyxfyxg ??
下图表示二维线性位移不变系统的输入、输出和运算关系
f（ x,y） g（ x,y） = f（ x,y） * h（ x,y）
5.1.2 图像退化的数学模型
假定成像系统是线性位移不变系统,则获取的图像 g(x,y)
表示为
g（ x,y） = f（ x,y） * h（ x,y）
f(x,y)表示理想的、没有退化的图像,g(x,y)是退化（所
观察到）的图像。
若受加性噪声 n(x,y)的干扰，则退化图像可表示为
g（ x,y） = f（ x,y） * h（ x,y） + n(x,y)
这就是线性位移不变系统的退化模型。退化模型如图所示
h(x,y)
采用线性位移不变系统模型的原由,
1）由于许多种退化都可以用线性位移不变模型来近似，
这样线性系统中的许多数学工具如线性代数，能用于
求解图像复原问题，从而使运算方法简捷和快速。
2）当退化不太严重时，一般用线性位移不变系统模型来
复原图像，在很多应用中有较好的复原结果，且计算
大为简化。
3）尽管实际非线性和位移可变的情况能更加准确而普遍
地反映图像复原问题的本质，但在数学上求解困难。
只有在要求很精确的情况下才用位移可变的模型去求
解，其求解也常以位移不变的解法为基础加以修改而
成。
5.3 频率域恢复方法
5.3.1 逆滤波恢复法
对于线性移不变系统而言
对上式两边进行傅立叶变换得
H(u,v)称为系统的传递函数。从频率域角度看，它使图像
退化，因而反映了成像系统的性能。
? ?
?
??
???? ),(),(),(),( yxnddyxhfyxg ??????
),(),(),( yxnyxhyxf ???
),(),(),(),( vuNvuHvuFvuG ??
通常在无噪声的理想情况下, 上式可简化为
则
进行反傅立叶变换可得到 f(x,y) 。 以上就是逆滤波复原的
基本原理 。 1/H(u,v)称为逆滤波器 。
),(),(),( vuHvuFvuG ?
),(/),(),( vuHvuGvuF ?
逆滤波复原过程可归纳如下,
(1)对退化图像 g(x,y)作二维离散傅立叶变换，得到 G(u,v)；
(2)计算系统点扩散函数 h(x,y)的二维傅立叶变换，得到
H(u,v);
(3)逆滤波计算
(4)计算 的逆傅立叶变换，求得 。
),( yxf),( vuF
),(/),(),( vuHvuGvuF ?
),(? vuF
若噪声为零，则采用逆滤波恢复法能完全再现原图像。
若噪声存在，而且 H(u,v） 很小或为零时，则噪声被放
大。这意味着退化图像中小噪声的干扰在 H(u,v)较小时，会
对逆滤波恢复的图像产生很大的影响，有可能使恢复的图
像和 f(x,y)相差很大，甚至面目全非。
但实际获取的影像都有噪声，因而只能求 F(u,v)的估
计值 。
再作傅立叶逆变换得
),(
),(),(),(?
vuH
vuNvuFvuF ??
? ?? ??
? ?
???? dudvevuHvuNyxfyxf vyuxj )(21 ),(),(),(),(? ?
为此改进的方法有,
① 在 H(u,v） =0及其附近，人为地仔细设置 H-1(u,v)的值，使
N(u,v)*H-1(u,v)不会对 F（ u,v） 产生太大影响。
下图给出了 H(u,v),H--1(u,v)同改进的滤波特性 HI(u,v)的
一维波形，从中可看出与正常的滤波的差别。
②使 H-1(u,v)具有低通滤波性质。即使
??
??
?
?
?
??
0
01
DD 0
DD ),( 1
),( vuHvuH
5.4 图像的几何校正
几何失真
图像在获取过程中，由于成像系统本身具有非线性、
拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像产生几何失真。
几何失真 系统失真
非系统失真。
系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真则是随
机的。
当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精
确的几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失
真的图像），以免影响定量分析的精度。
几何校正方法
图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型；
其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行
几何校正。 通常分两步,
①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列
号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系，
解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图
像各个像素坐标进行校正；
②确定各像素的灰度值（灰度内插）。
5.4.1 空间坐标变换
实际工作中常以一幅图像为基准，去校正另一幅几何
失真图像。通常设基准图像 f(x,y)是利用没畸变或畸变较小
的摄像系统获得的，而有较大几何畸变的图像用 g(x′,y′)表
示，下图是一种畸变情形。
设两幅图像几何畸变的关系能用解析式
来描述 。
),(1 yxhx ??
),(2 yxhy ??
通常 h1(x,y)和 h2(x,y)可用多项式来近似
当 n=1时，畸变关系为线性变换,
上述式子中包含 a00,a10,a01, b00,b10,b016个未知数，
至少需要 3个已知点来建立方程式，解求未知数。
? ?
?
?
?
??
n
i
in
j
ji
ij yxax
0 0
? ?
?
?
?
??
n
i
in
j
ji
ij yxby
0 0
yaxaax 011000 ????
ybxbby 011000 ????
