数学分析讲义 101 第 四 章 广义积分 在讲述定积分时 ， 我们用到了两个定积分中的限制条件 ， 它们是 ： 1. 积分区间是有界的 ； 2. 函数是有界的 。 这两个条件在定义 Riemann 定积分以及讨论其存在性时都是十分关键的 ， 比如说 ， 函数 有界这一条件是 Riemann 定积分存在的必要条件 。 这一章里 ， 我们就来讨论将这两个条件放 松 ， 是否存在类似于 Riemann 定积分的量存在 ， 这就是无穷积分和瑕积分 。 § 1 无穷积分及其判别法 1 无穷积分之定义 例 1： 求函数 21y x= 在区间 [ ],aA上与 x 轴所围部分的面积 。 解 ： 由面积的定义 ， 我们知 ： 2111A a SdxxaA==?∫ 。 上述面积公式对于任意的闭区间 [ ],aA均成立 ， 并且当 A →+∞时 ， 该面积有极限 1a ， 因而可以将面积的概念推广至 [ ),a +∞ 上的面积 。 这一想法可以推广到任意函数 ( )fx在 [ ),a +∞ 上的 “ 积分 ” 的定义 ： 定义 1： 若函数 ( )fx在 [ ],aA上 Riemann 可积 ， 并且极限 ( )lim Aa A fxdx →+∞∫ 存在且 等于有限值 。 则称该极限为函数 ( )fx定义在 [ ),a +∞ 上的无穷积分 ， 记 作 ： ( ) ( )lim Aaa A fxd fxdx+∞ →+∞ =∫∫。 这时也称无穷积分 ( ) a fxdx+∞∫ 收敛 ， 否则称 ( ) a fxdx+∞∫ 发散 。 同样我们可以定义 ( )a fxdx ?∞∫ 的收敛性 。 附注 ： 若 ( ) a fxdx+∞∫ 与 ( ) a fxdx ?∞∫ 均收敛时 ， 称 ( )fxdx+∞ ?∞∫ 收敛且 ( ) ( ) ( ) ( )limaAaAA A fxdxfxdxfxd fxdx+∞+∞ ′ ? ?∞ →+∞ ′→?∞ =+=∫∫∫∫。 例 2： 讨论无穷积分 2 0 1 dx x +∞ +∫ 的敛散性 。 解 ： 由于 12 0 tan1A dx Ax ?=+∫ ， 广义积分 11.102 所以 ： 12 0 limtan12 A dx A x p+∞ ? →+∞ ==+∫ ， 积分收敛 。 例 3： 讨论无穷积分 p a dx x +∞∫ 的敛散性 。 ( )0a > 解 ： 由于 1p ≠ 时 ， 1 11111111 A A p pppa a dx x xppaA ? ?? ??==??? ????∫ ， 因此 ： 当 1p > 时 ， ( ) 111ppa dxxpa +∞ ?= ?∫ ， 积分收敛 ； 当 1p < 时 ， 由于 11pA ? →+∞ ， 所以积分发散 ； 当 1p = 时 ， lnA a dxA xa=→+∞∫ ， 积分发散 。 例 4： 讨论无穷积分 ln p a dx xx +∞∫ 的敛散性 。 ( )1a > 解 ： 由于 lnlnlnAApp aa dxdx xxx=∫∫， 所以 ： 1p ≠ 时 ， ( )11111lnlnlnln A A ppp pa a dx xAa xxpp ???==? ??∫ 因此 ： 当 1p > 时 ， 1ln ln1 p pa dxa xxp ?+∞ = ?∫ ， 积分收敛 ； 当 1p < 时 ， 由于 1ln p A? →∞， 所以积分发散 ； 当 1p = 时 ， lnlnlnlnA a dxA xxa=→+∞∫ ， 积分发散 。 例 5： 讨论无穷积分 0 sin xdx+∞∫ 的敛散性 。 解 ： 由于 0 sin1cosA xdxA=?∫ ， 极限不存在 ， 所以 0 sin xdx+∞∫ 发散 。 