第二学期第十八次课 用形式微商判断多项式是否有重因式 定义9.10 设定义  称为的一阶形式微商。 设的阶形式微商已定义，记作则定义它的阶形式微商为的一阶形式微商：。另外我们约定。 命题 设，如果内的不可约多项式是的重因式，则是的重因式。 证明 按假设有，且，于是。于是有  故。如果有，即，带入上式，消去，得  从上式推出，而，则，但矛盾。故，这表明是的重因式。 由这个命题，我们可以得到下面两个有用的推论： 推论1 不可约多项式是的重因式的充分必要条件是，但。 推论2 在的素因式标准分解式中仅出现不可约多项式的一次方幂的充分必要条件是  9.1.8 模多项式同余的定义 定义9.11 设是的一个理想，如果，且，则称与模同余，并记作。 现设为非平凡理想，则，其中且满足，这时，写作，称与模同余，易知这是一个等价关系。 我们易证明以下性质： 1）若则  2）若，又，则。 9.1.9 中国剩余定理 引理 设是内一组两两互素且次数的多项式，则对任一，存在多项式，使  证明 对任一，有，于是存在，使，令  我们有，而且 ， 其中为展开式中提出公因式（除第一项1之外）后所剩的多项式。 定理（中国剩余定理） 设是内一组两两互素且次数的多项式，任给，必存在，使  证明 根据引理，每个，存在多项式，满足  令则对每个，有 ， 而当时，故。 9.1.10 Lagrenge插值公式 这是中国剩余定理的一个简单应用：设是内一组两两不相等的元素，令，这是内一组互不相同的不可约多项式，显然两两互素。在内任给个数，令。按照中国剩余定理，存在，使，即。从中国剩余定理的证明过程，我们可以把的具体表达式找出来： 1）求，按引理的证明，因为有  故应取 。 2）令 。 多项式称为拉格朗日（Lagrenge）插值多项式。 9.1.11 Jordan-Chevally分解定理 （这是中国剩余定理的另一个重要应用） 引理 设是数域上的维线性空间, 是内一个线性变换,设的特征多项式在内有分解式  令，则分解为的不变子空间的直和：  且限制在内为幂零线性变换。（证明略） 定理（Jordan-Chevally分解定理）设是数域上的维线性空间，是内一个线性变换，且的特征多项式的根全属于。那么 存在内唯一的半单线性变换，幂零线性变换，使得，而且； 存在，，使得  证明 现在的特征多项式有分解式  按照引理，，其中。 现令（当中有0的时候，不要），则两两互素，按照中国剩余定理，有，使  令，现在，故。 现在取，显然有。由于 ， 故  因为限制在内变为，故限制在内变为，亦即有，而，于是的矩阵可对角化，即为内的半单线性变换。另一方面，  因为限制在内变为，故为内的幂零线性变换，而，由此可知为内的幂零线性变换。 下面来证唯一性。 假如又有内的半单线性变换，幂零线性变换，满足条件。那么： （a）与显然与可交换，而，故它们也可与，交换。对于任意有  故为的公共不变子空间。令，则也是的不变子空间，，均幂零且可交换，故也幂零，而内，故在内有  根据第七章关于Jordan标准型的讨论我们有：在内存在一组基，在该组基下的矩阵成Jordan形，其主对角线上的元素全为，把各中的基合并为的基，则在此基下的矩阵成Jordan形，主对角线元素为，即的特征多项式的根全属于。 （b）这样的矩阵可对角化，从而的矩阵也可对角化（见第四章）。但仅有一个特征值，于是  由于，所以又上式知，从而。唯一性得证。