第二学期第七次课 第六章 §3 酉空间 设V是复线性空间.VV上的一个函数(,),如果满足: (,)对第一个变量是线性的; ()=; V,(,)0,且(,)=0=0. 则称()为向量的内积，具有内积的复线性空间称为酉空间（欧氏空间在复线性空间上的推广）. ||=称为酉空间中向量的长度, ||=1时,称为单位向量. ()=0时,称二向量正交. 同欧氏空间类似,我们有如下命题: 命题 酉空间中两两正交的非零向量组是线性无关的. 类似地,我们把n维酉空间V中由n个两两正交的单位向量组成的向量组称为V的一组标准正交基. 标准正交基的求法: 施密特(Schmidt)正交化   设U是n阶复矩阵,如果,则称U是一个酉矩阵. 命题3.2 是n维酉空间V的一组标准正交基,令 ()=()U 则是一组标准正交基当且仅当U是酉矩阵. 证明 必要性:若是标准正交基,则()=.而U的第j个列向量为在下的坐标,故 ()== 这表示,U为酉矩阵. 充分性:若U为酉矩阵,则 ()== 是标准正交基. 设M是n维酉空间V的一个子空间,定义  称为M的正交补.显然也是V的子空间. 命题 设是维酉空间的子空间，则； 证明 同欧氏空间. 推论 维酉空间中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为的标准正交基. 设是两个酉空间,如果存在的一个映射,满足 (1) 是的线性空间的同构映射 (2) 保持内积关系. 则称是酉空间的同构映射,称同构. 酉空间V上的线性变换U如果满足(U,U)=()(对一切V),则称U是一个酉变换（正交变换在酉空间上的推广）. 酉变换的四个等价表述: 命题 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列命题等价 U是一个酉变换; V,有|U|=||; U把标准正交基变为标准正交基; U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵. 证明 1)2).显然. 2)3) 设是标准正交基,由假设知只用证(UU)=0 (ij时).V,有 (U, U)=| U|=| |=(,). 以=k+代入上式,在分别令k=1及I,可得(UU)=0 3)4) 由命题3.2可得. 4)1) 设U在标准正交基下的矩阵U是酉矩阵.由命题3.2知U,…, U也是标准正交基.设=,=,则 U=U+…＋U U=U+…＋U 于是 (U,U)==(,) 即U是酉变换. 命题 维酉空间上的酉变换的全体（关于映射的复合）构成群，称为维酉变换群，记为U(n). 证明 与正交变换群类似. 平行地，阶酉矩阵的全体（对于矩阵的乘法）构成群，称为阶酉群，也记为 U(n).