2 Cauchy 主值 若讨论积分 sin xdx+∞ ?∞∫ 之收敛性 ， 由定义我们知道它是发散积分 ， 但若考虑到 ： sin0A A xdx ? =∫ ， 我们有 ： limsin0AA A xdx? →+∞ =∫ 。 上述这种以两边同时趋于无穷的方法求出的发散积分的极限 ， 称为发散积分的 Cauchy 主值 ， 记作 ..sin0vpxdx+∞ ?∞ =∫ 。 一般地 ， 我们定义 ： ( ) ( ). lim AA A vpfxdxfxxdx+∞?∞? →+∞ =∫∫。 数学分析讲义 103 附注 ： 显然 ， 我们有 ： 积分收敛 ? Cauchy 主值 =积分值 ； 积分发散 ? Cauchy 主值可能存在 。 3 无穷积分的性质 下列无穷积分之性 质 ， 可以由其定义直接得到 ： 1） 线性运算性质 ： 若 ( ) ( ) [ ),,fxgxa∈+∞R （ 广义积分存在 ） 则 ： ( ) ( )( ) ( ) ( )aaafxkgxdxfxdxkgxdx+∞+∞+∞+=+∫∫∫ 2） 分部积分法仍然成立 ； 3） 换元法仍然成立 。 例 6： 求无穷积分 0 cosaxIebxdx+∞ ?= ∫ 。 ( )0a > 解 ： 0 cosaxIebxdx+∞ ?= ∫ 000 2 222 111coscos(sin) 1sincos axaxax axax bxdeebxebbxdxaa bbbbxdeebbxdxI a a aa +∞+∞+∞ ??? + +∞?? ??=?=?+??? ?? = =?=? ∫∫分部积分 分部积分 所以 ： 22aI ab= + 。 4） Cauchy 收敛准则 ： ( )a fxdx+∞∫ 收敛 ? 函数 ( )() AaIAfxdx= ∫ 有极限 ? 0e?>， Aa?>， 当 ,AAA′′′ > 时 ， 有 ： ( )A A fxdx e′′′ <∫ 。 5） 绝对收敛与条件收敛 ： 若无穷积分 ( ) a fxdx+∞∫ 收敛 ， 则称 ( ) a fxdx+∞∫ 绝对收敛 ； 若无穷积分 ( ) a fxdx+∞∫ 发散 ， 但 ( ) a fxdx+∞∫ 收敛 ， 则称 ( ) a fxdx+∞∫ 条件收敛 。 附注 ： 显然绝对收敛 ?条件收敛 ， 这是因为 ( ) ( ) AAfxdxfxdx′ ′′ ′′≤∫∫， 由 Cauchy 收敛准则可 得结论 。 4 绝对收敛积分之判别法 下列之判别法均事先假设了积分 ( )A a fxdx∫ 的存在性 。 广义积分 11.104 1) 比较判别法 定理 1：（ 比较判别法 ） 1) 当 B? ， 当 xB≥ 时 ， 若 ( ) ( )fxxj≤ ， 则 ( ) a xdxj+∞∫ 收敛 ? ( ) a fxdx+∞∫ 绝对收敛 ， 若 ( ) ( ) 0fxxj≥>， 则 ( ) a xdxj+∞∫ 发散 ? ( ) a fxdx+∞∫ 发散 ； 2) 若 ( )( )lim x fx l xj→+∞ = ， 则 ： 0 l≤<+∞时 ， ( ) a xdxj+∞∫ 收敛 ? ( ) a fxdx+∞∫ 绝对收敛 ， 0 l<≤+∞时 ， ( ) a xdxj+∞∫ 发散 ? ( ) a fxdx+∞∫ 发散 。 证明 ： 1) 用 Cauchy 收敛准则证明 。 若 ( ) a xdxj+∞∫ 收敛 ， 则 ： 0e?>， Aa?>， 当 ,AAA′′′ > 时 ， 有 ： ( )A A fxdx e′′′ <∫ 而 ( ) ( )fxxj≤ ， 因此 ： ( ) ( ) ( )AAA AAA fxdxfxdxxdxje′ ′ ′′′′′≤≤<∫∫∫ 由 Cauchy 收敛准则 ， ( ) a fxdx+∞∫ 绝对收敛 。 