当 n=2时，畸变关系式为
包含 12个未知数，至少需要 6个已知点来建立关系式，
解求未知数。
几何校正方法可分为直接法和间接法两种。
20211220011000 yaxyaxayaxaax ???????
20211220011000 ybxybxbybxbby ???????
一、直接法
利用若干已知点坐标，根据
解求未知参数；然后从畸变图像出发，根据上述关系依次
计算每个像素的校正坐标，同时把像素灰度值赋予对应像
素，这样生成一幅校正图像。
但该图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏
密不均等现象，不能满足要求。因此最后还需对不规则图
像通过灰度内插生成规则的栅格图像。
?
?
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????????
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n
i
in
j
ji
ij
n
i
in
j
ji
ij
yxbyxhy
yxayxhx
0 0
2
0 0
1
),(
),(
二、间接法
设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交
叉点，从网格交叉点的坐标（ x,y） 出发，若干已知点，
解求未知数。根据
推算出各格网点在已知畸变图像上的坐标 (x‘,y’)。 由于 (x
(x‘,y’)一般不为整数，不会位于畸变图像像素中心，因而
不能直接确定该点的灰度值，而只能在畸变图像上，由
该像点周围的像素灰度值通过内插，求出该像素的灰度
值，作为对应格网点的灰度，据此获得校正图像。
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?
?
?
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???
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n
i
in
j
ji
ij
n
i
in
j
ji
ij
yxbyxhy
yxayxhx
0 0
2
0 0
1
),(
),(
由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行
几何纠正。
5.4.2 像素灰度内插方法
常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法
和三次内插法三种。
1．最近邻元法
在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素
灰度赋给该待求点。
该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯
齿状，即存在灰度不连续性。
2．双线性内插法
双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在两个方
向上作线性内插。如图，下面推导待求像素灰度值的计算式。
对于 (i,j+v)有
f(i,j+v)=[f(i,j+1)-f(i,j)]v
+f(i,j)
对于 (i+1,j+v)有
f(i+1,j+v)=[f(i+1,j+1)-
f(i+1,j)]v+f(i+1,j)
对于 (i+u,j+v)有
f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v)
= )1,1(),1()1()1,()1(),()1)(1( ??????????? jiu v fjifvujivfujifvu
该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰
度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性
质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。
(i-1,j-1) (i-1,j+2)
(i+2,j-1) (i+2,j+2)
(x,y)
u
v
3,三次内插法
该方法利用三次多项式 S(x)来逼近理论上的最佳插值
函数 sin(x)/x。 其数学表达式为,
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
2||0
2||1||||5||84
1||0||||21
)( 32
32
x
xxxx
xxx
xS
其中
A=[s(1+v) s(v) s(1-v) s(2-v)]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???
???????
?
)2,2()1,2(),2()1,2(
)2,1()1,1(),1()1,1(
)2,()1,(),()1,(
)2,1()1,1(),1()1,1(
jifjifjifjif
jifjifjifjif
jifjifjifjif
jifjifjifjif
B
c=[s(1+u) s(u) s(1-u) s(2-u)]T
该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高。
待求像素 (x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权
内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下,
f(x,y)=A?B ? C
原始影像灰度表面 最近邻内插法
双线性内插法 三次内插法
像素灰度内插法效果比较
5.5 图像的几何变换
图像处理时，往往会遇到需要对图
像进行放大、缩小、旋转等操作。
5.5.1 图像的缩小
一, 图像的尺寸减半
2M*2N的图像缩小为,M*N的图像 。
处理方法是,
取偶数行和偶数列构成新的图像 。
图像的减半缩小效果
二、依比例的缩小,
M*N大小的图像缩小为,L*S大小。
其中,M/N=L/S=k,
1.计算 c= L / M
2.设旧图像是 F(x,y),新图像是 I (x‘,y’)
则,I (x‘,y’) =F(int(c*x),int(c*y))
84? 63?
取,2,3,4,6,7,8列； 2,3,4行
图像的按比例缩小效果
三、不依比例缩小
这种操作一定带来图像的几何畸变。
M*N大小的图像缩小为,L*S大小。
其中,M/L=k1,N/S=k2,
1.计算 c1=1/k1,c2=1/k2
2.设旧图像是 F(x,y),新图像是 I (x‘,y’)
则,I (x‘,y’) =F(int(c1*x),int(c2*y))
64? 42?
