第二学期第二十七次课 第十二章 张量积与外代数 §1 多重线性映射 12．1．1线性空间的一组基的对偶基的定义 定义12.1 对偶空间 设v是k上n维线性空间，是v的一组基，则线性函数被在此组基下的映射法则决定，即已给定。现设内全体线性函数组成的集合为，则在内定义加法与数乘如下：  则关于上述加法、数乘组成上的线性空间，称为的对偶空间，记作?. 定义12.2 对偶基 假设同定义12.1，定义内个线性函数  (由前面的知识，不难知知存在且是唯一的)，则构成的一组基，称这组基为内则组基的对偶基。（事实上，我们很容易说明线性无关，再均可被线性表出。） 12．1．2 线性空间的多线性函数、多线性映射的定义（双线性函数的推广） 名词 笛卡尔乘积 设是个非空集合，定义一个新集合如下：  这个新的集合称为集合的笛卡尔乘积。 定义12.3 多线性函数、多线性映射 设是域上的线性空间，由设是从笛卡尔乘积到的一个集合间的映射，满足如下条件：，有  即映射对每个变元来说都是线性的，则称是从到的一个多线性映射。 当时，也称是双线性映射。 如果，则称为定义在集合上的多重线性函数。 当时，也称是定义在上的双线性函数。 §2线性空间的张量积 12．2．1 域上的二线性空间的张量积的定义（归纳地有多个张量积的定义） 定义12.4 设是域上的线性空间。，如果对任意双线性映射（U为域上的任意线性空间），都有唯一的线性映射时的下图表交换：  亦即，则称为的张量积，简记为，或更多的时候记作。 定理 域上的二线性空间的张量积存在，并且在同构意义下是唯一的 证明 取得一组基，的一组基，取个文字，令为生成的线性空间，即=（线性的定义上的加法和数乘）。 令即，易验证是双线性映射。 对于任一双线性映射由  得：则对于任一（设），有  所以，，即上图可交换，的唯一性来源于图的可交换性，这就证明了是张量积。 下面说明张量积的唯一性。设是的张量积，则由张量积的定义  由上图不难得出：，同理，所以。 以后我们以  记和的张量积，简记为。