当 ( ) a xdxj+∞∫ 发散且 ( ) ( ) 0fxxj≥>时 ， 与上述命题为逆否命题 。 2) 由极限性质可 由 2)? 1)之条件 ， 因而结论均成立 。 证毕 2) Cauchy 判别法 由本节例 3， 我们知道积分 p a dx x +∞∫ 在 1p > 时收敛 ， 1p ≤ 时发散 。 因而在应用定理 1 时 ， 我们可以将 ( )xj 取为 1px ， 这样 ， 比较判别法就变为 ： 数学分析讲义 105 定理 2：（ Cauchy 判别法 ） 1) 当 B? ， 当 xB≥ 时 ， 若 ( ) pcfx x≤ ， 1p > ， 则 ( ) a fxdx+∞∫ 绝对收敛 ， 若 ( ) 0pcfx x≥>， 1p ≤ ， 则 ( ) a fxdx+∞∫ 发散 ； 2) 若 ( )lim p x xfxl →+∞ = ， 则 ： 1p > 且 0 l≤<+∞时 ， ( ) a fxdx+∞∫ 绝对收敛 ， 1p ≤ 且 0 l<≤+∞时 ， ( ) a fxdx+∞∫ 发散 。 例 7： 求证无穷积分 0 cosaxebxdx+∞ ?∫ 对 0a?> 收敛 。 证明 ： 由于 cosaxaxebxe??≤ ， 并且 0 1axedx a +∞ ? =∫ ， ( )0a > 所以由定理 1， 0 cosaxebxdx+∞ ?∫ 对 0a?> 绝对收敛 。 例 8： 讨论无穷积分 1 arctan x dx x +∞∫ 的敛散性 。 解 ： 由于 arctan ~ 2xxxp ， ( )x →+∞ ， 并且 arctan 0xx > ， ( )1x ≥ 所以由定理 2， 它与 1 dx x +∞∫ 同时收敛或发散 ， 即无穷积分 1 arctan x dx x +∞∫ 发散 。 5 Abel判别法与 Dirichlet 判别法 上述的比较判别法与 Cauchy 判别法都是用来判断一个无穷积分是否绝对收敛的 ， 这里 两个判别法则是针对条件收敛性而讨论的 ， 因而相对较复杂 。 1) Abel判别法 定理 3：（ Abel 判别法 ） 设 ： 1) ( )fx在 [ ),a +∞ 上可积 （ 广义积分收敛 ）， 2) ( )gx在 [ ),a +∞ 上单调有界 （ ( )gxM≤ ） 则 ： ( ) ( )fxgx在 [ ),a +∞ 上广义可积 。 证明 ： 应 用 Cauchy 收敛原理讨论这一问题 。 考虑第二积分中值定理 ， 我们有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AAfxgxdxgAfxdxgAfxdxx x′ ′′′′′′′=+∫∫∫ 由于 ( ) a fxdx+∞∫ 收敛 ， 0e?>， Aa?>， 当 ,AAA′′′ > 时 （ 自然 Ax > ） 广义积分 11.106 有 ( ) 2 A fxdx Mx e′ <∫ ， ( ) 2A fxdx M x e′′ <∫ ， 因此 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 AAfxgxdxgAfxdxgAfxdx MMMM x x eee ′ ′′ ′′ ′′′≤+ <+= ∫∫ 即 ： 无穷积分 ( ) ( ) a fxgxdx+∞∫ 收敛 。 证毕 2) Dirichlet 判别法 定理 4：（ Dirichlet 判别法 ） 设 ： 1) ( ) ( )A a FAfxdx= ∫ 是 [ ),a +∞ 上的有界函数 ， ( )FxM≤ ， 2) ( )gx在 [ ),a +∞ 上单调趋于零 （ x →+∞） 则 ： ( ) ( )fxgx在 [ ),a +∞ 上广义可积 。 