取,2,3,5,6列； 2,4行
图像的不按比例任意缩小
5.5.2 图像的放大
图像的缩小操作中，是从现有的信息里如何挑
选所需要的有用信息。
图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多出
来的空格填入适当的值，这是信息的估计问题，所
以较图像的缩小要难一些。
一,图像的成倍放大
常用的方法是：原来的一个点的值填到一个 2*2
的小块中去。
图像的成倍放大效果
二、图像的按比例放大方法,
方法一,
将一点的值用一个小块来代替。即,
方法二,
M*N大小的图像放大为,L*S大小。
其中,M/N=L/S=k,
1.计算 c= L / M
2.设旧图像是 F(x,y),新图像是 I (x‘,y’)
则,I (x‘,y’) =F(int(c*x),int(c*y))
图像大比例放大时的马赛克效应
放大 10倍
思考,如果比例太大，两种方法都会出现 马赛克
效应。你有没有办法解决？
三,任意不依比例放大
这种操作一定带来图像的几何畸变。
M*N大小的图像放大为,L*S大小。
其中,L / M =k1,S / N =k2,
1.计算 c1=k1,c2=k2
2.设旧图像是 F(x,y),新图像是 I (x‘,y’)
则,I (x‘,y’) =F(int(c1*x),int(c2*y))
图像不按比例放大
5.5.3 图像的旋转
? 图像的旋转实际上是坐标系的旋转，
下图给出了图像旋转的原理示意图。
θ
5.5.3 图像的旋转
? 为了尽量不扩大画布，所以是以画面的
中心点为坐标原点进行旋转的。所以有,
? 设图像大小为 M*N,作新图像的画布为
M1*N1,
MM 21 ? NN 21 ?
2/1s i n)2/(c o s)2/( MNyMxX ????? ??
2/1c o s)2/(s i n)2/( NNyMxY ?????? ??
5.5.3 图像的旋转
? 因为像素的坐标都是整数，所以当用前面
的方法旋转时，会出现画面上有许多的空
点，（即白点）这就影响了旋转图像的效
果。为此我们还需要进行图像的空点的插
值。
图像的旋转效果
5.5.3 图像的旋转
? 最简单的方法是行插值或是列插值方法,
1,找出当前行的最小和最大的非白点的坐
标，记作,(i,k1),(i,k2)。
2,在 (k1,k2)范围内进行插值，插值的方法
是：空点的像素值等于前一点的像素值。
3,同样的操作重复 M1行。
5.5.3 图像的旋转
插值处理示意图,
图像旋转中的插值处理效果
5.6 图像重建
线、电子射线及光线和热辐射的情况下，它们都遵从一
定的吸收规则。
发射模型 可用来确定物体的位置。这种方法已经广
泛用于正电子检测,通过在相反的方向分解散射的两束
伽马射线,则这两束射线的渡越时间可用来确定物体的
位置。
反射模型 可以用来测定物体的表面特征，例如光线、
电子束、激光或超声波等都可以用来进行这种测定。
这三种模型是无损检测中常用的数据获取方法。
如图给出了图像重建的三种
模型，即透射模型、发射模型和
反射模型。
透射模型 建立于能量通过物
体后有一部分能量会被吸收的基
础之上，透射模型经常用于 X射
5.6.1 计算机断层扫描的二维重建
计算机断层扫描的基本原理，如图所示，从线性
并排着的 X线源发射一定强度的 X线，把通过身体的 X线
用与 X线源平行排列的 X线检测器接收。然后把 X线源和
检测器组以体轴为中心一点一点的旋转，反复进行同
样的操作。 利用这样求得的在各个角度上的投影数据，
就得到了垂直于体轴的断面图像。
从多个投影数据重建图像有多种方法，这里介绍最基
本的傅立叶变换法。
图像 f(x,y)的傅立叶变换为
而 f(x,y)对 x轴的投影为
对其进行傅立叶变换得
? ?
?
??
??? d x d yeyxfvuF yvxuj )(2),(),( ?
? ???? dyyxfxP y ),()(
)0,(
),(
)()(
2
2
uF
d x d yeyxf
dxexPuP
uxj
uxj
yy
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?
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?
?
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可见 f(x,y)向 x轴投影的傅立叶变换，与 f(x,y)的傅立叶
变换沿 v=0 的断面是一致的。
若对多个方向直线
上的投影数据分别进行
傅立叶变换，就可求出
沿着与这个方向相同的
直线上的 F(u,v)。
如果把由它们计算出的 F(u,v)进行傅立叶逆变换，
就得到了原始的图像 f(x,y)。
因为从投影数据的傅立叶变换得到的是极坐标形
式的 F(u,v), 因此为了求得在直角坐标系中的 F(u,v)，
就必须在 F(u,v)空间进行内插，或者按照极坐标进行
逆傅立叶变换，在图像空间进行内插。
5.6.2三维形状的复原
为了测出三维物体的形状，一方面可以一点点地移
动位置，一方面求出多个垂直于通过物体中心线的断面，
然后把它们依次连接起来，即根据一系列二维图像的位
置变化构成三维图像。
一旦这样的物体三维信
息被恢复，就可以求出关于
具有任意倾斜度平面的断面，
或者可以由三维的任意方向
来看物体，从而使对物体形
状的判读变得非常容易。
从多个断面恢复三维形状的方法有 Voxel 法（体素法）、
分块的平面近似法。
1,Voxel 法（体素法）
如果在断面间加密，让断面内的抽样间隔和断面间隔
相等，断面内的各像素就可以看成三维空间的小立方体,
如图所示 。 因此，在多个断面图像中，断面之间相当于这
个立方体高度，立方体堆积起来就可以表现物体的三维图
像。
2．分块的平面近似法
分块的平面近似法是面向表面型的表示法。
用前者求物体表面很困难，而用后者求断面困难。因
此要根据目的的不同采用合适的表示法。
从断面合成的头部三维图像
