第二学期第二十九次课
§3 张量
12.3.1 线性变换的张量积的矩阵与线性变换的矩阵的关系
设是域上的维线性空间，和是的两组基，且
（1）
设在下的坐标为，则由前面的知识，可得
（2）
由此可知，坐标是逆变的；
现在考虑的对偶空间。在的对偶基为，在的对偶基为，那么就有
(3)
将（1）代入（3）
（4）
(注意可逆矩阵相乘，可交换)比较（3）和（4）可得：
（5）
现设，
（6）
由（5）和（6）得到：
对比（1）式，可知的对偶空间的坐标变换是共变的。
张量的记法（Einstein约定）
在一般的数学式子中，和号表示为
而在张量理论中，将某一个量的下角标改写为上角标，同时省略和号，即令
按Einstein约定，将（1）中的写成
令，并将写成
则内基变换和内基变换之间的关系可概括如下：
定义12.6 逆变张量
现考察
它有相应的两组基：
对于内任一向量，它在两组基下的坐标分别设为
将内的基变换公式代入上式，得
于是我们得到在两组不同基下的坐标变换关系：
（*）
在内取定一组基，让它对应于域内一组元素
如果这组元素随内的基变换而按公式（*）变换时，就称它为上的一个秩逆变张量。
定义12.7 协变张量
现考察的张量积
对于内任意向量，它在的两组基
下的坐标分别设为
现在将内基变换公式代入，得
于是我们得到在两组不同基下的坐标关系：
（**）
取定内一组基：，让它对应于域内一组元素
，
如果这组元素随内的基变换而按公式（**）变换时，就称它为上的一个秩协变张量。
定义12．8
最后，我们来考察张量积，它有两组基
内一个向量可表示成
在基变换，下，有
（***）
域内一组元素在和的上述基变换下按公式（***）变换时，就称它为上的一个秩逆变，秩协变的混合张量，或简称为型张量。
12.3.2 张量的加法和乘法
加法
给定两个型张量：和，定义
称为两个张量的和。显然，两个型张量的和仍然是一个型张量。
乘法
给定一个型张量，把它看作张量积内向量在基下的坐标；又给定一个型张量，把它看作内一个向量在下的坐标。我们考察张量积
它里面有一组基为
（****）
我们有
我们定义
称它为两个张量和的乘积。是张量积
内一个向量在所取定的基（****）下的坐标，所以它是一个型的张量。