证明 ： 同定理 3 的证明 ， 应用 Cauchy 收敛原理讨论这一问题 。 考虑第二积分中值定 理 ， 我们有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AAfxgxdxgAfxdxgAfxdxx x′ ′′′′′′′=+∫∫∫ 由于 ( )gx单调趋于零 ， 0e?>， Aa?>， 当 ,AAA′′′ > 时 有 ( ) 4gA Me′ < ， ( ) 4gA Me′′ < ， 因此 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 AAfxgxdxgAfxdxgAfxdx FFAFAFMM x x eexe ′ ′′ ′′ ′′′≤+ ′′′<?+?≤ ∫∫∫ 因而由收敛原理知无穷积分 ( ) ( ) a fxgxdx+∞∫ 收敛 。 证毕 例 9： 证明无穷积分 1 sin x dx x +∞∫ 条件收敛 。 证明 ： 1) 由于 ( ) 1gx x= 单调下降趋于零 ， 并且 ： ( ) 1 sincos1cos2AFAxdxA==?≤∫ 由 Dirichlet 判别法知 ， 1 sin x dx x +∞∫ 收敛 。 数学分析讲义 107 2) 考虑到 2sin sin1cos2 22 x xx xxxx≥=? ， 类似于 1)的讨论易知 1 cos2 2 x dx x +∞∫ 收敛 ， 而 1 2 dx x +∞∫ 发散 ， 所以 1 sinx dx x +∞∫ 发散 。 综上所述 ， 无穷积分 1 sin x dx x +∞∫ 条件收敛 。 § 2 瑕积分及其收敛性 1 瑕积分 （ 无界函数的广义积分 ） 之定义 定义 2： 设 ( )fx在 xb= 点的邻域内无界 ， 0h?>， ( ) [ ],fxab h∈?R ， 若 ( ) 0 lim b a fxdxh h + ? → ∫ 存在 （ 有限值 ）， 称 ( )fx在 [ ],ab 上广义可积 ， 记 ( ) ( ) 0 limbb aa fxdxfxdxh h + ? → =∫∫为 ( )fx在 [ ],ab 上之瑕积分 ， b 成为瑕点 。 瑕积分存在也称为 ( )b a fxdx∫ 收敛 ， 否则称 ( )b a fxdx∫ 发散 。 同理对于 xa= 是瑕点 ， 则定 义 ( ) ( ) 0 limbb aa fxdxfxdx hh + +→ =∫∫； 若 ( ),xcab=∈ 是无界 点 （ 瑕点 ）， 则需分别讨论 ( )c a fxdx∫ 及 ( )b c fxdx∫ 之收敛性 ， 若两个积分均收敛 ， 则称 ( )ba fxdx∫ 收敛 ， 且 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00limlimbcbcbaacaafxdxfxdxfxd fxd fxdxh hhh++? ′+′→→=+=+∫∫∫∫∫ 例 1： 讨论积分 ( )b p a dx xa?∫ 之收敛性 。 解 ： 瑕点 ： 只有一个瑕点 xa= ； 考虑函数 ： ( ) ( )b p a dx xah jh + = ?∫ ， 当 1p ≠ 时 ， ( ) ( ) ( )11111 b ppp a x bapp h jhh??? + ??=?=???? ?? ， 所以 1p < 时 ， ( ) ( )111 pbapjh ?