第二学期第八次课 设A是n维酉空间V内的线性变换,如果V内的线性变换A满足,V,有 (A,)=(,A) 则称A是A的共轭变换. A为A的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭转置. 共轭变换的五条性质: 1)E=E 2)(A)= A 3)(kA)=A 4)(A+B)=A+B 5)(AB)=BA 如果A = A,则称A是一个厄米特变换. 设A是n阶复矩阵,如果=A,则称A是一个厄米特矩阵. n个复变量的二次齐次函数  () 称为一个厄米特二次型.（对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广）。 （酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.） 如果AA= A A,则称A为一个正规变换. （将酉变换的性质推广，有一般的结果：） 命题 酉空间V上的线性变换A的不变子空间M的正交补是共轭变换A的不变子空间. 证明 M, ,有 (,A)=(A,)=0 这表明A. 命题 酉空间上的正规变换A的属于特征值的特征向量的是共轭变换A的属于特征值的特征向量. 证明 按假设,有A=则 (A-,A-)=((A-E), A-) =(,(A-E)(A-E)) =(,(A-E)(A-E)) =(,0)=0 从而A=. 命题 酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交. 证明 设A=,A=则 (,)=(A,)=(,A)=(,)=(,) 必有(,)=0. 定理 维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 证明 对维数n做数学归纳法. 推论 维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 命题 厄米特变换的特征值都是实数. 证明 若A=,则 =A=A==是实数. 推论 维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵. 定理 厄米特二次型在适当的酉变数替换下可以化为标准形  其中都是实数. 证明 f的矩阵A是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵U,使  为实对角矩阵.令X=UY,即可. （推广欧氏空间上的度量的概念，用以统一处理洛仑兹变换和辛变换） 数域上的维线性空间的任一满秩双线性函数都可以定义上的度量（以及一组基的度量矩阵）；在此度量下同样可定义一个线性变换的共轭变换和正交变换: 设A是V上线性变换,如果存在线性变换A,使 f(A,)=f(,A) ,V 则称A是A的(关于f的)共轭变换. 如果线性变换A满足 f(A,A)=f(,) ,V 则称A为(关于f的)正交变换. 在给定的基（度量矩阵为）下一个线性变换A（矩阵为）的共轭变换的矩阵，（这是因为f(A,)=f(,A),从而） 如果A是正交变换，A的共轭变换等于A。(因为f(,)=f(A,A)=f(,AA) 故f(,(AA-E))=0,由f非退化知AA= E.).