北京大学：高等代数（推荐下载）：204

设M是n维欧氏空间V的一个子空间,易知M关于V的内积也成一个欧氏空间.定义
称
为M的正交补.显然
也是V的子空间. 命题1.5 设
是
维欧氏空间
的子空间，则
. 证明 设
,则由正交补的定义得(
)=0.所以
.这说明
是直和.取M的一组标准正交基
,先将它扩为V的一组基
,
.将它先正交化,再单位化.由于
已经是两两正交的单位向量,故先正交化,再单位化后保持不变,得到
,
.显然
与M中向量都正交,故

.于是 V=L(
)+L(
)
V 从而
. 推论
维欧氏空间
中的任一两两正交的单位向量组
都可以扩充为
的标准正交基. 证明 设M=L(
),在
中取出一组标准正交基
,则
,
就是V的一组标准正交基. 最后介绍一下欧氏空间同构的概念. 设
是两个欧氏空间,如果存在
的一个映射
,满足 (1)
是
的线性空间的同构映射 (2)
保持内积关系. 则称
是欧氏空间
的同构映射,称
同构. 第六章 §2欧氏空间中特殊的线性变换 1．正交变换 设V是n维欧氏空间，A是V内一个线性变换.如果对任意
都有 (A
A
=
则称A是V内的一个正交变换. 正交变换的四个等价表述: 命题2.1 A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,则下列命题等价: A是正交变换; A把V的标准正交基变为标准正交基; A在标准正交基下的矩阵为正交矩阵; 对任意
,|A
. 证明 (1)
(2):设
是V的一组标准正交基,则由正交变换的定义: |A
|=
=
=1 (A
A
)=(
,
)=0 (i
j) 于是, A
, A
A
是V的标准正交基. (2)
(3): A在
下的矩阵A恰是
到A
, A
A
的过渡矩阵,从而A是正交矩阵. (3)
(4):设A在标准正交基
下的矩阵为A,设
=
,则 (A
, A
)=((
)A
,(
)A
) =

=

=

=
开方即得|A
. (4)
(1):如果A保持向量长度不变,则(A
A
)=
,(A
,A
)=
(A(
),A(
))=(
,
),展开: (A
A
)+2(A
A
+(A
,A
)=
+2
+
利用前两个式子,得(A
A
=
. 证明 显然E
;如果A,B
,则(AB
AB
)=(B
,B
)=
,故AB
;若A
,则显然可逆,于是
E
E
A
A
A
A

A
A
, 从而A

.于是
构成群. 由于正交矩阵的行列式只可能为1或-1,我们以此对正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换.