→?? ， 积分收敛 ， 1p > 时积分发散 ； 当 1p = 时 ， ( ) lnlnba baxa hjh h+ ?=?=→∞， 积分发散 。 广义积分 11.108 从该例可知 ， 象 ( ) pxc?? 这样的函数 ， 无论 c 点在积分区间端点或内部 ， 均有 1p < 收 敛 ， 1p ≥ 发散 。（ 这在形式上与无穷限广义积分相反 ） 例 2： 讨论 1 20 1 dx x?∫ 之收敛性 。 解 ： 由于 ( )1 102 0 arcsinarcsin1 2 1 dx x x h h ph? ?==?→ ?∫ ， 因而积分收敛至 2p 。 考虑积分 1 1 dx x?∫ 。 它是发散的 ， 0x = 为其瑕点 。 但由于 1 1 1lnln0dxdx xx h h h h? ? +=+=∫∫ ， 因而 1 10lim0 dxdx xx h hh + ? ?→ ??+= ????∫∫ ， 类似于无穷 积分的 Cauchy 主值 ， 我们也可以定义瑕积分之 Cauchy 主值 ： ( ) ( ) ( ) 0 . limbcb aac vpfxd fxdxfxdxh hh + ? +→ ??=+?? ??∫∫∫ 2 瑕积分之性质 下面几部分的讨论与无穷 积分完全类似 ， 首先我们有瑕积分的基本性质 ： 1. 线性运算性质成立 ； 2. 换元法与分部积分法成立 ； 3. 绝对收敛与条件收敛性质以及相互关系仍成立 。 4. 收敛原理 ： 若 xa= 是瑕点 ， ( )b a fxdx∫ 收敛 ? 0e?>， 0d?>， 0,hhd′′′<<时 ， 有 ( )a a fxdxh h e′′+ ′ + <∫ 3 Cauchy 判别法 对于瑕积分 ， 也有无穷积分类似的比较判别法与 Cauchy 判别法 ， 这里只将 Cauchy 判 别法列出 。 设 xa= 为瑕点 ， 1. 若 ( ) ( )pcfx xa ≤ ? ， 1p < ， 则 ( )b a fxdx∫ 绝对收敛 ； 若 ( ) ( ) 0pcfx xa ≥> ? ， 1p ≥ ， 则 ( )b a fxdx∫ 发散 。 （ 只需在 xa= 右邻域内不等式成立 ） 2. 若 ( ) ( )lim p xa xafxl +→ ?=， 则 ： 1p < 且 0 l≤<+∞时 ， ( )b a fxdx∫ 绝对收敛 ； 1p ≥ 且 0 l<≤+∞时 ， ( )b a fxdx∫ 发散 。 数学分析讲义 109 例 3： 讨论积分 1 0 ln dx xx∫ 的敛散性 。 解 ： 瑕点 ： 有两个瑕点 0x = 与 1x = ； 当 0x +→ 时 ， 由于 1 0lnx xx?→， 所以 1 2 0 ln dx xx∫ 收敛 ； 当 1x ?→ 时 ， 由于 ( ) 111lnx xx?→? ， 所以 1 2 1 ln dx xx∫ 发散 ， 综上 ， 积分 1 0 ln dx xx∫ 发散 。 4 无穷积分与瑕积分之关系 当 xa= 为积分瑕点时 ， 我们有 ： ( ) 1 1 2 1xa ba yb a dyfxdxfa yy ? ? = +∞ ?? =+?? ??∫∫ 因此任意一个瑕积分均可化为无穷积分之形式 ， 反之亦然 。 5 条件收敛判别法 与无穷积分类似 ， 对于条件收敛的级数 ， 我们有如下两个判别法 ： 1. Abel判别法 若 ( )b a fxdx∫ 收敛且 ( )gx单调有界 ， 则 ( ) ( )b a fxgxdx∫ 收敛 。 2. Dirichlet 判别法 （ 假设 xa= 为瑕点 ） 若 ( )ba fxdxh+∫ 有界 ， ( )gx单调趋于零 ( )xa+→ ， 则 ( ) ( )b a fxgxdx∫ 收敛 。 例 4： 讨论积分 1 0 11cos p dxxx∫ 之收敛性 。 解 ： 1) 考虑到 111cosppxxx≤ ， 所以 1p < 时积分绝对收敛 ； 2) 由于 11 2 111cossinsinsin1dx xxxh h h=?=?∫ ， 所以 1 2 11cos2dx xxh ≤∫ ； 而 2 px ? 在 20p?>， 即 2p < 时 单调趋于零 ， 所以 12p≤<时 ， 1 0 11cos p dxxx∫ 收敛 （ Dirichlet 判别法 ） 另一方面 ， 考虑到 21111112coscoscos22ppppxxxxxxx≥=+ ， 由于 12p≤<时 1 0 1 p dxx∫ 发散 ， 由 1） 知 ： 1 0 12cos 2 p dxxx∫ 收敛 ， 广义积分 11.110 所以 12p≤<时 ， 1 0 11cos p dxxx∫ 发散 ， 即 12p≤<时积分条件收敛 。 3) 2p = 时 ， 1 2 11cossinsin1dxxx h h =?∫ ， 积分发散 ， 2p > 时 ， 若 1 0 11cos p dxxx∫ 收敛 ， 则考虑 ： 2 2 1111coscosp pxxxxx ?= g 2px ? 单调有界 ， 由 Abel 判别法可知积分 1 2 0 11cos dx xx∫ 收敛 ， 这与 2p = 时积分发散矛盾 ， 2p∴≥时积分发散 。 习题 1． 求无穷积分 ： （ 1） ∫ ∞+ + 0 322 )( xa xdx ； （ 2） ∫ ∞+ +1 2 )1( xx dx ； （ 3） ∫ ∞+ + 0 2)1( ln x xdx ； （ 4） ∫ ∞+ +0 31 x dx ； （ 5） ∫ ∞+ ? 0 cos axdxe x ； （ 6） ∫ ∞+ ? 0 sin axdxe x ； （ 7） dxxx∫ ∞+ ++ 0 4 2 1 1 ； （ 8） ∫ ∞+ +0 41 x dx ； （ 9） dxxx∫ ∞+ + 0 21 ； （ 10） ∫ ∞+ ++0 22 1)12( xx dx ； （ 11） ∫ ∞+ +0 22 23)( ax xdx ； （ 12） ∫ ∞+ ++0 1)1( n nn xx dx 。 2． 求无穷积分 ： （ 1） ∫ ∞+ ? 0 dxex xn ； （ 2） )0()( 0 22 >+∫ ∞+ axa dx n ； （ 3） ∫ ∞+ ++ 0 2 )2( ncbxax dx （ n 为自然数 ， 02 >? bac ）。 3． 设 +∞<≤≤≤ xaxgxhxf ),()()( ， 且 ∫ ∞+a dxxf )( ， ∫ ∞+a dxxg )( 收敛 。 求证 ： ∫ ∞+ a dxxh )( 收敛 。 4． 若 )(xf 在 ),[ +∞a 上单调下降 ， 且积分 ∫ ∞+ a dxxf )( 收敛 。 求证 ： 0)(lim = +∞→ xxf x 。 5． 判别下列无穷积分的收敛性 ： （ 1） ∫ ∞+ +? 0 24 2 1xx dxx ； （ 2） ∫ ∞+ +1 3 21 xx dx ； （ 3） )0( 0 ≥∫ ∞+ ? pdxex xp ； （ 4） ∫ ∞+ 0 ln dx x x p ； 数学分析讲义 111 （ 5） dxxx n ∫ ∞+1 2 )(ln （ n 自然数 ）； （ 6） dx x x∫ ∞+ 0 2sin ； （ 7） )0,(1 0 >+∫ ∞+ qpdxxx q p ； （ 8） ∫ ∞+ + 0 1 cos dx x ax n ； （ 9） ∫ ∞+ +0 cos1 xx dx ； （ 10） ∫ ∞+ ?? ? ?? ? +??? ?? ? ? + 1 1 111ln dx xx ； （ 11） ∫ ∞+ ? ? ?? ? ? + 1 1sin1cosln dx xx ； （ 12） dx x x 12 0 2 2 sin1ln1 ?∞+ ??? ? ??? ? ?∫ ； （ 13） dxxQ xP m n∫ ∞+ 0 )( )( ， 其中 )(xP n 与 )(xQm 分别为 n 次及 m 次多项式 ， 且 0)( ≠xQm 6． 讨论下列无穷积分的收敛及绝对收敛 。 （ 1） dxx x∫ ∞+ 0 2cos ； （ 2） dxx x∫ ∞+ 1 cos ； （ 3） dxx x∫ ∞+ 0 2sin ； （ 4） 0cos 1 >∫ ∞+ pdxx xp 。 7． 设 )(xf 单调下降趋于零 ， ),0[)( +∞∈′ Cxf 。 求证 ： xdxxf∫ ∞+ ′ 0 2sin)( 收敛 。 8． 设 ),0[)( +∞∈ Cxf ， 且 dxxf∫ ∞+ 0 )( 条件收敛 。 求证 ： dxxfdxxf )0),(min(,)0),(max( 00 ∫∫ ∞+∞+ 发散 。 9． 求下列瑕积分 ： （ 1） ∫ ?a xadx 0 ； （ 2） dxxa xxa∫ ?0 ； （ 3） ∫ ??b a ba ))(( xx dx ； （ 4） dxxx∫ 2 0 sinlncos p ； （ 5） ∫1 0 ln xdxx nn ； （ 6） dxx∫ 2 0 tg p ； （ 7） dxx∫1 0 ln ； （ 8） )0,0(cossin sin2 0 2222 ≠≠+∫ baxbxa xdx p 。 10． 求极限 n nn n !lim +∞→ 。 11． 判别下列瑕积分的收敛性 ： （ 1） ∫1 0 ln x dx ； （ 2） dx x x∫ ? 1 0 1 ln ； （ 3） ∫ ?1 0 )1ln(ln dxxx ； （ 4） ∫p 0 sin x dx ； 广义积分 11.112 （ 5） ∫ 2 0 cossin p xx dx qp ； （ 6） ∫10 ln xdxxa ； （ 7） dxx xm∫ ?1 0 cos1 ； （ 8） ∫ ?? ?1 0 11 ln dxx xx qp 。 12． 判别收敛性 ： （ 1） ∫ ∞+ ?? 2 )2)(1( xxx dx ； （ 2） ∫ ∞+ ?? ? ?? ? ? ? 1 1 2 11ln dx x ； （ 3） ∫ ∞+ ?? 0 1 dxex xp ； （ 4） ( )∫ ∞+ 0 arctg dx x x p q ； （ 5） dxx xp∫ ∞+ + 0 )1ln( ； （ 6） ∫ ∞+ +0 qp xx dx ； （ 7） ∫ ∞+ 1 ln xx dx qp ； （ 8） ∫ ∞+ +0 pn m xx dxx 。 13． 讨论下列积分的收敛性与绝对收敛性 ： （ 1） dxx xq p ∫ ∞+ +0 1sin ； （ 2） dxx xq p ∫ ∞+0 sin ； （ 3） dxx∫ ∞+ 0 2 )sin( ； （ 4） ∫ ∞+ 1 sin)(ln dx x xx p 。 14． 判别收敛性 ： （ 1） ∫ ∞+ 0 sin dxx p ； （ 2） ∫ ∞+ 0 cos dx x x p ； （ 3） ∫ ∞+ ? 0 sin dxe x x x ； （ 4） ∫ ∞+ ?? 0 2 1][ dxx xx p ； （ 5） dxx x x p∫ ∞+ 0 1cossin ； （ 6） dxx x x p∫ ∞+0 1sincos 。